成考數學

成考數學試卷(文史類)題型分類

一、集合與簡易邏輯

2001年

(1)設全集M={1,2,3,4,5}，N={2,4,6}，T={4,5,6}，則(MT)N是（）

(A)}6,5,4,2{(B)}6,5,4{(C)}6,5,4,3,2,1{(D)}6,4,2{

(2)命題甲：A=B，命題乙：sinA=sinB.則（）

(A)甲不是乙的充分條件也不是乙的必要條件；(B)甲是乙的充分必要條件；

(C)甲是乙的必要條件但不是充分條件；(D)甲是乙的充分條件但不是必要條件。

2002年

（1）設集合}2,1{?A，集合}5,3,2{?B，則BA?等于（）

（A）{2}（B）{1,2,3,5}（C）{1,3}（D）{2,5}

（2）設甲：3?x，乙：5?x，則（）

（A）甲是乙的充分條件但不是必要條件；（B）甲是乙的必要條件但不是充分條件；

（C）甲是乙的充分必要條件；（D）甲不是乙的充分條件也不是乙的必要條件.

2003年

（1）設集合??22(,)1Mxyxy???，集合??22(,)2Nxyxy???，則集合M與N的關系是

（A）MN=M（B）MN=?（C）NM（D）MN

（9）設甲：1k?，且1b?；乙：直線ykxb??與yx?平行。則

（A）甲是乙的必要條件但不是乙的充分條件；（B）甲是乙的充分條件但不是乙的必要條件；

（C）甲不是乙的充分條件也不是乙的必要條件；（D）甲是乙的充分必要條件。

2004年

（1）設集合??,,,Mabcd?，??,,Nabc?，則集合MN=

（A）??,,abc（B）??d（C）??,,,abcd（D）?

（2）設甲：四邊形ABCD是平行四邊形；乙：四邊形ABCD是平行正方，則

（A）甲是乙的充分條件但不是乙的必要條件；（B）甲是乙的必要條件但不是乙的充分條件；

（C）甲是乙的充分必要條件；（D）甲不是乙的充分條件也不是乙的必要條件.

2005年

（1）設集合??P=1234,，，，5，??Q=2,4,6,8,10，則集合PQ=

（A）??24，（B）??12,3,4,5,6,8,10，（C）??2（D）??4

（7）設命題甲：1k?，命題乙：直線ykx?與直線1yx??平行，則

（A）甲是乙的必要條件但不是乙的充分條件；（B）甲是乙的充分條件但不是乙的必要條件；

（C）甲不是乙的充分條件也不是乙的必要條件；（D）甲是乙的充分必要條件。

2006年

（1）設集合??M=1012?，，，，??N=123，，，則集合MN=

（A）??01，（B）??012，，（C）??101?，，（D）??10123?，，，，

（5）設甲：1x?；乙：20xx??.

（A）甲是乙的充分條件但不是乙的必要條件；（B）甲是乙的必要條件但不是乙的充分條件；

（C）甲不是乙的充分條件也不是乙的必要條件；（D）甲是乙的充分必要條件。

2007年

（8）若xy、為實數，設甲：220xy??；乙：0x?，0y?。則

（A）甲是乙的必要條件，但不是乙的充分條件；（B）甲是乙的充分條件，但不是乙的必要條件；

（C）甲不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件；（D）甲是乙的充分必要條件。

2008年

（1）設集合??A=246，，，??B=123，，，則AB=

（A）??4（B）??1,2,3,4,5,6（C）??2,4,6（D）??1,2,3

（4）設甲：

1

,:sin

62

xx

?

??乙，則

（A）甲是乙的必要條件，但不是乙的充分條件；（B）甲是乙的充分條件，但不是乙的必要條件；

（C）甲不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件；（D）甲是乙的充分必要條件。

二、不等式和不等式組

2001年

(4)不等式53??x的解集是（）

(A)}2|{?xx(B){|82}xxx?????或(C)}0|{?xx(D)}2|{?xx

??355>358>282xxxxx??????????????????????或

2002年

（14）二次不等式0232???xx的解集為（）

（A）}0|{?xx（B）}21|{??xx（C）}21|{???xx（D）}0|{?xx

2003年

（5）、不等式2|1|??x的解集為（）

（A）}13|{???xxx或（B）}13|{???xx（C）}3|{??xx（D）}1|{?xx

2004年

（5）不等式123x??的解集為

（A）??1215xx??（B）??1212xx???（C）??915xx??（D）??15xx?

2005年

（2）不等式?327

4521

x

x

??

???

的解集為

（A）(,3)(5,+)???（B）(,3)[5,+)???（C）(3,5)（D）[3,5)??1

2

3

327390

(39)(525)0

452152505

x

xx

xx

xxx

???

????

?

??????

?

??

??????

?

??

2006年

（2）不等式31x??的解集是

（A）??42xx????（B）??2xx??（C）??24xx??（D）??4xx?

（9）設,ab?R，且ab?，則下列不等式中，一定成立的是

（A）22ab?（B）(0)acbcc??（C）

11

ab

?（D）0ab??

2007年

（9）不等式311x??的解集是

（A）R（B）

2

0

3

xxx

??

?????

??

??

或

（C）

2

3

xx

??

?

??

??

（D）

2

0

3

xx

??

??

??

??

2008年

（10）不等式23x??的解集是

（A）??51xxx???或（B）??51xx???（C）??15xxx???或（D）??15xx???

(由x2332315xx???????????)

三、指數與對數

2001年

(6)設7.6log

5.0

?a，3.4log

2

?b，6.5log

2

?c，

則,,abc的大小關系為（）

(A)acb??(B)bca??

(C)cba??(D)bac??

(

0.5

logax?是減函數,>1x時,a為負；

2

logbx?是增函數，>1x時a為正.故

0.522

log6.7

2002年

（6）設

a?2log

3

，則9log

2

等于（）

（A）

a

1

（B）

a

2

33

2

3

log92log3

2

log9

log2aa

??

???

??

??

（C）2

2

3

a（D）2

3

2

a

（10）已知

3

104

log)2(

2

?

?

x

xf，則)1(f等于（）

（A）

3

14

log

2

（B）

2

1

（C）1（D）2??2222

4/2102102110

()loglog(1)loglog42

333

xx

fxf

????

?????，

（16）函數

2

1

2??xy

的定義域是??1xx??。1

2

1

20log21

2

xxx?

??

???????

??

??

2003年

（2）函數51-xyx?????????（）的反函數為

（A）

5

log(1),(1)yxx???（B）15,()xyx????????

（C）

5

log(1),(1)yxx???（D）151,()xyx?????????

555

5

5151log5log(1)log(1)

log(1)10,1

xx

xy

yyxyxy

yxxx

??

????????????

??

???????????????????????

??按習慣自變量和因變量分別用和表示定義域：；

（6）設01x??，則下列不等式成立的是

（A）2

0.50.5

loglogxx?

（B）222xx?（C）2sinsinxx?（D）2xx?

0.5

logbx?

2

logbx?

x

b

a

b

c

22yx?

2xy?

0.5

logyX?

sinyx?

2sinyx?

x

y

（8）設4

5

log22

4x

?，則x等于

（A）10（B）（C）2（D）4

[

415

4

444

5

lg2

555

4

log22=log22log2lglg2lglg22

lg444xxx

xxx

x

???????（），，，]

2004年

（16）

2

3

2

1

64log=

16

?12??2

2

342

3

3

22

1

64log4log24412

16

?

??

??????

??

??

2005年

（12）設0m?且1m?，如果

log812

m

?，那么log3

m

?

（A）

1

2

4

1111

log3log3log812

4442mmm

??

?????

??

??

（B）

1

2

?（C）

1

3

（D）

1

3

?

2006年

（7）下列函數中為偶函數的是

（A）2xy?（B）2yx?（C）

2

logyx?（D）2cosyx?

（13）對于函數3xy?，當0x?時，y的取值范圍是

（A）1y?（B）01y??（C）3y?（D）03y???

（14）函數2

3

()log(3)fxxx??

的定義域是

（A）(,0)(3,+)???（B）(,3)(0,+)????（C）(0,3)（D）(3,0)?

??223>03<003xxxxx??????

（19）

1

2

2

log816=?

1

1

3

2

222

log816log243log24341

??

?????????

??

??

2007年

（1）函數lg-1yx?（）的定義域為

（A）R（B）??0xx?（C）??2xx?（D）??1xx?

（2）

0

44

1

lg8lg2=

4

??

??

??

??

（A）3（B）2（C）1

0

31

22

4444

131

lg8lg2=lg4lg41=1=1

422

??

??

??????

??

??

??

??

??

（D）0

（5）

2xy?的圖像過點

（A）

1

(3,)

8

?（B）

1

(3,)

6

?（C）(3,8)??（D）(3,)???

?2

2

01

22

2

22

0.50.50.5

B

C

D

A

2(0,2)

2>2

(1,2)

2

01,sin

01

01,logloglog

x

x

x

yx

x

y

xxxxx

xxx

xxxXxx

??

??

??

?

??????

??

??

?

??

??

????

??

??

????

??

?????

??

為增函數值域

排除（）；

值域

為增函數

排除（）；

排除（）；

為減函數，故選（）

，

，

，

，

（15）設1ab??，則

（A）log2log2

ab

?（B）

22

loglogab?（C）

0.50.5

loglogab?（D）log0.5log0.5

ba

?

2008年

（3）0

2

1

log4()=

3

?

（A）9（B）3（C）2（D）102

22

1

log4()=log21=21=1

3

??

???

??

??

（6）下列函數中為奇函數的是

（A）

3

logyx?（B）3xy?（C）23yx?（D）3sinyx?

（7）下列函數中，函數值恒大于零的是

（A）2yx?（B）2xy?（C）

2

logyx?（D）cosyx?

（9）函數

lg3-yxx??

的定義域是

（A）（0，∞）（B）（3，∞）（C）(0，3]（D）（∞，3]

[由lgx得>0x，由

3-x

得3x?，??????03=0<3xxxxxx???故選（C）]

（11）若1a?，則

（A）

1

2

log0a?（B）

2

log0a?（C）10a??（D）210a??

11

22

1

1

2

loglog,,0A

1

log0A

2

y

a

yayay

yaay?

?????

??

??

?????????

??

??

??

??

??

??

??

分析①：故選

分析②：是減函數，由的圖像知在點（10）右邊，故選（）

設，，（）

四、函數

2001年

(3)已知拋物線

22???axxy的對稱軸方程為1x?,則這條拋物線的頂點坐標為（）

(A))3,1(?(B))1,1(?(C))0,1((D))3,1(??

0

0

22

0

1,

=12

2

4(2)(2)4(2)

3

44

x

a

xa

a

y

??

?

??

??

?????

??

??

???????

??????

??

??

x

y

1.3

logyx?

2

logyx?

0.5

logyx?

0.77

logyx?

330.30.3

0.40.30.40.3

()()

[(1,0)][(1,0)]

()()

.loglogloglog

.

.

loglogloglog

0.50.4,45;

0.5>0.5,5<

??數數

點的左邊點的右邊

函數函數

①同底異真對數值大小比較：

增函數真大對大，減函數真大對小如

②異底同真對數值大小比較：

同性時：左邊底大對也大，右邊底大對卻小

異性時：左邊減大而增小，右邊減小而增大

如

0.4343

343434

loglogloglog

loglogloglogloglog

5;0.5>0.5,5<5

lg2lg2lg2lg2

68(61,81,68)

lg3lg4lg3lg4

????????

③異底異真對數值大小比較：

同性時：分清增減左右邊，去同剩異作比較.

異性時：不易不求值而作比較，略.

如：

(7)如果指數函數xay??的圖像過點)

8

1

,3(?，則a的值為（）

(A)2(B)2?(C)

2

1

?(D)

2

1

(10)使函數)2(log2

2

xxy??為增函數的區間是（）

(A)),1[??(B))2,1[(C)]1,0((D)]1,(??

(13)函數

2

655

)(

x

xf

xx??

?

?

是（）

(A)是奇函數(B)是偶函數

(C)既是奇函數又是偶函數(D)既不是奇函數又不是偶函數

(16)函數)34(log

3

1

??xy的定義域為____________。

(21)(本小題11分)假設兩個二次函數的圖像關于直線1x?對稱，其中一個函數的表達式為

122???xxy,求另一個函數的表達式。

解法一函數

122???xxy的對稱軸為1x??，

頂點坐標:

0

=1x?，

2

0

241(1)

2

441

y

a

?????

??????

?

設函數2yxbxc

??

???與函數122???xxy關于1x?對稱，則

函數2yxbxc

???

???的對稱軸3x

?

?

頂點坐標:

0

=3x

?

，

0

2y

?

??

由

02

b

x

a

?

?

??得：

0

22136bax

??

????????，

由

2

00

4

4

bac

yy

a

??

?

?

???得：

2

2

0

4

4(2)6

7

44

ayb

c

a

?

?

???

???

所以，所求函數的表達式為267yxx

?

???

解法二函數

122???xxy的對稱軸為1x??，所求函數與函數122???xxy關于1x?對稱，則

所求函數由函數

122???xxy向

x

軸正向平移4個長度單位而得。

設

00

(,)Mxy是函數122???xxy上的一點，點(,)Nxy是點

00

(,)Mxy的對稱點，則

x

y

(0,1]

1

3

log(43)0

3

0<4313<441

4

x

xxx

??

?????????????

??

????

??

???????

??

??

減函數，真數須在之間，對數才為正

x

y

22

2

2

2

202002

2

2

1

22(1)

(01]log(2).

xxxxx

yxx

b

x

a

yxx

??

????????

??

??

??

??

?????

??

??

??

??

??

開口向下，對稱軸為：

為增區間

∵

∴，的

2

2

log(2)yxx??

2=2yxx?

2

000

21yxx???，0

0

4xx

yy

??

?

?

?

?

，將0

0

4xx

yy

??

?

?

?

?

代入2

000

21yxx???

得:267yxx???.即為所求。

(22)(本小題11分)某種圖書定價為每本

a

元時，售出總量為b本。如果售價上漲x%，預計售出總量將

減少0.5x%，問x為何值時這種書的銷售總金額最大。

解漲價后單價為(1)

100

x

a?元/本，售量為

0.5

(1)

100

x

b?本。設此時銷售總金額為y，則：

20.50.50.5

=(1)(1)=(1)

10

xxxx

yabab????，令

0.5

=()=0

10010000

x

yab

?

?，得50x?

所以，50x?時，銷售總金額最大。

2002年

（9）若函數)(xfy?在],[ba上單調，則使得)3(??xfy必為單調函數的區間是（）

A．]3,[?baB．]3,3[??baC．]3,3[??baD．],3[ba?

()(3)()(3)

(3)()3

()(3)3-3;

()(3)3-3.

(3)[3,

yfxyfxyfxyfx

fxyfx

fafxxaxa

fbfxxbxb

yfxab

??????

??

?????

?????????????????

????????????

因與對應關系相同，故它們的圖像相同；因與的

自變量不同，故它們的圖像位置不同，的圖像比左移個長度單位.

因時，必有，即

時，必有，即

所以，的單調區間是3]

??

??

??

??

??

??

??

??

（10）已知

3

104

log)2(

2

?

?

x

xf，則)1(f等于（）

（A）

3

14

log

2

（B）

2

1

（C）1（D）2

2222

4/2102102110

()loglog,(1)loglog42

333

xx

fxf

????

??

?????

??

??

，

（13）下列函數中為偶函數的是（）

（A）)1cos(??xy（B）xy3?（C）2)1(??xy（D）xy2sin?

（21）（本小題12分）已知二次函數23yxbx???的圖像與

x

軸有兩個交點，且這兩個交點間的距離

為2，求b的值。

解設兩個交點的橫坐標分別為

1

x和

2

x，則

1

x和

2

x是方程23=0xbx??的兩個根，

得：

12

xxb???，

12

3xx?

又得：????22

2

12121212

4122xxxxxxxxb?????????，b=4?

（22）（本小題12分）計劃建造一個深為4m，容積為31600m的長方體蓄水池，若池壁每平方米的造

價為20元，池底每平方米的造價為40元，問池壁與池底造價之和最低為多少元？

解設池底邊長為

x

、y，池壁與池底造價的造價之和為

u

，則

1600

400

4

xy??，

400

y

x

?

400400

40204(22)40400204(22)16000160()uxyxyxx

xx

?????????????

2

20

16000160()40x

x

??

????

??

??

故當

20

0x

x

??，即當20x?時，池壁與池底的造價之和最低且等于：

400400

16000160()16000160(20)22400()

20

ux

x

?????????元

答：池壁與池底的最低造價之和為22400元

2003年

（3）下列函數中，偶函數是

（A）33xxy???（B）233yxx??（C）1sinyx??（D）tanyx?

（10）函數3221yxx???在1x?處的導數為

（A）5（B）2（C）3（D）42

11

(62)624

xx

yxx

??

?

??

?????

??

（11）2lg(1)yxx???的定義域是

（A）??1xx??（B）??2xx?（C）??12xxx???或（D）?

（17）設函數2(-1)22fttt???，則函數2()1fxx??

（20）（本小題11分）設()fxax?，

()

b

gx

x

?

，

1

(2)g()=8

2

f??

，

11

()g(3)=

33

f?

，求ab、的值.

解依題意得：

1

(2)()228

2

11

()(3)

3333

fgab

ab

fg

?

?????

?

?

?

????

?

，

?2

1

ab

ab

??

?

?

??

?

即

①

②

，12

12

21

12

aa

bb

???

??

???

??

???

??

解得，

（21）（本小題12分）設22()2fxxaxa????滿足(2)()ffa?，求此函數的最大值.

解依題意得：

2222442aaaaa???????，即240aa???，得：

12

2aa??

222()44(44)(2)8fxxxxxx????????????

，

可見，該函數的最大值是8（當2x?時）

2004年

（10）函數3()sinfxxx??

（A）是偶函數（B）是奇函數（C）既是奇函數又是偶函數（D）既不是奇函數也又是偶函數

（15）3()3fxx??，則(3)=f

?

（A）27（B）18（C）16（D）12

（17）5sin12cosyxx???13

5125

13(sincos)13(sincoscossin)=sincos=

131313

yxxxxx????

??

?????

??

??

（），，

（20）（本小題滿分11分）設函數()yfx?為一次函數，(1)=8f，(2)=1f??，求(11)f

解依題意設()yfxkxb???，得?(1)8

(2)21

fkb

fkb

???

??????

，得?3

5

k

b

?

?

，()35fxx??，(11)=38f

??222lg(1)011201212xxxxxxxxxxx

??

?????????????????????

??

或或

x

y

（22）（本小題滿分12分）在某塊地上種葡萄，若種50株，每株產葡萄70kg；若多種一株，每株減產1kg。

試問這塊地種多少株葡萄才能使產量達到最大值，并求出這個最大值.

解設種

x

（50x?）株葡萄時產量為S，依題意得

??270-(-50)120Sxxxx???

，

0

120

60

221

b

x

a

?????

??（）

，2

0

S=1206060=3600(kg)??

所以，種60株葡萄時產量達到最大值，這個最大值為3600kg.

2005年

（3）設函數2()1fxx??，則(2)fx??

（A）245xx??（B）243xx??（C）225xx??（D）223xx??

（6）函數1yx??的定義域是

（A）??1xx?（B）??1xx?（C）??1xx?（D）??11xxx???或

??1011111xxxxx???????????即：或，

（9）下列選項中正確的是

（A）sinyxx??是偶函數（B）sinyxx??是奇函數

（C）sinyxx??是偶函數（D）sinyxx??是奇函數

（18）設函數()fxaxb??，且

5

(1)

2

f?，(2)4f?，則(4)f的值為7

注：

53

33

(1)

()1(4)417

22

22

(2)241

faba

fxxf

fabb

??

????

??

??????????????????????????????

??

??

????

??

（23）（本小題滿分12分）

已知函數2

1

25yxx???

的圖像交y軸于A點，它的對稱軸為l；函數

2

1xyaa??（）

的圖像交y軸

于B點，且交l于C.

（Ⅰ）求ABC?的面積

（Ⅱ）設3a?，求AC的長

解（Ⅰ）2

1

25yxx???

的對稱軸方程為：

2

1

22

b

x

a

?

?????

依題意可知ABC、、各點的坐標為A(0,5)、B(0,1)、C(1,)a

得：22AB=(00)(51)=4???

在ABC?中，AB邊上的高為1（1x?），因此，

ABC

1

S=41=2

2?

??

（Ⅱ）當3a?時，點C的坐標為C（1，3），故22AC=(0)(5)=5?????

2006年

（4）函數223yxx???的一個單調區間是

（A）??0,??（B）??1,??（C）??,2??（D）??,3??

（7）下列函數中為偶函數的是

（A）

2xy?（B）2yx?（C）

2

logyx?（D）2cosyx?

C

A

B

l2

3xy?

2

1

25yxx???

x

y

（8）設一次函數的圖像過點（1，1）和（2，0），則該函數的解析式為

（A）

12

33

yx??（B）

12

33

yx??（C）21yx??（D）2yx??

112

112

110112

3(1)1

11(2)333

yyyy

y

yxyx

xxxxx

??

??

??

???????????

??

?????

??

（10）已知二次函數的圖像交

x

軸于（1，0）和（5，0）兩點，則該圖像的對稱軸方程為

（A）1x?（B）2x?（C）3x?（D）4x?

（17）已知P為曲線3yx?上的一點，且P點的橫坐標為1，則該曲線在點P處的切線方程是

（A）320xy???（B）340xy???（C）320xy???（D）320xy???

??2

11

33,(1,1),13(1)320

xx

kyxPyxxy

??

??

?

??????????

??

點的坐標：

（20）直線

32yx??

的傾斜角的度數為60

??180<0,tan323,arctan360yx???

??

?

?

?????????

??

??

2007年

（1）函數lg-1yx?（）的定義域為

（A）R（B）??0xx?（C）??2xx?（D）??1xx?

（5）2xy?的圖像過點

（A）

1

(3,)

8

?（B）

1

(3,)

6

?（C）(3,8)??（D）(3,)???

（6）二次函數245yxx???圖像的對稱軸方程為

（A）2x?（B）1x?（C）0x?（D）1x??

（7）下列函數中，既不是奇函數又不是偶函數的是

（A）

2

1

()

1

fx

x

?

?

（B）2()fxxx??（C）()cos

3

x

fx?（D）

2

()fx

x

?

2

22()()

(B)()()()

()

fxxx

fxxxxx

fx

??

?

????

????????

?

??

?

??

（10）已知二次函數2yxpxq???的圖像過原點和點(40)?，，則該二次函數的最小值為

（A）－8（B）－4（C）0（D）12

22

min

0

(0,0)(4,0)4(2)44

16404

q

yxxxy

pp

???

?

???????????

?

??

????

?

??

函數圖像過和

（18）函數2yxx??在點(1,2)處的切線方程為31yx??

11

(21)3,2(1)31

xx

kyxykxyx

??

?

??????????????

??

（21）設2

1

()

24

x

fxx??，則()fx?22xx?22

1

()(2)22

4

fxxxxx

??

????

??

??

2008年

（5）二次函數222yxx???圖像的對稱軸方程為

（A）1x??（B）0x?（C）1x?（D）2x?

（6）下列函數中為奇函數的是

（A）

3

logyx?（B）3xy?（C）23yx?（D）3sinyx?

（7）下列函數中，函數值恒大于零的是

（A）2yx?（B）2xy?（C）

2

logyx?（D）cosyx?

（8）曲線21yx??與直線ykx?只有一個公共點，則k=

（A）2或2（B）0或4（C）1或1（D）3或7

（9）函數

lg3-yxx??

的定義域是

（A）（0，∞）（B）（3，∞）（C）(0，3]（D）（∞，3]

[由lgx得>0x，由

3-x

得3x?，??????03=0<3xxxxxx???故選（C）]

（13）過函數

6

y

x

?上的一點P作x軸的垂線PQ，Q為垂足，O為坐標原點，則OPQ?的面積為

（A）6（B）3（C）12（D）1

[設Q點的坐標為

x

，則

Q

116

3

22OP

Syxx

x?

????]

五、數列

2001年

(11)在等差數列??

n

a中，8

5

?a，前5項之和為10，前10項之和等于（）

(A)95(B)125(C)175(D)70

注：1555

5

5()5(4)

5(848)

S====10

222

aaada

d

???

??

，=3d

106555

10555

5()5(5+)5(26)

5(2863)

S=S=S=S=10=95

2222

aaadadad????

???

????

(23)(本小題11分)設數列??

n

a，??

n

b滿足1

1

?a，0

1

?b且

nn

nn

n

n

ba

ba

b

a

2

32

1

1

?

?

?

?

?

?

?

?

?,......3,2,1?n。

(i)求證??

nn

ba3?和??nn

ba3?都是等比數列并求其公比；

(ii)求??

n

a，??

n

b的通項公式。

證(i)

??

??

11

-1-1

1272923

014432

nnn

nnn

aab

bab

??

?????

?

?

????

?

?

：，，，，，

：，，，，

??

nn

ba3?:3

nn

ab???????，，，，，

??

nn

ba3?:3

nn

ab???????，，，，，

可見??

nn

ba3?與??nn

ba3?的各項都不為0.

????????11

3=23323=2+3323=2+33

nnnnnnnnnn

ababababab

??

???????

??

??11

3

==2+3

3

nn

nn

ab

q

ab

??

?

?

，所以，??

nn

ba3?是等比數列且其公比為=2+3q

????????11

3=23323=23323=233

nnnnnnnnnn

ababababab

??

?????????

2yx??

2yx?

x

y

2?

22

2

2

2

121

1

221,2

2

yxyxyx

yx

y

yxyxxky

x

yx

?

??

??????????

??

?

??

?

??

??

???????????

?

??

?

?

?

??

的切線就與只有一個公共點，

11

3

=23

3

nn

nn

ab

ab

??

?

?

?

所以，??3

nn

ab?是等比數列且其公比為=23q?

(ii)由1

1

n

n

aaq??得

n1

n1

3=(23)

3=(23)

nn

nn

ab

ab

?

?

?

??

?

?

??

?

?

，得：

n1n1

n1n1

1

=(23)(23)

2

3

=(23)(23)

6

n

n

a

b

??

??

?

??

???

?

??

?

?

??

???

??

?

2002年

（12）設等比數列}{

n

a的公比2?q，且

24

8aa??，則

71

aa?等于（）

（A）8B．16（C）32（D）64

322

2

17424

?8232

a

aaaqaaq

q

??????（）

（24）（本小題12分）數列}{

n

a和數列}{

n

x的通項公式分別是

22

12

12

2??

?

??

nn

n

a

n

，

2

12

(1)1

nn

xnaaa???????。

（Ⅰ）求證{}

n

x是等比數列；

（Ⅱ）記

nn

xxxS?????

21

，求

n

S的表達式。

證（Ⅰ）因>0

n

a，2(1)1>n????，故}{

n

x為正數列。當n>2時

222

12

2

222

1

121

2

2

2

2

(1)1(1)1(1)1

21

===21

22

111

(1)1

1

=2=2

22

1

n

n

n

n

n

naaann

x

n

a

x

nn

naaann

n

n

nn

n

?

?

????????????

?

?

??

?????????

???

?

??

??

可見

}{

n

x的公比是常數2，故}{

n

x是等比數列。

（Ⅱ）由

1

3

5212

5

x???，

1

2n

n

x

q

x

?

??得：

3

1

12

32332

(1)

2(12)

2(21)(21)(21)(22)

1

12

2222(2)(2)222

n

n

nn

nn

nnnn

aq

Sxxx

q

????

?

?

???????????????

?

?

????????

2003年

（23）已知數列??

n

a的前

n

項和23

nn

Sa??.

（Ⅰ）求??

n

a的通項公式，

（Ⅱ）設

2

n

n

n

na

b?，求數列??

n

b的前n項和.

解（Ⅰ）當1n?時，

111

23aSa???，故

1

3a?，

當2n?時，

-111

23(23)22

nnnnnnn

aSSaaaa

??

????????，

故

1

2

nn

aa

?

?，1

11

2

2nn

nn

aa

q

aa

?

??

???，所以，11

1

32nn

n

aaq?????

（Ⅱ）

1323

2

22

n

n

n

nn

na

nn

b

???

???，

∵

1

3

2

3(1)1

2

n

n

n

b

n

q

bnn

?

???

??

，∴??

n

b

不是等比數列

∵

1

3(1)

33

222nn

n

n

dbb

?

?

?????，∴??

n

b

是等差數列

??

n

b

的前n項和：1

33

()

()

3

22

(1)

224

n

n

nn

bbn

n

Sn

?

??

????

2004年

（7）設??

n

a為等差數列，

5

9a?，

15

39a?，則

10

a?

（A）（B）（C）（D）

1510515

1

9,2182,()24

2

aadaaadaaaaaaa

??

?????????????

??

??

是的等差中項，和

（23）（本小題滿分12分）設??

n

a為等差數列且公差d為正數，

234

15aaa???，

2

a，

3

1a?，

4

a成

等比數列，求

1

a和d.

解由

2343

315aaaa????，得

3

5a?，

24

10aa?????????①

由

2

a，

3

1a?，

4

a成等比數列，得22

243

(1)(51)16aaa?????②

由24

24

10

16

aa

aa

??????????

?

?

?

?

①

②

，得1

2

2

23

2

8(,)

a

aa

????????

?

?

?

?

?

?

大于舍去

，32

12

523

231

daa

aad

?????

?

?

??????

?

2005年

（13）在等差數列??

n

a中，

3

1a?，

8

11a?，則

13

a?

（A）（B）（C）（D）22

83133

831381331383

(83)1511,2,(133)110110221

2==2=2111=21

aadddaadd

aaaaaaaaa

????????????????

??

??

???

??

或者這樣解：是的等差中項和，+，

（22）（本小題滿分12分）已知等比數列??

n

a的各項都是正數，

1

2a?，前3項和為14。求：

（Ⅰ）數列??

n

a的通項公式；

（Ⅱ）設

2

log

nn

ba?，求數列??

n

b的前20項之和。

解（Ⅰ）

3

32

1

3

(1)

2(1)2(1)(1)

14

111

aq

qqqq

S

qqq

?

????

????

???

，

得26qq??，1

2

,

2

3()

q

q

?

?

?

??

?

不合題意舍去

，所以，11

1

222nnn

n

aaq??????

（Ⅱ）

22

loglog2n

nn

ban???

，

數列??

n

b的前20項的和為

20

(120)20

12320210

2

S

??

???????

2006年

（6）在等差數列??

n

a中，

3

1a?，

5

7a??，則

7

a?

（A）11（B）13（C）15（D）17

??

5375

(73)127,4,272(4)=15aadddaad?????????????????

（22）（本小題12分）已知等比數列??

n

a中，

3

16a?，公比

1

2

q?。求：

（Ⅰ）數列??

n

a的通項公式；

（Ⅱ）數列??

n

a的前7項的和。

解（Ⅰ）2

31

aaq?，

2

1

1

=16

2

a

??

?

??

??

，

1

=64a，

1

17617

1

1

642222

2

n

nnnn

n

aaq

?

????

??

???????

??

??

（Ⅱ）

7

7

1

7

1

641

2

(1)

11

1281=1281127

1

12128

1

2

naq

S

q

??

??

?

??

??

??

??

?

??

????

??

??????

??

????

?

????

??

??

?

2007年

（13）設等比數列??

n

a的各項都為正數，

1

1a?，

3

9a?，則公比q?

（A）3（B）2（C）－2（D）－3

（23）（本小題滿分12分）已知數列??

n

a的前n項和為(21)

n

Snn??,

（Ⅰ）求該數列的通項公式；

（Ⅱ）判斷

39

n

a?是該數列的第幾項.

解（Ⅰ）當2n?時，??

-1

(21)(1)2(1)141

nnn

aSSnnnnn??????????

當1n?時，

11

1(211)3aS??????，滿足41

n

an??，

所以，

41

n

an??

（Ⅱ）

4139

n

an???，得10n?.

2008年

（15）在等比數列??

n

a中,

2

=6a，

4

=24a，

6

=a

（A）8（B）24（C）96

2

2

2

4

2646

2

24

96

6

a

aaaa

a

??

?????

??

??

（D）384

（22）已知等差數列??

n

a中，

1

9a?，

38

0aa??

（Ⅰ）求等差數列的通項公式

（Ⅱ）當

n

為何值時，數列??

n

a的前

n

項和

n

S取得最大值，并求該最大值

解（Ⅰ）設該等差數列的公差為d，則

31

2aad??，

81

7aad??，

38111

27290aaadadad????????

將

1

9a?代入

1

290ad??得：2d??，

該等差數列的通項公式為

1

(-1)9(-1)(2)112

n

aandnn????????

（Ⅱ）數列??

n

a的前

n

項之和

2

1

()

(9112)

10

22

n

n

naa

nn

Snn

?

??

????

1020

n

Sn

?

???令，5n?，2

max5

(10)25

nn

Snn

?

???

六、導數

2001年

(22)(本小題11分)某種圖書定價為每本

a

元時，售出總量為b本。如果售價上漲

x

%，預計售出總量將

減少0.5x%，問

x

為何值時這種書的銷售總金額最大。

解漲價后單價為(1)

100

x

a?元/本，售量為

0.5

(1)

100

x

b?本。設此時銷售總金額為y，則：

20.50.50.5

=(1)(1)=(1)

10

xxxx

yabab????,令

0.5

=()=0

10010000

x

yab

?

?，得50x?

所以，50x?時，銷售總金額最大。

2002年

（7）函數21

3

2

yxx???

的最小值是

（A）

5

2

?

（B）

7

2

?

（C）3?（D）4?

2

min

1117

21,,23

2222

yxxy

??

?

????????????

??

??

（）（）

（22）（本小題12分）計劃建造一個深為4m，容積為31600m的長方體蓄水池，若池壁每平方米的造

價為20元，池底每平方米的造價為40元，問池壁與池底造價之和最低為多少元？

解設池底邊長為x、y，池壁與池底造價的造價之和為u，則

1600

400

4

xy??，

400

y

x

?

2

2

400400

40204(22)40400160()16000160()160(1)

400

1020(20)u=

uxyxyxyxu=

x

x

xx

x

?

?

????????????

?????令0，得舍去

，

，

min20

400400

16000160()16000160(20)22400()

20x

ux

x?

??

?????????

??

??

元

答：池壁與池底的最低造價之和為22400元

2003年

（10）函數3221yxx???在1x?處的導數為

（A）5（B）2（C）3（D）42

11

(62)4

xx

yxx

??

??

?

???

??

2004年

（15）3()3fxx??，則(3)=f

?

（A）27??2

3

(3)327

x

fx

?

?

??（B）18（C）16（D）12

2005年

（17）函數(1)yxx??在2x?處的導數值為5

22

(21)5

xx

yx

??

?

?????

??

（21）求函數33yxx??在區間[0,2]的最大值和最小值（本小題滿分12分）

解令22333(1)3(1)(1)0yxxxx

?

????????，得

1

1x?，

2

1x??（不在區間[0,2]內，舍去）

33

012

0,1312,2322

xxx

yyy

???

??????????

可知函數33yxx??在區間[0,2]的最大值為2，最小值為2.

2006年

（17）已知P為曲線3yx?上的一點，且P點的橫坐標為1，則該曲線在點P處的切線方程是

（A）320xy???（B）340xy???（C）320xy???（D）320xy???

??2

11

33,(1,1),13(1)320

xx

kyxPyxxy

??

??

?

??????????

??

點的坐標：

2007年

（12）已知拋物線24yx?上一點P到該拋物線的準線的距離為5，則過點P和原點的直線的斜率為

（A）

44

55

?或（B）

55

44

?或

（C）11?或（D）

33?或

22

1

24=,5441

2

y

ypxyxpxpxyk

x

??

??????????????????

??

??

由和得2

（18）函數2yxx??在點（1，2）處的切線方程為31yx??

［

1

1

(21)3

x

x

kyx

?

?

?

????，2(1)ykx???，即31yx??］

2008年

（8）曲線21yx??與直線ykx?只有一個公共點，則k?

（A）2或2（B）0或4（C）1或1（D）3或7

（25）已知函數425fxxmx???（），且224f

?

?（）

（Ⅰ）求

m

的值

（Ⅱ）求fx（）在區間??22?，上的最大值和最小值

解（Ⅰ）342fxxmx

?

??（），32422224fm

?

?????（），2m??

（Ⅱ）令3342=440fxxmxxx

?

????（），得：

1

0x?，

2

1x??，

3

1x?

=5f（0），1=125=4f???（），=125=4f??（1），=1685=13f??（-2），=1685=13f??（2）

所以，fx（）在區間??22?，上的最大值為13，最小值為4.

七、平面向量

2001年

(18)過點(2,1)且垂直于向量(1,2)??a的直線方程為20xy??。

1

(1,2)21(2)

2

kkykx

??

??

????????

??

??

所在直線的斜率與垂直的直線的斜率所求直線，，aa

2002年

（17）已知向量

(3,4)a?

，向量b與a方向相反，并且

||10b?

，則b等于

(6,8)b???

。

解設(,)bxy?，因向量b與a方向相反（一種平行），故

34

xy

?，即43xy?①，

22?34||||cos180341050abxyab???????????????②

將①與②組成方程組：

43

34=50

xy

xy

?

?

?

???????

?

①

②

，解得：

6

8

x

y

??

?

?

??

?

，故

(6,8)b???

也可這樣簡單分析求解：

因

||5a?

，

||10b?

，

||b

是||a的二倍，b與a方向相反，故

2=2(3,4)=(6,8)ba??????

2003年

(13)已知向量

a

、b滿足||=4a，||=3b，

=30??a,b

，則=?ab

（A）

3

（B）

63=cos=43cos30=63

??

?????

??

ababa,b（C）6（D）12

2004年

（14）如果向量(3,2)??a，(1,2)??b，則(2)()?a+ba-b等于

（A）28（B）20（C）24（D）10

2=2(3,2)=(6,4),2=(6,4)+(1,2)=(5,2)=(3,2)(1,2)=(4,4)

(2)()=(5,2)(4,4)=28

??????????

??

??

????

??

，aa+bab

a+bab

2yx??

2yx?

x

y

2?

22

2

2

2

121

1

221,2

2

yxyxyx

yx

y

yxyxxky

x

yx

?

??

??????????

??

?

??

?

??

??

?????????????

?

??

?

?

?

??

的切線就與只有一個公共點，

2005年

（14）已知向量a,b滿足3?a，4?b，且

a

和b的夾角為120，則??ab

（A）

63

（B）

63?

（C）（D）6

2006年

（3）若平面向量(3,)x?a，(4,3)??b，?ab，則

x

的值等于

（A）1（B）2（C）3（D）4??34(3)0,4xx?????

2007年

（3）已知平面向量

AB=(2,4)?

，

AC=(1,2)?

，則BC=

（A）(3,6)?（B）(1,2)?（C）(3,6)???(1,2)(2,4)=(3,6)????（D）(2,8)??

2008年

（18）若向量2x?（，）a，23??（，）b，//ab，則

x?

4

3

?

24

,

223

x

x

??

???

??

?

??

八、三角的概念

2001年

(5)設角的終邊通過點512P?（，），則??sincot?等于（）

(A)

13

7

(B)

13

7

?(C)

156

79

(D)

156

79

?

22

5121251279

cot=,sin==,cotsin==

(5)12

????

??

?

???

??

????

??

（5）已知

5

1

cossin????，

7

sincos

5

????，則?tan等于（）

（A）

3

4

?（B）

4

3

?（C）1（D）－1

18

8

sincos2sin=

2sin4

5

55

,,tan===

76

2cos63

sincos2cos=

5

55

???

?

?

?

???

??

??

??

??

??

?

??

??

????

??

??

??

??

得

得

①①+②：

②①-②：

2003年

（4）已知<<

2

?

??，則24sinsin=???

（A）sinco??（B）sinco???（C）sin2?（D）sin2??

242222

24

sincos(sincos>0)

sinsin=sin1sin=sincos=sincos=

sincos,(sincos<0)

<<,sin>0,cos<0,sincos<0,sinsin=sincos

2

????

????????

????

?

??????????

??

?

??

?

??

?

?

??

??

??????

??

??

，時

（）

時

∵∴∴

2007年

（11）設

1

sin=

2

?，?為第二象限角，則

cos=?

（A）

3

2

?

=150

cos150=

???

??

??

??

?

???

（B）

2

2

?（C）

1

2

（D）

3

2

九、三角函數變換

2002年

（3）若]2,[???x，

2

3

cos??x，則x等于（）

（A）

6

7?

（B）

3

4?

（C）

3

5?

（D）

6

11?

??

??[,2]

2150()

37

arccos()=210210

21806

2210()

x

xnx

xx

xnx

??

?

??

?

?

??

?

?

?

??

???????????

?

??

?

?

?

??

在第二象限時

在第三象限時

2003年

（19）函數cos3sin3yxx??的最大值是2

222

maxsin61

cos3sin32cos3sin31sin6,=1sin6,2

x

yxxxxxyxyy

?

??

?????????

??

2004年

（9）sincos=

1212

??

（A）

1

2

（B）

1

4

11

sin

264

?

??

??

??

??

原式（C）

3

2

（D）

3

4

（17）函數5sin12cosyxx??的最小值為13

5125

13(sincos)13(sincoscossin)=sincos=

131313

yxxxxx????

??

?????

??

??

（），

2005年

（10）設(0,)

2

?

??，

3

cos=

5

?，則sin2=?

（A）

8

25

（B）

9

25

（C）

12

25

（D）

24

25

2

2

3324

(0,),sin>,sin2=2sincos=21coscos=21=

25525

?

???????

??

??

??

????

??

??

??

??

∵∴0

2006年

（）在ABC?中，C=30?，則cosAcosBsinAsinB?的值等于?

（A）

1

2

（B）

3

2

（C）

1

2

?（D）

3

2

?

22

=cosAcos(150A)sinAsin(150A)

=cosA(cos150cosAsin150sinA)sinA(sin150cosAcos150sinA)

3

=cosAcos150sinAcos150=cos150=

2

??

??

???

??

???

??

??

??

??

??

??

原式

2007年

（19）

sin(45)coscos(45)sin???????

的值為

sin(45)coscos(45)sin=sin(45)=sin45????????

?????

??

十、三角函數的圖像和性質

2001年

(14)函數

xxy3sin33cos??

的最小正周期和最大值分別是（）

(A)

2

1

3

?

，(B)

2

2

3

?

，(C)22?，(D)21?，

13

cos33sin3=2(cos3sin3)=2(sincos3cossin3)=2cos(3)

22

2213

sincoscos(3)=1

322

yxxxxxxx

Tx

???

??

???

?

??

???????

??

??

??

??????

??

??

當時函數取得最大值，，，，2

2005年

（4）函數sin

2

x

y?的最小正周期是

（A）8?（B）4?

2

4

1/2

T

?

?

??

??

??

??

（C）2?（D）

?

（20）（本小題滿分11分）

（Ⅰ）把下表中

x

的角度值化為弧度值，計算tan-sinyxx?的值填入表中：

x

的角度值

x

的弧度值

10

?

tan-sinyxx?

(精確到

（Ⅱ）參照上表中的數據，在下面的直角坐標系中畫出函數tan-sinyxx?在區間0

4

?

??

??

??

，上的圖像

解（Ⅰ）

x

的角度值

x

的弧度值0

20

?

10

?3

20

?

5

?

4

?

tan-sinyxx?

(精確到

0

（Ⅱ）

20

?

10

?3

20

?

4

?

5

?

/xrad

y

0

0.1

0.2

0.3

20

?

10

?3

20

?

4

?

5

?

/xrad

y

0

0.1

0.2

0.3

2006年

（18）函數sin2yx?的最小正周期是?

2007年

(4)函數

1

sin

3

yx?的最小正周期為

（A）

3

?

（B）2?（C）6?（D）8?

2008年

（2）函數ycos

3

x

?的最小正周期是

（A）6?（B）3?（C）2?（D）

3

?

十一、解三角形

2001年

(20)(本小題11分)在ABC?中，已知?45??A，?30??B，AB=23.26，求AC（用小數表示，

結果保留到小數點后一位）。

解

ABAC

=

sinCsinB

，

23.26AC

=

sin(1804530)sin30??

，

23.26sin30

AC=12.0

sin75

?

2002年

（20)（本小題11分）在ABC?中，已知60A???，且

2BCAB?

，求sinC（精確到0.001）。

解

ABBC

=

sinC

sin60

ABAB33

sinC=sin60==0.612

BC2

2AB22

?

2003年

（22）（本小題12分）

如圖，某觀測點B在A地南偏西10方向，由A地出發有一條走向為南偏東12的公路，由觀測點B發

現公路上距觀測點10km的C點有一汽車沿公路向A駛去，到達D點時，測得90DBC??，10BDkm?，

問汽車還要行駛多少km才可到達A地（計算結果保留兩位小數）

解101222BAD????

∵90DBC??，BCBD?，

∴BCD?是等邊直角三角形，45BDC??

452223ABDBDCBAD????????

10

sinsin2310.43()

sin

sin22

BD

ADABDkm

BAD

????

?

答：為這輛汽車還要行駛10.43km才可到達A地

2004年

（21）（本小題滿分12分）已知銳角ABC?的邊長AB=10，BC=8，面

積S=32.求AC的長（用小數表示，結果保留小數點后兩位）

A

B

C

60

2AB

A

東

D

C

B

北

10

12

10km

10km

A

B

C

2

22222

11

S=ABBCsinB=108sinB=32

22

443

sinB=cosB=1sinB=1=

555

3

AC=ABBC2ABBCcosB=1082108=68

5

AC=688.25

????

??

????

??

??

????????

?

2

得：

，

，

解

2006年

（23）（本小題12分）已知在ABC?中，BAC=60?，邊長AB=5，AC=6.

（Ⅰ）求BC的長

（Ⅱ）求ABAC?值

22

22

BC=ABAC2ABACcosBAC

=56256cos60=31

???

?????

（Ⅰ）解

（Ⅱ）ABAC=ABACcosBAC=56cos60=15?????

2007年

（22）（本小題滿分12分）已知ABC?的三個頂點的坐標分別為A（2，1）、B（1，0）、C（3，0），求

（Ⅰ）B?的正弦值；

（Ⅱ）ABC?的面積.

解（Ⅰ）B=45?，

2

sinB=sin45=

2

?

（Ⅱ）ABC?的面積

ABC

1

S=21=1

2?

??

2008年

（20）在ABC?中，若

1

sinA=

3

，C=150?，BC=4，則AB=

sin4sin150

,6

1

sinsinsin

3

BCABBCC

AB

ACA

??

??

????

??

??

??

（23）如圖，塔PO與地平線AO垂直，在A點測得塔頂P的仰角45PAO??，沿AO方向前進至B點，

測得仰角60PBO??，A、B相距44m，求塔高PO。（精確到0.1m）

解由已知條件得：30BPO??，AOPO?，

3

tantan30

3

BOPOBPOPOPO????

3

44

3

ABAOBOPOBOPOPO???????

44

104.1()

3

1

3

POm??

?

十二、直線

2001年

A

60

C

B

5

6

A

BC

12

3

1

0

x

y

P

O

B

A

C

B

A

(18)過點21（，）且垂直于向量(1,2)??a的直線方程。

??(,)(2,1)(2,1)(1,2)=020xyxyxyxy?????????設在所求直線上取點得向量則，，，即：，bab

2002年

（4）點P(3,2)關于y軸的對稱點的坐標為（）

（A）)2,3(?（B）(3,2)?（C）)2,0(（D）)2,3(??

（18）在

x

軸上截距為3且垂直于直線02??yx的直線方程為。

2(2)

11

20,2

2

kyxxyk

k

?

????

??

?????

??

??

的斜率所求直線的斜率為所求直線的方程：，

2003年

（16）點P(12)，到直線21yx??的距離為

00

2222

21(1)21

5

5

2(1)

AxByC

d

AB

??

???????

???

??

?????

??

2004年

（4）到兩定點(1,1)A?和(3,5)B距離相等的點的軌跡方程為.

（A）40xy???（B）50xy???（C）50xy???（D）20xy???

2222(1)(1)(3)(5)40xyxyxy

??

??????????

??

，

（12）通過點(3,1)且與直線1xy??垂直的直線方程是.

（A）20xy???（B）380xy???（C）320xy???（D）20xy???

（20）（本小題滿分11分）設函數()yfx?為一次函數，(1)=8f，(2)=1f??，求(11)f

解依題意設()yfxkxb???，得?(1)8

(2)21

fkb

fkb

???

??????

，得?3

5

k

b

?

?

，()35fxx??，(11)=38f

2005年

（16）過點21（，）且與直線1yx??垂直的直線方程為3yx???

2006年

（8）設一次函數的圖像過點(1,1)）和(2,1)?，則該函數的解析式為

（A）

12

33

yx??（B）

12

33

yx??（C）21yx??（D）2yx??

（20）直線

32yx??

的傾斜角的度數為60??arctan360???

2008年

（14）過點(1,1)且與直線210xy???垂直的直線方程為

（A）210xy???（B）230xy???（C）230xy???（D）210xy???

［直線210xy???的斜率為

1

2

k??，所求直線的斜率為2k

?

?，由點斜式方程可知應選（A）］

（19）若

?

是直線2yx???的傾斜角，則

=?

3

4

?

3

tan1,0,arctan(1)145=

4

?

????

??

???????

??

??

十三、圓

2006年

（24）（本小題12分）

已知o的圓心位于坐標原點,o與

x

軸的正半軸交于A，與y軸的正半軸交于B，AB=22

（Ⅰ）求o的方程；

（Ⅱ）設P為o上的一點，且OP//AB，求點P的坐標。

解（Ⅰ）依題設得

2

22=ABr，

??2

222

AB

=2

22

r??，

故o的方程：224xy??

（Ⅱ）因為A(2,0)，B(0,2)，所以AB的斜率為1?。

過

o

且平行于AB的直線方程為yx??.

由

224

yx

xy

??

?

?

??

?

得：1

1

2

2

x

y

?

?

?

?

??

?

?

，2

2

2

2

x

y

?

??

?

?

?

?

?

所以，點P的坐標為

(2,2)?

或

(2,2)?

2008年

（24）已知一個圓的圓心為雙曲線

22

1

412

xy

??的右焦點，并且此圓過原點.

（Ⅰ）求該圓的方程；

（Ⅱ）求直線

3yx?

被該圓截得的弦長.

解（Ⅰ）224124cab?????，

雙曲線

22

1

412

xy

??的右焦點坐為40（，），

圓心坐標O

?

40（，），圓半徑為4r?。

圓的方程為22416xy???（）

（Ⅱ）因直線

3yx?

的傾角為60，

故OA=OBcosAOB=24cos60=4??

所以，直線

3yx?

被該圓截得的弦長為4

十四、圓錐曲線

2001年

(3)已知拋物線22???axxy的對稱軸方程為1x?,則這條拋物線的頂點坐標為（）

(A))3,1(?(B))1,1(?(C))0,1((D))3,1(??

2

0000

1,2,21(2)123

2

a

xayxax

??

???????????????

??

??

(8)點P為橢圓

22592522??yx上一點，

1

F和

2

F是焦點，則

21

PFPF?的值為（）

(A)6(B)5(C)10(D)3

??22

12

2592255,22510xyaPFPFa???????????

(9)過雙曲線1

936

22

??

yx

的左焦點

1

F的直線與這雙曲線交于A,B兩點，且3?AB，

2

F是右焦點，則

22

BFAF?的值為（）

(A)21(B)30(C)15(D)27

O

?

A

B

22

1

412

xy

??

22416xy???（）

3yx?

x

y

1

P

x

B

A

y

2

P

，

(24)(本小題11分)已知橢圓1

2

2

2

2

??

b

y

a

x

和點P(,0)a，設該橢圓有一關于

x

軸對稱的內接正三角形，

使得P為其一個頂點。求該正三角形的邊長。

解設橢圓的關于

x

軸對稱的內接正三角形為PAB?，??A,xy，則：

3

ax

y

?

?，

??2

2

3

ax

y

?

?，

??2

2

3

ax

y

?

?，

22

22

()

1

3

xax

ab

?

??，

222

222222

22

33

(2)3,1230

bxb

aaxxbxaxab

aa

??

?????????????

??

??

??

????2

42222

222

22

2

2

1

22

222

2

22

3

33

24413

3

22

3

33

212

b

aabab

aaab

ab

a

a

xa

a

x

ab

bab

xa

aa

??

???

????

?

??

?

?

?

?

??

???

?

?

????

?

?

?

?

?

????

????

由于

axa???

，所以，

22

22

3

3

ab

xa

ab

?

?

?

因

-

3

ax

y

?，

-

3

ax

y?，AB=2y，于是PAB?的邊長為

2222222

222222

-22323343

AB=2211==

333

3333

axaxaabaababab

y

a

ababab

??

????

??

?????

??

??

???

??

??

2002年

（8）平面上到兩定點)0,7(

1

?F，)0,7(

2

F距離之差的絕對值等于10的點的軌跡方程為（）

（A）

2

21

10016

y

x

??（B）

2

21

10049

y

x

??（C）

2

21