羅爾中值定理

內容概要

名稱主要內容（3.1、3.2）

3.1

中值

定理

名稱條件結論

羅爾

中值

定理

)(xfy?：（1）在][a,b上連續；（2）在)(a,b

內可導；（3）)()(bfaf?

至少存在一點)(a,bξ?使得

0)(/?ξf

拉格

朗日

中值

定理

)(xfy?：（1）在][a,b上連續；（2）在)(a,b

內可導

至少存在一點)b,a(??使得

)(/ξf

ab

afbf

?

?

?

)()(

柯西

中值

定理

)(xf、)(xg：（1）在][a,b上連續，在)(a,b

內可導；（2）在)(a,b內每點處0)(/?xg

至少存在一點)(a,bξ?使得

ab

afbf

ξg

ξf

?

?

?

)()(

)(

)(

/

/

3.2

洛必

達

法則

基本形式

0

0

型與

?

?

型未定式

通分或取倒數化為

基本形式

1）???型：常用通分的手段化為

0

0

型或

?

?

型；

2）??0型：常用取倒數的手段化為

0

0

型或

?

?

型，即：

00

0

1/0

????

?

或0

1/0

??

????

?

；

取對數化為

基本形式

1）

00型：取對數得

00ln00e??，其中

00

0ln00

1/0

??????

?

或0ln00

1/0

??

??????

?

；

2）

?1型：取對數得

ln11e????，

其中

00

ln10

1/0

???????

?

或ln10

1/0

??

???????

?

；

3）

0?型：取對數得

????ln00e，

其中

00

0ln0

1/0

???????

?

或0ln0

1/0

??

???????

?

。

課后習題全解

習題3-1

★1.下列函數在給定區間上是否滿足羅爾定理的所有條件？如滿足，請求出滿足定理的數值?。

（1）]511[32)(2.,,xxxf????；（2）]30[3)(,,xxxf??。

知識點：羅爾中值定理。

思路：根據羅爾定理的條件和結論，求解方程0)(/?ξf，得到的根ξ便為所求。

解：（1）∵32)(2???xxxf在]511[.,?上連續，在)5.1,1(?內可導，且0)51()1(???.ff，

∴32)(2???xxxf在]511[.,?上滿足羅爾定理的條件。令()410fξξ

?

???得

)511(

4

1

.,ξ???即為所求。

（2）∵xxxf??3)(在]30[,上連續，在)30(,內可導，且0)3()0(??ff，

∴xxxf??3)(在]30[,上滿足羅爾定理的條件。令

()30

23

ξ

fξξ

ξ

?

????

?

，得)30(2,ξ??即為所求。

★2.驗證拉格朗日中值定理對函數25423????xxxy在區間]10[,上的正確性。

知識點：拉格朗日中值定理。

思路：根據拉格朗日中值定理的條件和結論，求解方程

(1)(0)

()

10

ff

fξ

?

?

?

?

，若得到的根]10[,ξ?則

可驗證定理的正確性。

解：∵

32()452yfxxxx?????在]10[,連續，在)10(,內可導，∴25423????xxxy在

區間]10[,上滿足拉格朗日中值定理的條件。又2)0(2)1(????,ff，

2()12101fxxx

?

???，

∴要使

(1)(0)

()0

10

ff

f?

?

?

??

?

，只要：

513

(01)

12

,?

?

??，

∴

513

(01)

12

,?

?

???，使

(1)(0)

()

10

ff

fξ

?

?

?

?

，驗證完畢。

★3.已知函數

4)(xxf?在區間]21[,上滿足拉格朗日中值定理的條件，試求滿足定理的ξ。

解：要使

(2)(1)

()

21

ff

fξ

?

?

?

?

，只要

3

3

15

415

4

ξ????，從而

315

(12)

4

ξ,??即為滿足定理

的?。

★★4.試證明對函數rqxpxy???2

應用拉格朗日中值定理時所求得的點ξ總是位于區間的正中間。

證明：不妨設所討論的區間為][a,b，則函數rqxpxy???2

在][a,b上連續，在)(a,b內可導，從

而有

()()

()

fbfa

fξ

ba

?

?

?

?

，即

ab

rqaparqbpb

qξ

?

?????

??

)()(

2

22

，

解得

2

ab

ξ

?

?，結論成立。

★5.函數

3)(xxf?與1)(2??xxg在區間]21[,上是否滿足柯西定理的所有條件？如滿足，請求出滿

足定理的數值ξ。

知識點：柯西中值定理。

思路：根據柯西中值定理的條件和結論，求解方程

()()()

()()()

fξfbfa

gξgbga

?

?

?

?

?

，得到的根ξ便為所求。

解：∵

3)(xxf?及

2g()1xx??在]21[,上連續，在)21(,內可導，且在)21(,內的每一點處有

()20gxx

?

??，所以滿足柯西中值定理的條件。要使

()(2)(1)

()(2)(1)

fξff

gξgg

?

?

?

?

?

，只要

3

7

2

32

?

ξ

ξ

，解

得)21(

9

14

,ξ??，ξ即為滿足定理的數值。

★★★6.設)(xf在]10[,上連續，在)10(,內可導，且0)1(?f。求證：

存在)10(,ξ?，使

()

()

fξ

fξ

ξ

?

??。

知識點：羅爾中值定理的應用。

思路：從

ξ

ξf

ξf

)(

)(/??結論出發，變形為0)()(/??ξfξξf，構造輔助函數使其導函數為

)()(/xfxxf?，然后再利用羅爾中值定理，便得結論。構造輔助函數也是利用中值定理解決問題時常

用的方法。

證明：構造輔助函數)()(xxfxF?，()()()Fxfxxfx

??

??

根據題意)()(xxfxF?在]10[,上連續，在)10(,內可導，且0)1(1)1(???fF，

0)0(0)0(???fF，從而由羅爾中值定理得：存在)10(,ξ?，使

()()()0Fξfξξfξ

??

???，即

()

()

fξ

fξ

ξ

?

??。

注：輔助函數的構造方法一般可通過結論倒推，如：要使

()

()

fx

fx

x

?

??，只要

()1[()]

[ln()][ln][ln()]00[()]0

()()

fxxfx

fxxxfxxfx

fxxxfx

??

????

???????????

∴只要設輔助函數)()(xxfxF?

★★7.若函數)(xf在)(a,b內具有二階導函數，且)()()(

321

xfxfxf??

)(

321

bxxxa????，證明：在)(

31

,xx內至少有一點ξ，使得()0fξ

??

?。

知識點：羅爾中值定理的應用。

思路：連續兩次使用羅爾中值定理。

證明：∵)(xf在)(a,b內具有二階導函數，∴)(xf在][

21

,xx、][

32

,xx內連續，

在)(

21

,xx、)(

32

,xx內可導，又)()()(

321

xfxfxf??，

∴由羅爾定理，至少有一點)(

211

,xxξ?、)(

322

,xxξ?，

使得

1

()0fξ

?

?、

2

()0fξ

?

?；又()fx

?在][

21

,ξξ上連續，在)(

21

,ξξ內可導，

從而由羅爾中值定理，至少有一點??)(

21

,ξξξ)(

31

,xx，使得()0fξ

??

?。

★★8.若4次方程0

43

2

2

3

1

4

0

?????axaxaxaxa有4個不同的實根，證明：

0234

32

2

1

3

0

????axaxaxa

的所有根皆為實根。

知識點：羅爾中值定理的應用。

思路：討論方程根的情況可考慮羅爾中值定理。

證明：令

43

2

2

3

1

4

0

)(axaxaxaxaxf?????

則由題意，)(xf有4個不同的實數零點，分別設為

4321

,x,x,xx，

∵)(xf在][

21

,xx、][

32

,xx、][

43

,xx上連續，在)(

21

,xx、)(

32

,xx、)(

43

,xx上可導，

又0)()()()(

4321

????xfxfxfxf，

∴由羅爾中值定理，至少有一點)(

211

,xxξ?、)(

322

,xxξ?、)(

433

,xxξ?

使得

123

()()()0fξfξfξ

???

???，即方程0234

32

2

1

3

0

????axaxaxa至少有3個實根，又

三次方程最多有3個實根，從而結論成立。

★★★9.證明：方程015???xx只有一個正根。

知識點：零點定理和羅爾定理的應用。

思路：討論某些方程根的唯一性，可利用反證法，結合零點定理和羅爾定理得出結論。零點定理往往用來

討論函數的零點情況；羅爾定理往往用來討論導函數的零點情況。

解：令1)(5???xxxf，∵)(xf在]10[,上連續，且01)1(??f，01)0(???f，

∴由零點定理，至少有一點)10(,ξ?，使得01)(5????ξξξf；

假設015???xx有兩個正根，分別設為

1

ξ、

2

ξ（

21

ξξ?），

則)(xf在在][

21

,ξξ上連續，在)(

21

,ξξ內可導，且0)()(

21

??ξfξf，

從而由羅爾定理，至少有一點)(

21

,ξξξ?，使得

4()510fξξ

?

???，這不可能。

∴方程015???xx只有一個正根。

★★10.不用求出函數)4)(3)(2)(1()(?????xxxxxf的導數，說明方程()0fx

?

?有幾個實根，

并指出它們所在的區間。

知識點：羅爾中值定理的應用。

思路：討論導函數的零點，可考慮利用羅爾中值定理。

解：∵)4)(3)(2)(1()(?????xxxxxf在]21[,、]32[,、]43[,上連續，

在)21(,、)32(,、)43(,內可導，且0)4()3()2()1(????ffff，

∴由羅爾中值定理，至少有一點)21(

1

,ξ?、)32(

2

,ξ?、)43(

3

,ξ?，

使得

123

()()()0fξfξfξ

???

???，即方程()0fx

?

?至少有三個實根，

又方程()0fx

?

?為三次方程，至多有三個實根，

∴()0fx

?

?有3個實根，分別為)21(

1

,ξ?、)32(

2

,ξ?、)43(

3

,ξ?。

★★★11.證明下列不等式：

（1）baba???arctanarctan；（2）當1?x時，exex?；

（3）設0?x，證明xx??)1(ln；（4）當0?x時，

xx?

??

1

1

)

1

1(ln。

知識點：利用拉格朗日中值定理。

思路：用拉格朗日中值定理證明不等式的過程：尋找函數()yfx?，通過式子

()()

()

fbfa

fξ

ba

?

?

?

?

（或()()()()fbfafξba

?

???）證明的不等式。

證明：（1）令xxfarctan)(?，∵)(xf在][a,b上連續，在)(a,b內可導，

∴由拉格朗日中值定理，得

2

1

arctanarctan()()

1

abfξbababa

ξ

?

???????

?

。

（2）令

xexf?)()1(?x，∵)(xf在]1[,x上連續，在)1(,x內可導，

∴由拉格朗日中值定理，得eex?)(xeξ1??，

∵xξ??1，∴eexxexeeeξx???????)1()1(，從而當1?x時，exex?。

（3）令)1ln()(xxf??)0(?x，∵)(xf在]0[,x上連續，在)0(,x內可導，

∴由拉格朗日中值定理，得

1

ln(1)ln(1)ln(10)()(0)

1

xxfξxx

ξ

?

????????

?

，

∵xξ??0，∴xx

ξ

?

?1

1

，即0?x，xx??)1ln(。

（4）令xxfln)(?)0(?x，∵)(xf在]1[xx,?上連續，在)1(xx,?內可導，

∴由拉格朗日中值定理，得

11

ln(1)ln(1)ln()(10)xxfξ

xξ

?

???????，

∵xξx???1，∴

xξ?

?

1

11

，即當0?x時，

xx?

??

1

1

)

1

1ln(。

★★12.證明等式：)1(

1

2

arcsinarctan2

2

??

?

?xπ

x

x

x.

知識點：()0()fxfxC

?

???（C為常數）。

思路：證明一個函數表達式)(xf恒等于一個常數，只要證()0fx

?

?

證明：令)1(

1

2

arcsinarctan2)(

2

?

?

??x

x

x

xxf，

當1?x時，有π??1arcsin1arctan2；當1?x時，有

22

22222

2

2

2

212(1)222122

()

1(1)1(1)

1

2

1()

1

xxxx

fx

xxxx

x

x

x

????

?

??????

????

?

?

?

?

0)

1

2

(

1

2

22

?

?

??

?xx

，∴()(1)fxCf????；

∴)1(

1

2

arcsinarctan2

2

??

?

?xπ

x

x

x成立。

★★★13.證明：若函數)(xf在)(???,-內滿足關系式()()fxfx

?

?，且1)0(?f，則

xexf?)(。

知識點：()0()fxfxC

?

???

思路：因為()()1xxfxeefx????，所以當設()()xFxefx??時，只要證()0Fx

?

?即可

證明：構造輔助函數()()xFxefx??，

則()()()0xxFxefxefx????

???；

∴()(0)1xF(x)efxCF?????

∴

xexf?)(。

★★★14.設函數)(xf在][a,b上連續，在)(a,b內有二階導數，且有

bcac,fbfaf)(0)(0)()(?????，

試證在)(a,b內至少存在一點ξ，使()0fξ

??

?。

知識點：拉格朗日中值定理的應用。

思路：關于導函數)()(ξfn

在一點處符號的判斷，根據已知條件和拉格朗日中值定理的結論，逐層分析

各層導函數改變量和自變量改變量的符號，得出結論。

證明：∵)(xf在][a,c、][c,b上連續，在)(a,c、)(c,b內可導，

∴由拉格朗日中值定理，至少有一點)(

1

a,cξ?、)(

2

c,bξ?，

使得

2

()()

()0

fcfb

fξ

cb

?

?

??

?

，

1

()()

()0

fafc

fξ

ac

?

?

??

?

；

又()fx

?

在][

21

,ξξ上連續，在)(

21

,ξξ內可導，從而至少有一點)(

21

,ξξξ?，

使得

21

21

()()

()0

fξfξ

fξ

ξξ

??

?

??

??

?

。

★★★15.設)(xf在][a,b上可微，且()0()0()()fa,fb,fafbA,

??

??

????試證明)(/xf在

)(a,b內至少有兩個零點。

知識點：極限的保號性、介值定理、微分中值定理。

思路：要證明在某個區間)(a,b內導函數至少存在兩個零點，只要證該函數在][a,b上有三個零點，即可

以利用羅爾中值定理，得出結論。

證明：∵

()()

()lim0

xa

fxfa

fa

xa?

?

?

?

?

??

?

，由極限的保號性知，

)(

1

a,δ

?

??（不妨設

21

b-a

δ?），對于)(

1

a,δx

?

???，均有0

)()(

?

?

?

ax

afxf

，

特別地，)(

11

a,δx

?

???，使得0

)()(

1

1?

?

?

ax

afxf

，∴得Aafxf??)()(

1

；

同理，由()0fb,

?

?

?得)(

22

b,δx

?

???（

22

b-a

δ?），使得0

)()(

2

2?

?

?

bx

bfxf

，

從而得Abfxf??)()(

2

；

又∵)(xf在][

21

,xx上連續，∴由介值定理知，至少有一點)(

21

,xxξ?使得Aξf?)(；

∵)(xf在][a,ξ、][ξ,b上連續，在)(a,ξ、)(ξ,b內可導，且Abfξfaf???)()()(，

∴由羅爾中值定理知，至少有一點)(

1

a,ξξ?、)(

2

ξ,bξ?，使得

12

()()0fξfξ

??

??，結論成立。

★★★16.設)(xf在閉區間][a,b上滿足()0fx

??

?，試證明存在唯一的bcc,a??，使得

()()

()

fbfa

fc

ba

?

?

?

?

。

知識點：微分中值定理或函數單調性的應用。

思路：證明唯一性的題目或考慮利用反證法；或正面論述。此題用反證法和羅爾中值定理，或利用函數的

單調性得出結論。

證明：存在性。

∵)(xf在][a,b上連續，在)(a,b內可導，∴由拉格朗日中值定理知，至少有一點)(a,bc?，使得

()()

()

fbfa

fc

ba

?

?

?

?

。

唯一性的證明如下：

方法一：利用反證法。假設另外存在一點)(a,bd?，使得

()()

()

fbfa

fd

ba

?

?

?

?

，

又∵()fx

?

在][c,d（或][d,c）上連續，在)(c,d（或)(d,c）內可導，

∴由羅爾中值定理知，至少存在一點)()(a,bc,dξ??（或)()(a,bd,cξ??），使得()0fξ

??

?，

這與)(xf在閉區間][a,b上滿足()0fx

??

?矛盾。從而結論成立。

方法二：∵)(xf在閉區間][a,b上滿足()0fx

??

?，∴()fx

?

在][a,b單調遞增，

從而存在存在唯一的)(a,bc?，使得

()()

()

fbfa

fc

ba

?

?

?

?

。結論成立。

★★★17.設函數)(xfy?在0?x的某個鄰域內具有n階導數，且

(1)(0)(0)(0)0nfff,??

????試用柯西中值定理證明：

)10(

)()()(

???θ

n!

θxf

x

xfn

n

。

知識點：柯西中值定理。

思路：對)(xf、

nxxg?)(在]0[,x上連續使用n次柯西中值定理便可得結論。

證明：∵)(xf、

nxxg?)(及其各階導數在]0[,x上連續，在)0(,x上可導，

且在)0(,x每一點處，

(1)()!0ngxnx???，又

(1)(0)(0)(0)0nfff,??

????，

∴連續使用n次柯西中值定理得，

(1)(1)

1

11

11(1)

111

()(0)

()()(0)

()()(0)

(0)(0)(0)

nn

n

nnnnn

n

fξf

ffξf

fxfxf

xxgnnξgn!ξg

?

?

??

?

???

?

???

?

?

?

?????

?

???

)10(

)()(

???θ

n!

θxfn

，從而結論成立。

習題3-2

★★1.用洛必達法則求下列極限：

（1）

x

eexx

xsin

lim

0

?

?

?

；（2）

x-a

ax

ax

sinsin

lim

?

?

；（3）

2

2

)2(

sinln

lim

xπ-

x

π

x?

；（4）

xarc

x

xcot

)

1

1ln(

lim

?

???

；

（5）

x

x

x2tanln

7tanln

lim

0??

；（6）

ee

xx

x

x?

??

?

ln1

lim

3

1

；（7）

xx-

xx

xsin

tan

lim

0

?

?

；（8）xx

x

2cotlim

0?

；

（9）2

1

2

0

limx

x

ex

?

；（10）)1(lim

1

?

??

x

x

ex；（11）)

1

11

(lim

0?

?

?

x

xe

x

；（12）)

ln

1

1

(lim

1xx-

x

x

?

?

；

（13）

x

xx

a

)1(lim?

??

；（14）

x

x

xsin

0

lim

??

；（15）

x

xx

tan

0

)

1

(lim

??

；（16）

xx-

xex

xarctan

1)1ln(

lim

0

???

?

；

（17）

x

x

x

1

0

)sin1(lim?

?

；（18）

x

xx

)

1

(lnlim

0??

；（19）

x

x

xx

1

2)1(lim??

???

；（20）

2)

1

tan(limn

nn

n

????

。

知識點：洛必達法則。

思路：注意洛必達法則的適用范圍。該法則解決的是未定型的極限問題，基本形式為：

0

0

型與

?

?

型未定

式，對于這種形式可連續使用洛必達法則；對于???型與??0型的未定式，可通過通分或者取倒數的

形式化為基本形式；對于

00型、

?1型與

0?型的未定式，可通過取對數等手段化為未定式；此外，還可

以結合等價無窮小替換、兩個重要的極限、換元等手段使問題簡化。

解：（1）2

cos

lim

sin

lim

00

?

?

?

??

?

?

?x

ee

x

eexx

x

xx

x

；

（2）a

x

ax

ax

axax

cos

1

cos

lim

sinsin

lim??

?

?

??

；

（3）

8

1

8

sin

lim

)2(4

cos

lim

)2(4

sin

cos

lim

)2(

sinln

lim

222

2

2

??

?

?

?

?

?

?

?????

x

πx

x

πx

x

x

xπ

x

π

x

π

x

π

x

π

x

；

（4）1

)1(

1

lim

1

1

)1(

1

lim

cot

)

1

1ln(

lim

2

2

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?????????xx

x

x

xx

xarc

x

xxx

；

（5）1

7cos27tan

2tan2cos7

lim

2tan

2c2

7tan

7c7

lim

2tanln

7tanln

lim

2

2

0

2

2

00

?

?

?

??

??????xx

xx

x

x

x

x

x

x

xxx

；

（6）

e

e

x

x

ee

xx

x

x

x

x

4

1

3

lim

ln1

lim

2

1

3

1

?

?

?

?

??

??

；

（7）

22

3

0000

tanc12tanc2

limlimlimlim2

sin1cossincosxxxx

xxxxx

xxxxx????

??

????

??

；

（8）

2

1

2c2

1

lim

2tan

lim2cotlim

2

000

???

???x

x

x

xx

xxx

；

（9）????

?

?

??

????

2

2

2

2

1

0

3

1

3

0

2

1

0

1

2

0

lim

2

2

lim

1

limlimx

x

x

x

x

x

x

x

e

x

e

x

x

e

ex；

（或解為：

2

2

1

1

2

0

limlimlim

1

u

uu

x

x

xuu

ee

xe

u

?

???????

?????）

（10）1lim

1

1

lim

1

)1(

lim)1(lim

1

2

1

2

1

1

??

?

?

?

?

??

????????

x

x

x

x

x

x

x

x

e

x

e

x

x

e

ex；

（或解為：∵當x??時，

11

1~xe

x

?，∴

1

1/11/

lim(1)limlim1

1/1/

x

x

xxx

ex

xe

xx??????

?

????）

（11）

(1)~

2

0000

111111

lim()limlimlim

1(1)22

xxxx

ex

xx

xxxx

exexe

xexexx

?

????

?????

?????

??

；

（12）

2

1

2ln

ln1

lim

1

ln

ln

lim

ln)1(

1ln

lim)

ln

1

1

(lim

1111

?

?

?

?

?

?

?

?

??

??

?????x

x

x

x

x

x

xx

xxx

xx

x

xxxx

；

（或解為：

ln(1)~

1

2

100

ln1(1)ln(1)(1)ln(1)

limlimlim

(1)lnln(1)

uu

ux

xuu

xxxuuuuuu

xxuuu

?

??

???

????????

??

??

0

ln(1)1

lim

22u

u

u?

?

??）

（13）

ln(1)

limln(1)limlim

11lim(1)xxx

aa

a

xx

x

xa

x

x

xx

a

e

x

eee??????

?

?

??

?????；

（14）0000

ln1tansin

limsinlnlimlimlim

sin0

csccotcsc

0

lim1xxxx

xxx

xx

x

xxxxx

x

xeeeee????

????

?

??

?

??????；

（15）

2

2

000

1

lnsin

limlimlim

tan0

cot

csc

0000

1

lim()limlimlim1xxx

xx

x

x

xx

x

xxxx

eeee

x

???

???

????

?

?

?

????

?????；

（16）

2

2

0

2

00)1(

)1)(1(

lim

1

1

1

1

1

lim

arctan

1)1ln(

lim

xx

exex

x

x

e

xx

xexx

x

x

x

x

x?

???

?

?

?

?

?

?

?

???

???

2

00

(1)1

limlim

22

xxx

xx

xeexe

xx??

??

??????；

（17）eeexx

x

x

x

x)(

x

x

x

xx?????

?

?

??

??sin1

cos

lim

0

sin1ln

lim

0

1

0

00limlim)sin1(lim；

（18）

0

0

2

00

11

()

ln[ln]

ln

lim

lim

1

1

1

limlim

ln1/

0

1

lim(ln)1x

x

xx

x

xx

x

x

xx

xx

x

eeee

x

?

?

?

?

??

??

?

??

?

?

??

?

?

?????；

（19）1)1(lim22

2

2

1

1

lim

1

1

1

lim

)1ln(

lim

1

2?????????

?

?

??

???

??????

???xxx

x

x

x

xx

x

x

xx

xeeexx；

（20）令

2)

1

tan()(x

x

xxf?，則

2

2

2

0

1

lntanln

1

lim

0

1tan

lim(tan)lim()t

t

tt

x

x

t

t

x

t

t

xe

xt

?

?

?

?

?

???

?

??

22

23323

0000

1

sin2

ctanctansincos

2

limlimlimlim

2tan22cos2tttt

tt

ttttttttt

tttttteeee????

????

?

???

????

2

2

22

00

(1cos)~

1cos22

1

limlim

2

66

3tt

x

x

tt

tteee??

??

?

?

????

∴2

1

3

1

lim(tan)n

n

ne

n????

?

★★2.驗證極限

x

xx

x

sin

lim

?

??

存在，但不能用洛必達法則求出。

知識點：洛必達法則。

思路：求導后極限如果不存在，不能說明原式極限不存在，只能說洛必達法則失效。洛必達法則不能解決

所有的未定型極限問題。

解：∵101)

sin

1(lim

sin

lim?????

?

????x

x

x

xx

xx

，∴極限

x

xx

x

sin

lim

?

??

存在；

若使用洛必達法則，得

x

xx

x

sin

lim

?

??

x

x

xx

coslim1

1

cos1

lim

????

??

?

?，

而x

x

coslim

??

不存在，所以不能用洛必達法則求出。

★★★3.若)(xf有二階導數，證明

2

0

()2()()

()lim

h

fxhfxfxh

fx

h?

????

??

?。

知識點：導數定義和洛必達法則。

思路：使用洛必達法則，對極限中的函數上下求關于h的導數，然后利用導數定義得結論。

證明：∵

2

00

()2()()()()

limlim

2hh

fxhfxfxhfxhfxh

hh??

??

???????

?

0

()()()()

lim

2h

fxhfxfxfxh

h?

????

?????

?

//

00

1()()1()()

limlim()

22hh

fxhfxfxhfx

fx

hh??

????

????

???

?

，∴結論成立。

★★★4.討論函數

?

?

?

?

?

?

?

?,e

,

e

x

xf

x

x

2

1

1

1

]

)1(

[

)(

0

0

?

?

x

x

在點0?x處的連續性。

知識點：函數在一點連續的概念。

思路：討論分段函數在分段點處的連續性，要利用函數在一點處左、右連續的概念。

解：∵

1

2

000

1

1

1

1(1)ln(1)

1

limlnlimlim

1

2

00

(1)

lim()lim[]

x

xxx

xxx

x

x

xex

x

x

xx

x

fxeee

e

???

???

??

?

???

?

??

?

????

0

11

lim

21

x

xe?

?

?

??)0(2

1

fe???

，∴)(xf在0?x處右連續；

又∵)0()(lim2

1

0

fexf

x

???

??

，∴)(xf在0?x處左連續；

從而可知，

?

?

?

?

?

?

?

?,e

,

e

x

xf

x

x

2

1

1

1

]

)1(

[

)(

0

0

?

?

x

x

在點0?x處連續。

★★★5.設)(xg在0?x處二階可導，且0)0(?g。試確定a的值使)(xf在0?x處可導，并求

(0)f

?，其中

()

,0

()

,0

gx

x

fx

x

ax

?

?

?

?

?

?

?

?

。

知識點：連續和可導的關系、洛必達法則。

思路：討論分段函數在分段點處的連續性、可導性，一般考慮利用定義。

解：要使)(xf在0?x處可導，則必有)(xf在0?x處連續，

又∵)(xg在0?x處(0)0g?，∴

x

xg

xfa

xx

)(

lim)(lim

00??

??)0(

0

)0()(

lim/

0

g

x

gxg

x

?

?

?

?

?

；

由導數定義，

0

()(0)

(0)lim

0x

fxf

f

x?

?

?

?

?2

00

()

(0)

()(0)

limlim

0xx

gx

g

gxgx

x

xx??

?

?

?

?

??

?

0

()(0)1

lim(0)

22x

gxg

g

x?

??

?

??

??。

內容概要

名稱主要內容（3.3）

3.3泰

勒公式

泰勒中值定理：如果)(xf在含有

0

x的某個開區間)(a,b內具有1?n階的導數，則對任一

)(a,bx?，有???????2

0

0

//

00

/

0

)(

!2

)(

))(()()(xx

xf

xxxfxfxf

)()(

!

)(

0

0

)(

xRxx

n

xf

n

n

n

???，此公式稱為n階泰勒公式；

其中

1

0

)1(

)(

)!1(

)(

)(?

?

?

?

?n

n

n

xx

n

f

xR

?

（?介于

0

x于x之間），稱為拉格朗日型余項；或

])[()(

0

n

n

xxoxR??，稱為皮亞諾型余項。

n階麥克勞林公式：

)(

!

)0(

!2

)0(

)0()0()(

)(

2

//

/xRx

n

f

x

f

xffxf

n

n

n

???????

其中

1

)1(

)!1(

)(

)(?

?

?

?n

n

n

x

n

xf

xR

?

（10???）或)()(n

n

xoxR?。

常用的初等函數的麥克勞林公式：1）)(

!!2

1

2

n

n

xxo

n

xx

xe???????

2）)(

)!12(

)1(

!5!3

sin22

1253

?

?

?

?

??????n

n

nxo

n

xxx

xx?

3）)(

)!2(

)1(

!6!4!2

1cos12

2642

?????????n

n

nxo

n

xxxx

x?

4）)(

1

)1(

32

)1ln(1

132

?

?

?

?

???????n

n

nxo

n

xxx

xx?

5）)(1

1

1

2nnxoxxx

x

??????

?

?

6）)(

!

)1()1(

!2

)1(

1)1(2nnmxox

n

nmmm

x

mm

mxx?

???

??

?

????

?

?

習題3-3

★1.按)1(?x的冪展開多項式43)(24???xxxf。

知識點：泰勒公式。

思路：直接展開法。求)(xf按)(

0

xx?的冪展開的n階泰勒公式，則依次求)(xf直到1?n階的導

數在

0

xx?處的值，然后帶代入公式即可。

解：

3()46fxxx

?

??，(1)10f

?

?；

2()126fxx

??

??，f(1)18

??

?；

()24fxx

???

?，(1)24f

???

?；24)()4(?xf；24)1()4(?f；0)()5(?xf；

將以上結果代入泰勒公式，得

(4)

234

(1)(1)(1)(1)

()(1)(1)(1)(1)(1)

1!2!3!4!

ffff

fxfxxxx

??????

?????????

432)1()1(4)1(9)1(108?????????xxxx。

★★2.求函數xxf?)(按)4(?x的冪展開的帶有拉格朗日型余項的三階泰勒公式。

知識點：泰勒公式。

思路：同1。

解：

1

()

2

fx

x

?

?，

1

(4)

4

f

?

?；

3

2

1

()

4

fxx???

??，

1

(4)

32

f

??

??；

5

2

3

()

8

fxx????

?，

3

(4)

256

f

???

?；2

7

4

16

15

)(???xxf)(

；將以上結果代入泰勒公式，得

(4)

234

(4)(4)(4)()

()(4)(4)(4)(4)(4)

1!2!3!4!

ffffξ

fxfxxxx

??????

?????????

4

2

7

32)4(

128

5

)4(

512

1

)4(

64

1

)4(

4

1

2?????????x

ξ

xxx，（ξ介于x與4之間）。

★★★3.把

2

2

1

1

)(

xx

xx

xf

??

??

?在0?x點展開到含

4x項，并求)0()3(f。

知識點：麥克勞林公式。

思路：間接展開法。)(xf為有理分式時通常利用已知的結論)(1

1

1

2nnxoxxx

x

??????

?

?。

解：

322

2

2

2

1

1

)1(21

1

2

1

1

21

1

1

)(

x

xx

xx

x

xx

xxx

xx

xx

xf

?

???

??

??

??

???

?

??

??

?

)(2221))(1)(1(2144233xoxxxxoxxx??????????；

又由泰勒公式知

3x前的系數

(0)

0

3!

f

???

?，從而(0)0f

???

?。

★★4.求函數xxfln)(?按)2(?x的冪展開的帶有皮亞諾型余項的n階泰勒公式。

知識點：泰勒公式。

思路：直接展開法，解法同1；或者間接展開法，)(xf為對數函數時，通常利用已知的結論

xx??)1ln(

)(

1

)1(

32

1

132

?

?

?

?

?????n

n

nxo

n

xxx

?。

方法一：（直接展開）

1

()fx

x

?

?，

1

(2)

2

f

?

?；

2

1

()fx

x

??

??，

1

(2)

4

f

??

??；

3

2

()fx

x

???

?，

1

(2)

4

f

???

?；

n

nn

x

n

x,f

)!1(

)1()(1)(

?

????，

n

nn

n

f

2

)!1(

)1()2(1)(

?

???

；

將以上結果代入泰勒公式，得

(4)

234

(2)(2)(2)(2)

ln(2)(2)(2)(2)(2)

12!3!4!

ffff

xfxxxx

!

??????

??????????

n

(n)

x

n

f

)2(

!

)2(

??))2((nxo???2

3

)2(

2

1

)2(

2

1

2ln????xx???

?

?3

3

)2(

23

1

x

))2(()2(

2

1

)1(1nn

n

nxox

n

???

?

???。

方法二：

2)

2

2

(

2

1

2

2

2ln)

2

2

1ln(2ln)22ln(ln)(

?

?

?

??

?

???????

xxx

xxxf

2

3

13)2(

2

1

)2(

2

1

2ln))

2

2

(()

2

2

(

1

)1()

2

2

(

3

1

?????

?

?

?

???

?

??xx

x

o

x

n

x

nnn?

))2(()2(

2

1

)1()2(

23

1

13

3

nn

n

nxox

n

x???

?

????

?

???。

★★5.求函數

x

xf

1

)(?按)1(?x的冪展開的帶有拉格朗日型余項的n階泰勒公式。

知識點：泰勒公式。

思路：直接展開法，解法同1；或者間接展開法，)(xf為有理分式時通常利用已知的結論

21

2

11

1

1(1)

nn

n

xxxx

x?

?

?

??????

??

。

方法一：

2

1

()fx

x

?

??，(1)1f

?

???；

3

2

()fx

x

??

?，(1)2f

??

???；

4

6

()fx

x

???

??，

(1)6f

???

???

1

)(

!

)1()(

?

??

n

nn

x

n

x,f?，!

)1(

!

)1()1(

1

)(n

n

f

n

nn??

?

???

?

；

將以上結果代入泰勒公式，得

23

1(1)(1)(1)

(1)(1)(1)(1)

1!2!3!

fff

fxxx

x

??????

???

?????????

n

n

x

n

f

)1(

!

)1()(

?

?

?1

)1(

)1(

)!1(

)(

?

?

?

?

?n

n

x

n

ξf

?nxxxx)1()1()1()1(132???????????1

2

1

)1(

)1(

?

?

?

?

?

?n

n

n

x

ξ

（ξ介于x與1?之間）。

方法二：

nxxxx

xx

)1()1()1()1(1[

)1(1

11

32???????????

??

???

])1(

)1(

1

2

1

?

?

?

?

?

?n

n

n

x

ξ

?n32)1()1()1()1(1??????????xxxx?1

2

1

)1(

)1(

?

?

?

?

?

?n

n

n

x

ξ

（ξ介于x與1?之間）。

★★6.求函數

xxey?的帶有皮亞諾型余項的n階麥克勞林展開式。

知識點：麥克勞林公式。

思路：直接展開法，解法同1；間接展開法。)(xf中含有

xe時，通常利用已知結論

)(

2

1

2

n

n

xxo

n!

x

!

x

xe???????。

方法一：(1)xyxe

?

??，(0)1y

?

?；(2)xyxe

??

??，(0)2y

??

?；x(n)enx,y)(???，

nyn?)0()(

，將以上結果代入麥克勞林公式，得

23

(0)(0)(0)(0)

(0)()

1!2!3!!

(n)

xnn

ffff

xefxxxxox

n

??????

????????

?????

!2

3

2

x

xx

)!1(?

?

n

xn

)(nxo?。

方法二：???????

?

??????

?

!2

))(

)!1(!2

1(

3

21

12x

xxxo

n

xx

xxxen

n

x

)!1(?

?

n

xn

)(nxo?。

★★7.驗證當

2

1

0??x時，按公式

62

1

32xx

xex????計算

xe的近似值時，所產生的誤差小于

010.，并求e的近似值，使誤差小于010.。

知識點：泰勒公式的應用。

思路：利用泰勒公式估計誤差，就是估計拉格朗日余項的范圍。

解：010

192

1

2

1

!4

2

!4!4

)(

4

4

2

1

4

3

.x

e

x

e

xR

ξ

?????；6460

48

1

8

1

2

1

1.e?????。

★★8.用泰勒公式取5?n，求21ln.的近似值，并估計其誤差。

知識點：泰勒公式的應用。

解：設)1ln()(xxf??，則

(5)

25

(0)(0)(0)

()(0)

1!2!5!

fff

fxfxxx

???

?????

2

2x

x??

5

5x

???，從而18230

5

20

4

20

3

20

2

20

20)20(21ln

5432

.

....

..f.???????；其

誤差為：00001070

6

20

)1(6

1

)(

6

6

6

5

.

.

x

ξ

xR??

?

??。

★★★9.利用函數的泰勒展開式求下列極限：

（1）)3(lim2

3

3xxxx

x

???

???

；（2）

2

22

0sin)(cos

1

2

1

1

lim

2xex

xx

x

x?

???

?

。

知識點：泰勒展開式的應用。

思路：間接展開法。利用已知的結論將函數展開到適當的形式，然后利用極限的運算性質得到結果。

解：（1）])

1

1()

3

1([lim)3(lim2

1

3

1

2

2

3

3

x

x

x

xxxxx

xx

???????

??????

))]

1

(

1

2

)1

2

1

(

2

1

)

1

(

2

1

1())]

1

(o

3

3

1

1([lim

2222x

o

x

x

x

xx

x

x

??

?

?????????

???

2

1

))

1

(

8

9

2

1

(lim????

???x

o

xx

。

（2）

2

2

1

22

0

2

22

0)(cos

)1(

2

1

1

lim

sin)cos(

1

2

1

1

lim

22xex

xx

xex

xx

x

x

x

x?

???

?

?

???

??

12

1

)(

2

3

)(

8

1

lim

)))(1()(

2

1(

)(

2

)1

2

1

(

2

1

2

1

1(

2

1

1

lim

4

4

44

0

2222

2

4422

0

??

??

?

?

?????

?

?

????

?

??

xo

x

xox

xxoxxo

x

xo)xxx

xx

。

★★10.設0?x，證明：)1ln(

2

2

x

x

x???。

知識點：泰勒公式。

思路：用泰勒公式證明不等式是常用的一種方法。特別是不等式的一邊為某個函數，另一邊為其冪級數展

開的一部分時，可考慮用泰勒公式。

解：

3

32

)1(3

2

)1ln(

ξ

xx

xx

?

????（ξ介于0與x之間），∵0?x，∴0

)1(33

3

?

?ξ

x

，

從而

2

)1(3

2

)1ln(

2

3

32x

x

ξ

xx

xx??

?

????，結論成立。

（也可用§3.4函數單調性的判定定理證明之）

★★11.證明函數)(xf是n次多項式的充要條件是0)()1(??xfn

。

知識點：麥克勞林公式。

思路：將)(xf按照麥克勞林公式形式展開，根據已知條件，得結論。

解：必要性。易知，若)(xf是n次多項式，則有0)()1(??xfn

。

充分性。∵0)()1(??xfn

，∴)(xf的n階麥克勞林公式為：

2(0)

()(0)(0)

2!

fx

fxffx

??

?

???

3()(1)1(0)(0)()

3!!(1)!

nnnnfxfxfξx

nn

?????

?????

?

2(0)

(0)(0)

2!

fx

ffx

??

?

??

3(0)

3!

fx

???

?

!

)0()(

n

xfnn

???，即)(xf是n次多項式，結論成立。

★★★12.若)(xf在][a,b上有n階導數，且

(1)()()()()()0nfafbfbfbfb????

??????

證明在)(a,b內至少存在一點ξ，使)(0)()(bξaξfn???。

知識點：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。

思路：證明)(0)()(bξaξfn???，可連續使用拉格朗日中值定理，驗證)()1(xfn?

在][a,b上滿足

羅爾中值定理；或者利用泰勒中值定理，根據)(xf在bx?處的泰勒展開式及已知條件得結論。

方法一：∵)(xf在][a,b上可導，且)()(bfaf?，

∴由羅爾中值定理知，在)(a,b內至少存在一點

1

ξ，使得

1

()0fξ

?

?；

∵()fx

?

在][][

1

a,b,bξ?上可導，且()0fb

?

?，

∴由羅爾中值定理知，在)()(

1

a,b,bξ?內至少存在一點

2

ξ，使得

2

()0fξ

??

?；

依次類推可知，)()1(xfn?

在][

1

,bξ

n?

][a,b?上可導，且0)()()1(

1

)1(???

?

?bfξfn

n

n

，

∴由羅爾中值定理知，在)()(

1

a,b,bξ

n

?

?

內至少存在一點ξ，使得0)()(?ξfn

。

方法二：根據已知條件，)(xf在bx?處的泰勒展開式為：

(1)()

21

()()()

()()()()()()()

2!(1)!!

nn

nn

fbfbfξ

fxfbfbxbxbxbxb

nn

?

?

??

?

??????????

?

n

n

bx

n

ξf

)(

!

)()(

??

)(bξx??，

∴)(af

0)(

!

)()(

???n

n

ba

n

ξf

，從而得0)()(?ξfn

，結論成立。

內容概要

名稱主要內容（3.4）

3.4函

數的單

調性與

曲線的

凹凸性

函數單調性的判別法：設)(xfy?在][a,b上連續，在)(a,b內可導，則

（1）若在)(a,b內()0fx

?

?，則)(xfy?在][a,b上單調增加；

（2）若在)(a,b內()0fx

?

?，則)(xfy?在][a,b上單調減少。

1）曲線凹凸性的概念：設)(xf在區間I內連續，如果對I上任意兩點

21

,xx，恒有

2

)()(

)

2

(2121

xfxfxx

f

?

?

?

，則稱)(xf在I上的圖形是凹的；如果恒有

2

)()(

)

2

(2121

xfxfxx

f

?

?

?

，則稱)(xf在I上的圖形是凸的。

2）拐點的概念：連續曲線上凹弧與凸弧的分界點成為曲線的拐點。

曲線凹凸性的判別法：設)(xf在][a,b上連續，在)(a,b內具有一階和二階導數，則

（1）若在)(a,b內()0fx

??

?，則)(xfy?在][a,b上的圖形是凹的；

（2）若在)(a,b內()0fx

??

?，則)(xfy?在][a,b上的圖形是凸的。

習題3-4

★1.證明函數)1ln(2xxy???單調增加。

知識點：導數的應用。

思路：利用一階導數符號判斷函數的單調性是常用的方法。在某個區間I上，()0fx

?

?（()0fx

?

?），

則)(xf在I單調增加（減少）。

證明：∵

2

22

2(1)

10

11

xx

y

xx

?

?

????

??

（僅在1?x處0y

?

?），

∴)1ln(2xxy???在)(????,內是單調增加的。

★2.判定函數)20(sin)(πxxxxf????的單調性。

解：∵()1cos0fxx

?

???（僅在πx?處()0fx

?

?），

∴)20(sin)(πxxxxf????是單調增加的。

★★3.求下列函數的單調區間：

（1）13

3

1

23????xxxy；（2）)0(

8

2???x

x

xy；（3）

3

2

3

2

xxy??；

（4）)1ln(2xxy???；（5）xxy)1(??；（6）xxyln22??。

知識點：導數的應用。

思路：利用一階導數符號判斷函數的單調性。求函數的單調區間，用導數為零的點及不可導點，將定義域

劃分成若干個區間，然后在每個區間上判斷函數的單調性；如果劃分定義域的點有兩個或以上，可列表討

論，使得思路更清晰一些。

解：（1）13

3

1

23????xxxy的定義域為)(????,；令

2230yxx

?

????，

得1

1

??x，3

2

?x。列表討論如下：

x

)1(???,

1?

)31(,?

3

)3(??,

()fx

?

?

0－0

?

)(xf

↗↘↗

由上表可知，13

3

1

23????xxxy在)1(???,、)3(??,內嚴格單增，而在)31(,?內嚴格單減。

（2）在)0(??,內，令

2

8

20y

x

?

???，得2?x；

當)20(,x?時，有0y

?

?；當)2(???,x時，有0y

?

?；

∴)0(

8

2???x

x

xy在)20(,內嚴格單增，在)2(??,內嚴格單減。

（3）

3

2

3

2

xxy??的定義域為)(????,；令

1

3

3

3

222(1)

0

33

3

x

yx

x

??

?

????，

得1?x；0?x為不可導點。列表討論如下：

x

)0(,??

0

)10(,

1

)1(??,

()fx

?

?

0－0

?

)(xf

↗↘↗

由上表可知，

3

2

3

2

xxy??在)0(,??、)1(??,內嚴格單增，而在)10(,內嚴格單減。

（4）)1ln(2xxy???的定義域為)(????,，

222

11

(1)

111

x

y

xxxx

?

???

????

0?，

∴)1ln(2xxy???在)(????,內嚴格單增。

（5）xxy)1(??的定義域為)0[??,，∵

3

2

3

()10

2

yxxx

??

?????，

∴xxy)1(??在)0[??,上嚴格單增。

（6）xxyln22??的定義域為)0(??,，令

2141

40

x

yx

xx

?

?

????，得

2

1

?x；

當)

2

1

0(,x?時，0y

?

?；當)

2

1

(???,x時，0y

?

?；

∴xxyln22??在)

2

1

0(,內嚴格單增，在)

2

1

(??,內嚴格單減。

★★4.證明下列不等式：

（1）當0?x時，xx???1

2

1

1；（2）當4?x時，

22xx?；

（3）當0?x時，xxxarctan)1ln()1(???；（4）

2

0

π

x??時，

3

3

1

tanxxx??。

知識點：導數的應用或者泰勒公式的應用。

思路：利用泰勒公式可以證明一些不等式（見習題3-3第10題），利用函數單調性也是證明不等式常用的

方法。

解：（1）方法一：令xxxf????1

2

1

1)(，

則當0?x時，

11

()

2

21

fx

x

?

??

?

)

1

1

1(

2

1

x?

??0?，

∴xxxf????1

2

1

1)(在)0[??,上嚴格單增；從而0)0()(??fxf，

即xx???1

2

1

1，結論成立。

方法二：由泰勒公式，得

2

3

2

2

3

2

)1(8

)

)1(8

2

1

1(

2

1

11

2

1

1)(

ξ

x

ξ

x

xxxxxf

?

?

?

?????????（xξ??0），

∴0

)1(8

)(

2

3

2

?

?

?

ξ

x

xf，從而得xx???1

2

1

1，結論成立。

（2）方法一：令