數值試題
1
數值計算方法試題一
一、填空題（每空1分，共17分）
1、如果用二分法求方程043???xx在區間]2,1[
內的根精確到三位小
數，需對分（)次。
2、迭代格式)2(2
1
???
?kkk
xxx?
局部收斂的充分條件是?取值在
（)。
3、已知
?
?
?
?
?
????????
??
?
31)1()1()1(
2
1
10
)(
23
3
xcxbxax
xx
xS
是三次樣條函數,
則
a=（),b=（)，c=（）。
4、
)(,),(),(
10
xlxlxl
n
?
是以整數點n
xxx,,,
10
?
為節點的Lagrange插值基函
數，則
?
?
?
n
k
k
xl
0
)(
（），
?
?
?
n
k
kjk
xlx
0
)(
()，當2?n時
????
?
)()3(2
0
4xlxx
kk
n
k
k
（）。
5、設1326)(247????xxxxf
和節點
,,2,1,0,2/???kkx
k則
?],,,[
10n
xxxf?
和
??
0
7f
。
6、5個節點的牛頓—柯特斯求積公式的代數精度為，5個節
點的求積公式最高代數精度為.
7、
???
?0
)(
k
k
x?
是區間
]1,0[
上權函數
xx?)(?
的最高項系數為1的正交多項
式族，其中
1)(
0
?x?
，則
??1
0
4
)(dxxx?
.
8、給定方程組?
?
?
???
??
221
121
bxax
baxx
，a為實數，當a滿足,且
20???時,SOR迭代法收斂.
9、解初值問題00
(,)
()
yfxy
yxy
?
?
?
?
?
?的改進歐拉法
?
?
?
?
?
???
??
???
?
)],(),([
2
),(
]0[
111
]0[
1
nnnnnn
nnnn
yxfyxf
h
yy
yxhfyy
是
階方法。
10、設
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
10
01
aa
a
a
A
，當?a（）時，必有分解式TLLA?，
其中L為下三角陣,當其對角線元素
)3,2,1(?il
ii滿足（）條
數值試題
2
件時,這種分解是唯一的。
二、二、選擇題（每題2分）
1、解方程組bAx?的簡單迭代格式gBxxkk???)()1(收斂的充要條件是
（）。
（1）
1)(?A?
，(2）
1)(?B?
,(3）1)(?A?
,(4)1)(?B?
2、在牛頓—柯特斯求積公式:
?
?
?
??b
a
n
i
i
n
i
xfCabdxxf
0
)()()()(
中，當系數)(n
i
C
是負值時，公式的穩定性不能保證，所以實際應用中，當（）
時的牛頓—柯特斯求積公式不使用.
（1）8?n，（2）7?n，（3)10?n，（4）6?n,
3、有下列數表
x00.511.522.5
f（x)—2—1.75-10。2524。25
所確定的插值多項式的次數是（）.
（1）二次;（2）三次；(3)四次；（4）五次
4、若用二階中點公式
)),(
4
,
2
(
1nnnnnn
yxf
h
y
h
xhfyy????
?求解初值問題
1)0(,2???
?
yyy,試問為保證該公式絕對穩定,步長h的取值范圍為
()。
（1)20??h,(2）20??h,(3）20??h,（4）20??h
三、1、(8分）用最小二乘法求形如2bxay??
的經驗公式擬合以下數
據：
i
x19253038
i
y19。032.349。073.3
2、(15分）用8?n的復化梯形公式（或復化Simpson公式)計算
dxex??
1
0
時，
(1)（1）試用余項估計其誤差。
（2）用8?n的復化梯形公式（或復化Simpson公式）計算出該積分
的近似值.
四、1、(15分）方程013???xx在5.1?x附近有根,把方程寫成三種不
同的等價形式（1）31??xx對應迭代格式3
1
1??
?nn
xx
；(2)x
x
1
1??
對
數值試題
3
應迭代格式n
nx
x
1
1
1
??
?；(3)13??xx對應迭代格式13
1
??
?nn
xx
。判斷
迭代格式在
5.1
0
?x
的收斂性,選一種收斂格式計算5.1?x附近的根，精
確到小數點后第三位.選一種迭代格式建立Steffenn迭代法,并進行
計算與前一種結果比較，說明是否有加速效果.
2、（8分)已知方程組fAX?
，其中
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
41
143
34
A
,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
24
30
24
f
（1）(1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。
（2）（2）求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑，寫出SOR迭代法。
五、1、（15分）取步長1.0?h，求解初值問題
?
?
?
?
?
?
???
1)0(
1
y
y
dx
dy
用改進的歐
拉法求
)1.0(y
的值；用經典的四階龍格—庫塔法求
)1.0(y
的值。
2、（8分)求一次數不高于4次的多項式)(xp
使它滿足
)()(
00
xfxp?
，
)()(
11
xfxp?
，
)()(
00
xfxp
?
?
?
，
)()(
11
xfxp
?
?
?
，
)()(
22
xfxp?
六、（下列2題任選一題，4分）
1、1、數值積分公式形如
??
?
?
????1
0
)1()0()1()0()()(fDfCBfAfxSdxxxf
（1）（1）試確定參數
DCBA,,,
使公式代數精度盡量高;（2）
設
]1,0[)(4Cxf?
，推導余項公式
???1
0
)()()(xSdxxxfxR
，并估計
誤差.
2、2、用二步法
)],()1(),([
111101????
?????
nnnnnnn
yxfyxfhyyy????
求解常微分方程的初值問題?
?
?
?
?
?
00
)(
),(
yxy
yxfy
時，如何選擇參數
???,,
10使方
法階數盡可能高,并求局部截斷誤差主項，此時該方法是幾階的。
數值計算方法試題二
一、判斷題：(共16分，每小題２分)
１、若A是nn?階非奇異陣，則必存在單位下三角陣L和上三角陣
U，使LUA?唯一成立。(）
２、當8?n時，Newton－cotes型求積公式會產生數值不穩定性。
數值試題
4
（）
3、形如
)()(
1
i
n
i
i
b
a
xfAdxxf?
?
?
?
的高斯（Gauss)型求積公式具有最高代
數精確度的次數為12?n.(）
４、矩陣
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
210
111
012
A
的２－范數2
A
＝９。（）
5、設
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a
a
aa
A
00
00
02
，則對任意實數0?a，方程組bAx?都是病態
的.(用?
?
）()
6、設nn
RA
?
?,
nn
RQ
?
?
，且有
IQQ
T
?
（單位陣)，則有22
QAA?
。
（）
7、區間
??ba,
上關于權函數
)(xW
的直交多項式是存在的，且唯一。
（）
8、對矩陣A作如下的Doolittle分解：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
600
10
322
11
012
001
542
774
322
b
a
A
，則
ba,
的值分別為
?a2,?b2.()
二、填空題：（共20分,每小題2分)
1、設102139)(248????xxxxf,則均差
?]2,,2,2[810?f
__________，?]3,,3,3[910?f
__________。
2、設函數)(xf
于區間
??ba,
上有足夠階連續導數，
??bap,?
為
)(xf
的
一個m重零點,Newton迭代公式
)(
)(
'
1
k
k
kk
xf
xf
mxx??
?
的收斂階至少
是__________階.
３、區間
??ba,
上的三次樣條插值函數
)(xS
在
??ba,
上具有直到
__________階的連續導數.
4、向量TX)2,1(??
，矩陣
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
13
27
A
,則
?
1
AX
__________，?
?
)(Acond__________。
5、為使兩點的數值求積公式：
?
?
??
1
1
10
)()()(xfxfdxxf
具有最高的代
數值試題
5
數精確度，則其求積基點應為
?
1
x__________，?
2
x__________.
6、設nn
RA
?
?，AA
T
?,則)(A?
（譜半徑)__________2
A
。（此處填
小于、大于、等于）
7、設
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
4
1
0
2
1
A
，則
?
??
k
k
Alim
__________。
三、簡答題:（9分）
1、1、方程xx24??在區間
??2,1
內有唯一根*x，若用迭代公式：
2ln/)4ln(
1kk
xx??
?
),2,1,0(??k，則其產生的序列
??
k
x
是否收斂于
*x？說明理由.
2、2、使用高斯消去法解線性代數方程組,一般為什么要用選主
元的技術？
3、3、設001.0?x，試選擇較好的算法計算函數值2
cos1
)(
x
x
xf
?
?
。
四、（10分)已知數值積分公式為：
)]()0([)]()0([
2
)(''2
0
hffhhff
h
dxxfh??????
,試確定積分公式中的參
數
?，使其代數精確度盡量高,并指出其代數精確度的次數。
五、(8分)已知求)0(?aa的迭代公式為：
?2,1,00)(
2
1
01
????
?
kx
x
a
xx
k
kk
證明：對一切
axk
k
??,,2,1?
，且序列
??
k
x
是單調遞減的，
從而迭代過程收斂。
六、（9分）數值求積公式
???3
0
)]2()1([
2
3
)(ffdxxf
是否為插值型求積公
式？為什么？其代數精度是多少？
七、（9分）設線性代數方程組bAX?中系數矩陣A非奇異，X為精確
解，0?b，若向量
~
X是bAX?的一個近似解，殘向量
~
XAbr??,
證明估計式：
b
r
Acond
X
XX
)(
~
?
?
（假定所用矩陣范數與向量范數
相容）。
八、（10分）設函數
)(xf
在區間
??3,0
上具有四階連續導數，試求滿足
下列插值條件的一個次數不超過3的插值多項式
)(xH
，并導出
其余項。
數值試題
6
i012
i
x012
)(
i
xf—113
)(
'
i
xf
3
九、（9分）設
??)(x
n
?
是區間
],[ba
上關于權函數
)(xw
的直交多項式
序列，
)1,,,2,1(??nnix
i
?
為
??)(
1
x
n?
?
的零點，
)1,,,2,1)((??nnixl
i
?
是以
??
i
x
為基點的拉格朗日（Lagrange）插值
基函數,
?
??
?
?
1
1
)()()(
n
k
kk
b
a
xfAdxxwxf
為高斯型求積公式，證明：
（1）（1)當
jknjk???,,0
時，
0)()(
1
1
???
?
ijik
n
i
i
xxA??
（2）
???b
a
jk
jkdxxwxlxl)(0)()()(
（3）
?
???
?
?
1
1
2)()()(
n
k
b
a
b
a
k
dxxwdxxwxl
十、（選做題8分)
若
)())(()()(
101nn
xxxxxxxxf?????
?
??
,
),,1,0(nix
i
??
互異，求
],,,[
10p
xxxf?
的值，其中
1??np.
數值計算方法試題三
一、（24分）填空題
(1)（1）（2分）改變函數fxxx()???1(x??1）的形式，
使計算結果較精確
。
(2)（2）（2分）若用二分法求方程
??0?xf
在區間[1,2]內的
根，要求精確到第3位小數，則需要對分次.
(3)（3）（2分）設
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
21
2
2
2
1
xx
xx
xf
，則
???xf'
數值試題
7
(4)（4）(3分）設
??
?
?
?
?????
??
?
21,
10,2
23
3
xcbxaxx
xx
xS
是3次樣條
函數,則
a=，b=，c=。
(5)（5)（3分）若用復化梯形公式計算
?1
0
dxex
，要求誤差不
超過610?,利用余項公式估計,至少用個求積節點.
(6)（6）（6分)寫出求解方程組?
?
?
???
??
24.0
16.1
21
21
xx
xx
的Gauss—Seidel
迭代公式
，迭代矩陣
為,
此迭代法是否收斂。
(7)(7)(4分）設
A?
?
?
?
?
?
?
54
43
，則
?
?
A
，
??Cond
?
?A
。
(8)（8）（2分）若用Euler法求解初值問題
??10,10'???yyy
，
為保證算法的絕對穩定，則步長h的取值范圍為
二.（64分）
(1)（1)(6分）寫出求方程
??1cos4??xx
在區間[0,1］的根的收斂
的迭代公式，并證明其收斂性.
(2)(2）（12分)以100，121，144為插值節點，用插值法計算115
的近似值,并利用余項估計誤差.
(3)（3)(10分)求
??xexf?
在區間［0,1］上的1次最佳平方逼近
數值試題
8
多項式。
(4)(4)（10分)用復化Simpson公式計算積分
??
??1
0
sin
dx
x
x
I
的
近似值，要求誤差限為5105.0??。
(5)（5）(10分)用Gauss列主元消去法解方程組：
?
?
?
?
?
???
???
???
2762
3453
2424
321
321
321
xxx
xxx
xxx
(6)（6）(8分)求方程組
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
5
11
21
31
2
1
x
x
的最小二乘解.
(7)(7）(8分)已知常微分方程的初值問題：
?
?
?
?
???
2)1(
2.11,
y
xyxdxdy
用改進的Euler方法計算
y(.)12
的近似值,取步長2.0?h。
三．(12分，在下列5個題中至多選做3個題）
(1)（1）(6分）求一次數不超過4次的多項式p(x）滿足:
??151?p,
??201'?p
，
??301''?p,
??572?p
，
??722'?p
(2)（2）（6分）構造代數精度最高的如下形式的求積公式，
并求出其代數精度:
????1
2
1
10
1
0
fAfAdxxxf?
?
?
?
?
?
?
??
(3)（3）（6分）用冪法求矩陣
?
?
?
?
?
?
?
?
?
11
110
A
的模最大的特征值
及其相應的單位特征向量，迭代至特征值的相鄰兩次的近似值
的距離小于0。05，取特征向量的初始近似值為
??T0,1.
數值試題
9
(4)（4）(6分）推導求解常微分方程初值問題
????????
0
,,,'yaybxaxyxfxy????
的形式為
??
1101??
???
iiii
ffhyy??
，i=1,2，…，N
的公式,使其精度盡量高,其中
??
iii
yxff,?
，
ihax
i
??
,i=0,1,…，
N，
??Nabh??
(5)（5）（6分）求出用差分方法求解常微分方程的邊值問
題
??????
????
?
?
?
??
??????
0,0'
,0'''
byay
bxaxryxqyxpy
所得到的三對角線性方程
組。
數值計算方法試題三
一、（24分）填空題
(9)(1）（2分）改變函數fxxx()???1（x??1)的形式，
使計算結果較精確
。
(10)（2）（2分）若用二分法求方程
??0?xf
在區間［1，2]內
的根，要求精確到第3位小數，則需要對分次。
(11)(3）（2分）設
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
21
2
2
2
1
xx
xx
xf
,則
???xf'
(12)（4）（3分)設
??
?
?
?
?????
??
?
21,
10,2
23
3
xcbxaxx
xx
xS
是3次樣條
函數，則
a=，b=，c=。
數值試題
10
(13)（5)（3分)若用復化梯形公式計算
?1
0
dxex
，要求誤差不超
過610?，利用余項公式估計,至少用個求積節點。
(14)（6）（6分）寫出求解方程組?
?
?
???
??
24.0
16.1
21
21
xx
xx
的
Gauss—Seidel迭代公式
，迭代矩陣
為，
此迭代法是否收斂。
(15)(7)(4分）設
A?
?
?
?
?
?
?
54
43
，則
?
?
A
,
??Cond
?
?A
。
(16)（8）（2分）若用Euler法求解初值問題
??10,10'???yyy,
為保證算法的絕對穩定，則步長h的取值范圍為
二。(64分）
(8)（1）（6分）寫出求方程
??1cos4??xx
在區間[0,1]的根的收
斂的迭代公式,并證明其收斂性。
(9)(2)(12分)以100,121,144為插值節點，用插值法計算115的
近似值，并利用余項估計誤差。
(10)（3)(10分)求
??xexf?
在區間[0，1]上的1次最佳平方逼近
多項式。
(11)（4)（10分）用復化Simpson公式計算積分
??
??1
0
sin
dx
x
x
I
的
近似值，要求誤差限為5105.0??.
數值試題
11
(12)（5）（10分）用Gauss列主元消去法解方程組:
?
?
?
?
?
???
???
???
2762
3453
2424
321
321
321
xxx
xxx
xxx
(13)(6)（8分）求方程組
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
5
11
21
31
2
1
x
x
的最小二乘解。
(14)（7)（8分）已知常微分方程的初值問題：
?
?
?
?
???
2)1(
2.11,
y
xyxdxdy
用改進的Euler方法計算
y(.)12
的近似值，取步長2.0?h.
三．（12分,在下列5個題中至多選做3個題）
(6)（1）(6分)求一次數不超過4次的多項式p(x）滿足:
??151?p,
??201'?p,
??301''?p,
??572?p
，
??722'?p
(7)（2）(6分）構造代數精度最高的如下形式的求積公式，
并求出其代數精度：
????1
2
1
10
1
0
fAfAdxxxf?
?
?
?
?
?
?
??
(8)（3）（6分)用冪法求矩陣
?
?
?
?
?
?
?
?
?
11
110
A
的模最大的特征值及
其相應的單位特征向量,迭代至特征值的相鄰兩次的近似值的
距離小于0。05，取特征向量的初始近似值為
??T0,1.
(9)(4）（6分)推導求解常微分方程初值問題
????????
0
,,,'yaybxaxyxfxy????
的形式為
??
1101??
???
iiii
ffhyy??
，i=1，2，…,N
的公式,使其精度盡量高,其中
??
iii
yxff,?
,
ihax
i
??
，
數值試題
12
i=0,1，…，N,
??Nabh??
(10)（5）（6分)求出用差分方法求解常微分方程的邊值問題
??????
????
?
?
?
??
??????
0,0'
,0'''
byay
bxaxryxqyxpy
所得到的三對角線性方程組.
數值計算方法試題一答案
一、一、填空題（每空1分，共17分）
1、（10）2、（
)0,
2
2
(?
)
2
2
,0(
）3、a=(3），b=（3),c=
（1）
4、（1）、(j
x
）、(324??xx)5、6、
25.236
4
945
2
6!7
7
??
?
6、
9
7、08、
1?a
9、210、（2
2
,
2
2
?
）、
(
0?
ii
l
)
二、二、選擇題（每題2分)
1、（（2）)2、（（1））3、（(1））4、（(3)）
三、1、（8分）解：
},1{2xspan??
?
?
?
?
?
?
?
222238312519
1111
TA
??3.730.493.320.19?Ty
解方程組
yAACATT?
其中
?
?
?
?
?
?
?
35296033391
33914
AAT?
?
?
?
?
?
?
7.179980
6.173
yAT
解得:
?
?
?
?
?
?
?
0501025.0
9255577.0
C
所以9255577.0?a,0501025.0?b
2、（15分)解：
001302.0
768
1
8
1
12
1
)(
12
][0
2
2?????
??
?
??efh
ab
fR
T
?
])()(2)([
2
)8(
7
1
?
?
???
k
k
bfxfaf
h
T
]36787947.0)41686207.047236655.05352614.0
60653066.07788008.08824969.0(21[
16
1
????
?????
6329434.0?
數值試題
13
四、1、(15分）解：（1）
3
2
1(
3
1
)(???
?
）xx?
,
118.05.1??
?
）（?
，故收斂；
（2)x
x
x
1
12
1
)(
2?
??
??
，
117.05.1??
?
）（?
,故收斂;
（3）23)(xx?
??
，
15.135.12???
?
）（?
,故發散。
選擇（1):
5.1
0
?x
,3572.1
1
?x,3309.1
2
?x,
3259.1
3
?x
，
3249.1
4
?x
，
32476.1
5
?x
,
32472.1
6
?x
Steffenn迭代：kkk
kk
kkxxx
xx
xx
??
?
??
?)(2))((
))((2
1???
?
11211
)1(
3
3
3
2
3
?????
??
??
kk
kk
k
xx
xx
x
計算結果：
5.1
0
?x
,324899.1
1
?x,324718.1
2
?x有加速效果。
2、（8分)解:Jacobi迭代法：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
??
?
?
?
?,3,2,1,0
)24(
4
1
)330(
4
1
)324(
4
1
)(
2
)1(
3
)(
3
)(
1
)1(
2
)(
2
)1(
1
k
xx
xxx
xx
kk
kkk
kk
Gauss-Seidel迭代法：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
??
??
??
?
?,3,2,1,0
)24(
4
1
)330(
4
1
)324(
4
1
)1(
2
)1(
3
)(
3
)1(
1
)1(
2
)(
2
)1(
1
k
xx
xxx
xx
kk
kkk
kk
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
0
4
3
0
4
3
0
4
3
0
4
3
0
)(1ULDB
J
，
790569.0)
4
10
(
8
5
)(??或
J
B?
SOR迭代法:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
????
??
??
?
?,3,2,1,0
)24(
4
)1(
)330(
4
)1(
)324(
4
)1(
)1(
2
)(
3
)1(
3
)(
3
)1(
1
)(
2
)1(
2
)(
2
)(
1
)1(
1
k
xxx
xxxx
xxx
kkk
kkkk
kkk
?
?
?
?
?
?
五、1、（15分）解：改進的歐拉法：
數值試題
14
?
?
?
?
?
?????
????
???
?
095.0905.0)],(),([
2
1.09.0),(
)0(
111
)0(
1
nnnnnnn
nnnnn
yyxfyxf
h
yy
yyxhfyy
所以
1)1.0(
1
??yy
；
經典的四階龍格—庫塔法：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
?
?????
?
),(
)
2
,
2
(
)
2
,
2
(
),(
]22[
6
34
23
12
1
43211
hkyhxfk
k
h
y
h
xfk
k
h
y
h
xfk
yxfk
kkkk
h
yy
nn
nn
nn
nn
nn
0
4321
????kkkk
,所以1)1.0(
1
??yy
。
2、(8分)解:設
)(
3
xH
為滿足條件?
?
?
?
?
?
?
?
1,0)()(
)()(
3
3
ixfxH
xfxH
ii
ii
的Hermite插值
多項式，
則2
1
2
03
)()()()(xxxxkxHxp????代入條件)()(
22
xfxp?
得：
2
12
2
02
232
)()(
)()(
xxxx
xHxf
k
??
?
?
六、(下列2題任選一題,4分）
1、解：將32,,,1)(xxxxf?
分布代入公式得：
20
1
,
30
1
,
20
7
,
20
3
?????DBBA
構造Hermite插值多項式
)(
3
xH
滿足?
?
?
?
?
?
?
?
1,0)()(
)()(
3
3
ixfxH
xfxH
ii
ii
其中
1,0
10
??xx
則有:
??1
0
3
)()(xSdxxxH
,
22
)4(
3
)1(
!4
)(
)()(???xx
f
xHxf
?
dxxx
f
dxxSxfxxR2
1
0
3
)4(
1
0
)1(
!4
)(
])()([)(??????
?
1440
)(
60!4
)(
)1(
!4
)()4()4(
1
0
23
)4(???ff
dxxx
f
?
?
????
2、解:
])(
!3
)(
!2
)()()(1()([
))(
!3
)(
!2
)()(()(
)(
!3
)(
!2
)()()(
)4(
32
32
10
32
11,
?
?
?
??
???
?
??
?
?
??
?
?
?
???
?
??
?
?
???
?
???
?
??
?
?
????
??
nnnnn
nnnnn
nnnnnnhn
xy
h
xy
h
xyhxyxyh
xy
h
xy
h
xyhxyxy
xy
h
xy
h
xyhxyyxyR
??
??
數值試題
15
)()()
2
1
66
1
()()1
22
1
(
)()11()()1(
4
1
3
1
2
110
hOxyhxyh
xyhxy
nn
nn
?
???
?
???
??
????
?
??????
?
?
?
?
???
所以
?
?
?
?
?
?
?
????
?
???
01
22
1
0
01
1
1
10
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
3
0
1
1
0
?
?
?
主項:
)(
12
5
3
n
xyh
???
該方法是二階的。
數值計算方法試題二答案
一、一、判斷題：(共10分,每小題２分)
1、（Ⅹ）2、(∨）3、（Ⅹ）4、（∨）5、
（Ⅹ)6、（∨)7、（Ⅹ）8、(Ⅹ）
二、二、填空題:（共10分，每小題2分)
1、!89?、02、__二___3、__二___4、_16、90__5、3
1
,
3
1
?
6、
=
7、0
三、三、簡答題：（15分)
1、1、解：迭代函數為2ln/)4ln()(xx???
1
2ln
1
24
1
2ln
1
4
1
)(
'
??
?
??
?
?
?
x
x?
2、2、答：Gauss消去法能進行到底的條件是各步消元的主
元素)(k
kk
a
全不為0，如果在消元過程中發現某個主元素為0，即
使
0)det(?A
，則消元過程將無法進行；其次，即使主元素不為
0，但若主元素)(k
kk
a
的絕對值很小，用它作除數,將使該步消元的
乘數絕對值很大，勢必造成舍入誤差的嚴重擴散,以致于方程組
解的精確程度受到嚴重影響，采用選主元的技術，可避免主元
素)(k
kk
a=0或)(k
kk
a
很小的情況發生，從而不會使計算中斷或因誤
差擴大太大而使計算不穩定。
3、3、解：
?????????
)!2(
)1(
!4!2
1cos
242
n
xxx
x
n
n
??????????
)!2(
)1(
!4!2
cos1
2
1
42
n
xxx
x
n
n
????????
?
?
)!2(
)1(
!4!2
1
)(
22
1
2
n
xx
xf
n
n
四、四、解：
1)(?xf
顯然精確成立;
數值試題
16
xxf?)(時，
]11[]0[
22
2
2
0
??????hh
hh
xdxh?
；
2)(xxf?
時，12
1
2
2
]20[]0[
23
3
22
3
0
2?????????????h
h
hhh
hh
dxxh
；
3)(xxf?
時,
]30[
12
1
]0[
24
223
4
0
3hhh
hh
dxxh??????
；
4)(xxf?
時，6
]40[
12
1
]0[
25
5
324
5
0
4
h
hhh
hh
dxxh???????
；
所以，其代數精確度為3.
五、五、證明：
?2,1,02
2
1
)(
2
1
1
????????
?
ka
x
a
x
x
a
xx
k
k
k
kk
故對一切
axk
k
??,,2,1?
。
又
1)11(
2
1
)1(
2
1
2
1??????
k
k
k
x
a
x
x
所以kk
xx?
?1，即序列
??
k
x
是單調遞減有
下界，
從而迭代過程收斂.
六、六、解：是。因為
)(xf
在基點1、2處的插值多項式為
)2(
12
1
)1(
21
2
)(f
x
f
x
xp?
?
?
??
?
?
?
???3
0
)]2()1([
2
3
)(ffdxxp
。其代數精度為1。
七、七、證明：由題意知:
rbXAbAX???
~
,
rAXXrAXXrXXA
1
~
1
~~
)(
??
????????
又
b
A
X
XAAXbbAX??????
1
所以
b
A
Acond
b
rAA
X
XX
)(
1
~
??
?
?
。
八、解:設
)2)(1()()(
2
????xxaxxNxH
)1)(0(
2
1
21)1)(0](2,1,0[)0](1,0[)0()(
2
???????????xxxxxfxffxN
數值試題
17
所以
)2)(1()1(
2
1
21)(???????xxaxxxxxH
由
3)0('?H
得：4
1
?a
所以
13
4
5
4
1
)(23????xxxxH
令)()()(xHxfxR??,作輔助函數)2)(1()()()()(2?????tttxktHtftg
則)(tg在]3,0[上也具有4階連續導數且至少有4個零點：21,0,，xt?
反復利用羅爾定理可得：!4
)(
)(
)4(?f
xk?
，
)0)(()4(??g?
所以
)2)(1(
!4
)(
)2)(1()()()()(2
)4(
2????????xxx
f
xxxxkxHxfxR
?
九、九、證明：形如
)()()(
1
1
k
b
a
n
k
k
xfAdxxwxf?
??
?
?
的高斯（Gauss）型求
積公式具有
最高代數精度2n+1次,它對
)(xf
取所有次數不超過2n+1次
的多項式均精確成立
1）
0)()()()()(
1
1
?
???
?
?
b
a
jkijik
n
i
i
dxxwxxxxA????
2)因為
)(xl
i是n次多項式，且有?
?
?
?
?
?
ji
ji
xl
ji
1
0
)(
所以
0)()()()()(
1
1
???
??
?
ijik
b
a
n
i
ijk
xlxlAdxxwxlxl
(jk?
）
3)取
)()(
2
xlxf
i
?
，代入求積公式：因為
)(
2
xl
i是2n次多項式，
所以iji
b
a
n
j
ji
AxlAdxxwxl???
??
?
2
1
1
)]([)()(
?
??
??
?
?
?
??
1
1
1
1
2)()()(
n
k
b
a
b
a
n
k
kk
dxxwAdxxwxl
故結論成立。
十、十、解：
np
xx
xf
xxxf
p
i
p
ij
j
ji
i
p
??
?
??
??
?
?
0
)(
)(
],,,[
0
0
10
?
1
)!1(
)(
],,,[
)1(
110
?
?
?
?
?n
f
xxxf
n
n
?
?
數值計算方法試題三答案
數值試題
18
一。（24分)
（1)(2分）
??
xx
xf
??
?
1
1
(2)(2分）10
(3）(2分)
?
?
?
?
?
?
?
?
12
21
22
xx
xx
(4）（3分)3—31（5）(3分）
477
(6)(6分)
????
????
?,1,0,
4.02
6.11
1
1
1
2
2
1
1?
?
?
?
??
??
??
?
k
xx
xx
kk
kk
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
64.00
6.10
收斂
（7）（4分）991（8）（2分）h〈0。2
二.（64分）
(1）(6分）
??????
nnn
xxxcos1
4
1
1
???
?
?
,n=0，1，2，…
????1
4
1
sin
4
1
'???xx?
∴對任意的初值
]1,0[
0
?x
，迭代公式都收斂.
（2）（12分）用Newton插值方法:差分表：
100
121
144
10
11
12
0.0476190
0.0434783
-0。
?11510+0。0476190（115—100）—0。(115—100)
（115—121）
=10。7227555
??2
5
8
3
'''??xxf
數值試題
19
??
??????
00163.029615100
8
3
6
1
5100115
!3
'''
2
5
?????
????
?
?f
R
（3）(10分)設
??????xccxcxcx
212211
???????
????
????
??
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
2
1
2212
2111
,
,
,,
,,
?
?
????
????
f
f
c
c
,
??1,1
0
11
???dx??
，
??
2
1
,1
0
21
???xdx??
,
??
3
1
,1
0
2
22
???dxx??
，
??1)exp(,1
0
1
????edxxf?
,
??1)exp(,1
0
2
???dxxxf?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
3121
211
2
1
e
c
c
,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
690.1
8731.0
2
1
c
c
,
??xx690.18731.0???
????xeex618104?????
=0.873127+1。69031x
（4)（10分）
????0.946145881
2
1
40
6
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??fffS
????0.946086931
4
3
4
2
1
2
4
1
40
12
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??fffffS
5-
122
10933.0
15
1
?????SSSI
94608693.0
2
??SI
或利用余項:
??
??
????????
!9!7!5!3
1
sin8642xxxx
x
x
xf
????
?
?
?
??
!49!275
142
)4(
xx
xf??
5
1
)4(?xf
??
??5
4
)4(
4
5
105.0
52880
1
2880
???
?
?
?
?
n
f
n
ab
R?
，2?n，
???
2
SI
(5)(10分)
3.00001。00005.000034.0000
0。00003。66670.333312.6667
數值試題
20
0。00005.3333—2。33334.3333
3.00001。00005.000034。0000
0.00005。3333—2.33334。3333
0.00000.00001。93759.6875
??Tx0000.5,0000.3,0000.2?
（6）（8分)
??bAxAATT?
，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
20
8
146
63
2
1
x
x
，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000.2
3333.1
x
若用Houholder變換，則：
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
52073.236603.10
52073.136603.00
61880.446410.373205.1
,bA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
81650.000
82843.241421.10
61880.446410.373205.1
最小二乘解:（—1。33333,2。00000）T。
（7）（8分)
??5.0,
001
??yxfk
，
????0.52380955.02.021.1,
1012
??????hkyxfk
????1071429.25238095.05.01.02
22101
????????kk
h
yy
三。(12分）
（1)差分表：
115201571
數值試題
21
1
1
2
2
15
15
57
57
20
42
72
22
30
8
????????????
432
332
2345
2
xxxx
xxxxxxp
?????
??????????
其他方法：設
??????????baxxxxxp????????32111512015
令
??572?p
，
??722'?p,求出a和b
（2)取f（x）=1,x，令公式準確成立，得:
2
1
10
??AA
，3
1
2
1
10
??AA
3
1
0
?A
,6
1
1
?A
f(x)=x2時,公式左右=1/4;f(x)=x3時，公式左=1/5，公式右=5/24
∴公式的代數精度=2
（3）①
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1
10
01
Avu
,
??00.10,
01
)1(
1
??vu?
，
?
?
?
?
?
?
?
?
??
09950.0
9950.0
2
1
1
1u
u
v
②
?
?
?
?
?
?
?
?
??
095.1
05.10
12
Avu
,
??108.10,
12
)2(
1
??vu?
，
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1083.0
9941.0
2
2
2
2u
u
v
,
05.011.0)2(
1
)1(
1
?????
③
?
?
?
?
?
?
?
?
??
102.1
05.10
23
Avu
,
??110.10,
23
)3(
1
??vu?
,
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1090.0
9940.0
2
3
3
3u
u
v
，
05.0002.0)3(
1
)2(
1
?????
∴
11.10
1
??
，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1090.0
9940.0
1
x
數值試題
22
（4）局部截斷誤差=
??
11??
?
ii
yty
????????
????????????
????????32
110
32
110
3
2
''
2
1
'1
''''
''
2
'
hOxyhxhy
hOxyhxhyxhyxy
hOxy
h
xhyxy
ii
iiii
iii
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
????
???
???
令
01
10
?????
，
0
2
1
1
???
得2
3
0
??
，2
1
1
???
,
計算公式為
??
11
3
2??
???
iiii
ff
h
yy
，i=0,1,2,…
(局部截斷誤差=
????43'''
12
5
hOxyh
i
?
）
(5）記Nabh)(??
，
ihax
i
??
，
??
ii
xpp?
,
??
ii
xqq?
，
??
ii
xrr?
，
??
ii
xyy?
,i=0。。N
????
iiiiiiiii
ryqyy
h
pyyy
h
???????
????1111
22
1
2
1
,i=1.。N—1
即
??
iiiiiii
rhyp
h
yqhyp
h
2
1
2
12
12
2
1??
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
?
?
?
?
??，i=1。。N—1(1）
043
210
????yyy
，與（1）取i=1的方程聯立消去y
2
得
????
1
2
111
2
01
2222rhyhpqhyp???????（2）
0?
N
y
，與（1）取i=N-1的方程聯立消去y
N
得
??
1
2
11
2
22
2
2
1
?????
?????
?
?
?
?
?
?
?
NNNNN
rhyqhyp
h
(3）
所求三對角方程組：方程(2）,方程組（1）(i=1。。N-2）,方程（3）
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