均勻極化介質球極化電荷的電場問題之矢量二重積分解法

2023年12月30日發(fā)(作者：撫摸近義詞)

課件均勻極化介質球極化電荷的電場問題之矢量二重積分解法

茲選擇極化方向為球坐標系之z軸，半徑為R的球面上的點的矢量r表達為

?????r?i?R?sin??cos??j?R?sin??sin??k?R?cos?

對于整個均勻極化介質球面，有定義域

0????;0???2??

球面上的面積元“在球面坐標系中”表達為

dS?R2?sin??d??d?

茲球面上的極化電荷面密度函數為已知的??(?,?)?P?cos?，則

dq???(?,?)?dS?P?R2?sin??cos??d??d?

茲依照庫侖定律，有dq在坐標系原點構建的的微分電場表達為

?dE????????dq0?r?e;e?????(i?sin??cos??j?sin??sin??k?cos?)

r0?r4????0?R2r于是得到

???P?R2?sin??cos??d??d??dE???(i?sin??cos??j?sin??sin??k?cos?)

24????0?R積分表達之，得到“半徑為R的球面極化電荷在坐標系原點構建的電場為

?E???2????0??0????P?R2?sin??cos??d??d???(i?sin??cos??j?sin??sin??k?cos?)4????0?R2?顯然E無Ex和Ey分量，簡單等價地表達為

??E??k??2????0??0??P?sin??cos2??d??d?

4????0

１

簡單實現關于?的一重積分，等價地表達為

??E??k????0?P?sin??cos2??d?

2??0簡單等價地表達為

??E?k????0??P?P?P23?cos??dcos??k??(cos?)?k??(?1?1)

??02??06??06??0于是得到答案

?P?E??k?3??0

附錄：課件均勻極化介質球問題

例6-3半徑為R的介質球被均勻極化，極化強度為P。求：（1）電介質求表面極化電荷的分布；（2）極化電荷在球心處所激發(fā)的場強。PRO

２

dq?x（1）??Pcos????dE223/24??(x?r)0（2）解：?0????/2,???0???/2????,???0

Pen?rx?Rcos?，，

r?Rsin?Rd??OxO?dq'??'?2?r?Rd?

?2?Pcos?sin?Rd?P2dE??cos?sin?d?2?0

2E????0PP2cos?sin?d??2?03?0

３