代數式單項式、多項式、整式知識點綜合梳理

2024年2月18日發(作者：部署安排)

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代數式

1. 代數式的概念

用運算符號“＋－×÷……把數與表示數的字母連接而成的式子叫做代數式。

單獨的一個數或一個字母也是代數式。如：5，a，x均是代數式。

①代數式中除了含有數、字母和運算符號外，還可以有括號；

②代數式中不含有“=、>、<、≠”等符號。等式和不等式都不是代數式，但等號和不等號兩邊的式子一般都是代數式；如：2x=5這個整體因為含有等號所以不是代數式，但是等號左邊的2x和右邊的5卻是代數式。

③代數式中的字母的限制：字母所表示的數必須要使這個代數式有意義，是實際問題的要符合實際問題的意義。

1．下列式子中，是代數式的有：。

①a?b?c?d②0 ③2(a?b)?1④s??R2⑤3x?2⑥3x2?4x?1?0

2．比a多3的數是（）

A．a?3 B．a?3 C．3a D．

3．a,b兩數差的平方除以a,b兩數的平方差是（）

(a?b)2a?b2a2?b2a2?b2 A．22 B． C．2 D．

222a?ba?ba?b(a?b)a

3

4．代數式2?a所表示的意義是（）

A．比2多a的數 B．比a多2的數

C．比2少a的數 D．比a少2的數

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5．下列各題中，錯誤的是（）

A．代數式x2?y2的意義是x,y的平方和。

B．代數式5(x?y)的意義是5與x?y的積。

C．x的5倍與y的和的一半，用代數式表示是5x? D．x的y。

21111與y的的差，用代數式表示是x?y。

232326. 在式子x+2,3a2b,m,S=?R,x?3,a?b?2c中代數式有（）

yA、6個 B、5個 C、4個 D、3個

7．一項工作，甲獨做x天完成，乙獨做y天完成，甲、乙合作a天后還剩（）

A、1??11?aaa1??B、C、1?a?D、

??xy?11x?yxy???xy

2．代數式的書寫規

①代數式中數與字母相乘，字母與字母相乘，乘號通常使用“·”乘表示，或省略不寫，如v×t 通常寫成v·t或 vt；

②數與字母相乘時，一般在結果中把數寫在字母前面，如a×5應寫成5a；

③數字與數字相乘，一般仍用“×”號，即“×”號不省略或寫成“·”；5×8,不能省略乘號寫成58也不能寫成5·8；

④帶分數與字母相乘時，應先把帶分數化成假分數后與字母相乘，如a×1應寫成a；

⑤在代數式中出現除法運算時，一般按照分數的寫法來寫，如4÷（a-4）應寫作4/（a-4），3÷a寫成的形式.

- .可修編 .

12323a

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⑥在表示和（或）差的代差的代數式后有單位名稱的，則必須把代數式括起來，再將單位名稱寫在式子的后面，如（a2-b2）平方米

7a與b的差寫作a-b，要注意字母順序；若只說兩數的差，當分別設兩數○為a、b時，則應分類，寫做a-b和b-a .

分數線具有“÷”號和括號的雙重作用。

例1. 下列式子中，符合書寫要求的是（）

1mn（A）a5b（B）5a2b（C）a?b?c（D）

26

例2. 下列式子中，符號代數式書寫要求的是（）

11 A．a3 B．3x C．a D．x?3人

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例3. 下列式子中符合書寫要求的是（）

A、

a2b41 B、2abc C、a?b?c D、ayz3

33．代數式的系數

代數式中的數字中的數字因數叫做代數式的系數。如3x，4y的系數分別為3，4。

? 單個字母的系數是1，如a的系數是1；

- .可修編 .

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? 只含字母因數的代數式的系數是1或-1，如-ab的系數是-1。ab的系數是1

4、代數式的項

代數式6x2-2x-7中6x2、-2x、-7是它的項，其中把不含字母的項叫做常數項

在交待某一項時，應與前面的符號一起交待。

5、同類項

所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項。

判斷幾個代數式是否是同類項有兩個條件：

? 所含字母相同；b.相同字母的指數也相同。這兩個條件缺一不可；

? 同類項與系數無關，與字母的排列順序無關；

? 幾個常數項也是同類項。

6、合并同類項

把代數式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項。

①合并同類項的理論根據是逆用乘法分配律；

②合并同類項的法則是把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不變。

? 如果兩個同類項的系數互為相反數，合并同類項后結果為0；

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? 不是同類項的不能合并，不能合并的項，在每步運算中都要寫上；

? 只要不再有同類項，就是最后結果，結果還是代數式。

7、根據去括號法則去括號

括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項都不改變符號；比如+（2x+5），括號前面是正號，所以去括號后還是不變：2x+5

括號前面是“－”號去掉，括號里各項都改變符號。比如：-（2x-8），因為括號前面是負號，所以去括號后，括號的每一項都要變為原來的相反數：-2x+8

8、根據分配律去括號：

括號前面是“+”號看成+1，括號前面是“－”號看成-1，根據乘法的分配律用+1或-1去乘括號里的每一項以達到去括號的目的。

①去括號時，要連同括號前面的符號一起去掉；

②去括號時，首先要弄清楚括號前是“+”號還是“－”號；

③改變符號時，各項都變號；不改變符號時，各項都不變號。

9．代數式的值

用數值代替代數式里的字母，計算后所得的結果叫做代數式的值。

例1. 當x=1時，代數式px3?qx?1的值為2005，求x=－1時，代數式- .可修編 .

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px3?qx?1的值.

“整體”思想在數學解題中經常用到，請同學們在解題時恰當使用.

例2. 如果a?2?(b?1)2?0,那么代數式(a+b)2005的值為（）

A.–2005 B. 2005 C. -1 D. 1

例3．某品牌的彩電降價30%以后，每臺售價為a元，則該品牌彩電每臺原價為（）

A. 0.7a元B.0.3a元C.1010a元 D.a元

3710. 數的一切運算規律也適用于代數式

（1）加法交換律：a?b?b?a（2）加法結合律：(a?b)?c?a?(b?c)

（3）乘法交換律：ab?ba（4）乘法結合律：(ab)c?a(bc)

（5）分配律：a(b?c)?ab?ac

11. 幾個重要的代數式（m、n表示整數）

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（1）a與b的平方差是： _____； a與b差的平方是：________；

（2）若a、b、c是正整數，則兩位整數是：____ ,則三位整數是：________；

（3）若m、n是整數，則被5除商m余n的數是：_____ ；偶數是：___，奇數是：____；三個連續整數是： ______；

（4）若b＞0，則正數是:_____，負數是：______，非負數是：_____，非正數是：_____.

11.歸納法

（1）觀察下列各式：12+1=1×2，22+2=2×3，32+3=3×4------

請你將猜想到的規律用自然數n(n≥1)表示出來______________________.

（2）如圖，圖1是個正五邊形，分別連接這個正五邊形各邊中點得到圖2，再分別連接圖2小正五邊形各邊中點得到圖3：

圖１ 圖2 圖3

1、填寫下表：

圖形標號 1 2 3

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正五邊形個數

三角形個數

2、按上面方法繼續連下去，第n個圖中有多少個三角形？

3、能否分出246個三角形？簡述你的理由。

12. 代數式綜合應用

某機關原有工作人員m人，現精簡機構，減少20%的工作人員，則剩下_____人.

甲以a千米/小時、乙以b千米/小時（a＞b）的速度沿同一方向前進，甲在乙的后面8千米處開始追乙，則甲追上乙需_____________小時.

某工廠有煤m噸，計劃每天用煤n噸，實際每天節約用煤b噸，節約后可以多用（）

m?m?m?m??m?m?m?m??天B、????天 A、??天C,???天 D??n?bn??nn?b??nn?b??n?bn?

一艘輪船從A港順水航行到B港的速度為a，從B港逆水航行到A港的速度為b，則此輪船從A港出發到B港后再回到A港的平均速度為（）

A、

某校學生中男生人數為x，女生人數為y，教師人數與全校師生人數的比為- .可修編 .

ab2aba?ba?bB、C、D、

a?ba?b22ab

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1:11，則教師人數為（）

A、x?yx?yx?yx?yB、C、D、

1112106

某餐飲公司為路沿街20戶居民提供早餐方便，決定在路旁建立一個快餐店P，點P選在何處，才能使這20戶居民到P點的距離總和最小？

求圖1中陰影部分面積的代數式，并求出當x=3時陰影部分面積（π取3.14）

x

某市出租車收費標準是：起步價10元，可乘3千米；3千米到5千米，每千米價1.3元；超過5千米，每千米價2.4元。

1、 若某人乘坐了x(x＞5)千米的路程，則他應支付的費用是多少？

2、

若他支付了15元車費，你能算出他乘坐的路程嗎？

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