阿基米德與密度的故事

2024年3月29日發(作者：中華魂演講稿)

阿基米德與密度的故事

說到力學之父阿基米德，人們第一印象往往就是他那次著名的裸奔事件。據說當時希

耶隆二世制造了一頂金王冠，但他總是懷疑金匠偷了他的金子，在王冠中摻了銀。于是他

請阿基米德來鑒定，但是要求不能破壞皇冠。可憐的阿基米德，對著炫目的皇冠琢磨了半

天，終于，累了。于是仆人放好了洗澡水讓他去洗澡，當他泡進澡盆，看著溢出來的熱水

時，于是，靈光一現。他忽然想到了揭開皇冠秘密的法寶：當把物體完全浸沒在水中時，

物體即使有相同重量但不同材質，體積便會不同，那么排出的水量也不一樣。豁然開朗的

阿基米德幸福地起身直奔大街，興奮的以至于忘了他是在一絲不掛地裸奔。之后，他做了

一個重要的實驗——只要把皇冠放在水里看排出的水量，然后和同等重量的金子排出的水

量做比較即可。結果證明，皇冠的確是摻假了的。制作皇冠的工匠也腦袋搬家，阿基米德

因此獲得嘉獎。此后，阿基米德經過更加深入研究發現了阿基米德定律也即浮力原理：浸

在液體（或氣體）里的物體受到向上的浮力作用，浮力的大小等于被該物體排開的液體的

重量。用公式來簡單表示就是：f＝ρgV排，其中ρ為液體的密度，ρV排＝m排即是排開

液體的質量，g是液體的重力加速度。當年的阿基米德并沒有意識到這個簡單的公式里，

實際上還蘊含著更多更深刻的原理，皇冠里的秘密其實還另有奧秘。下面我們就逐一為您

揭示皇冠里的終極秘密。

實際上，阿基米德發現皇冠中的秘密所采用的方法就是測定不規則外形物體體積的方

法：同等重量的物體密度大小可以通過排出的水量來衡量——排出水的體積等于物體外形

的體積，即V固＝V排。我們要特別注意的是，這里的V固不過是固體外形的體積而已，

并非等于組成該固體所有固態物質的體積。據說有個老婦人也拿了個金球要阿基米德鑒定

真假，結果阿基米德得出的結論為：這不是純金的球。老婦人很氣憤，隨即一刀劈開了球，

原來球是空心的，組成球的材料卻仍然是貨真價實的純金。阿基米德失誤在于把空心部分

的空氣體積也作為固體體積了。下面我們就來討論不同的物質形態的體積起源。對于固態

物質，主要有晶態、非晶態和準晶態，大部分固態物質都是具有規則外形的結晶體。晶體

之所以有規則的外形，是因為從微觀尺度上來看晶體內部的原子堆積是具有規則的周期結

構的。組成固體的原子直徑一般在10－10m左右，我們定義這個尺度單位為1埃。而固

體材料中原子間距一般在幾個埃甚至幾十個埃左右，即原子間隙要比原子本身尺度大得多。

因此固體體積大部分來源于原子間隙，不同的原子排列方式會給出不同密度、不同外形、

不同硬度的材料。金剛石和石墨就是一個典型的例子，兩者微觀尺度上都是碳原子的規則

陣列，但金剛石中碳原子排列方式是密堆結構，而石墨則是層狀結構，不同的原子排列方

式導致金剛石的硬度和密度都要遠大于石墨。為什么原子排列方式可以多種多樣呢?這主要

是因為原子外層價電子數目和能量不同，從而形成了豐富的化學鍵結構。這些化學鍵的根

本成因就是電子－電子以及電子和原子核之間的庫侖相互作用。也就是說，庫侖相互作用

使得原子按照一定的方式規則排列，并存在較大的間隙，從而在宏觀上使得固體有了一定

的體積。此外，原子自身的體積也是庫侖相互作用形成的，原子核大小僅僅只有10－14m，

也即10－4埃，電子直徑要更小，它們和原子的直徑相比都要小的多。實際上，原子的直

徑約等于電子在原子核外運動形成的電子云直徑，也即原子核和電子間庫侖相互作用的最

大間距。由此可見，固體的體積最根本的來源就是電荷之間的基本相互作用——庫侖相互

作用。我們知道，固體中原子之間的共價鍵、離子鍵和金屬鍵都具有很強的鍵能，或者說

它們之間的庫侖相互作用因間距小而較強，因此固體的體積一般較難改變。通過施加外界

應力或者改變溫度，可以改變原子的振動能量、間距大小甚至排列方式，從而改變宏觀體

積，但這些變化相對值都很小。對于液體或者氣體，就大不一樣了。組成液體或者氣體的

分子之間主要相互作用是范德瓦爾斯力，它和化學鍵相比要小得多，這是液體或者氣體體

積的主要來源，也說明液體和氣體的體積可以很輕松地改變。而范德瓦爾斯力主要來自于

分子間偶極矩之間的相互作用，其中最大的一部分偶極矩來自分子中電子運動中產生的瞬

時偶極矩，它可以瞬時極化鄰近的分子并增強自身的瞬時偶極矩。偶極矩相互作用和電荷

本身之間的相互作用相比，它只是個二級效應，其強度要弱很多，但其本質上還是庫侖相

互作用形成的。因此，從微觀意義上來看，固體外形體積和排開液體體積的起源盡管有所

不同，但其本質都來自于庫侖相互作用。阿基米德能把它們從宏觀意義上等同，確實寓意

深遠。

我們再來看浮力公式中另一個重要因素——質量的起源是什么。在化學里，計算物質

質量通常以它們的分子量或式量為基準，為此我們只需要弄清楚分子量的本質就知道了質

量的起源。計算分子量的時候，一般是將各個原子的原子量按照原子配比加權得出，由此

可見原子之間的庫侖互相作用對分子質量貢獻可以忽略不計。那么原子量又如何得出呢?

我們定義質子質量為1原子質量單位，中子質量和質子質量幾乎相等。原子量一般就等于

或大于原子核中質子數加中子數，這是因為電子是質子質量1/1840，即電子也貢獻了很少

的一部分原子量，而電子和原子核之間的庫侖相互作用對原子量幾乎沒有貢獻。那么，質

子和中子的質量來自于什么?組成質子和中子的粒子是夸克，每個質子和中子都是由三個夸

克組成的。有意思的是，三個夸克質量之和要遠小于質子或中子的質量！似乎質子或中子

的質量就此“不知所蹤”了。經物理學家研究發現，夸克之間的相互作用要比庫侖相互作

用強很多，稱之為強相互作用，質子和中子質量大部分就來自于夸克之間的強相互作用。

夸克之間的強相互作用非常奇怪，如果增大夸克的間距，那將大大增加它們之間的相互作

用強度，這使得夸克始終保持禁閉在強子里面，而人們就無法觀測到獨立的夸克，至于夸

克的內部結構至今也尚屬未知。總之，物質的質量大部分起源于質子和中子內部夸克之間

的強相互作用，而并非是組成物質所有微粒質量的總和。上面的討論中用到了愛因斯坦質

能關系E＝mc2，即相互作用能量和質量實際上存在等價關系。能量的存在依賴于相互作

用力的存在，可見質量最根本的起源也是相互作用力。

最后我們來看浮力公式里另一個物理量——重力加速度g。重力加速度之所以存在是

因為物體在地面上受到了重力，它是地球吸引力的一個分力。浮力實際上就是浸在液體中

的物體受到的所有液體壓力的合力，其根本起源在于液體中不同深度的壓強不同，而造成

液體壓強不同的最根本的原因在于液體本身具有重力。假如我們將液體連同浸在其中的物

體一起失重，盡管物體仍然排開了一定體積的液體，實際上物體將不再受到任何浮力，因

為各處液體對物體的壓強為零或說液體的重力加速度為零。一個有趣小故事說是一艘滿載

大豆的貨輪從北半球航向南半球，行進到赤道附近的時候船長發現貨物總重量減小了。于

是他懷疑誰偷了大豆，但查了許久也沒有結果。等船到了南半球，“丟失”的大豆又回來了。

實際上，這就是由于地球重力加速度隨著緯度改變造成的，也就是說物體的重力在地球表

面不同緯度是不同的。這是由于重力只是地球對物體萬有引力的一個分力，另一個分力是

提供隨地球自轉的向心力，兩個分力在不同緯度夾角不同，另外加上地球上不同緯度的地

表離地球質心的距離也不同，從而重力的大小也有所變化。那么，萬有引力的本質是什么

呢?牛頓在開普勒、胡克、雷恩、哈雷等前人的研究工作基礎上，憑借他超凡的數學才華證

明了萬有引力定律：F＝Gm1m2/R2，其中引力常數G的數值由卡文迪許用精妙的扭秤實

驗測定出。但這不過是對實驗觀測數據的一個總結公式而已，牛頓自己并沒有解釋引力的

來源，只是將其冠上了“萬有”的名號，而后人編造了一個蘋果落地的故事則給這個定律

賦予了傳奇色彩。從這個公式可以看出，引力大小不僅和距離密切相關，也和物體的質量

成正比。正是如此，偉大的愛因斯坦高屋建瓴地從時空曲率的角度完美解釋了引力的本質。

愛因斯坦的廣義相對論指出，世界的過去和未來發生的所有事件可以用時空來統一描述，

標度這個時空維度的時間和空間坐標原則上沒有區別，而時空的結構主要由其中質量/能量

分布來決定。比如地球這個天體存在一定的質量，它就會使得周圍的時空發生彎曲，在這

個彎曲的時空背景中運動的衛星將按照它運動的能量落在合適的彎曲空間軌跡上（彎曲時

空中最短路徑不一定是直線，而是測地線，它在空間上是彎曲的。），即圍繞地球做近似圓

周運動。因此，引力實際上就等同于愛因斯坦廣義相對論中的時空的曲率，它由該時空的

質量/能量分布來決定。換句話說，引力的本質在于時空背景的曲率分布。牛頓萬有引力定

律實際上就是平直時空背景下簡化出的引力公式。蘋果落地的真實原因在于：在近地球表

面的時空背景下，時空可以近似認為是平直的，這里蘋果掉落的最短路徑就是豎直向下的

直線。這也是為何重力和重力加速度總是豎直向下的原因。

至此，我們看明白了浮力公式f＝ρgV排＝m排g中體積、質量和重力加速度的來源，

它們來自于庫侖相互作用、強相互作用和引力相互作用。即體積、質量和重力加速度都是

起源于力，所謂浮力公式就是浮力的定義和詮釋，這就是皇冠里的終極秘密！實際上，許

多物理公式里出現的物理量最終都可以把根本起源歸結到相互作用力上。自然界各種各樣

的力可以最終劃分為四類基本相互作用力，它們是：強相互作用、弱相互作用、電磁相互

作用和引力相互作用，其中強相互作用指的是質子和中子等強子之間的相互作用力，弱相

互作用指的是電子等輕子之間的相互作用力，電磁相互作用指的是電荷和磁場等形成的相

互作用力，引力指的是時空曲率背景造成的作用力。如今，理論物理學家已經可以把前三

者相互作用用所謂“大統一模型”來統一描述，而如何納入引力相互作用而得到終極理論

模型，正是新世紀物理學最前沿的課題之一