2021-2022學年北京市大興區高一(下)期末數學試卷【答案版】

2024年3月31日發(作者：防災減災主題班會)

2021-2022學年北京市大興區高一（下）期末數學試卷

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.

1．1，2，3，4，5，5這組數據的第50百分位數是（ ）

A．3 B．3.5 C．4 D．5

2．在復平面內，復數z對應的點的坐標是（2，1），則??=（ ）

A．2﹣i B．1﹣2i C．2+i D．1+2i

3．拋擲一枚硬幣兩次，則至少有一次正面朝上的概率是（ ）

A．

4

→→

1

B．

3

→→

1

C．

2

1

D．

4

3

4．已知??

1

，

??

2

是單位向量，且??

1

⊥??

2

，則下列結論正確的是（ ）

A．??

1

=??

2

B．|??

1

|+|??

2

|=1

→→→→

C．(??

1

+??

2

)

2

=2 D．|??

1

???

2

|=2

→→→→

5．如圖，A，B兩點在河的兩岸，在B同側的河岸邊選取點C，測得BC的距離10m，∠ABC＝75°，∠

ACB＝60°，則A，B兩點間的距離為（ ）

A．5

√

2?? B．5

√

3?? C．5

√

5?? D．5

√

6??

6．一個袋中只裝有紅球、黃球和藍球，從中隨機摸出一個球，若摸出紅球的概率為0.5，摸出黃球的概率

為0.4，則摸出紅球或藍球的概率是（ ）

A．0.1 B．0.3 C．0.6

→→

D．0.9

7．已知點O（0，0），A（﹣1，2），B（1，1），則????

與????的夾角的余弦值為（ ）

A．?

5

4

B．

5

4

C．?

10

3

D．

3

10

8．“直線l∥平面α”是“平面α內存在無數條直線都與直線l平行”的（ ）

A．充分而不必要條件

C．充分必要條件

→

→

→

→

→

B．必要而不充分條件

D．既不充分也不必要條件

→

9．已知向量??

，

??滿足2≤?????≤4，且|??|=2，則|??|的取值范圍是（ ）

A．（0，1） B．[1+∞） C．[2，+∞）

第1頁（共18頁）

D．[0，2]

10．如圖，在正方體ABCD﹣A

1

B

1

C

1

D

1

中，M是棱AB的中點．令直線D

1

M與AA

1

所成的角為θ

1

，直線

D

1

M與平面A

1

B

1

C

1

D

1

所成的角為θ

2

，二面角D

1

﹣AM﹣C的平面角為θ

3

，則（ ）

A．θ

1

＞θ

2

＝θ

3

C．θ

1

＝θ

2

＜θ

3

B．θ

1

＞θ

3

＞θ

2

D．θ

1

＜θ

3

＜θ

2

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11．若??

=(1

，

2)與??=(?3

，

??)是共線向量，則x＝ ．

12．若復數z滿足i?z＝1+i，則z＝ ；|z|＝ ．

13．一組樣本數據的頻率分布直方圖如圖所示，由此圖，估計總體數據不低于30的概率為 ；估計

總體數據的第80百分位數是 ．

→

→

14．已知直線m和平面α，β．給出下列三個論斷：

①m∥α； ②α∥β； ③m?β．

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題： ．

15．已知以O為起點的向量??

，

??在正方形網格中的位置如圖所示，網格紙上小正方形的邊長為1．

→

→

①???(?????)= ．

②設集合??={??|????=????+????

，

0≤??≤1

，

1≤??≤2}，

則M表示的區域的面積為 ．

第2頁（共18頁）

→→

→

→

→

→

三、解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16．（13分）已知向量??

，

??滿足|??|=1

，

??=(3

，

4)．

（1）當??與??的夾角為60°時，求?????；

（2）當實數k為何值時，向量????+??與???????垂直；

（3）若??=????(??∈??)，求λ的值．

17．（14分）從0，1，2，3這四個數字中，不放回地取兩次，每次取一個，構成數對（x，y），x為第一次

取到的數字，y為第二次取到的數字．設事件A＝“第一次取出的數字是1”，B＝“第二次取出的數字是

2”．

（1）寫出此試驗的樣本空間及P（A），P（B）的值；

（2）判斷A與B是否為互斥事件，并求P（A∪B）；

（3）寫出一個事件C，使A?C成立．

18．（15分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，E，F分別為BC，PD

的中點．

（1）求證：BD⊥平面PAC；

（2）求證：CF∥平面PAE；

（3）若平面PAE⊥平面PAD，求∠ABC的大小．

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

19．（14分）某校有高中學生1000人，其中男生400人，女生600人．A同學按男生、女生進行分層，采

用分層隨機抽樣的方法調查該校全體高中學生的身高（單位：cm）情況，總樣本量為100，計算得到男生

身高樣本的平均數為170，方差為16；女生身高樣本的平均數為160，方差為18．

（1）如果已知男、女樣本量按比例分配，求總樣本的平均數??

1

和方差s

1

2

；

（2）如果已知男、女樣本量分別為30和70，在這種情況下，總樣本的平均數為??

2

，總樣本的方差為s

2

2

，

分別直接寫出??

1

與??

2

，s

1

2

與s

2

2

的大小關系；

（3）如果已知B同學采用了簡單隨機抽樣的方法調查該校全體高中學生的身高情況，樣本量為100，其樣

本平均數為??

3

，能否認為??

1

比??

3

更接近總體平均身高，說明理由．

第3頁（共18頁）

20．（14分）在△ABC中，??=2

√

2

，

??

2

+??

2

???

2

=

√

2????．

（1）若??=

√

5，求sinC；

（2）若△ABC存在且唯一確定，求b的取值范圍．

21．（15分）如圖1，四邊形ABCD是矩形，將△ADC沿對角線AC折起成△AD'C，連接D'B，如圖2，構

成三棱錐D'﹣ABC．過動點D'作平面ABC的垂線D'O，垂足是O．

（1）當O落在何處時，平面AD'C⊥平面ABC，并說明理由；

（2）在三棱錐D'﹣ABC中，若AD'＝BD'，P為D'A的中點，判斷直線OP與平面BD'C的位置關系，并說

明理由；

（3）設T是△ABC及其內部的點構成的集合，AB＝2，BC＝1，當O∈T時，求三棱錐D'﹣ABC的體積的

取值范圍．

第4頁（共18頁）

2021-2022學年北京市大興區高一（下）期末數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.

1．1，2，3，4，5，5這組數據的第50百分位數是（ ）

A．3 B．3.5 C．4 D．5

解：1，2，3，4，5，5這組數據共計6個，所以6×50%＝3，

故第50百分位數是

故選：B．

2．在復平面內，復數z對應的點的坐標是（2，1），則??=（ ）

A．2﹣i B．1﹣2i C．2+i D．1+2i

3+4

2

=3.5，

解：∵復數z對應的點的坐標是（2，1），

∴z＝2+i，

∴??=2???．

故選：A．

3．拋擲一枚硬幣兩次，則至少有一次正面朝上的概率是（ ）

A．

4

1

B．

3

1

C．

2

1

2

1

D．

4

3

解：拋擲一枚硬幣兩次，則全部是反面朝上的概率為

故至少有一次正面朝上的概率為 1?=，

故選：D．

1

4

3

4

×

1

2

=，

4

1

4．已知??

1

，

??

2

是單位向量，且??

1

⊥??

2

，則下列結論正確的是（ ）

A．??

1

=??

2

C．(??

1

+??

2

)

2

=2

解：根據題意，依次分析選項：

對于A，??

1

⊥??

2

，則??

1

，

??

2

方向不同，A錯誤；

對于B，|??

1

|+|??

2

|＝1+1＝2，B錯誤；

對于C，??

1

⊥??

2

，則??

1

???

2

=0，則有（??

1

+??

2

）

2

=??

1

2

+??

2

2

+2??

1

???

2

=2，C正確；

對于D，??

1

⊥??

2

，則??

1

???

2

=0，則有（??

1

???

2

）

2

=??

1

2

+??

2

2

﹣2??

1

???

2

=2，則|??

1

???

2

|=

√

2，D錯誤；

第5頁（共18頁）

→→→→

→→

B．|??

1

|+|??

2

|=1

D．|??

1

???

2

|=2

→→

→→

→→

→→→→

→→

→→→→→→→→→→

→→→→→→→→→→→→

故選：C．

5．如圖，A，B兩點在河的兩岸，在B同側的河岸邊選取點C，測得BC的距離10m，∠ABC＝75°，∠

ACB＝60°，則A，B兩點間的距離為（ ）

A．5

√

2?? B．5

√

3?? C．5

√

5?? D．5

√

6??

解：在△ABC中，∠ABC＝75°，∠ACB＝60°，可得∠CAB＝180°﹣60°﹣75°＝45°，

又因為得BC＝10m，由正弦定理可得：

√

3

????

??????∠??????

=

????

??????∠??????

，

??????∠??????

2

可得AB=?BC=

√

?10＝5

√

6，

??????∠??????

2

2

故選：D．

6．一個袋中只裝有紅球、黃球和藍球，從中隨機摸出一個球，若摸出紅球的概率為0.5，摸出黃球的概率

為0.4，則摸出紅球或藍球的概率是（ ）

A．0.1 B．0.3 C．0.6 D．0.9

解：由題意可得，摸出藍球的概率為1﹣0.5﹣0.4＝0.1，

則摸出紅球或藍球的概率是0.5+0.1＝0.6．

故選：C．

7．已知點O（0，0），A（﹣1，2），B（1，1），則????

與????的夾角的余弦值為（ ）

A．?

5

4

→→

B．

5

4

C．?

10

3

D．

3

10

解：∵O（0，0），A（﹣1，2），B（1，1），

∴????=（﹣1，2），????=（2，﹣1），

故cos

＜

????，????

＞

=

故選：A．

8．“直線l∥平面α”是“平面α內存在無數條直線都與直線l平行”的（ ）

A．充分而不必要條件

C．充分必要條件

B．必要而不充分條件

→→

→→

?1×2+2×(?1)

√

(?1)

2

+2

2

?

√

2

2

+(?1)

2

=?

5

，

4

D．既不充分也不必要條件

解：①若直線l∥平面α，則l?β，α∩β＝m時，l∥m，則平面α內與直線m平行的直線都與直線l平

第6頁（共18頁）

行，

∴平面α內存在無數條直線都與直線l平行，∴充分性成立，

②若平面α內存在無數條直線都與直線l平行，則l∥平面α或l?α，∴必要性不成立，

∴“直線l∥平面α”是“平面α內存在無數條直線都與直線l平行”的充分不必要條件，

故選：A．

9．已知向量??

，

??滿足2≤?????≤4，且|??|=2，則|??|的取值范圍是（ ）

A．（0，1）

→

→

→

→

→

→

→

→

B．[1+∞）

??

2

C．[2，+∞） D．[0，2]

解：設向量??與??的夾角為θ，θ∈[0，），

→

→

?????=|??

|?|??|cosθ＝2?|??|cosθ，

因為2≤?????≤4，

所以2≤2?|??

|cosθ≤4，即1≤|??|cosθ≤2，

0

＜

??≤1

→

1

0

＜

??≤1

設cosθ＝x，|??

|＝y，則{

，即

??≥

??

，

1≤????≤2

??≤

2

{

??

作出可行域，如圖所示，

→→

→

→

→

→→

由圖可得，y≥1，

所以|??

|≥1．

故選：B．

10．如圖，在正方體ABCD﹣A

1

B

1

C

1

D

1

中，M是棱AB的中點．令直線D

1

M與AA

1

所成的角為θ

1

，直線

D

1

M與平面A

1

B

1

C

1

D

1

所成的角為θ

2

，二面角D

1

﹣AM﹣C的平面角為θ

3

，則（ ）

→

第7頁（共18頁）

A．θ

1

＞θ

2

＝θ

3

B．θ

1

＞θ

3

＞θ

2

C．θ

1

＝θ

2

＜θ

3

D．θ

1

＜θ

3

＜θ

2

解：取A

1

B

1

的中點N，連接如圖，

易得AA

1

∥MN，故直線D

1

M與AA

1

所成的角θ

1

＝∠D

1

MN，

又直線D

1

D⊥平面A

1

B

1

C

1

D

1

，

故直線D

1

M與平面A

1

B

1

C

1

D

1

所成的角為θ

2

＝∠D

1

MD，

又AB⊥平面AA

1

D

1

D，

故二面角D

1

﹣AM﹣C的平面角為θ

3

＝∠D

1

AD＝45°，

111111

因為????????

1

=

????

＞

????

=1

，

????????

3

=1

，

????????

2

=

????

＜

????

=1，

????????????????

故tanθ

1

＞tanθ

3

＞tanθ

2

，

又θ

1

，θ

2

，θ

3

均為銳角，故θ

1

＞θ

3

＞θ

2

．

故選：B．

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11．若??

=(1

，

2)與??=(?3

，

??)是共線向量，則x＝ ﹣6 ．

解：∵??=(1

，

2)與??=(?3

，

??)是共線向量，

∴

?3

1

→

→

→

→

=，

2

??

則x＝﹣6．

故答案為：﹣6．

12．若復數z滿足i?z＝1+i，則z＝ 1﹣i ；|z|＝

√

2 ．

解：∵i?z＝1+i，

∴??=

??

=

1+??(1+??)??

=1???，

??

2

∴|??|=

√1

2

+(?1)

2

=

√

2．

故答案為：1﹣i；

√

2．

13．一組樣本數據的頻率分布直方圖如圖所示，由此圖，估計總體數據不低于30的概率為 0.55 ；估

計總體數據的第80百分位數是 38.75 ．

第8頁（共18頁）

解：數據在10～20之間的頻率為：0.015×10＝0.15；

數據在20～30之間的頻率為：0.03×10＝0.3；

數據在40～50之間的頻率為：0.015×10＝0.15；

數據在30～40之間的頻率為：1﹣0.15﹣0.3﹣0.15＝0.4；

所以總體數據不低于30的概率為：0.4+0.15＝0.55；

數據在10～40之間的頻率為：1﹣0.15﹣0.85＝85%，數據在10～30之間的頻率為：0.15+0.3﹣0.45＝

45%因此總體數據的第80百分位數一定位于30～40之間．

由30+10×

0.85?0.45

=38.75，可以估計估計總體數據的第80百分位數是38.75．

故答案為：0.55；38.75．

14．已知直線m和平面α，β．給出下列三個論斷：

①m∥α； ②α∥β； ③m?β．

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題： 若α∥β，m?β，則

m∥α ．

解：①②作條件，③作結論：

若m∥α，α∥β，則m?β，此命題是假命題，結論應該是m?β或m∥β；

①③作條件，②作結論：

若m∥α，m?β，則α∥β，此命題是假命題，結論應該是α，β相交或平行；

②③作條件，①作結論：

若α∥β，m?β，則m∥α，由兩平面平行的性質定理得此命題是真命題．

故答案為：若α∥β，m?β，則m∥α．

15．已知以O為起點的向量??

，

??在正方形網格中的位置如圖所示，網格紙上小正方形的邊長為1．

①???(?????)= 2 ．

②設集合??={??|????=????+????

，

0≤??≤1

，

1≤??≤2}，則M表示的區域的面積為 4 ．

→

→

→

→→

→

→

→

0.80?0.45

第9頁（共18頁）