2022-2023學年江蘇省連云港市灌南縣、灌云縣聯(lián)考高二(上)期末數(shù)學試卷

2024年3月31日發(fā)(作者：研究生培養(yǎng))

2022-2023學年江蘇省連云港市灌南縣、灌云縣聯(lián)考高二（上）期末數(shù)學

試卷

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的．

1．已知直線l過A（﹣1，3）、B（1，1）兩點，則直線l的傾斜角的大小為（ ）

A．

4

??

B．

3

1

3

??

C．

2??

3

D．

3??

4

2．在等比數(shù)列{a

n

}中，a

3

，a

7

是函數(shù)??(??)=

??

3

?4??

2

+4???1的極值點，則a

5

＝（ ）

A．﹣2或2 B．﹣2 C．2 D．2

√

2

3．若拋物線y

2

＝8x上的點M到焦點的距離為8，則點M到y(tǒng)軸的距離是（ ）

A．4 B．6 C．8 D．10

(???1)

2

+(???1)

2

=9

4．方程組

{

2

的解的個數(shù)是（ ）

??+??

2

?8??+6??+9=0

A．2 B．1 C．0 D．不確定

5．若{a

n

}為等差數(shù)列，其前n項和為S

n

，S

4

＝2，S

8

＝6，則S

12

＝（ ）

A．10 B．12 C．14 D．16

6．寧啟鐵路線新開行“綠巨人”動力集中復興號動車組，最高時速為160km/h．假設“綠巨人”開出站一

段時間內，速度v（m/s）與行駛時間t（s）的關系為v＝6.6t+0.6t

2

，則出站后“綠巨人”速度首次達到

48m/s時加速度為（ ）

A．12.6m/s

2

7．已知橢圓方程為

??

2

??

2

B．14.6m/s

2

+

??

2

??

2

C．14.8m/s

2

D．16.8m/s

2

=1(??

＞

??

＞

0)，點（0，1）在橢圓上，右焦點為F，過原點的直線與橢圓交于

A，B兩點，若|AF|+|BF|＝4，則橢圓的方程為（ ）

A．

C．

??

2

4

3

+??=1

+

??

2

2

2

B．

??

2

2

??

2

4

+??

2

=1

+

??

2

3

??

2

=1 D．=1

2??+4

，

??≤0

8．已知函數(shù)??(??)={

，關于x的方程f（x）＝a恰有兩個不等實根x

1

，x

2

（x

1

＜x

2

），則x

1

?

??????

，

??

＞

0

x

2

的最小值為（ ）

A．?

??

3

B．?

??

2

2

C．﹣2e D．?

??

3

2

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．每小題給出的四個選項中，有多項符合題

目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．

第1頁（共14頁）

9．定義在R上的函數(shù)y＝f（x）的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）

A．函數(shù)y＝f（x）在（3，5）上單調遞減 B．f（0）＞f（3）

C．函數(shù)y＝f（x）在x＝5處取得極小值 D．函數(shù)y＝f（x）存在最小值

10．已知直線l：（m+2）x+y+m+1＝0，圓C：x

2

+y

2

+4x﹣5＝0，則（ ）

A．圓C的圓心為（2，0）

B．直線l過定點（﹣1，1）

D．無論m取何值，直線l與圓C相交 C．圓心到直線l的最大距離為

√

2

11．已知雙曲線C：

??

2

??

2

?

??

2

??

2

=1（a＞0，b＞0）經(jīng)過點M（3，

√

2），并且它的一條漸近線被圓（x﹣2）

2

+y

2

＝4所截得的弦長為2

√

3，則下列結論正確的是（ ）

A．C的離心率為

C．C的方程為

??

2

3

2

√

3

3

B．C的漸近線為??=±

√

3??

D．直線???

√

2???1=0與C有兩個公共點 ???

2

=1

12．分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學，分形的外表結構極為復雜，但其內部卻是

有規(guī)律可尋的，一個數(shù)學意義上的分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系

統(tǒng)．下面我們用分形的方法得到一系列圖形，如圖1，在長度為1的線段AB上取兩個點C、D，使得

????=????=????，以CD為邊在線段AB的上方做一個正方形，然后擦掉CD，就得到圖形2；對圖形2

中的最上方的線段EF作同樣的操作，得到圖形3；依次類推，我們就得到以下的一系列圖形設圖1，

圖2，圖3，…，圖n，各圖中的線段長度和為a

n

，數(shù)列{a

n

}的前n項和為S

n

，則（ ）

1

4

A．數(shù)列{a

n

}是等比數(shù)列 B．??

5

=

8

D．a(chǎn)

n

＜3恒成立

89

C．存在正數(shù)m，使得S

n

＜m恒成立

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．

13．曲線y＝lnx+x+1的一條切線的斜率為1+

??

（e為自然對數(shù)的底數(shù)），該切線的方程為 ．

第2頁（共14頁）

1

14．諾沃爾（Knowall）在1740年發(fā)現(xiàn)了一顆彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年?人類都可以看

到這顆彗星，即彗星每隔83年出現(xiàn)一次．從發(fā)現(xiàn)那次算起，彗星第10次出現(xiàn)的年份是 ．

15．設k為實數(shù)，已知雙曲線

??

2

4

?

??

2

??

=1的離心率e∈（2，3），則k的取值范圍為 ．

16．已知扇形OAB的半徑為4，圓心角為2θ（0＜2θ＜π），作扇形OAB的內切圓P，再在扇形內作一個與

扇形兩個半徑OA，OB相切且與圓P外切的小圓Q，則小圓Q半徑的最大值為 ，此時圓P的

面積為 ．

四、解答題（本大題共6小題，共計70分．請在答題卡指定區(qū)域內作答．解答時應寫出文字說明、證明

過程或演算步驟）

17．（10分）已知函數(shù)f（x）＝x

3

﹣ax

2

．

（1）若f'（1）＝3，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值；

（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

18．（12分）在數(shù)列{a

n

}中，a

1

＝2，??

??+1

=2??

??

+2(??∈??

?

)．

（1）證明：數(shù)列{a

n

+2}是等比數(shù)列；

（2）若b

n

＝log

2

（a

n

+2），??

??

=

????

，求數(shù)列{c

n

}的前n項和S

n

．

??

??+1

19．（12分）已知圓O：x

2

+y

2

＝1，拋物線C：y

2

＝2px的焦點坐標為F（2，0）．

（1）過圓O外一點P作直線PQ與圓O相切于點Q，且????=

√

2????，求點P的軌跡方程；

（2）過點F與圓O相切的直線交拋物線C于A，B兩點，求|AB|．

20．（12分）已知數(shù)列{a

n

}的前n項和S

n

＝n

2

+n，遞增等比數(shù)列{b

n

}滿足b

2

＝a

1

，且2（b

n+2

+b

n

）＝5b

n+1

．

（Ⅰ）求數(shù)列{a

n

}，{b

n

}的通項公式；

（Ⅱ）求數(shù)列{a

n

?b

n

}的前n項和為T

n

．

??

2

??

2

??

2

21．（12分）已知橢圓??

：

2

+

2

=1(??

＞

??

＞

0)與雙曲線???

2

=1有相同的焦點，橢圓C上任一點到

??

2

??

1

兩個焦點的距離之和為4，直線??

：

??=

2

??+??與橢圓C相交于A，B兩點．

（1）求橢圓C的方程；

（2）橢圓C上是否存在定點M（x

0

，y

0

），使得直線MA的傾斜角與直線MB的傾斜角互補，若存在，

第3頁（共14頁）

√

3

求出M點的坐標，若不存在，請說明理由．

22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝alnx．

（1）記函數(shù)g（x）＝x

2

﹣（a+2）x+f（x），當a＞2時，討論函數(shù)g（x）的單調性；

（2）設h（x）＝f（x）﹣x

2

，若h（x）存在兩個不同的零點x

1

，x

2

，證明：2e＜a＜x

1

2

+x

2

2

（e為自然

對數(shù)的底數(shù)）．

2022-2023學年江蘇省連云港市灌南縣、灌云縣聯(lián)考高二（上）期末數(shù)學

試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的．

1．已知直線l過A（﹣1，3）、B（1，1）兩點，則直線l的傾斜角的大小為（ ）

A．

4

??

B．

3

??

C．

2??

3

D．

1?3

3??

4

3??

4

解：直線l過A（﹣1，3）、B（1，1）兩點，則直線l的斜率k=

1+1

=?1，故直線的傾斜角為

故選：D．

2．在等比數(shù)列{a

n

}中，a

3

，a

7

是函數(shù)??(??)=

??

3

?4??

2

+4???1的極值點，則a

5

＝（ ）

A．﹣2或2

1

1

3

．

B．﹣2 C．2

1

D．2

√

2

解：由??(??)=

3

??

3

?4??

2

+4???1，f′（x）=

3

×3x

2

﹣4×2x+4＝x

2

﹣8x+4，

因為a

3

，a

7

是f（x）的極值點，所以f′（x）＝0的兩個根為a

3

，a

7

，

∴a

3

+a

7

＝8，a

3

?a

7

＝4，∴a

3

，a

7

為正，

又因為{a

n

}為等比數(shù)列，所以a

5

2

＝a

3

?a

7

＝4，

又a

5

＝a

3

q

2

，a

3

，a

5

同號，∴a

5

＝2，

故選：C．

3．若拋物線y

2

＝8x上的點M到焦點的距離為8，則點M到y(tǒng)軸的距離是（ ）

A．4 B．6 C．8 D．10

解：因為拋物線的方程為y

2

＝8x，

所以2p＝8，解得p＝4，

所以準線方程為x=?

2

=?2，

又因為點M到焦點的距離為8，

第4頁（共14頁）

??

所以點M到準線的距離為8，

設點M到y(tǒng)軸的距離為m，

則有m+2＝8，解得m＝6．

故選：B．

(???1)

2

+(???1)

2

=9

4．方程組

{

2

的解的個數(shù)是（ ）

??+??

2

?8??+6??+9=0

A．2 B．1 C．0 D．不確定

(???1)

2

+(???1)

2

=9

解：根據(jù)題意，方程組

{

2

的解的個數(shù)，就是曲線（x﹣1）

2

+（y﹣1）

2

＝9和曲

2

??+???8??+6??+9=0

線x

2

+y

2

﹣8x+6y+9＝0的交點的個數(shù)，

曲線（x﹣1）

2

+（y﹣1）

2

＝9，是以（1，1）為圓心，半徑r＝3的圓，

曲線x

2

+y

2

﹣8x+6y+9＝0，即（x﹣4）

2

+（y+3）

2

＝16，是以（4，﹣3）為圓心，半徑R＝4的圓，

兩圓的圓心距d=

√

9+16=5，

(???1)

2

+(???1)

2

=9

有4﹣3＜d＜4+3，兩圓相交，故兩圓有2個交點，即方程組

{

2

有兩組解，

??+??

2

?8??+6??+9=0

故選：A．

5．若{a

n

}為等差數(shù)列，其前n項和為S

n

，S

4

＝2，S

8

＝6，則S

12

＝（ ）

A．10 B．12 C．14 D．16

解：∵{a

n

}是等差數(shù)列，其前n項和為S

n

，

∴S

4

，S

8

﹣S

4

，S

12

﹣S

8

構成等差數(shù)列，

∴2（S

8

﹣S

4

）＝S

4

+S

12

﹣S

8

，即2×（6﹣2）＝2+S

12

﹣6，

∴S

12

＝12．

故選：B．

6．寧啟鐵路線新開行“綠巨人”動力集中復興號動車組，最高時速為160km/h．假設“綠巨人”開出站一

段時間內，速度v（m/s）與行駛時間t（s）的關系為v＝6.6t+0.6t

2

，則出站后“綠巨人”速度首次達到

48m/s時加速度為（ ）

A．12.6m/s

2

B．14.6m/s

2

C．14.8m/s

2

D．16.8m/s

2

解：當v＝48時，由6.6t+0.6t

2

＝48，解得t＝5或t＝﹣16（舍去），

因為v＝6.6t+0.6t

2

，則v′＝6.6+1.2t，

當t＝5時，v′＝6.6+1.2×5＝12.6（m/s

2

），

故選：A．

7．已知橢圓方程為

??

2

??

2

+

??

2

??

2

=1(??

＞

??

＞

0)，點（0，1）在橢圓上，右焦點為F，過原點的直線與橢圓交于

第5頁（共14頁）

A，B兩點，若|AF|+|BF|＝4，則橢圓的方程為（ ）

A．

C．

??

2

4

3

+??=1

+

??

2

2

2

B．

??

2

2

??

2

4

+??

2

=1

+

??

2

3

??

2

=1 D．=1

解：取左焦點F'，連接AF'，

由橢圓的對稱性及A，B的對稱性可得|AF'|＝|BF|，

所以|AF|+|BF|＝|AF|+|AF'|＝2a＝4，可得a＝2，

由（0，1）點在橢圓上，可得b＝1，

所以橢圓的方程為：

故選：A．

??

2

4

+y

2

＝1，

2??+4

，

??≤0

8．已知函數(shù)??(??)={

，關于x的方程f（x）＝a恰有兩個不等實根x

1

，x

2

（x

1

＜x

2

），則x

1

?

??????

，

??

＞

0

x

2

的最小值為（ ）

A．?

3

??

B．?

2

??

2

C．﹣2e D．?

2

??

3

2??+4

，

??≤0

解：∵函數(shù)??(??)={，關于x的方程f（x）＝a恰有兩個不等實根x

1

，x

2

（x

1

＜x

2

），

??????

，

??

＞

0

對應圖像大致如圖：

則0＜x

2

≤e

4

，且2x

1

+4＝a＝lnx

2

，

第6頁（共14頁）

可得x

1

=

∴x

1

?x

2

=

??????

2

?4

，

2

??????

2

?4

?x

2

，

2

1

2

1

2

令g（x）=（lnx﹣4）x=（xlnx﹣4x），（0＜x≤e

4

），

則g′（x）=

2

（lnx﹣3），

則0＜x＜e

3

時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，

e

3

＜x＜e

4

時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，

故當x＝e

3

時，g（x）

min

=

2

（e

3

lne

3

﹣4e

3

）=?

2

e

3

，

故選：D．

二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．每小題給出的四個選項中，有多項符合題

目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．

9．定義在R上的函數(shù)y＝f（x）的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）

11

1

A．函數(shù)y＝f（x）在（3，5）上單調遞減 B．f（0）＞f（3）

C．函數(shù)y＝f（x）在x＝5處取得極小值 D．函數(shù)y＝f（x）存在最小值

解：由導函數(shù)的圖象可得

在（﹣∞，﹣1）上f′（x）＜0，f（x）單調遞減，

在（﹣1，3）上f′（x）＞0，f（x）單調遞增，

在（3，5）上f′（x）＜0，f（x）單調遞減，

在（5，+∞）上f′（x）＞0，f（x）單調遞增，

所以f（x）在x＝3處取得極大值，在x＝﹣1和x＝5處取得極小值，

函數(shù)f（x）存在最小值，f（x）

min

＝min{f（﹣1），f（5）}，

故選：ACD．

10．已知直線l：（m+2）x+y+m+1＝0，圓C：x

2

+y

2

+4x﹣5＝0，則（ ）

A．圓C的圓心為（2，0）

B．直線l過定點（﹣1，1）

D．無論m取何值，直線l與圓C相交 C．圓心到直線l的最大距離為

√

2

解：直線l：（m+2）x+y+m+1＝0過定點（﹣1，1），圓C：x

2

+y

2

+4x﹣5＝0的圓心為（﹣2，0），半徑為

第7頁（共14頁）