高等數學二

超級狩獵者整理

第1頁共15頁

2018年全國碩士研究生入學統一考試

數學二考研真題與全面解析（Word版）

一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分,下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目

要求的，請將所選項前的字母填在答題紙

．．．

指定位置上。

1.若??2

1

2

0

lim1x

x

x

eaxbx

?

???

，則（）

(A)

1

,1

2

ab???（B）

1

,1

2

ab????（C）

1

,1

2

ab??（D）

1

,1

2

ab???

【答案】（B）

【解析】由重要極限可得

????

??

22

2

2

2

22

0

11

22

00

1

11

lim

2

1

0

1limlim1(1)

lim1(1)

x

x

x

x

xx

xx

xx

eaxbx

eaxbx

x

x

eaxbxx

x

eaxbxeaxbx

eaxbxe?

??

???

???

?

???

?

????????

??????

，

因此,

222

2

22

00

1

()

1

2

lim0lim0

x

xx

xxaxbxx

eaxbx

xx??

????

???

???

?

22

2

0

1

()(1)()

1

2

lim00,10

2x

axbxx

ab

x?

????

???????

?

或用“洛必達”：

2

(1)

2

000

12212

lim0limlim0

222

xxx

b

xxx

eaxbxeaxbeaa

xx

???

???

???????

?????????，

故

1

,1

2

ab???，選（B).

2。下列函數中在0x?處不可導的是（)

（A）()sinfxxx?（B）()sinfxxx?

(C）()cosfxx?（D）()cosfxx?

【答案】（D）

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第2頁共15頁

【解析】根據導數定義，A。

000

sin

()(0)

limlimlim0

xxx

xxxx

fxf

xxx???

?

???，可導；

B。

000

sin

()(0)

limlimlim0

xxx

xxxx

fxf

xxx???

?

???，可導;

C。

2

000

1

cos1

()(0)

2

limlimlim0

xxx

x

x

fxf

xxx???

?

?

?

???，可導;

D。

??2

000

11

cos1

22

limlimlim

xxx

xx

x

xxx???

??

?

??,極限不存在。故選（D）。

3.設函數

1,0

()

1,0

x

fx

x

??

?

?

?

?

?

，

2,1

(),10

,0

axx

gxxx

xbx

???

?

?

????

?

?

??

?

，若()()fxgx?在R上連續，則（).

（A)3,1ab??（B）3,2ab??(C）3,1ab???(D）3,2ab???

【答案】（D)

【解析】令

1,1

()()()1,10

1,0

axx

Fxfxgxxx

xbx

???

?

?

???????

?

?

???

?

,

則(1)1,(0)1,FaFb?????(10)2,(00)1,FF???????

因為函數連續，所以極限值等于函數值，即12,113,2abab??????????，

故選(D）.

4。設函數()fx在[0,1]上二階可導。且

1

0

()0fxdx??，則（）

(A）當()0fx

?

?時，

1

()0

2

f?（B）當()0fx

??

?時,

1

()0

2

f?

（C）當()0fx

?

?時，

1

()0

2

f?（D）當()0fx

??

?時，

1

()0

2

f?

【答案】（D）

【解析一】有高于一階導數的信息時，優先考慮“泰勒展開”。從選項中判斷,展開點為

0

1

2

x?。

將函數()fx在

0

1

2

x?處展開，有

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第3頁共15頁

2

111()1

()()()()()

2222!2

f

fxffxx

???

?

?????,其中

1

2

x???。

兩邊積分,得

111

2

000

111()1

0()()()()()

2222!2

f

fxdxffxdxxdx

???

?

?????????

1

2

0

1()1

()()

22!2

f

fxdx

???

????，

由于

1

2

0

()1

()0()0

2!2

f

fxxdx

???

??

?????，所以

1

()0

2

f?，應選（D）。

【解析二】排除法。

（A）錯誤。令

1

()

2

fxx???，易知

1

0

()0fxdx??，()10fx

?

???,但是

1

()0

2

f?.

（B）錯誤.令

2

1

()

3

fxx???,易知

1

0

()0fxdx??,()20fx

??

???，但是

1

()0

2

f?。

（C)錯誤.令

1

()

2

fxx??，易知

1

0

()0fxdx??，()10fx

?

??，但是

1

()0

2

f?。

故選(D）。

5。設

2

2

2

2

(1)

1

x

Mdx

x

?

?

?

?

?

?

?，2

2

1

x

x

Ndx

e

?

?

?

?

??，2

2

(1cos)Kxdx

?

?

?

???，則（）

（A）MNK??（B）MKN??（C）KMN??（D）KNM??

【答案】（C）

【解析】積分區間是對稱區間，先利用對稱性化簡，能求出積分最好，不能求出積分則最簡化積分。

22

222

222

222

(1)122

(1)

111

xxxx

Mdxdxdx

xxx

???

???

?

???

???

?????

???

???,

22

22

(1cos)1Kxdxdx

??

??

?

??

??????,

令()1,(,)

22

xfxexx

??

?????,則()1xfxe

?

??,當(,0)

2

x

?

??時,()0fx

?

?，

當(0,)

2

x

?

?時，()0fx

?

?，故對(,)

22

x

??

???，有()(0)0fxf??，因而

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第4頁共15頁

1

1

x

x

e

?

?,22

22

1

1

x

x

Ndxdx

e

??

??

?

??

?

?????，故KMN??。應選（C）.

6。

220212

10

(1)(1)xx

xx

dxxydydxxydy??

?

????????（）

（A）

5

3

（B)

5

6

（C）

7

3

（D）

7

6

【答案】（C）

【解析】還原積分區域，如圖所示：

積分區域D關于y軸對稱，被積函數中xy關于x是奇函數，所以

220212

10

1

2

0

(1)(1)

7

(1)(2)

3

xx

xx

DD

dxxydydxxydy

xydxdydxdyxxdx

??

?

???

???????

????

?????，

故選（C）。

7。下列矩陣中陣，與矩陣

110

011

001

??

??

??

??

??

相似的是（)

(A）

111

011

001

?

??

??

??

??

??

（B）

101

011

001

?

??

??

??

??

??

（C）

111

010

001

?

??

??

??

??

??

（D）

101

010

001

?

??

??

??

??

??

【答案】（A）

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第5頁共15頁

【解析】記矩陣

110

011

001

H

??

??

?

??

??

??

，則秩()3rH?，跡()3trH?,特征值1??

(三重）。觀察,,,ABCD四個選項，它們與矩陣H的秩相等、跡相等、行列式相等,特征值也相

等,進一步分析可得：()2rEH???，()2rEA???，()1rEB???

()1rEC???，()1rED???。如果矩陣A與矩陣X相似,則必有kEA?與kEX?

相似（k為任意常數)，從而()()rkEArkEX???)，故選（A）,

8.設,AB是n階矩陣，記()rX為矩陣X的秩，(,)XY表示分塊矩陣，則(）

（A）(,)()rAABrA?（B）(,)()rABArA?

（C）(,)max{(),()}rABrArB?（D）(,)(,)TTrABrAB?

【答案】（A）

【解析】把矩陣,AAB按列分塊，記

1212

(,,),(,,)

nn

AAB????????,則向量組

12

,,

n

???可以由向量組

12

,,

n

???線性表出，從而

12

,,

n

???與

12

,,

n

???，

12

,,

n

???，等價，于是(,)()rAABrA?，故選（A).

，二、填空題：9?14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙

．．．

指定位置上.

9。若

2lim[arctan(1)arctan]

x

xxx

???

???

。

【答案】1。

【解析】【方法一】由拉格朗日中值定理可得

2

1

arctan(1)arctan,

1

xx???

??其中1,0xxx?????，

可知

222

111

1(1)11xx

??

?????

，而

22

22

limlim1

1(1)1xx

xx

xx??????

??

???

，

根據夾逼定理可得，

2

2

2

lim[arctan(1)arctan]lim1

1xx

x

xxx

??????

????

??

。

【方法二】0?型未定式的極限必須化成商式。

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第6頁共15頁

2

2

arctan(1)arctan

lim[arctan(1)arctan]lim

xx

xx

xxx

x?

??????

??

???

322

22

322

11

1[1(1)(1)]

1(1)1

limlim

22(1)[1(1)]xx

xxx

xx

xxx?

??????

?

????

???

??

????

43

22

12

lim1

2(1)[1(1)]x

xx

xx???

?

??

???

。

10.曲線

22lnyxx??在其拐點處的切線方程為.

【答案】43yx??.

【解析】函數的定義域為(0,)??，

2

2yx

x

?

??，

2

2

2y

x

??

??；

3

4

y

x

???

?。

令0y

??

?，解得1x?，而(1)0y

???

?,故點(1,1)是曲線唯一的拐點.曲線在該點處的斜率

(1)4y

?

?，所以切線方程為43yx??。

11.

2

543

dx

xx

???

??

?;

【答案】

1

ln2

2

。

【解析】

2

55

5

111131

lnln2

43231212

dxx

dx

xxxxx

??

?????

????

????

????

?????

????

??.

12。曲線

3

3

cos

sin

xt

yt

?

?

?

?

?

?

?

，在

4

t

?

?對應處的曲率。

【答案】

2

3

。

【解析】有參數方程求導公式可知

2

2

3sincos

tan

3cossin

dytt

t

dxtt

???

?

，

22

222

(tan)c

3cossin3cossin

dytt

dxtttt

?

?

??

?

，

超級狩獵者整理

第7頁共15頁

故曲率

2

2

33

22

22

c

3cossin

1

3cossin

(1)(1tan)

t

y

tt

K

tt

yt

??

???

?

??

，代入

4

t

?

?，可得

4

2

3t

K?

?

?。

13。設函數(,)zzxy?由方程

1lnzzexy???確定，則

1

(2,)

2

z

x

?

?

?

。

【答案】

1

4

。

【解析】方程兩邊同時對x求導,得

1

1

z

zz

ey

zxx

?

??

??

??

，將

1

2,

2

xy??代入原方程可得

1z?，整理可得

1

(2,)

2

1

4

z

x

?

?

?

。

14.設A為3階矩陣,

123

,,???為線性無關的向量組，

1123

2A???????,

223

2A?????，

323

A??????，則A的實特征值為。

【答案】2.

【解析】

123123123

200

(,,)(,,)(,,)111

121

AAAA?????????

??

??

???

??

??

??

，

令

123

200

(,,),111

121

PC???

??

??

???

??

??

??

,

則APPC?，P可逆,故A相似于C，A于C有相同的特征值。

2

200

111(2)(23)0

121

EC

?

?????

?

?

?????????

???

解得矩陣的實特征值為2??.

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第8頁共15頁

1

()

11

2

()

11

44

()

22

PC

PC

PC

????

??

，

三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答題紙

．．．

指定位置上。解答應寫出文字說明、證明

過程或演算步驟.

15。（本題滿分10分)求不定積分

2arctan1xxeedx??。

【解析】

22

1

arctan1arctan1

2

xxxxeedxede?????

22

22

2

2

2

23

11

arctan1arctan1

22

111

arctan1

22

1(1)

11

arctan11

22

111

arctan1(1)11

222

111

arctan1(1)1

262

xxxx

x

xxx

x

xxxx

xxxxx

xxxx

eeede

de

eee

e

eeede

eeedede

eeeeC

????

?

???

??

????

???????

???????

?

?

?

??

16。（本題滿分10分）已知連續函數()fx滿足

2

00

()()xxftdttfxtdtax?????

(I）求()fx；（II）若()fx在區間[0,1]上的平均值為1,求a的值。

【解析】令uxt??,則dudt??,從而

0000

()()()()()xxxxtfxtdtxufuduxfuduufudu?????????,

原方程化為

2

000

()()()xxxftdtxfuduufuduax??????，等式兩邊對x求導，得

0

()()2xfxfuduax???,且(0)0f?，

由于()fx連續，可知

0

()xfudu?可導,進而有()fx可導.

上式再求導可得()()2fxfxa

?

??。由一階線性微分方程的通解公式可得

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第9頁共15頁

()(2)xxfxeaeC???,

將(0)0f?代入，解得2Ca??，于是有()2(1)xfxae???.

（II）根據題意可知

1

0

1

1()

10

fxdx?

?

?,將()2(1)xfxae???代入,可得

2

e

a?。

17。（本題滿分10分)設平面區域D由曲線

sin

,(02)

1cos

xtt

t

yt

?

??

?

??

?

??

?

與x圍成,計算二

重積分(2)

D

xyd????。

【解析】畫積分區域的草圖，化二重積分為二次積分

2()2

2

000

(2)(2)(()())yx

D

xyddxxydyxyxyxdx

?????????????,

利用邊界曲線方程sin,1cos,(02)xttytt???????換元，

2

2

0

(2)[(sin)(1cos)(1cos)](sin)

D

xydttttdtt

????????????

22

23

00

(sin)(1cos)(1cos)tttdttdt

??

???????,

其中

2

2

0

(sin)(1cos)tttdt

?

???

2

222

0

(cos2cossinsincossin2)3tttttttttdt

??????????,

22

332

00

(1cos)(1cos3cos3cos)5tdttttdt

???????????，

故

2(2)35

D

xyd????????.

18.（本題滿分10分）已知常數ln21k??，證明:

2(1)(ln2ln1)0xxxkx?????。

【分析】該題的本質是：證明“大于號左邊式子構成的函數的最小值為0”。由于左邊式子是兩個

超級狩獵者整理

第10頁共15頁

因式的乘積且(1)x?較為簡單，因此只需要以(1)x?的正負來論證另一個因式的各種變化即可。

【證明】當01x??(lnx的定義域是0x?）時,僅需證

2ln2ln10xxkx????；

當1x?時，僅需證

2ln2ln10xxkx????。

令

2()ln2ln1Fxxxkx????，則

ln22ln2

()12

xkxxk

Fx

xxx

??

?

????，

令()2ln2Gxxxk???,則

2

()1Gx

x

?

??.

（1）當01x??時，()0,()GxGx

?

?單調遞減，()(1)2ln210GxG????，

從而()0Fx

?

?,()Fx單調遞增,于是有()(1)0FxF??，命題成立.

（2)當12x??時，

2

()10Gx

x

?

???；當2x?時,

2

()10Gx

x

?

???。

故()2ln2Gxxxk???在??1,??內的最小值在2x?取得，而(2)0G?，

因此，當(1,)x???時，()0Gx?，從而

()

()0

Gx

Fx

x

?

??，且僅在2x?處可能

有()0Fx

?

?.于是，當(1,)x???時，()Fx單調遞增，()(1)0FxF??,

也即

2ln2ln10xxkx????。

綜上所述，對任意的(0,)x???，均有

2(1)(ln2ln1)0xxxkx?????。

19。（本題滿分10分)將長為2m的鐵絲分成三段，依次圍成圓、正方形與正三角形,三個圖形的

面積之和是否存在最小值？若存在，求出最小值.

【答案】面積之和存在最小值，

min

1

433

S

?

?

??

。

【解析】設圓的半徑為x,正方形的邊長為y，三角形的邊長為z，則2432xyz????，

三個圖形的面積之和為

222

3

(,,)

4

Sxyzxyz????，

則問題轉化為“在條件2432xyz????，0,0,0xyz???下，求三元函數

超級狩獵者整理

第11頁共15頁

222

3

(,,)

4

Sxyzxyz????的最小值”.

令

222

3

(2432)

4

Lxyzxyz??????????

解方程組

220

240

3

30

2

24320

x

y

z

Lx

Ly

Lz

Lxyz

?

???

?

?

?

?

???

?

?

?

???

?

?

?

?

???

?

?

?

?????

?

?

,得到唯一駐點

1

433

2

433

23

433

x

y

z

?

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

??

?

?

?

?

??

?

由實際問題可知，最小值一定存在,且在該駐點處取得最小值。最小面積和為

min

1

433

S

?

?

??

.

20。（本題滿分11分)已知曲線

2

4

:(0)

9

Lyxx??，點(0,0)O，點(0,1)A.設P是L上

的動點，S直線OA與直線AP及曲線L所圍圖形的面積。若P運動到點(3,4)時沿x軸方向的

速度是4,求此時S關于時間t的變化率.

【解析】畫草圖，可以看出所求面積等于一個梯形面積減去一個曲邊三角形(空白部分)面積.

設t時刻,動點P的坐標為

2

4

,

9

xx

??

??

??

，則面積

3

22

0

442

1

299272

xxxx

Sxudu

??

?????

??

??

?,

所求變化率為

2

33

3

21

410

92

xx

x

dSdSdx

x

dtdxdt

??

?

??

????

??

??

。

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第12頁共15頁

21.(本題滿分10分）設數列??

n

x滿足1

1

0,1(1,2,3,)nn

xx

n

xxeen????? .

證明??

n

x收斂，并求lim

n

n

x

??

.

【證明一】因為

1

0x?,所以

1

2

1

1x

x

e

e

x

?

? 。

根據拉格朗日中值定理，存在

1

(0,)x??，使得

1

1

1xe

e

x

?

?

?,即2

xee??，因此

21

0xx??.完全類似,假設

1

0

nn

xx

?

??，則

1

2

1

1

1

(0)n

n

x

x

n

n

e

eex

x

???

?

?

?

?

????，即

21

0

nn

xx

??

??，

故數列??

n

x單調減少且有下界，從而數列??

n

x收斂.

設lim

n

n

xA

??

?，在等式11nn

xx

n

xee??? 兩邊取極限，得1AAAee?? ，解方程得唯一

解0A?，故lim0

n

n

x

??

?。

【證明二】首先證明數列??

n

x有下界，即證明0

n

x?:

當1n?時,

1

0x?.根據題設

1

2

1

1

ln

xe

x

x

?

? ,由1

1

1xex??可知

2

ln10x?? ；

假設當nk?時，0

k

x?;

則當1nk??時,

1

1

lnk

x

k

k

e

x

x?

?

? ，其中1k

x

k

ex??，可知

1

ln10

k

x

?

??。

根據數學歸納法，對任意的nN??，0

n

x?。

再證明數列??

n

x的單調性：

1

111

lnlnlnlnnnn

n

n

xxx

x

nnn

x

nn

n

eee

xxxe

xx

xe?

???

??????，

（離散函數連續化)設()1(0)xxfxexex????，則當0x?時，()0xfxxe

?

???,

()fx單調遞減，()(0)0fxf??，即1xxexe??.

超級狩獵者整理

第13頁共15頁

從而

1

1

lnln10n

n

x

nn

x

n

e

xx

xe?

?

????，故

1nn

xx

?

?，即數列??

n

x的單調遞減。

綜上，數列??

n

x的單調遞減且有下界。由單調有界收斂原理可知??

n

x收斂.

設lim

n

n

xa

??

?,在等式11nn

xx

n

xee??? 兩邊同時令n??,得1aaaee?? ，解方

程得唯一解0a?，故lim0

n

n

x

??

?.

22.（本題滿分11分）設二次型

222

1231232313

(,,)()()()fxxxxxxxxxax???????,其中a是參數。

（I）求

123

(,,)0fxxx?的解;（II）求

123

(,,)fxxx的規范型.

【解析】（I）由

123

(,,)0fxxx?可得

123

23

13

0

0

0

xxx

xx

xax

???

?

?

??

?

?

??

?

對上述齊次線性方程組的系數矩陣作初等行變換得

111111111

011011011

10011002

A

aaa

???

??????

??????

???

??????

??????

??

??????

當2a?時，

123

(,,)0fxxx?只有零解：(0,0,0)Tx?。

當2a?時，

102

011

000

A

??

??

?

??

??

??

,

123

(,,)0fxxx?有非零解：(2,1,1)Txk???，k為任意常數。

（II）當2a?時，若

123

,,xxx不全為0,則二次型

123

(,,)fxxx恒大于0,即二次型

123

(,,)fxxx為正定二次型,其規范型為

222

123123

(,,)fyyyyyy???。

當2a?時,

超級狩獵者整理

第14頁共15頁

222

1231232313

222

1231213

(,,)()()()

22626

fxxxxxxxxxax

xxxxxxx

???????

?????

二次型對應的實對稱矩陣

213

120

306

B

?

??

??

??

??

??

??

，其特征方程為

2

213

120(1018)0

306

EB

?

?????

?

??

???????

??

解得特征值

123

57,57,0????????，可知二次型的規范型為

22

12312

(,,)fzzzzz??.

23.（本題滿分11分）設a是常數,且矩陣

12

130

27

a

A

a

??

??

?

??

??

?

??

可經過初等列變換化為矩陣

12

011

111

a

B

??

??

?

??

??

?

??

。（I)求a；（II)求滿足APB?的可逆矩陣P?

【解析】（I）由于矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，故()()rArB?。

對矩陣,AB作初等行變換，得

121212

1300101

27033000

aaa

Aaa

aa

??????

??????

?????

??????

??????

??

??????

，

121212

011011011

111013002

aaa

B

aa

??????

??????

???

??????

??????

???

??????

，

顯然()2rA?，要使()2rB?,必有202aa????。

（II）將矩陣B按列分塊：

123

(,,)B????，求解矩陣方程APB?可化為解三個同系數的

非齊次線性方程組：,1,2,3

j

Axj???.對下列矩陣施以初等行變換得

超級狩獵者整理

第15頁共15頁

4

(,)13

272111000000

AB

????

????

??????

????

????

??

????

，

易知,齊次線性方程組0Ax?的基礎解系為：

0

(6,2,1)T???，三個非齊次線性方程組的

特解分別為：

1

(3,1,0),T???

2

(4,1,0),T???

3

(4,1,0)T???。

因此，三個非齊次線性方程組的通解為

11

63

21

10

k?

?

????

????

???

????

????

????

，

22

64

21

10

k?

?

????

????

??

????

????

????

，

33

64

21

10

k?

?

????

????

??

????

????

????

,

從而可得可逆矩陣

1

1

1

3666

121212

kkk

Pkkk

kkk

???

??

??

???????

??

??

??

２３

２３

２３

４４

，其中

23

kk?。