高等數學知識點總結

高等數學基本知識點

一、函數與極限

1、集合的概念

一般地我們把研究對象統稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡稱集）。集合具有確定性（給定集合的元素必須

是確定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材較高的人”不能構成集合，因為它的元素不是確定的。

我們通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小寫拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A

中的元素，就說a屬于A，記作：a∈A，否則就說a不屬于A，記作：a?A。

⑴、全體非負整數組成的集合叫做非負整數集（或自然數集）。記作N

⑵、所有正整數組成的集合叫做正整數集。記作N+或N

+

。

⑶、全體整數組成的集合叫做整數集。記作Z。

⑷、全體有理數組成的集合叫做有理數集。記作Q。

⑸、全體實數組成的集合叫做實數集。記作R。

集合的表示方法

⑴、列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用“｛｝”括起來表示集合

⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征來表示集合。

集合間的基本關系

⑴、子集：一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，我們就說A、B有包含關

系，稱集合A為集合B的子集，記作A?B（或B?A）。。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此時集合A中的元素與集合B中的元素完全一樣，

因此集合A與集合B相等，記作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一個元素屬于B但不屬于A，我們稱集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作?，并規定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之間的基本關系，可以得到下面的結論：

①、任何一個集合是它本身的子集。即A?A

②、對于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集。

③、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包括“真子集”和“等集”。

集合的基本運算

⑴、并集：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合稱為A與B的并集。記作A∪B。（在求并集

時，它們的公共元素在并集中只能出現一次。）

即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。

⑵、交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為A與B的交集。記作A∩B。

即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。

⑶、補集：

①全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集。通常記作U。

②補集：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集。簡稱為

集合A的補集，記作C

U

A。

即C

U

A＝｛x|x∈U，且x?A｝。

集合中元素的個數

⑴、有限集：我們把含有有限個元素的集合叫做有限集，含有無限個元素的集合叫做無限集。

⑵、用card來表示有限集中元素的個數。例如A＝｛a,b,c｝，則card(A)=3。

⑶、一般地，對任意兩個集合A、B，有

card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)

我的問題：

1、學校里開運動會，設A＝｛x|x是參加一百米跑的同學｝，B＝｛x|x是參加二百米跑的同學｝，C＝｛x|x是參加四

百米跑的同學｝。學校規定，每個參加上述比賽的同學最多只能參加兩項，請你用集合的運算說明這項規定，并解釋以下集

合運算的含義。⑴、A∪B；⑵、A∩B。

2、在平面直角坐標系中，集合C＝{(x,y)|y=x}表示直線y＝x，從這個角度看，集合D={(x,y)|方程組：2x-y=1,x+4y=5}

表示什么？集合C、D之間有什么關系？請分別用集合語言和幾何語言說明這種關系。

3、已知集合A={x|1≤x≤3}，B＝{x|(x-1)(x-a)=0}。試判斷B是不是A的子集？是否存在實數a使A＝B成立？

4、對于有限集合A、B、C，能不能找出這三個集合中元素個數與交集、并集元素個數之間的關系呢？

5、無限集合A＝｛1，2，3，4，…，n，…｝，B＝｛2，4，6，8，…，2n，…｝，你能設計一種比較這兩個集合中元

素個數多少的方法嗎？

2、常量與變量

⑴、變量的定義：我們在觀察某一現象的過程時，常常會遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化，我們把其

稱之為常量；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數值，我們則把其稱之為變量。注：在過程中還有一種量，它

雖然是變化的，但是它的變化相對于所研究的對象是極其微小的，我們則把它看作常量。

⑵、變量的表示：如果變量的變化是連續的，則常用區間來表示其變化范圍。在數軸上來說，區間是指介于某兩點之

間的線段上點的全體。

區間的名稱區間的滿足的不等式區間的記號區間在數軸上的表示

閉區間a≤x≤b[a，b]

開區間a＜x＜b（a，b）

半開區間a＜x≤b或a≤x＜b（a，b]或[a，b）

以上我們所述的都是有限區間，除此之外，還有無限區間：

[a，+∞)：表示不小于a的實數的全體，也可記為：a≤x＜+∞；

(-∞，b)：表示小于b的實數的全體，也可記為：-∞＜x＜b；

(-∞，+∞)：表示全體實數，也可記為：-∞＜x＜+∞

注：其中-∞和+∞，分別讀作"負無窮大"和"正無窮大",它們不是數,僅僅是記號。

⑶、鄰域：設α與δ是兩個實數，且δ＞0.滿足不等式│x-α│＜δ的實數x的全體稱為點α的δ鄰域，點α稱

為此鄰域的中心，δ稱為此鄰域的半徑。

2、函數

⑴、函數的定義：如果當變量x在其變化范圍內任意取定一個數值時，量y按照一定的法則f總有確定的數值與它對應，

則稱y是x的函數。變量x的變化范圍叫做這個函數的定義域。通常x叫做自變量，y叫做函數值（或因變量），變量y的

變化范圍叫做這個函數的值域。注：為了表明y是x的函數，我們用記號y=f(x)、y=F(x)等等來表示。這里的字母"f"、"F"

表示y與x之間的對應法則即函數關系,它們是可以任意采用不同的字母來表示的。如果自變量在定義域內任取一個確定的

值時，函數只有一個確定的值和它對應，這種函數叫做單值函數，否則叫做多值函數。這里我們只討論單值函數。

⑵、函數相等

由函數的定義可知，一個函數的構成要素為：定義域、對應關系和值域。由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，

如果兩個函數的定義域和對應關系完全一致，我們就稱兩個函數相等。

⑶、域函數的表示方法

a)：解析法：用數學式子表示自變量和因變量之間的對應關系的方法即是解析法。例：直角坐標系中，半徑為r、圓心

在原點的圓的方程是：x2+y2=r2

b)：表格法：將一系列的自變量值與對應的函數值列成表來表示函數關系的方法即是表格法。例：在實際應用中，我們

經常會用到的平方表，三角函數表等都是用表格法表示的函數。

c)：圖示法：用坐標平面上曲線來表示函數的方法即是圖示法。一般用橫坐標表示自變量，縱坐標表示因變量。例：直

角坐標系中，半徑為r、圓心在原點的圓用圖示法表示為：

3、函數的簡單性態

⑴、函數的有界性：如果對屬于某一區間I的所有x值總有│f(x)│≤M成立，其中M是一個與x無關的常數，那么我

們就稱f(x)在區間I有界，否則便稱無界。

注：一個函數，如果在其整個定義域內有界，則稱為有界函數

例題：函數cosx在(-∞,+∞)內是有界的.

⑵、函數的單調性：如果函數在區間(a,b)內隨著x增大而增大，即：對于(a,b)內任意兩點x1及x2，當x1＜x2

時，有，則稱函數在區間(a,b)內是單調增加的。如果函數在區間(a,b)內隨著x增大而減

小，即：對于(a,b)內任意兩點x1及x2，當x1＜x2時，有，則稱函數在區間(a,b)內是單調減小的。

例題：函數=x2在區間(-∞,0)上是單調減小的，在區間(0,+∞)上是單調增加的。

⑶、函數的奇偶性

如果函數對于定義域內的任意x都滿足=，則叫做偶函數；如果函數對于定義域內

的任意x都滿足=-，則叫做奇函數。

注：偶函數的圖形關于y軸對稱，奇函數的圖形關于原點對稱。

⑷、函數的周期性

對于函數，若存在一個不為零的數l，使得關系式對于定義域內任何x值都成立，則叫

做周期函數，l是的周期。

注：我們說的周期函數的周期是指最小正周期。

例題：函數是以2π為周期的周期函數；函數tgx是以π為周期的周期函數。

4、反函數

⑴、反函數的定義：設有函數，若變量y在函數的值域內任取一值y0時，變量x在函數的定義域內必有一

值x0與之對應，即，那末變量x是變量y的函數.這個函數用來表示，稱為函數的反函

數.

注：由此定義可知，函數也是函數的反函數。

⑵、反函數的存在定理：若在(a，b)上嚴格增(減)，其值域為R，則它的反函數必然在R上確定，且嚴格

增(減).

注：嚴格增(減)即是單調增(減)

例題：y=x2，其定義域為(-∞,+∞)，值域為[0,+∞).對于y取定的非負值,可求得x=±.若我們不加條件，由y的

值就不能唯一確定x的值，也就是在區間(-∞,+∞)上，函數不是嚴格增(減)，故其沒有反函數。如果我們加上條件，要求

x≥0，則對y≥0、x=就是y=x2在要求x≥0時的反函數。即是：函數在此要求下嚴格增(減).

⑶、反函數的性質：在同一坐標平面內，與的圖形是關于直線y=x對稱的。

例題：函數與函數互為反函數，則它們的圖形在同一直角坐標系中是關于直線y=x對稱的。如右

圖所示：

5、復合函數

復合函數的定義：若y是u的函數：，而u又是x的函數：，且的函數值的全部或部分在

的定義域內，那末，y通過u的聯系也是x的函數，我們稱后一個函數是由函數及復合而成的

函數，簡稱復合函數，記作，其中u叫做中間變量。

注：并不是任意兩個函數就能復合；復合函數還可以由更多函數構成。

例題：函數與函數是不能復合成一個函數的。

因為對于的定義域(-∞,+∞)中的任何x值所對應的u值（都大于或等于2），使都沒有定

義。

6、初等函數

⑴、基本初等函數：我們最常用的有五種基本初等函數，分別是：指數函數、對數函數、冪函數、三角函數及反三角函

數。下面我們用表格來把它們總結一下：

函

數

名

稱

函數的記號函數的圖形函數的性質

指

數

函

數

a):不論x為何值,y總為正數;

b):當x=0時,y=1.

對

數

函

數

a):其圖形總位于y軸右側,并過(1,0)點

b):當a＞1時,在區間(0,1)的值為負；在

區間(-,+∞)的值為正；在定義域內單調增.

冪

函

數

a為任意實數

這里只畫出部分函數圖形的一部分。

令a=m/n

a):當m為偶數n為奇數時,y是偶函數;

b):當m,n都是奇數時,y是奇函數;

c):當m奇n偶時,y在(-∞,0)無意義.

三

角

函

數

(正弦函數)

這里只寫出了正弦函數

a):正弦函數是以2π為周期的周期函數

b):正弦函數是奇函數且

反

三

角

函

數

(反正弦函數)

這里只寫出了反正弦函數

a):由于此函數為多值函數,因此我們此函

數值限制在[-π/2,π/2]上,并稱其為反正

弦函數的主值.

⑵、初等函數：由基本初等函數與常數經過有限次的有理運算及有限次的函數復合所產生并且能用一個解析式表出的函

數稱為初等函數.

例題：是初等函數。

7、雙曲函數及反雙曲函數

⑴、雙曲函數：在應用中我們經常遇到的雙曲函數是：(用表格來描述)

函數的名

稱

函數的表達式函數的圖形函數的性質

雙曲正弦

a)：其定義域為:(-∞,+∞)；

b)：是奇函數；

c)：在定義域內是單調增

雙曲余弦

a)：其定義域為:(-∞,+∞)；

b)：是偶函數；

c)：其圖像過點(0,1)；

雙曲正切

a)：其定義域為:(-∞,+∞)；

b)：是奇函數；

c)：其圖形夾在水平直線y=1及y=-1

之間；在定域內單調增；

我們再來看一下雙曲函數與三角函數的區別：

雙曲函數的性質三角函數的性質

shx與thx是奇函數，chx是偶函數sinx與tanx是奇函數，cosx是偶函數

它們都不是周期函數都是周期函數

雙曲函數也有和差公式：

⑵、反雙曲函數：雙曲函數的反函數稱為反雙曲函數.

a)：反雙曲正弦函數其定義域為：(-∞,+∞)；

b)：反雙曲余弦函數其定義域為：[1,+∞)；

c)：反雙曲正切函數其定義域為：(-1,+1)；

8、數列的極限

我們先來回憶一下初等數學中學習的數列的概念。

⑴、數列：若按照一定的法則，有第一個數a1，第二個數a2，…，依次排列下去，使得任何一個正整數n對應著一個確

定的數an，那末，我們稱這列有次序的數a1，a2，…，an，…為數列.數列中的每一個數叫做數列的項。第n項an叫做數列

的一般項或通項.

注：我們也可以把數列an看作自變量為正整數n的函數，即：an=，它的定義域是全體正整數

⑵、極限：極限的概念是求實際問題的精確解答而產生的。

例：我們可通過作圓的內接正多邊形，近似求出圓的面積。

設有一圓，首先作圓內接正六邊形，把它的面積記為A1；再作圓的內接正十二邊形，其面積記為A2；再作圓的內接正二

十四邊形，其面積記為A3；依次循下去(一般把內接正6×2n-1邊形的面積記為An)可得一系列內接正多邊形的面積：A1，A2，

A3，…，An，…，它們就構成一列有序數列。我們可以發現，當內接正多邊形的邊數無限增加時，An也無限接近某一確定的

數值(圓的面積)，這個確定的數值在數學上被稱為數列A1，A2，A3，…，An，…當n→∞(讀作n趨近于無窮大)的極限。

注：上面這個例子就是我國古代數學家劉徽(公元三世紀)的割圓術。

⑶、數列的極限：一般地，對于數列來說，若存在任意給定的正數ε(不論其多么小)，總存在正整

數N，使得對于n＞N時的一切不等式都成立，那末就稱常數a是數列的極限，或者稱數列收斂于a.

記作：或

注：此定義中的正數ε只有任意給定，不等式才能表達出與a無限接近的意思。且定義中的正整數N

與任意給定的正數ε是有關的，它是隨著ε的給定而選定的。

⑷、數列的極限的幾何解釋：在此我們可能不易理解這個概念，下面我們再給出它的一個幾何解釋，以使我們能理解

它。數列極限為a的一個幾何解釋：將常數a及數列在數軸上用它們的對應點表示出來，再在數軸上

作點a的ε鄰域即開區間(a-ε，a+ε)，如下圖所示：

因不等式與不等式等價，故當n＞N時，所有的點都落在開區間(a-ε，a+ε)

內，而只有有限個(至多只有N個)在此區間以外。

注：至于如何求數列的極限，我們在以后會學習到，這里我們不作討論。

⑸、數列的有界性：對于數列，若存在著正數M，使得一切都滿足不等式││≤M，則稱數列是有界的，

若正數M不存在，則可說數列是無界的。

定理：若數列收斂，那末數列一定有界。

注：有界的數列不一定收斂，即：數列有界是數列收斂的必要條件，但不是充分條件。例：數列1，-1，1，-1，…，

(-1)n+1，…是有界的，但它是發散的。

9、函數的極限

前面我們學習了數列的極限，已經知道數列可看作一類特殊的函數，即自變量取1→∞內的正整數，若自變量不再限于

正整數的順序，而是連續變化的，就成了函數。下面我們來學習函數的極限.

函數的極值有兩種情況：a)：自變量無限增大；b)：自變量無限接近某一定點x0，如果在這時，函數值無限接近于某一

常數A，就叫做函數存在極值。我們已知道函數的極值的情況，那么函數的極限如何呢?

下面我們結合著數列的極限來學習一下函數極限的概念!

⑴、函數的極限(分兩種情況)

a):自變量趨向無窮大時函數的極限

定義：設函數，若對于任意給定的正數ε(不論其多么小)，總存在著正數X，使得對于適合不等式

的一切x，所對應的函數值都滿足不等式

那末常數A就叫做函數當x→∞時的極限，記作：

下面我們用表格把函數的極限與數列的極限對比一下：

數列的極限的定義函數的極限的定義

存在數列與常數A，任給一正數ε＞0，總可找

到一正整數N，對于n＞N的所有都滿足＜ε則稱數

列，當x→∞時收斂于A記：。

存在函數與常數A，任給一正數ε＞0，

總可找到一正數X，對于適合的一切x，都滿足

，函數當x→∞時的極限

為A，記：。

從上表我們發現了什么？？試思考之

b):自變量趨向有限值時函數的極限。我們先來看一個例子.

例：函數，當x→1時函數值的變化趨勢如何？函數在x=1處無定義.我們知道對實數來講，在數軸上

任何一個有限的范圍內，都有無窮多個點，為此我們把x→1時函數值的變化趨勢用表列出,如下圖:

從中我們可以看出x→1時，→2.而且只要x與1有多接近，就與2有多接近.或說：只要與2只差

一個微量ε，就一定可以找到一個δ，當＜δ時滿足＜δ定義：設函數在某點x0的某個去心鄰

域內有定義，且存在數A，如果對任意給定的ε(不論其多么小)，總存在正數δ，當0＜＜δ時，＜

ε則稱函數當x→x0時存在極限，且極限為A，記：。

注：在定義中為什么是在去心鄰域內呢？這是因為我們只討論x→x0的過程，與x=x0出的情況無關。此定義的核心問題

是：對給出的ε，是否存在正數δ，使其在去心鄰域內的x均滿足不等式。

有些時候，我們要用此極限的定義來證明函數的極限為A，其證明方法是怎樣的呢？

a):先任取ε＞0；

b):寫出不等式＜ε；

c):解不等式能否得出去心鄰域0＜＜δ，若能；

d):則對于任給的ε＞0，總能找出δ，當0＜＜δ時，＜ε成立，因此

10、函數極限的運算規則

前面已經學習了數列極限的運算規則，我們知道數列可作為一類特殊的函數，故函數極限的運算規則與數列極限的運算

規則相似。

⑴、函數極限的運算規則

若已知x→x0(或x→∞)時，.

則：

推論：

在求函數的極限時，利用上述規則就可把一個復雜的函數化為若干個簡單的函數來求極限。

例題：求

解答：

例題：求

此題如果像上題那樣求解，則會發現此函數的極限不存在.我們通過觀察可以發現此分式的分子和分母都沒有極限，像

這種情況怎么辦呢？下面我們把它解出來。

解答：

注：通過此例題我們可以發現：當分式的分子和分母都沒有極限時就不能運用商的極限的運算規則了，應先把分式的分

子分母轉化為存在極限的情形，然后運用規則求之。

函數極限的存在準則

學習函數極限的存在準則之前，我們先來學習一下左、右的概念。

我們先來看一個例子：

例：符號函數為

對于這個分段函數,x從左趨于0和從右趨于0時函數極限是不相同的.為此我們定義了左、右極限的概念。

定義：如果x僅從左側(x＜x0)趨近x0時，函數與常量A無限接近，則稱A為函數當時的左極限.

記：

如果x僅從右側(x＞x0)趨近x0時，函數與常量A無限接近，則稱A為函數當時的右極限.記：

注：只有當x→x0時，函數的左、右極限存在且相等，方稱在x→x0時有極限

函數極限的存在準則

準則一：對于點x0的某一鄰域內的一切x，x0點本身可以除外(或絕對值大于某一正數的一切x)有≤

≤，且，

那末存在，且等于A

注：此準則也就是夾逼準則.

準則二：單調有界的函數必有極限.

注：有極限的函數不一定單調有界

兩個重要的極限

一：

注：其中e為無理數，它的值為：e=2.7045...

二：

注：在此我們對這兩個重要極限不加以證明.

注：我們要牢記這兩個重要極限，在今后的解題中會經常用到它們.

例題：求

解答：令，則x=-2t，因為x→∞，故t→∞，

則

注：解此類型的題時，一定要注意代換后的變量的趨向情況，象x→∞時，若用t代換1/x，則t→0.

無窮大量和無窮小量

無窮大量

我們先來看一個例子：

已知函數，當x→0時，可知，我們把這種情況稱為趨向無窮大。為此我們可定義如

下：設有函數y=，在x=x0的去心鄰域內有定義，對于任意給定的正數N(一個任意大的數)，總可找到正數δ，當

時，成立，則稱函數當時為無窮大量。

記為：（表示為無窮大量，實際它是沒有極限的）

同樣我們可以給出當x→∞時，無限趨大的定義：設有函數y=，當x充分大時有定義，對于任意給定的正

數N(一個任意大的數)，總可以找到正數M，當時，成立，則稱函數當x→∞時是無窮大量，記為：

無窮小量

以零為極限的變量稱為無窮小量。

定義：設有函數，對于任意給定的正數ε(不論它多么小)，總存在正數δ(或正數M)，使得對于適合不等式

(或)的一切x，所對應的函數值滿足不等式，則稱函數當(或x→∞)

時為無窮小量.

記作：(或)

注意：無窮大量與無窮小量都是一個變化不定的量，不是常量，只有0可作為無窮小量的唯一常量。無窮大量與無窮小

量的區別是：前者無界，后者有界，前者發散，后者收斂于0.無窮大量與無窮小量是互為倒數關系的.

關于無窮小量的兩個定理

定理一：如果函數在(或x→∞)時有極限A，則差是當(或x→∞)時的無

窮小量，反之亦成立。

定理二：無窮小量的有利運算定理

a)：有限個無窮小量的代數和仍是無窮小量；b)：有限個無窮小量的積仍是無窮小量；c)：常數與無窮小量的積也是

無窮小量.

無窮小量的比較

通過前面的學習我們已經知道，兩個無窮小量的和、差及乘積仍舊是無窮小.那么兩個無窮小量的商會是怎樣的呢？好！

接下來我們就來解決這個問題，這就是我們要學的兩個無窮小量的比較。

定義：設α，β都是時的無窮小量，且β在x0的去心領域內不為零，

a)：如果，則稱α是β的高階無窮小或β是α的低階無窮小；

b)：如果，則稱α和β是同階無窮小；

c)：如果，則稱α和β是等價無窮小，記作：α∽β(α與β等價)

例：因為，所以當x→0時，x與3x是同階無窮小；

因為，所以當x→0時，x2是3x的高階無窮小；

因為，所以當x→0時，sinx與x是等價無窮小。

等價無窮小的性質

設，且存在，則.

注：這個性質表明：求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮小來代替，因此我們可以利用這個性質來

簡化求極限問題。

例題：1.求

解答：當x→0時，sinax∽ax，tanbx∽bx，故：

例題：2.求

解答：

注：

注：從這個例題中我們可以發現，作無窮小變換時，要代換式中的某一項，不能只代換某個因子。

函數的一重要性質——連續性

在自然界中有許多現象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續地變化著的.這種現象在函數關系上的反映，就是函數

的連續性

在定義函數的連續性之前我們先來學習一個概念——增量

設變量x從它的一個初值x1變到終值x2，終值與初值的差x2-x1就叫做變量x的增量，記為：△x即：△x=x2-x1增量△x

可正可負.

我們再來看一個例子：函數在點x0的鄰域內有定義，當自變量x在領域內從x0變到x0+△x時，函數y相應

地從變到，其對應的增量為：

這個關系式的幾何解釋如下圖：

現在我們可對連續性的概念這樣描述：如果當△x趨向于零時，函數y對應的增量△y也趨向于零，即：，

那末就稱函數在點x0處連續。

函數連續性的定義：

設函數在點x0的某個鄰域內有定義，如果有稱函數在點x0處連續，且稱

x0為函數的的連續點.

下面我們結合著函數左、右極限的概念再來學習一下函數左、右連續的概念：設函數在區間(a,b]內有定義，如

果左極限存在且等于，即：=，那末我們就稱函數在點b左連續.設函數

在區間[a,b)內有定義，如果右極限存在且等于，即：=，那末我們就稱函數在

點a右連續.

一個函數在開區間(a,b)內每點連續,則為在(a,b)連續，若又在a點右連續，b點左連續，則在閉區間[a，b]連續，如

果在整個定義域內連續，則稱為連續函數。

注：一個函數若在定義域內某一點左、右都連續，則稱函數在此點連續，否則在此點不連續.

注：連續函數圖形是一條連續而不間斷的曲線。

通過上面的學習我們已經知道函數的連續性了，同時我們可以想到若函數在某一點要是不連續會出現什么情形呢？接著

我們就來學習這個問題：函數的間斷點

函數的間斷點

定義：我們把不滿足函數連續性的點稱之為間斷點.

它包括三種情形：

a)：在x0無定義；

b)：在x→x0時無極限；

c)：在x→x0時有極限但不等于；

下面我們通過例題來學習一下間斷點的類型：

例1：正切函數在處沒有定義，所以點是函數的間斷點，因，

我們就稱為函數的無窮間斷點；

例2：函數在點x=0處沒有定義；故當x→0時，函數值在-1與+1之間變動無限多次，我們就稱點x=0叫做

函數的振蕩間斷點；

例3：函數當x→0時，左極限，右極限，從這我們可以看出

函數左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數在點x=0是不存在極限。我們還可以發現在點x=0時，函數值產生跳躍現象，

為此我們把這種間斷點稱為跳躍間斷點；我們把上述三種間斷點用幾何圖形表示出來如下:

間斷點的分類

我們通常把間斷點分成兩類：如果x0是函數的間斷點，且其左、右極限都存在，我們把x0稱為函數的第

一類間斷點；不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點.

可去間斷點

若x0是函數的間斷點，但極限存在，那末x0是函數的第一類間斷點。此時函數不連續原因是：

不存在或者是存在但≠。我們令，則可使函數在點x0處連續，故這

種間斷點x0稱為可去間斷點。

連續函數的性質及初等函數的連續性

連續函數的性質

函數的和、積、商的連續性

我們通過函數在某點連續的定義和極限的四則運算法則，可得出以下結論：

a)：有限個在某點連續的函數的和是一個在該點連續的函數；

b)：有限個在某點連續的函數的乘積是一個在該點連續的函數；

c)：兩個在某點連續的函數的商是一個在該點連續的函數(分母在該點不為零)；

反函數的連續性

若函數在某區間上單調增(或單調減)且連續，那末它的反函數也在對應的區間上單調增(單調減)

且連續

例：函數在閉區間上單調增且連續，故它的反函數在閉區間[-1,1]上也是單調增

且連續的。

復合函數的連續性

設函數當x→x0時的極限存在且等于a，即：.而函數在點u=a連續，那末復合

函數當x→x0時的極限也存在且等于.即：

例題：求

解答：

注：函數可看作與復合而成，且函數在點u=e連續，因此可

得出上述結論。

設函數在點x=x0連續，且，而函數在點u=u0連續，那末復合函數在

點x=x0也是連續的

初等函數的連續性

通過前面我們所學的概念和性質，我們可得出以下結論：基本初等函數在它們的定義域內都是連續的；一切初等函數

在其定義域內也都是連續的.

閉區間上連續函數的性質

閉區間上的連續函數則是在其連續區間的左端點右連續，右端點左連續.對于閉區間上的連續函數有幾條重要的性質，

下面我們來學習一下：

最大值最小值定理：在閉區間上連續的函數一定有最大值和最小值。(在此不作證明)

例：函數y=sinx在閉區間[0，2π]上連續，則在點x=π/2處，它的函數值為1，且大于閉區間[0，2π]上其它各點

出的函數值；則在點x=3π/2處，它的函數值為-1，且小于閉區間[0，2π]上其它各點出的函數值。

介值定理在閉區間上連續的函數一定取得介于區間兩端點的函數值間的任何值。即：，

μ在α、β之間，則在[a，b]間一定有一個ξ，使

推論：在閉區間連續的函數必取得介于最大值最小值之間的任何值。

二、導數與微分

導數的概念

在學習到數的概念之前，我們先來討論一下物理學中變速直線運動的瞬時速度的問題。例：設一質點沿x軸運動時，其

位置x是時間t的函數，，求質點在t0的瞬時速度？我們知道時間從t0有增量△t時，質點的位置有增量

，這就是質點在時間段△t的位移。因此，在此段時間內質點的平均速度為：

.若質點是勻速運動的則這就是在t0的瞬時速度，若質點是非勻速直線運動，則這還不是質點在t0

時的瞬時速度。我們認為當時間段△t無限地接近于0時，此平均速度會無限地接近于質點t0時的瞬時速度，即：質點在

t0時的瞬時速度=為此就產生了導數的定義，如下：

導數的定義：設函數在點x0的某一鄰域內有定義，當自變量x在x0處有增量△x(x+△x也在該鄰域內)時，

相應地函數有增量，若△y與△x之比當△x→0時極限存在，則稱這個極限值為在

x0處的導數。記為：還可記為：，

函數在點x0處存在導數簡稱函數在點x0處可導，否則不可導。若函數在區間(a,b)內每一點都可導，

就稱函數在區間(a,b)內可導。這時函數對于區間(a,b)內的每一個確定的x值，都對應著一個確定的導

數，這就構成一個新的函數，我們就稱這個函數為原來函數的導函數。

注：導數也就是差商的極限

左、右導數

前面我們有了左、右極限的概念，導數是差商的極限，因此我們可以給出左、右導數的概念。若極限存在，

我們就稱它為函數在x=x0處的左導數。若極限存在，我們就稱它為函數在x=x0處的右導數。

注：函數在x0處的左右導數存在且相等是函數在x0處的可導的充分必要條件

函數的和、差求導法則

函數的和差求導法則

法則：兩個可導函數的和(差)的導數等于這兩個函數的導數的和(差).用公式可寫為：。其中u、

v為可導函數。

例題：已知，求

解答：

例題：已知，求

解答：

函數的積商求導法則

常數與函數的積的求導法則

法則：在求一個常數與一個可導函數的乘積的導數時，常數因子可以提到求導記號外面去。用公式可寫成：

例題：已知，求

解答：

函數的積的求導法則

法則：兩個可導函數乘積的導數等于第一個因子的導數乘第二個因子，加上第一個因子乘第二個因子的導數。用公式可

寫成：

例題：已知，求

解答：

注：若是三個函數相乘，則先把其中的兩個看成一項。

函數的商的求導法則

法則：兩個可導函數之商的導數等于分子的導數與分母導數乘積減去分母導數與分子導數的乘積，在除以分母導數的平

方。用公式可寫成：

例題：已知，求

解答：

復合函數的求導法則

在學習此法則之前我們先來看一個例子!

例題：求=?

解答：由于，故這個解答正確嗎?

這個解答是錯誤的，正確的解答應該如下：

我們發生錯誤的原因是是對自變量x求導，而不是對2x求導。

下面我們給出復合函數的求導法則

復合函數的求導規則

規則：兩個可導函數復合而成的復合函數的導數等于函數對中間變量的導數乘上中間變量對自變量的導數。用公式表示

為：

，其中u為中間變量

例題：已知，求

解答：設,則可分解為,因此

注：在以后解題中，我們可以中間步驟省去。

例題：已知，求

解答：

反函數求導法則

根據反函數的定義，函數為單調連續函數，則它的反函數,它也是單調連續的.為此我們可給出

反函數的求導法則，如下(我們以定理的形式給出)：

定理：若是單調連續的，且，則它的反函數在點x可導，且有：注：

通過此定理我們可以發現：反函數的導數等于原函數導數的倒數。注：這里的反函數是以y為自變量的，我們沒有對它作記

號變換。

即：是對y求導，是對x求導

例題：求的導數.

解答：此函數的反函數為，故則：

例題：求的導數.

解答：此函數的反函數為，故則：

高階導數

我們知道，在物理學上變速直線運動的速度v(t)是位置函數s(t)對時間t的導數，即：，而加速度a又是速

度v對時間t的變化率，即速度v對時間t的導數：，或。這種導數的導數叫

做s對t的二階導數。下面我們給出它的數學定義：

定義：函數的導數仍然是x的函數.我們把的導數叫做函數的二階導

數，記作或，即：或.相應地，把的導數叫做函數

的一階導數.類似地，二階導數的導數，叫做三階導數，三階導數的導數，叫做四階導數，…，一般地(n-1)階

導數的導數叫做n階導數.

分別記作：，，…，或，，…，

二階及二階以上的導數統稱高階導數。由此可見，求高階導數就是多次接連地求導，所以，在求高階導數時可運用前面

所學的求導方法。

例題：已知，求解答：因為=a，故=0

例題：求對數函數的n階導數。

解答：，，，，

一般地，可得

隱函數及其求導法則

我們知道用解析法表示函數，可以有不同的形式.若函數y可以用含自變量x的算式表示，像y=sinx，y=1+3x等，這樣

的函數叫顯函數.前面我們所遇到的函數大多都是顯函數.

一般地，如果方程F(x,y)=0中，令x在某一區間內任取一值時，相應地總有滿足此方程的y值存在，則我們就說方程

F(x,y)=0在該區間上確定了x的隱函數y.把一個隱函數化成顯函數的形式，叫做隱函數的顯化。注：有些隱函數并不是很

容易化為顯函數的，那么在求其導數時該如何呢？下面讓我們來解決這個問題！

隱函數的求導

若已知F(x,y)=0，求時，一般按下列步驟進行求解：

a)：若方程F(x,y)=0，能化為的形式，則用前面我們所學的方法進行求導；

b)：若方程F(x,y)=0，不能化為的形式，則是方程兩邊對x進行求導，并把y看成x的函數，

用復合函數求導法則進行。

例題：已知，求

解答：此方程不易顯化，故運用隱函數求導法.兩邊對x進行求導，，

，故=

注：我們對隱函數兩邊對x進行求導時，一定要把變量y看成x的函數，然后對其利用復合函數求導法則進行求導。

例題：求隱函數，在x=0處的導數

解答：兩邊對x求導，故，當x=0時，y=0.故。

有些函數在求導數時，若對其直接求導有時很不方便，像對某些冪函數進行求導時，有沒有一種比較直觀的方法呢？下

面我們再來學習一種求導的方法：對數求導法

對數求導法

對數求導的法則：根據隱函數求導的方法，對某一函數先取函數的自然對數，然后在求導。注：此方法特別適用于冪函

數的求導問題。

例題：已知x＞0，求

此題若對其直接求導比較麻煩，我們可以先對其兩邊取自然對數，然后再把它看成隱函數進行求導，就比較簡便些。如

下

解答：先兩邊取對數：，把其看成隱函數，再兩邊求導

因為，所以

例題：已知，求

此題可用復合函數求導法則進行求導，但是比較麻煩，下面我們利用對數求導法進行求導

解答：先兩邊取對數再兩邊求導

因為，所以

函數的微分

學習函數的微分之前，我們先來分析一個具體問題：一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響時，其邊長由x0變到了

x0+△x，則此薄片的面積改變了多少？

解答：設此薄片的邊長為x，面積為A，則A是x的函數：薄片受溫度變化的影響面積的改變量，可以看成是

當自變量x從x0取的增量△x時，函數A相應的增量△A，即：。從上式我們

可以看出，△A分成兩部分，第一部分是△x的線性函數，即下圖中紅色部分；第二部分即圖中的黑色部分，

當△x→0時，它是△x的高階無窮小，表示為：

由此我們可以發現，如果邊長變化的很小時，面積的改變量可以近似的用地一部分來代替。下面我們給出微分的數學定

義：

函數微分的定義：設函數在某區間內有定義，x0及x0+△x在這區間內，若函數的增量可表示為，

其中A是不依賴于△x的常數，是△x的高階無窮小，則稱函數在點x0可微的。叫做函數

在點x0相應于自變量增量△x的微分，記作dy，即：=。

通過上面的學習我們知道：微分是自變量改變量△x的線性函數，dy與△y的差是關于△x的高階無窮小量，

我們把dy稱作△y的線性主部。于是我們又得出：當△x→0時，△y≈dy.導數的記號為：，現在我們可以

發現，它不僅表示導數的記號，而且還可以表示兩個微分的比值(把△x看成dx,即:定義自變量的增量等于自變量的微分)，

還可表示為：

由此我們得出：若函數在某區間上可導，則它在此區間上一定可微，反之亦成立。

微分形式不變性

什么是微分形式不邊形呢？

設，則復合函數的微分為：

，

由于，故我們可以把復合函數的微分寫成

由此可見，不論u是自變量還是中間變量，的微分dy總可以用與du的乘積來表示，

我們把這一性質稱為微分形式不變性。

例題：已知，求dy

解答：把2x+1看成中間變量u，根據微分形式不變性，則

通過上面的學習，我們知道微分與導數有著不可分割的聯系，前面我們知道基本初等函數的導數公式和導數

的運算法則，那么基本初等函數的微分公式和微分運算法則是怎樣的呢？

下面我們來學習———基本初等函數的微分公式與微分的運算法則

基本初等函數的微分公式與微分的運算法則

基本初等函數的微分公式

由于函數微分的表達式為：，于是我們通過基本初等函數導數的公式可得出基本初等函數微分的公式，下面我們用

表格來把基本初等函數的導數公式與微分公式對比一下：(部分公式)

導數公式微分公式

微分運算法則

由函數和、差、積、商的求導法則，可推出相應的微分法則.為了便于理解，下面我們用表格來把微分的運算法則與導數的運算法則

對照一下：

函數和、差、積、商的求導法則函數和、差、積、商的微分法則

復合函數的微分法則就是前面我們學到的微分形式不變性，在此不再詳述。

例題：設，求對x3的導數

解答：根據微分形式的不變性

微分的應用

微分是表示函數增量的線性主部.計算函數的增量，有時比較困難，但計算微分則比較簡單，為此我們用函數的微分來近似的代替函

數的增量，這就是微分在近似計算中的應用.

例題：求的近似值。

解答：我們發現用計算的方法特別麻煩，為此把轉化為求微分的問題

故其近似值為1.025(精確值為1.024695)

三、導數的應用

微分學中值定理

在給出微分學中值定理的數學定義之前，我們先從幾何的角度看一個問題，如下：

設有連續函數，a與b是它定義區間內的兩點(a＜b)，假定此函數在(a,b)處處可導，也就是

在(a,b)內的函數圖形上處處都由切線，那末我們從圖形上容易直到，

差商就是割線AB的斜率，若我們把割線AB作平行于自身的移動，那么至少有一次

機會達到離割線最遠的一點P(x=c)處成為曲線的切線，而曲線的斜率為，由于切線與割線是平行的，因

此

成立。

注：這個結果就稱為微分學中值定理，也稱為拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理

如果函數在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內可導，那末在(a,b)內至少有一點c，使

成立。

這個定理的特殊情形，即：的情形，稱為羅爾定理。描述如下：

若在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內可導，且，那末在(a,b)內至少有一點c，

使成立。

注：這個定理是羅爾在17世紀初，在微積分發明之前以幾何的形式提出來的。

注：在此我們對這兩個定理不加以證明，若有什么疑問，請參考相關書籍

下面我們在學習一條通過拉格朗日中值定理推廣得來的定理——柯西中值定理

柯西中值定理

如果函數，在閉區間[a，b]上連續，在開區間(a，b)內可導，且≠0，那末在(a，b)

內至少有一點c，使成立。

例題：證明方程在0與1之間至少有一個實根

證明：不難發現方程左端是函數的導數：

函數在[0，1]上連續，在(0,1)內可導，且，

由羅爾定理

可知，在0與1之間至少有一點c，使，即

也就是：方程在0與1之間至少有一個實根

未定式問題

問題：什么樣的式子稱作未定式呢？

答案：對于函數,來說，當x→a(或x→∞)時，函數,都趨于零或無窮大

則極限可能存在，也可能不存在，我們就把式子稱為未定式。分別記為

型

我們容易知道，對于未定式的極限求法，是不能應用"商的極限等于極限的商"這個法則來求解的，那么我

們該如何求這類問題的極限呢？

下面我們來學習羅彼塔(L'Hospital)法則，它就是這個問題的答案

注：它是根據柯西中值定理推出來的。

羅彼塔(L'Hospital)法則

當x→a(或x→∞)時，函數,都趨于零或無窮大，在點a的某個去心鄰域內(或當│x│＞N)

時，與都存在，≠0，且存在

則：=

這種通過分子分母求導再來求極限來確定未定式的方法，就是所謂的羅彼塔(L'Hospital)法則

注：它是以前求極限的法則的補充，以前利用法則不好求的極限，可利用此法則求解。

例題：求

解答：容易看出此題利用以前所學的法則是不易求解的，因為它是未定式中的型求解問題，因此我們

就可以利用上面所學的法則了。

例題：求

解答：此題為未定式中的型求解問題，利用羅彼塔法則來求解

另外，若遇到

、

、

、

、

等型，通常是轉化為

型后，在利用法則求解。

例題：求

解答：此題利用以前所學的法則是不好求解的，它為

型，故可先將其轉化為

型后在求解，

注：羅彼塔法則只是說明：對未定式來說，當存在，則存在且二者的極限相同；

而并不是不存在時，也不存在，此時只是說明了羅彼塔法則存在的條件破列。

函數單調性的判定法

函數的單調性也就是函數的增減性，怎樣才能判斷函數的增減性呢？

我們知道若函數在某區間上單調增(或減)，則在此區間內函數圖形上切線的斜率均為正(或負),也就是函數

的導數在此區間上均取正值(或負值).因此我們可通過判定函數導數的正負來判定函數的增減性.

判定方法：

設函數在[a,b]上連續，在(a,b)內可導.

a)：如果在(a,b)內＞0，那末函數在[a,b]上單調增加；

b)：如果在(a,b)內＜0，那末函數在[a,b]上單調減少.

例題：確定函數的增減區間.

解答：容易確定此函數的定義域為(－∞,＋∞)

其導數為：，因此可以判出：

當x＞0時，＞0，故它的單調增區間為(0,＋∞)；

當x＜0時，＜0，故它的單調減區間為(-∞,0)；

注：此判定方法若反過來講，則是不正確的。

函數的極值及其求法

在學習函數的極值之前，我們先來看一例子：

設有函數，容易知道點x=1及x=2是此函數單調區間的分界點，又可知在

點x=1左側附近，函數值是單調增加的，在點x=1右側附近，函數值是單調減小的.因此存在著點x=1的一個鄰

域,對于這個鄰域內,任何點x(x=1除外)，＜均成立，點x=2也有類似的情況(在此不多說),為什

么這些點有這些性質呢？

事實上，這就是我們將要學習的內容——函數的極值，

函數極值的定義

設函數在區間(a,b)內有定義，x0是(a,b)內一點.

若存在著x0點的一個鄰域，對于這個鄰域內任何點x(x0點除外)，＜均成立，

則說是函數的一個極大值；

若存在著x0點的一個鄰域，對于這個鄰域內任何點x(x0點除外)，＞均成立，

則說是函數的一個極小值.

函數的極大值與極小值統稱為函數的極值，使函數取得極值的點稱為極值點。

我們知道了函數極值的定義了，怎樣求函數的極值呢？

學習這個問題之前，我們再來學習一個概念——駐點

凡是使的x點，稱為函數的駐點。

判斷極值點存在的方法有兩種：如下

方法一：

設函數在x0點的鄰域可導，且.

情況一：若當x取x0左側鄰近值時，＞0，當x取x0右側鄰近值時，＜0，

則函數在x0點取極大值。

情況一：若當x取x0左側鄰近值時，＜0，當x取x0右側鄰近值時，＞0，

則函數在x0點取極小值。

注：此判定方法也適用于導數在x0點不存在的情況。

用方法一求極值的一般步驟是：

a)：求；

b)：求的全部的解——駐點；

c)：判斷在駐點兩側的變化規律，即可判斷出函數的極值。

例題：求極值點

解答：先求導數

再求出駐點：當時，x=-2、1、-4/5

判定函數的極值，如下圖所示

方法二：

設函數在x0點具有二階導數，且時.

則：a)：當＜0，函數在x0點取極大值；

b)：當＞0，函數在x0點取極小值；

c)：當=0，其情形不一定，可由方法一來判定.

例題：我們仍以例1為例，以比較這兩種方法的區別。

解答：上面我們已求出了此函數的駐點，下面我們再來求它的二階導數。

，故此時的情形不確定，我們可由方法一來判定；

＜0，故此點為極大值點；

＞0，故此點為極小值點。

函數的最大值、最小值及其應用

在工農業生產、工程技術及科學實驗中，常會遇到這樣一類問題：在一定條件下，怎樣使"產品最多"、"

用料最省"、"成本最低"等。

這類問題在數學上可歸結為求某一函數的最大值、最小值的問題。

怎樣求函數的最大值、最小值呢？前面我們已經知道了，函數的極值是局部的。要求在[a,b]上的

最大值、最小值時，可求出開區間(a,b)內全部的極值點，加上端點的值，從中取得最大值、最小

值即為所求。

例題：求函數，在區間[-3，3/2]的最大值、最小值。

解答：在此區間處處可導，

先來求函數的極值，故x=±1，

再來比較端點與極值點的函數值，取出最大值與最小值即為所求。

因為，，，

故函數的最大值為，函數的最小值為。

例題：圓柱形罐頭，高度H與半徑R應怎樣配，使同樣容積下材料最省？

解答：由題意可知：為一常數，

面積

故在V不變的條件下，改變R使S取最小值。

故：時，用料最省。

曲線的凹向與拐點

通過前面的學習，我們知道由一階導數的正負，可以判定出函數的單調區間與極值，但是還不能進一步研究

曲線的性態，為此我們還要了解曲線的凹性。

定義：

對區間I的曲線作切線，如果曲線弧在所有切線的下面，則稱曲線在區間I下凹，如果曲線在切

線的上面，稱曲線在區間I上凹。

曲線凹向的判定定理

定理一：設函數在區間(a,b)上可導，它對應曲線是向上凹(或向下凹)的充分必要條件是：

導數在區間(a,b)上是單調增(或單調減)。

定理二：設函數在區間(a,b)上可導，并且具有一階導數和二階導數；那末：

若在(a,b)內，＞0，則在[a,b]對應的曲線是下凹的；

若在(a,b)內，＜0，則在[a,b]對應的曲線是上凹的；

例題：判斷函數的凹向

解答：我們根據定理二來判定。

因為，所以在函數的定義域(0,+∞)內，＜0，

故函數所對應的曲線時下凹的。

拐點的定義

連續函數上，上凹弧與下凹弧的分界點稱為此曲線上的拐點。

拐定的判定方法

如果在區間(a,b)內具有二階導數，我們可按下列步驟來判定的拐點。

(1)：求；

(2)：令=0，解出此方程在區間(a,b)內實根；

(3)：對于(2)中解出的每一個實根x0，檢查在x0左、右兩側鄰近的符號，若符號相反，則

此點是拐點，若相同，則不是拐點。

例題：求曲線的拐點。

解答：由，

令=0，得x=0，2/3

判斷在0，2/3左、右兩側鄰近的符號，可知此兩點皆是曲線的拐點。

四、不定積分

不定積分的概念

原函數的概念

已知函數f(x)是一個定義在某區間的函數，如果存在函數F(x)，使得在該區間內的任一點都有

dF'(x)=f(x)dx，

則在該區間內就稱函數F(x)為函數f(x)的原函數。

例：sinx是cosx的原函數。

關于原函數的問題

函數f(x)滿足什么條件是，才保證其原函數一定存在呢？這個問題我們以后來解決。若其存在原函數，那末原函數一

共有多少個呢？

我們可以明顯的看出來：若函數F(x)為函數f(x)的原函數，

即：F"(x)=f(x)，

則函數族F(x)+C(C為任一個常數）中的任一個函數一定是f(x)的原函數，

故：若函數f(x)有原函數，那末其原函數為無窮多個.

不定積分的概念

函數f(x)的全體原函數叫做函數f(x)的不定積分，

記作。

由上面的定義我們可以知道：如果函數F(x)為函數f(x)的一個原函數，那末f(x)的不定積分就是函數族

F(x)+C.

即:=F(x)+C

例題：求：.

解答：由于，故=

不定積分的性質

1、函數的和的不定積分等于各個函數的不定積分的和；

即：

2、求不定積分時，被積函數中不為零的常數因子可以提到積分號外面來，

即：

求不定積分的方法

換元法

換元法（一）：設f(u)具有原函數F(u)，u=g(x)可導，那末F[g(x)]是f[g(x)]g'(x)的原函數.

即有換元公式:

例題：求

解答：這個積分在基本積分表中是查不到的，故我們要利用換元法。

設u=2x，那末cos2x=cosu，du=2dx，因此：

換元法（二）：設x=g(t)是單調的，可導的函數，并且g'(t)≠0，又設f[g(t)]g'(t)具有原函數φ(t)，

則φ[g(x)]是f(x)的原函數.(其中g(x)是x=g(t)的反函數）

即有換元公式:

例題：求

解答：這個積分的困難在于有根式，但是我們可以利用三角公式來換元.

設x=asint(-π/2

關于換元法的問題

不定積分的換元法是在復合函數求導法則的基礎上得來的，我們應根據具體實例來選擇所用的方法，求不定積分不象求

導那樣有規則可依，因此要想熟練的求出某函數的不定積分，只有作大量的練習。

分部積分法

這種方法是利用兩個函數乘積的求導法則得來的。

設函數u=u(x)及v=v(x)具有連續導數.我們知道，兩個函數乘積的求導公式為：

(uv)'=u'v+uv'，移項，得

uv'=(uv)'-u'v，對其兩邊求不定積分得：

，

這就是分部積分公式

例題：求

解答：這個積分用換元法不易得出結果，我們來利用分部積分法。

設u=x，dv=cosxdx，那末du=dx，v=sinx，代入分部積分公式得：

關于分部積分法的問題

在使用分部積分法時，應恰當的選取u和dv，否則就會南轅北轍。選取u和dv一般要考慮兩點：

(1)v要容易求得；

(2)容易積出。

幾種特殊類型函數的積分舉例

有理函數的積分舉例

有理函數是指兩個多項式的商所表示的函數，當分子的最高項的次數大于分母最高項的次數時稱之為假分式，

反之為真分式。

在求有理函數的不定積分時，若有理函數為假分式應先利用多項式的除法，把一個假分式化成一個多項式和一個真分式

之和的形式，然后再求之。

例題：求

解答：

關于有理函數積分的問題

有理函數積分的具體方法請大家參照有關書籍，請諒。

三角函數的有理式的積分舉例

三角函數的有理式是指由三角函數和常數經過有限次四則運算所構成的函數。

例題：求

解答：

關于三角函數的有理式的積分的問題

任何三角函數都可用正弦與余弦函數表出，故變量代換u=tan(x/2)對三角函數的有理式的積分應用，在此我

們不再舉例。

簡單無理函數的積分舉例

例題：求

解答：設，于是x=u2+1，dx=2udu，從而所求積分為：

五、定積分及其應用

定積分的概念

我們先來看一個實際問題———求曲邊梯形的面積。

設曲邊梯形是有連續曲線y=f(x)、x軸與直線x=a、x=b所圍成。如下圖所示：

現在計算它的面積A.我們知道矩形面積的求法，但是此圖形有一邊是一條曲線，該如何求呢？

我們知道曲邊梯形在底邊上各點處的高f(x)在區間[a,b]上變動，而且它的高是連續變化的，因此在很小的一段

區間的變化很小，近似于不變，并且當區間的長度無限縮小時，高的變化也無限減小。因此，如果把區間[a,b]分成

許多小區間，在每個小區間上，用其中某一點的高來近似代替同一個小區間上的窄曲變梯形的變高，我們再根據矩

形的面積公式，即可求出相應窄曲邊梯形面積的近似值，從而求出整個曲邊梯形的近似值。

顯然：把區間[a,b]分的越細，所求出的面積值越接近于精確值。為此我們產生了定積分的概念。

定積分的概念

設函數f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干個分點

a=x0

把區間[a,b]分成n個小區間

[x0，x1]，...[xn-1,xn],

在每個小區間[xi-1,xi]上任取一點ξi(xi-1≤ξi≤xi),作函數值f(ξi)與小區間長度的乘積f(ξi)△xi，

并作出和，

如果不論對[a,b]怎樣分法，也不論在小區間上的點ξi怎樣取法，只要當區間的長度趨于零時，和S總趨于

確定的極限I，

這時我們稱這個極限I為函數f(x)在區間[a,b]上的定積分，

記作。

即：

關于定積分的問題

我們有了定積分的概念了，那么函數f(x)滿足什么條件時才可積？

定理（1）：設f(x)在區間[a,b]上連續，則f(x)在區間[a,b]上可積。

（2）：設f(x)在區間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區間[a,b]上可積。

定積分的性質

性質(1)：函數的和(差)得定積分等于它們的定積分的和(差）.

即：

性質(2)：被積函數的常數因子可以提到積分號外面.

即：

性質(3)：如果在區間[a,b]上，f(x)≤g(x)，則≤（a

性質(4)：設M及m分別是函數f(x)在區間[a,b]上的最大值及最小值，則m(b-a)≤≤M(b-a)

性質(5)：如果f(x)在區間[a,b]上連續，則在積分區間[a,b]上至少存在一點ξ，使下式成立：

=f(ξ)(b-a)

注：此性質就是定積分中值定理。

微積分積分公式

積分上限的函數及其導數

設函數f(x)在區間[a,b]上連續，并且設x為[a,b]上的一點.現在我們來考察f(x)在部分區間[a,x]上的定積分

,我們知道f(x)在[a,x]上仍舊連續，因此此定積分存在。

如果上限x在區間[a,b]上任意變動，則對于每一個取定的x值，定積分有一個對應值，所以它在[a,b]上定義了

一個函數，記作φ(x):

注意：為了明確起見，我們改換了積分變量（定積分與積分變量的記法無關）

定理(1)：如果函數f(x)在區間[a,b]上連續，則積分上限的函數在[a,b]上具有導數，

并且它的導數是（a≤x≤b)

(2)：如果函數f(x)在區間[a,b]上連續，則函數就是f(x)在[a,b]上的一個原函數。

注意：定理（2）即肯定了連續函數的原函數是存在的，又初步揭示了積分學中的定積分與原函數之間的聯系。

牛頓--萊布尼茲公式

定理(3)：如果函數F(x)是連續函數f(x)在區間[a,b]上的一個原函數，則

注意：此公式被稱為牛頓-萊布尼茲公式，它進一步揭示了定積分與原函數(不定積分）之間的聯系。

它表明：一個連續函數在區間[a,b]上的定積分等于它的任一個原函數再去見[a,b]上的增量。因此

它就

給定積分提供了一個有效而簡便的計算方法。

例題：求

解答：我們由牛頓-萊布尼茲公式得：

注意：通常也把牛頓--萊布尼茲公式稱作微積分基本公式。

定積分的換元法與分部積分法

定積分的換元法

我們知道求定積分可以轉化為求原函數的增量，在前面我們又知道用換元法可以求出一些函數的原函數。因此，

在一定條件下，可以用換元法來計算定積分。

定理：設函數f(x)在區間[a,b]上連續；函數g(t)在區間[m,n]上是單值的且有連續導數；當t在區間[m,n]上變

化時，x=g(t)的值在[a,b]上變化，且g(m)=a,g(n)=b；則有定積分的換元公式:

例題:計算

解答:設x=asint,則dx=acostdt,且當x=0時，t=0；當x=a時，t=π/2.于是：

注意：在使用定積分的換元法時，當積分變量變換時，積分的上下限也要作相應的變換。

定積分的分部積分法

計算不定積分有分部積分法，相應地，計算定積分也有分部積分法。

設u(x)、v(x)在區間[a,b]上具有連續導數u'(x)、v'(x)，則有(uv)'=u'v+uv',分別求此等式兩端在[a,b]上的

定積分，并移向得：

上式即為定積分的分部積分公式。

例題：計算

解答：設，且當x=0時，t=0；當x=1時，t=1.由前面的換元公式得：

再用分部積分公式計算上式的右端的積分。設u=t,dv=etdt,則du=dt,v=et.于是：

故：

廣義積分

在一些實際問題中，我們常遇到積分區間為無窮區間，或者被積函數在積分區間上具有無窮間斷點的積分，它

們已不屬于前面我們所學習的定積分了。為此我們對定積分加以推廣，也就是———廣義積分。

一：積分區間為無窮區間的廣義積分

設函數f(x)在區間[a,+∞)上連續，取b>a.如果極限

存在，

則此極限叫做函數f(x)在無窮區間[a,+∞）上的廣義積分，

記作：，

即：=.

此時也就是說廣義積分收斂。如果上述即先不存在，則說廣義積分發散，此時雖然用

同樣的記號，但它已不表示數值了。

類似地，設函數f(x)在區間(-∞，b]上連續，取a

存在，

則此極限叫做函數f(x)在無窮區間(-∞，b]上的廣義積分，

記作：，

即：=.

此時也就是說廣義積分收斂。如果上述極限不存在，就說廣義積分發散。

如果廣義積分和都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數f(x)在無窮區間(-∞,+∞)上

的廣義積分，

記作：，

即：=

上述廣義積分統稱積分區間為無窮的廣義積分。

例題：計算廣義積分

解答：

二：積分區間有無窮間斷點的廣義積分

設函數f(x)在(a,b]上連續，而.取ε>0，如果極限

存在，則極限叫做函數f(x)

在(a,b]上的廣義積分，

仍然記作：.

即：=，

這時也說廣義積分收斂.如果上述極限不存在，就說廣義積分發散。

類似地，設f(x)在[a,b)上連續，而.取ε>0，如果極限

存在，

則定義=；

否則就說廣義積分發散。

又，設f(x)在[a,b]上除點c(a

斂，

則定義：=+.

否則就說廣義積分發散。

例題：計算廣義積分(a>0)

解答：因為，所以x=a為被積函數的無窮間斷點，于是我們有上面所學得公式可得：

六、空間解析幾何

空間直角坐標系

空間點的直角坐標系

為了溝通空間圖形與數的研究，我們需要建立空間的點與有序數組之間的聯系，為此我們通過引進空間直角

坐標系來實現。

過定點O，作三條互相垂直的數軸，它們都以O為原點且一般具有相同的長度單位.這三條軸分別叫做x軸(橫

軸）、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)；統稱坐標軸.通常把x軸和y軸配置在水平面上，而z軸則是鉛垂線；它們的正

方向要符合右手規則，即以右手握住z軸，當右手的四指從正向x軸以π/2角度轉向正向y軸時，大拇指的指向

就是z軸的正向，這樣的三條坐標軸就組成了一個空間直角坐標系，點O叫做坐標原點。（如下圖所示）

三條坐標軸中的任意兩條可以確定一個平面，這樣定出的三個平面統稱坐標面。

取定了空間直角坐標系后，就可以建立起空間的點與有序數組之間的對應關系。

例：設點M為空間一已知點.我們過點M作三個平面分別垂直于x軸、y軸、z軸，它們與x軸、y軸、z軸

的交點依次為P、Q、R，這三點在x軸、y軸、z軸的坐標依次為x、y、z.于是空間的一點M就唯一的確定了一個

有序數組x,y,z.這組數x,y,z就叫做點M的坐標，并依次稱x,y和z為點M的橫坐標，縱坐標和豎坐標。(如下圖

所示）

坐標為x,y,z的點M通常記為M(x,y,z).

這樣，通過空間直角坐標系，我們就建立了空間的點M和有序數組x,y,z之間的一一對應關系。

注意：坐標面上和坐標軸上的點，其坐標各有一定的特征.

例：如果點M在yOz平面上，則x=0；同樣，zOx面上的點，y=0；如果點M在x軸上，則y=z=0；如果M是

原點，

則x=y=z=0，等。

空間兩點間的距離

設M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)為空間兩點，為了用兩點的坐標來表達它們間的距離d我們有公式：

例題：證明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)為頂點的三角形△ABC是一等腰三角形.

解答：由兩點間距離公式得：

由于，所以△ABC是一等腰三角形

方向余弦與方向數

解析幾何中除了兩點間的距離外，還有一個最基本的問題就是如何確定有向線段的或有向直線的方向。

方向角與方向余弦

設有空間兩點，若以P1為始點，另一點P2為終點的線段稱為有向線段.記作

.通過原點作一與其平行且同向的有向線段.將與Ox,Oy,Oz三個坐標軸正向夾角分別記作

α,β,γ.這三個角α,β,γ稱為有向線段的方向角.其中0≤α≤π,0≤β≤π,0≤γ≤π.

關于方向角的問題

若有向線段的方向確定了，則其方向角也是唯一確定的。

方向角的余弦稱為有向線段或相應的有向線段的方向余弦。

設有空間兩點，則其方向余弦可表示為：

從上面的公式我們可以得到方向余弦之間的一個基本關系式：

注意：從原點出發的任一單位的有向線段的方向余弦就是其端點坐標。

方向數

方向余弦可以用來確定空間有向直線的方向，但是，如果只需要確定一條空間直線的方位(一條直線的兩個

方向均確定著同一方位)，那末就不一定需要知道方向余弦，而只要知道與方向余弦成比例的三個數就可以了。這

三個與方向余弦成比例且不全為零的數A，B，C稱為空間直線的方向數，記作：{A，B，C}.即：

據此我們可得到方向余弦與方向數的轉換公式：

，，

其中：根式取正負號分別得到兩組方向余弦，它們代表兩個相反的方向。

關于方向數的問題

空間任意兩點坐標之差就是聯結此兩點直線的一組方向數。

兩直線的夾角

設L1與L2是空間的任意兩條直線，它們可能相交，也可能不相交.通過原點O作平行與兩條直線的線段

.則線段的夾角稱為此兩直線L1與L2的夾角.

若知道L1與L2的方向余弦則有公式為：

其中：θ為兩直線的夾角。

若知道L1與L2的方向數則有公式為：

兩直線平行、垂直的條件

兩直線平行的充分必要條件為：

兩直線垂直的充分必要條件為：

平面與空間直線

平面及其方程

我們把與一平面垂直的任一直線稱為此平面的法線。

設給定點為Po(x0,y0,z0),給定法線n的一組方向數為{A,B,C}A2+B2+C2≠0，則過此定點且以n為法線的平面方

程可表示為：

注意：此種形式的方程稱為平面方程的點法式。

例題：設直線L的方向數為{3，-4，8}，求通過點(2,1,-4)且垂直于直線L的平面方程.

解答：應用上面的公式得所求的平面方程為：

即

我們把形式為：

Ax+By+Cz+D=0.

稱為平面方程的一般式。其中x,y,z的系數A，B，C是平面的法線的一組方向數。

幾種特殊位置平面的方程

1、通過原點

其平面方程的一般形式為：

Ax+By+Cz=0.

2、平行于坐標軸

平行于x軸的平面方程的一般形式為：

By+Cz+D=0.

平行于y軸的平面方程的一般形式為：

Ax+Cz+D=0.

平行于z軸的平面方程的一般形式為：

Ax+By+D=0.

3、通過坐標軸

通過x軸的平面方程的一般形式為：

By+Cz=0.

通過y軸和z軸的平面方程的一般形式為：

Ax+Cz=0，Ax+By=0.

4、垂直于坐標軸

垂直于x、y、z軸的平面方程的一般形式為：

Ax+D=0，By+D=0，Cz+D=0.

直線及其方程

任一給定的直線都有著確定的方位.但是,具有某一確定方位的直線可以有無窮多條,它們相互平行.如果要

求直線再通過某一定點,則直線便被唯一確定，因而此直線的方程就可由通過它的方向數和定點的坐標表示出來。

設已知直線L的方向數為{l,m,n}，又知L上一點Po(x0,y0,z0),則直線L的方程可表示為：

上式就是直線L的方程，這種方程的形式被稱為直線方程的對稱式。

直線方程也有一般式，它是有兩個平面方程聯立得到的，如下：

這就是直線方程的一般式。

平面、直線間的平行垂直關系

對于一個給定的平面，它的法線也就可以知道了。因此平面間的平行與垂直關系，也就轉化為直線間的平行

與垂直關系。平面與直線間的平行與垂直關系，也就是平面的法線與直線的平行與垂直關系。

總的來說，平面、直線間的垂直與平行關系，最終都轉化為直線與直線的平行與垂直關系。在此我們就不列

舉例題了。

曲面與空間曲線

曲面的方程

我們知道，在平面解析幾何中可把曲線看成是動點的軌跡.因此，在空間中曲面可看成是一個動點或一條動

曲線(直線)按一定的條件或規律運動而產生的軌跡。

設曲面上動點P的坐標為(x,y,z)，由這一條件或規律就能導出一個含有變量x,y,z的方程：

如果此方程當且僅當P為曲面上的點時，才為P點的坐標所滿足。那末我們就用這個方程表示曲面，并稱這

個方程為曲面的方程，把這個曲面稱為方程的圖形。

空間曲線的方程

我們知道，空間直線可看成兩平面的交線，因而它的方程可用此兩相交平面的方程的聯立方程組來表示，這

就是直線方程的一般式。

一般地，空間曲線也可以象空間直線那樣看成是兩個曲面的交線，因而空間曲線的方程就可由此兩相交曲面

方程的聯立方程組來表示。

設有兩個相交曲面，它們的方程是，，那末聯立方程組：

便是它們的交線方程。

兩類常見的曲面

1、柱面

設有動直線L沿一給定的曲線C移動，移動時始終與給定的直線M平行，這樣由動直線L所形成的曲面稱為

柱面，動直線L稱為柱面的母線，定曲線C稱為柱面的準線。

2、旋轉面

設有一條平面曲線C，繞著同一平面內的一條直線L旋轉一周，這樣由C旋轉所形成的曲面稱為旋轉面，曲

線C稱為旋轉面的母線，直線L稱為旋轉面的軸。

下面我們再列舉出幾種常見的二次曲面

二次曲面的名稱二次曲面的方程

橢球面

單葉雙曲面

雙葉雙曲面

橢圓拋物面

雙曲拋物面

七、多元函數的微分學

多元函數的概念

我們前面所學的函數的自變量的個數都是一個，但是在實際問題中，所涉及的函數的自變量的個數往往是兩個，或者更

多。

例：一個圓柱體的體積與兩個獨立變量r,h有關。`

我們先以二個獨立的變量為基礎，來給出二元函數的定義。

二元函數的定義

設有兩個獨立的變量x與y在其給定的變域中D中，任取一組數值時，第三個變量z就以某一確定的法則有唯一確定的

值與其對應，那末變量z稱為變量x與y的二元函數。

記作：z=f(x,y).其中x與y稱為自變量，函數z也叫做因變量，自變量x與y的變域D稱為函數的定義域。

關于二元函數的定義域的問題

我們知道一元函數的定義域一般來說是一個或幾個區間.二元函數的定義域通常是由平面上一條或幾段光滑曲線所圍成

的連通的部分平面.這樣的部分在平面稱為區域.圍成區域的曲線稱為區域的邊界，邊界上的點稱為邊界點，包括邊界在內的

區域稱為閉域，不包括邊界在內的區域稱為開域。

如果一個區域D(開域或閉域)中任意兩點之間的距離都不超過某一常數M，則稱D為有界區域；否則稱D為無界區域。常

見的區域有矩形域和圓形域。如下圖所示：

例題：求的定義域.

解答：該函數的定義域為：x≥,y≥0.

二元函數的幾何表示

把自變量x、y及因變量z當作空間點的直角坐標，先在xOy平面內作出函數z=f(x,y)的定義域D；再過D域中得任一

點M(x,y)作垂直于xOy平面的有向線段MP,使其值為與(x,y)對應的函數值z；

當M點在D中變動時，對應的P點的軌跡就是函數z=f(x,y)的幾何圖形.它通常是一張曲面，

其定義域D就是此曲面在xOy平面上的投影。

二元函數的極限及其連續性

在一元函數中，我們曾學習過當自變量趨向于有限值時函數的極限。對于二元函數z=f(x,y)我們同樣可以學習當自變

量x與y趨向于有限值ξ與η時，函數z的變化狀態。

在平面xOy上，(x,y)趨向(ξ,η)的方式可以時多種多樣的，因此二元函數的情況要比一元函數復雜得多。如果當點

(x,y)以任意方式趨向點(ξ,η)時，f(x,y)總是趨向于一個確定的常數A，

那末就稱A是二元函數f(x,y)當(x,y)→(ξ,η)時的極限。

這種極限通常稱為二重極限。

下面我們用ε-δ語言給出二重極限的嚴格定義：

二重極限的定義

如果定義于(ξ,η)的某一去心鄰域的一個二元函數f(x,y)跟一個確定的常數A有如下關系：對于任意給定的正數ε，

無論怎樣小，相應的必有另一個正數δ，凡是滿足

的一切(x,y)都使不等式

成立，

那末常數A稱為函數f(x,y)當(x,y)→(ξ,η)時的二重極限。

正像一元函數的極限一樣，二重極限也有類似的運算法則：

二重極限的運算法則

如果當（x,y)→(ξ,η)時，f(x,y)→A，g(x,y)→B.

那末(1)：f(x,y)±g(x,y)→A±B；

(2)：f(x,y).g(x,y)→A.B；

(3)：f(x,y)/g(x,y)→A/B；其中B≠0

像一元函數一樣，我們可以利用二重極限來給出二元函數連續的定義：

二元函數的連續性

如果當點(x,y)趨向點(x0,y0)時，函數f(x,y)的二重極限等于f(x,y)在點(x0,y0)處的函數值f(x0,y0)，那末稱函數f(x,y)

在點(x0,y0)處連續.如果f(x,y)在區域D的每一點都連續，那末稱它在區域D連續。

如果函數z=f(x,y)在(x0,y0)不滿足連續的定義，那末我們就稱(x0,y0)是f(x,y)的一個間斷點。

關于二元函數間斷的問題

二元函數間斷點的產生與一元函數的情形類似，但是二元函數間斷的情況要比一元函數復雜，它除了有間斷點，還有間

斷線。

二元連續函數的和，差，積，商(分母不為零）和復合函數仍是連續函數。

例題：求下面函數的間斷線

解答：x=0與y=0都是函數的間斷線。

偏導數

在一元函數中，我們已經知道導數就是函數的變化率。對于二元函數我們同樣要研究它的"變化率"。然而，由于自變

量多了一個，情況就要復雜的多.在xOy平面內，當變點由(x0,y0)沿不同方向變化時，函數f(x,y)的變化快慢一般說來時不

同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)點處沿不同方向的變化率。

在這里我們只學習(x,y)沿著平行于x軸和平行于y軸兩個特殊方位變動時f(x,y)的變化率。

偏導數的定義

設有二元函數z=f(x,y)，點(x0,y0)是其定義域D內一點.把y固定在y0而讓x在x0有增量△x，相應地函數

z=f(x,y)有增量(稱為對x的偏增量)

△xz=f(x0+△x)-f(x0,y0).

如果△xz與△x之比當△x→0時的極限

存在，

那末此極限值稱為函數z=f(x,y)在(x0,y0)處對x的偏導數。

記作：f'x(x0,y0)或

關于對x的偏導數的問題

函數z=f(x,y)在(x0,y0)處對x的偏導數，實際上就是把y固定在y0看成常數后，一元函數z=f(x,y0)在x0處的導數

同樣，把x固定在x0,讓y有增量△y,如果極限

存在，

那末此極限稱為函數z=(x,y)在(x0,y0)處對y的偏導數.

記作f'y(x0,y0)或

偏導數的求法

當函數z=f(x,y)在(x0,y0)的兩個偏導數f'x(x0,y0)與f'y(x0,y0)都存在時，

我們稱f(x,y)在(x0,y0)處可導。如果函數f(x,y)在域D的每一點均可導，

那末稱函數f(x,y)在域D可導。

此時，對應于域D的每一點(x,y)，必有一個對x(對y)的偏導數，因而在域D確定了一個新的二元函數，

稱為f(x,y)對x(對y)的偏導函數。簡稱偏導數。

例題：求z=x2siny的偏導數

解答：把y看作常量對x求導數，得

把x看作常量對y求導數，得

注意：二元函數偏導數的定義和求法可以推廣到三元和三元以上函數。

例題：求的偏導數。

解答：我們根據二元函數的偏導數的求法來做。

把y和z看成常量對x求導，得.

把x和z看成常量對y求導，得.

把x和y看成常量對z求導，得.

高階偏導數

如果二元函數z=f(x,y)的偏導數f'x(x,y)與f'y(x,y)仍然可導，

那末這兩個偏導函數的偏導數稱為z=f(x,y)的二階偏導數。

二元函數的二階偏導數有四個：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy.

注意：f"xy與f"yx的區別在于：前者是先對x求偏導，然后將所得的偏導函數再對y求偏導；后者是先對y求偏導

再對x求偏導.當f"xy與f"yx都連續時，求導的結果于求導的先后次序無關。

例題：求函數的二階偏導數.

解答：，，

全微分

我們已經學習了一元函數的微分的概念了，現在我們用類似的思想方法來學習多元函數的的全增量，從而把微分的概

念推廣到多元函數。

這里我們以二元函數為例。

全微分的定義

函數z=f(x,y)的兩個偏導數f'x(x,y),f'y(x,y)分別與自變量的增量△x,△y乘積之和

f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y

若該表達式與函數的全增量△z之差，

當ρ→0時，是ρ()

的高階無窮小，

那末該表達式稱為函數z=f(x,y)在(x,y)處(關于△x,△y)的全微分。

記作：dz=f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y

注意：其中△z=f'x(x,y)△x+f'y(x,y)△y+αρ，(α是當ρ→0時的無窮小)

注意：在找函數相應的全增量時，為了使△z與偏導數發生關系，我們把由(x0,y0)變到(x0+△x,y0+△y)的過程分為兩

部：先由點(x0,y0)變到點(x0,y0+△y)，再變到點(x0+△x,y0+△y).其過程如下圖所示：

例題：求的全微分

解答：由于，

所以

關于全微分的問題

如果偏導數f'x(x,y),f'y(x,y)連續，那末z=f(x,y)一定可微。

多元復合函數的求導法

在一元函數中，我們已經知道，復合函數的求導公式在求導法中所起的重要作用，對于多元函數來說也是如此。下面

我們來學習多元函數的復合函數的求導公式。我們先以二元函數為例：

多元復合函數的求導公式

鏈導公式：

設均在(x,y)處可導,函數z=F(u,v)在對應的(u,v)處有連續的一階偏導數,

那末,復合函數在(x,y)處可導,且有鏈導公式：

例題：求函數的一階偏導數

解答：令

由于

而

由鏈導公式可得：

其中

上述公式可以推廣到多元，在此不詳述。

一個多元復合函數，其一階偏導數的個數取決于此復合函數自變量的個數。在一階偏導數的鏈導公式中，項數的多少

取決于與此自變量有關的中間變量的個數。

全導數

由二元函數z=f(u,v)和兩個一元函數復合起來的函數是x的一元函數.

這時復合函數的導數就是一個一元函數的導數,稱為全導數.

此時的鏈導公式為:

例題：設z=u2v，u=cosx，v=sinx，求

解答：由全導數的鏈導公式得：

將u=cosx，v=sinx代入上式，得：

關于全導數的問題

全導數實際上是一元函數的導數，只是求導的過程是借助于偏導數來完成而已。

多元函數的極值

在一元函數中我們看到，利用函數的導數可以求得函數的極值，從而可以解決一些最大、最小值的應用問題。多元函

數也有類似的問題，這里我們只學習二元函數的極值問題。

二元函數極值的定義

如果在(x0,y0)的某一去心鄰域內的一切點(x,y)恒有等式：

f(x,y)≤f(x0,y0)

成立，那末就稱函數f(x,y)在點(x0,y0)處取得極大值f(x0,y0)；如果恒有等式：

f(x,y)≥f(x0,y0)

成立，那末就稱函數f(x,y)在點(x0,y0)處取得極小值f(x0,y0).

極大值與極小值統稱極值.使函數取得極值的點(x0,y0)稱為極值點.

二元可導函數在(x0,y0)取得極值的條件是：.

注意：此條件只是取得極值的必要條件。

凡是使的點(x,y)稱為函數f(x,y)的駐點.可導函數的極值點必為駐點，但駐點卻不一

定是極值點。

二元函數極值判定的方法

設z=f(x,y)在(x0,y0)的某一鄰域內有連續的二階偏導數.如果，那末函數f(x,y)在

(x0,y0)取得極值的條件如下表所示：

△=B2-ACf(x0,y0)

△＜0A＜0時取極大值

A＞0時取極小值

△＞0非極值

△=0不定

其中

例題：求的極值。

解答：設,則

，.

.

解方程組，得駐點(1,1),(0,0).

對于駐點(1,1)有,故

B2-AC=(-3)2-6.6=-27＜0，A=6＞0

因此，在點(1,1)取得極小值f(1,1)=-1.

對于駐點(0,0)有,故

B2-AC=(-3)2-0.0=9＞0

因此，在點(0,0)不取得極值.

多元函數的最大、最小值問題

我們已經知道求一元函數極大值、極小值的步驟，對于多元函數的極大值、極小值的求解也可采用同樣的步驟。下面

我們給出實際問題中多元函數的極大值、極小值求解步驟。如下：

a)：根據實際問題建立函數關系，確定其定義域；

b)：求出駐點；

c)：結合實際意義判定最大、最小值.

例題：在平面3x+4y-z=26上求一點，使它與坐標原點的距離最短。

解答：a)：先建立函數關系,確定定義域

求解與原點的距離最短的問題等價于求解與原點距離的平方

最小的問題.但是P點位于所給的平面上,故z=3x+4y-26.把它代入上式便得到我們所需的函數關

系:

,-∞＜x＜+∞,-∞＜y＜+∞

b)：求駐點

解得唯一駐點x=3，y=4.由于點P在所給平面上,故可知

z=-1

c)：結合實際意義判定最大、最小值

由問題的實際意義可知，原點與平面距離的最小值是客觀存在的，且這個最小值就是極小值.

而函數

僅有唯一的駐點.所以，平面上與原點距離最短的點為P(3,4,-1).

從上例我們可以看出，上面函數關系也可看成是：求三元函數

，

在約束條件

3x+4y-z=26

下的最小值.一個多元函數在一個或幾個約束條件下的極值稱為條件極值。

八、多元函數的積分學

二重積分的概念及性質

前面我們已經知道了，定積分與曲邊梯形的面積有關。下面我們通過曲頂柱體的體積來引出二重積分的概念，在此我

們不作詳述，請大家參考有關書籍。

二重積分的定義

設z=f(x,y)為有界閉區域(σ)上的有界函數：

(1)把區域(σ)任意劃分成n個子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面積記作△σk(k=1,2,3,…,n）；

(2)在每一個子域(△σk)上任取一點，作乘積；

(3)把所有這些乘積相加,即作出和數

(4)記子域的最大直徑d.如果不論子域怎樣劃分以及怎樣選取,上述和數當n→＋∞且d→0時的極限存

在,那末稱此極限為函數f(x,y)在區域(σ)上的二重積分.記作:

即：=

其中x與y稱為積分變量，函數f(x,y)稱為被積函數,f(x,y)dσ稱為被積表達式,(σ)稱為積分區域.

關于二重積分的問題

對于二重積分的定義,我們并沒有f(x,y)≥0的限.容易看出,當f(x,y)≥0時,二重積分在幾何上就是以

z=f(x,y)為曲頂，以(σ)為底且母線平行于z軸的曲頂柱體的體積。

上述就是二重積分的幾何意義。

如果被積函數f(x,y)在積分區域(σ)上連續，那末二重積分必定存在。

二重積分的性質

(1).被積函數中的常數因子可以提到二重積分符號外面去.

(2).有限個函數代數和的二重積分等于各函數二重積分的代數和.

(3).如果把積分區域(σ)分成兩個子域(σ1)與(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末:

(4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末:

≤

(5).設f(x,y)在閉域(σ)上連續,則在(σ)上至少存在一點(ξ,η),使

其中σ是區域(σ)的面積.

二重積分的計算法

直角坐標系中的計算方法

這里我們采取的方法是累次積分法。也就是先把x看成常量，對y進行積分，然后在對x進行積分，或者是先把y看

成常量，對x進行積分，然后在對y進行積分。為此我們有積分公式，如下：

或

在這里我們可能會有這個問題：累次積分的上下限是怎么確定的呢？

累次積分上下限的確定方法

我們先來對區域作些補充說明：如果經過區域(σ)內任意一點(即不是區域邊界上的點)作平行于y軸(或x軸)的直線,

且此直線交(σ)的邊界不超過兩點，那末稱(σ)為沿y軸(x軸)方向的正規區域.如果(σ)即是沿y軸方向也是沿x軸方向

的正規區域,那末(σ)就稱為正規區域.下圖所示的即為正規區域:

關于累次積分上下限的取法如下所述:

(1).如果(σ)為沿y軸方向的正規區域，那末二重積分可化為先對y再對x的累次積分.其中對y的積分下限是(σ)

的下部邊界曲線所對應的函數y1(x)，積分上限是上部邊界曲線所對應的函數y2(x).對x的積分下限與上限分別是(σ)的最

左與最右點的橫坐標a與b.

(2).如果(σ)為沿x軸方向的正規區域,那末二重積分可化為先對x再對y的累次積分.其中對x的積分下限是(σ)的

左部邊界曲線所對應的函數x1(y)，積分上限是右部邊界曲線所對應的函數x2(y).對y的積分下限與上限分別是(σ)的最低

與最高點的橫坐標c與d.

(3).如果(σ)為正規區域，那末累次積分可以交換積分次序。

(4).如果(σ)既不是沿y軸方向的正規區域,也不是沿x軸方向的正規區域,那末總可以把它化分成幾塊沿y軸方向的

正規區域或沿x軸方向的正規區域,然后根據積分的性質即可求解積分.

例題：求二重積分，其中(σ)是由所圍成的區域。

解答：因為是正規區域，所以我們可先對y后對x積分，也可先對x后對y積分。這里我們采用前者

先對y后對x積分：

極坐標系中的計算法

如果二重積分的被積函數和積分區域(σ)的邊界方程均由極坐標的形式給出,那末我們如何計算呢?下面我們給出極坐

標系中二重積分的計算公式.

如果極點O在(σ)的外部,區域(σ)用不等式表示為R1(θ)≤ρ≤R2(θ),α≤θ≤β,則積分公式如下:

如果極點O在(σ)的內部,區域(σ)的邊界方程為ρ=R(θ),0≤θ≤2π,則積分公式如下:

如果極點O在(σ)的邊界上,邊界方程為ρ=R(θ),θ1≤θ≤θ2,則積分公式如下:

有了上面這些公式，一些在直角坐標系中不易積出而在極坐標系中易積出的函數，我們就可以把它轉化為在極坐標系

中的積分即可，反之依然。

注：直角坐標與極坐標的轉換公式為：

例題：求，其中(σ)是圓環a2≤x2+y2≤b2

解答：由于積分域由同心圓圍成以及被積函數的形式，顯然，這個二重積分化為極坐標計算比較方便。

把，dσ=ρdρdθ代入，即可轉化為極坐標系的積分形式。如下：

在對其進行累次積分計算：

三重積分及其計算法

二重積分的被積函數是一個二元函數，它的積分域是—平面區域.如果考慮三元函數f(x,y,z)在一空間區域(V)上的積

分，就可得到三重積分的概念。

三重積分的概念

設函數u=f(x,y,z)在空間有界閉區域(V)任意劃分成n個子域(△V1),(△V2),(△V3),…,(△Vn),它們的體積分別記作

△Vk(k=1,2,…,n).在每一個子域上任取一點，并作和數

如果不論△Vk怎樣劃分，點怎樣選取，當n→+∞而且最大的子域直徑δ→0時，這個和數的極限都存在，

那末此極限就稱為函數在域(V)上的三重積分,記作：

即：

如果f(x,y,z)在域(V)上連續，那末此三重積分一定存在。

對于三重積分沒有直觀的幾何意義，但它卻有著各種不同的物理意義。

直角坐標系中三重積分的計算方法

這里我們直接給出三重積分的計算公式，具體它是怎樣得來的，請大家參照有關書籍。

直角坐標系中三重積分的計算公式為：

此公式是把一個三重積分轉化為一個定積分與一個二重積分的問題，根據我們前面所學的結論即可求出。

例題：求，其中(V)是由平面x=0,y=0,z=0及x+y+z=1所圍成的區域.

解答：把I化為先對z積分，再對y和x積分的累次積分，那末應把(V)投影到xOy平面上,求出投影域(σ),它就是

平面x+y+z=1與xOy平面的交線和x軸、y軸所圍成的三角區域.

我們為了確定出對z積分限,在(σ)固定點(x,y),通過此點作一條平行于z的直線,它與(V)上下邊界的交

點的豎坐標：z=0與z=1-x-y，這就是對z積分的下限與上限，于是由積分公式得：

其中(σ)為平面區域：x≥0，y≥0，x+y≤1，如下圖紅色陰影部分所示：

再把(σ)域上的二重積分化成先對y后對x的累次積分，得：

柱面坐標系中三重積分的計算法

我們先來學習一下空間中的點用極坐標的表示方法。

平面上點P可以用極坐標(ρ,θ)來確定,因此空間中的點P可用數組(ρ,θ,z)來表示.顯然，空間的點P與數組

(ρ,θ,z)之間的對應關系是一一對應關系,數組(ρ,θ,z)稱為空間點P的柱面坐標.它與直角坐標的關系為：

構成柱面坐標系的三族坐標面分別為：

ρ=常數：以z軸為對稱軸的同軸圓柱面族，

θ=常數：通過z軸的半平面族，

z=常數：與z軸垂直的平面族.

因此，每三個這樣的坐標面確定著空間的唯一的一點，由于利用了圓柱面，所以稱為柱面坐標。

柱面坐標系下三重積分的計算公式為：

此處我們不在舉例。

九、常微分方程

微分方程的基本概念

在許多科技領域里，常會遇到這樣的問題：

某個函數是怎樣的并不知道，但根據科技領域的普遍規律，卻可以知道這個未知函數及其導數與自變量之

間會滿足某種關系。下面我們先來看一個例子：

例題：已知一條曲線過點(1,2)，且在該直線上任意點P(x,y)處的切線斜率為2x，求這條曲線方程

解答：設所求曲線的方程為y=y(x)，我們根據導數的幾何意義，可知y=y(x)應滿足方程：

我們發現這個方程中含有未知函數y的導數。這里我們先不求解。

微分方程的概念

我們把含有未知函數的導數（或微分）的方程稱為微分方程。

在一個微分方程中所出現的導數的最高階數稱為微分方程的階。當然階數越高的微分方程越麻煩。

從微分方程求出未知函數是什么就叫做解微分方程。滿足微分方程的函數（它要在某區間上連續）稱為微

分方程的解，微分方程的一般形式的解稱為微分方程的一般解.

滿足微分方程的一個有特殊要求的解稱為微分方程的一特解，這種特解通常是滿足一定的附加條件的解。

通常，微分方程的一般解里，含有一些任意常數，其個數與微分方程的階數相同，因此用來確定任意常數

以從一般解得出一個特解的附加條件的個數也與微分方程的階數相同.

可分離變量的微分方程與齊次方程

下面我們來學習用積分法解一階微分方程的問題。

并不是所有的一階微分方程都可以用積分法求解，只有一些特殊形式的一階微分方程可以用積分法求解，

并且解法也各不相同。因此，我們學習時要認清各種微分方程的特點及它們的解法。

可分離變量的微分方程

這種方程的形式為：

我們往往會以為將上式兩端積分即可求解。其實是不對的。因為兩端積分后，得，右

端是什么也求不出的，所以求不出y來。

其正確解法為：設y=y(x)為所求的解，于是當y=y(x)時，有

，即

這一步把y的函數及dy與x的函數及dx分開了，稱為分離變量，這是求解的關鍵的一步，下一步我們就

可由不定積分換元法進行求解了。

例題：求方程的通解。

解答：這是一個可分離變量的方程，分離變量后得

兩端分別積分，得

令，得

這就是該方程的通解。

齊次微分方程

這種微分方程的形式為：

它也不能由兩端積分求解。其求解步驟為：

令，則，y的微分方程就化成了u的微分方程

即：

這就化成了可分離變量的微分方程，再由上面我們所學的方法就可求出方程的通解。

例題：求方程的特解。

解答：這是一個齊次方程。令y=ux代入，得

分離變量后，得

兩端分別積分，得

或其中

代回u=y/x，得原方程的通解為

將初始條件y(0)=1代入，得C=1.

所以滿足初始條件的特解為

線性微分方程

線性微分方程

這種微分方程的形式為：，其中，p,q與y,y'無關，但可以與x有關.它對y與y'而言是一次

的，故被稱之為一階線性微分方程。

當q=0時稱為齊次線性微分方程；當q≠0時稱為非齊次線性微分方程。

齊次線性微分方程的解法

齊次線性微分方程的形式為：

此方程是可分離變量的微分方程，分離變量后，得：，這就可以由我們前面所學的方法進行

求解。

例題：求的一般解。

解答：由此方程可得，故

因此該方程的一般解為：

非齊次線性微分方程的解法

非齊次線性微分方程的形式為：

這種方程的解法為：先求出其對應的齊次線性微分方程的一般解，然后把c看作x

的函數，再代到非齊次線性微分方程中來決定c，使它能滿足非齊次微分方程。

中把c作為x的函數求導數比c作為常數求導數要多處一項：，所以中c作為

x的函數代入微分方程就得到.

所以只要，即就可使非齊次線性微分方程得到滿足，即為所求的一

般解。

上面我們說學的這種解法被稱為Lagrange常數變易法。

例題：求解

解答：相應齊次線性微分方程的一般解為：

把c看成x的函數代入得：

因此：c'=x(x+1)

∴

故：就是非齊次線性微分方程的一般解。

可降階的高階方程

求解高階微分方程的方法之一是設法降低方程的階數。下面我們以二階方程為例來學習三種可以降階的方

程。

1.右端僅含x的方程：y"=f(x)

對這類方程，只須兩端分別積分一次就可化為一階方程

，

再次積分，即可求出方程得通解。

例題：求方程y"=cosx的通解。

解答：一次積分得：

二次積分即得到方程得通解：

2.右端不顯含y的方程：y"=f(x,y')

我們為了把方程降階，可令y'=p，將p看作是新的未知函數，x仍是自變量，于是，代入原方程

得：

這就是一個一階方程，然后即可由我們前面學的方法進行求解了。

例題：求方程的通解。

解答：令y'=p.，代入方程，得

分離變量后，得

積分，得

.即

再積分，即得原方程的通解：

.

3.右端不顯含x的方程：y"=f(y,y')

我們為了把方程降階，可令y'=p，將p看作是自變量y的函數，有

代入原方程，得

這是關于p的一階方程，我們可由此解出通解，然后再代入原方程求解，即可。

例題：求方程的通解

解答：令代入原方程得：

它相當于兩個方程：

由第一個方程解得：y=C;

第二個方程可用分離變量法解得

p=C1y

從而

由此再分離變量，解得：

這就是原方程的通解（解y=C包含在這個解中）

線性微分方程解的結構

我們以二階方程為例來說明線性方程解的結構，當然這些結論也適合于高階線性微分方程。

二階線性方程的一般形式為

其中y",y',y都是一次的，否則稱為二階非線性方程。

線性齊次方程解的結構

二階線性齊次方程的形式為：

定理：如果函數均是方程的解，那末也是

該方程的解，其中C1,C2為任意常數。

線性齊次方程的這一性質，又稱為解的疊和性。

問題：我們所求得的解是不是方程的通解呢？

一般來說，這是不一定的，那么什么情況下它才是方程的通解呢？為此我們由引出了兩個概念：線性相關

與線性獨立。

定義：設是定義在區間I的兩個函數，如果，那末稱此兩函數在區間I

線性相關，否則，即之比不恒等于一個常數，那末稱此兩函數線性獨立或線性無關。

為此我們有了關于線性齊次方程特解的定理。

定理：如果是二階線線性齊次方程的任意兩個線性獨立的特解，那末

就是該方程的通解，其中C1,C2為任意常數。

線性非齊次方程解的結構

二階線性非齊次方程的形式為：

對于一階線性非齊次方程我們知道，線性非齊次方程的通解等于它的一個特解與對應的齊次方程通解之

和。那末這個結論對高階線性非齊次方程適合嗎？

答案是肯定的。為此我們有下面的定理。

定理：設y是二階線性非齊次方程的任一特解，Y是與該方程對應的齊次線性

方程的通解，那末y=y+Y就是方程的通解。

我們為了以后的解題方便，又給出了一個定理，如下：

定理：設有線性非齊次方程.如果分別是方程

與方程

的解，那末就是原方程的解。

二階常系數齊次線性方程的解法

前面我們已經知道了，無論是線性齊次方程和非齊次方程，它們的通解結構雖然知道，但通解的尋求卻是

建立在已知特解的基礎上。但是，即使對二階線性齊次方程，特解的尋求也沒有一般的方法。但是對于常系數

的二階線性齊次方程，它的通解可按一定的方法很容易求的。

二階線性齊次方程的解法

二階線性齊次方程的一般形式為：，其中a1，a2為實常數。

我們知道指數函數eax求導后仍為指數函數。利用這個性質，可適當的選擇常數ρ，使eax滿足方程上面的

方程。我們可令：，代入上面的方程得：

因為eax≠0，所以：

這樣，對于上面二次方程的每個根ρ，eax就是方程的一個解。方程

就被稱為方程的特征方程。根據這個代數方程的根的不同性質，我們分三種不同的情況來討

論：

1.特征方程有兩個不等的實根的情形

設此兩實根為。于是是齊次方程的兩個特解，由于它們之

比不等于常數，所以它們線性獨立，因此，方程的通解為：

其中c1，c2為實常數。

2.特征方程有重根的情形

此時特征方程的重根應為：，于是只能得到的一個特解：，我們

可根據常數變易法再求其另一個特解為：.于是方程的通解為:

3.特征方程有共軛復根的情形

設共軛復根為，那末是方程的兩

個線性獨立的解，但是這種復數形式的解使用不方便，為了得到實數形式的解，利用歐拉公式：

，為此可以得到方程的通解：

由上面可知，求二階常系數線性齊次方程通解的步驟為：

1.對照方程寫出其特征方程：；

2.求出特征方程的兩個根：ρ1，ρ2

3.根據ρ1，ρ2是不同實根，相同實根，共軛復根，分別利用上面的公式寫出原方程的通解。

例題：求方程的通解.

解答：此方程的特征方程為：

它有兩個不相同的實根，因此所求的通解為：

二階常系數非齊次線性方程的解法

我們來學習二階常系數線性非齊次方程的求解方法.由前面我們知道線性非齊次

方程的通解，等于它的任一特解與對應齊次方程的通解之和。前面我們已知道對應齊次方程的通解的解法，現

在的關鍵是怎樣求得特解。

二階常系數非齊次線性方程的解法

常系數二階線性非齊次方程的一般形式為：

下面我們根據f(x)具有下列特殊情形時，來給出求其特解的公式：

（1）：設，其中μ為一常數，

若為零次多項式，此時：

a):當μ不是特征方程的根時，可設

b):當μ是特征方程的單根時，可設

c):當μ是特征方程的重根時，可設

若為一m次多項式，即：μ=0，此時

a):當a2≠0即μ=0不是特征方程的根時，可設

b):當a2=0，a1≠0時，即μ=0是特征方程的單根時，可設

c):當a2=0，a1=0時，即μ=0是特征方程的重根時，可設

例題：求方程的一個特解

解答：對應的特征方程為

原方程右端不出現，但可以把它看作是，即μ=0

因為μ=0不是特征方程的根，所以設特解為

代入原方程，得

于是：

故所求的特解為：

（2）：設或，其中a,μ,v為常數。

此時的特解為：

例題：求方程的特解

解答：顯然可設特解為：

代入原方程得：

由此得：

A=-1

從而原方程的特解是

十、無窮級數

級數的概念及其性質

我們在中學里已經遇到過級數——等差數列與等比數列，它們都屬于項數為有限的特殊情形。下面我們來學習項數為無

限的級數，稱為無窮級數。

無窮級數的概念

設已給數列a1,a2,…,an,…把數列中各項依次用加號連接起來的式子a1+a2+…+an+…稱為無窮級數，簡稱級數.記作：

或，即：=a1+a2+…+an+…，數列的各項a1,a2,…稱為級數的項，an稱為級數的通項.

取級數最前的一項，兩項，…，n項，…相加，得一數列S1=a1，S2=a1+a2，…，Sn=a1+a2+…+an，…這個數列的通項Sn=a1+a2+…+an

稱為級數的前n項的部分和，該數列稱為級數的部分和數列。

如果級數的部分和數列收斂：，那末就稱該級數收斂，極限值S稱為級數的和。

例題：證明級數：的和是1.

證明：

當n→∞時，Sn→1.所以級數的和是1.

級數的性質

1.級數收斂的必要條件：收斂的級數的通項an當n→∞時趨于零，即：

注意：此條件只是級數收斂的必要條件，而不是充分條件。

例如：級數雖然在n→∞時，通項，級數卻是發散的。

此級數為調和級數，在此我們不加以證明。

2.如果級數收斂而它的和是S，那末每一項乘上常數c后所得到的級數，也是收斂的，而且它的和是cS.

如果發散，那末當c≠0時也發散。

3.兩個收斂的級數可以逐項相加或相減。

4.在任何收斂的級數中，不改變連在一起的有限項的次序而插入括號，所得的新級數仍收斂，其和不變。

注意：無限項的所謂和是一種極限，與有限項的和在本質上是有區別的。

5.在一個級數的開頭添入或去掉有限個項并不影響這個級數的收斂或發散。

正項級數的收斂問題

對于一個級數，我們一般會提出這樣兩個問題：它是不是收斂的？它的和是多少？顯然第一個問題是更重要的，因為如

果級數是發散的，那末第二個問題就不存在了。下面我們來學習如何確定級數的收斂和發散問題。

我們先來考慮正項級數(即每一項an≥0的級數）的收斂問題。

判定正項級數斂散性的基本定理

定理：正項級數收斂的充分與必要條件是部分和Sn上有界.如果Sn上無界，級數發散于正無窮大。

例如：p級數：，當p>1時收斂，當p≤1時發散。

注意：在此我們不作證明。

正項級數的審斂準則

準則一：設有兩個正項級數及，而且an≤bn(n=1,2,…）.如果收斂，那末也收斂；如果發

散，那末也發散.

例如：級數是收斂的，因為當n>1時，有≤，而等比級數是收斂的

準則二：設有兩個正項級數與，如果那末這兩個級數或者同時收斂，或者同時發散。

關于此準則的補充問題

如果，那末當收斂時，也收斂；如果，那末當發散時，也發散.

例如：是收斂的.因為，而是收斂的.

注意：以上這兩個準則來判定一個已知級數的斂散性，都需要另選一個收斂或發散的級數，以資比較.下面我們來學習兩

個只依賴于已知級數本身的審斂準則.

準則三：設有正項級數.如果極限存在，那末當λ＜1時級數收斂，λ＞1時級數收斂.

注意：此準則就是達朗貝爾準則.這種判定方法稱為檢比法.

例如：級數是收斂的，因為當n→∞時，.

準則四(柯西準則)：如果極限存在，那末當λ＜1級數收斂，λ＞1級數發散.

例如：級數是發散的，因為當n→∞時，

一般常數項級數的審斂準則

當級數中的正數項與負數項均為無窮多時，就稱級數為一般常數項級數.

絕對收斂與條件收斂

設有一般常數項級數

取各項的絕對值所構成的級數

稱為對應于原級數的絕對值級數.

絕對收斂的準則：如果對應的絕對值級數收斂，那末原級數也收斂.

注意：此時稱為絕對收斂，

如果級數發散而級數收斂，

則稱為條件收斂。

關于絕對收斂與條件收斂的問題

一個絕對收斂級數的正數項與負數項所組成的級數都是收斂的；

一個條件收斂級數的正數項與負數項所組成的級數都是發散的。

例題：證明：當λ>1時，級數為一絕對收斂級數.

證明：因為≤而當λ>1時收斂，故級數收斂，從而級數絕對收斂.

交錯級數與它的審斂準則

交錯級數就是任一相鄰的兩項都是符號相反的數，它是一般常數項級數的一種特殊級數.

交錯級數可以寫成：

交錯級數的審斂準則(萊布尼茲準則)：

如果且，那末級數收斂.

例如：交錯級數是收斂的，因為它滿足萊布尼茲準則的兩個條件：及

函數項級數、冪級數

在自然科學與工程技術中運用級數這一工具時，經常用到不是常數項的級數，而是函數項的級數.而常數項級數是研究函

數項級數的基礎。

函數項級數的概念

設有函數序列，，其中每一個函數都在同一個區間I上有定義，那末表達式

稱為定義在I上的函數項級數。

下面我們來學習常見而應用廣泛的一種具有如下形式的函數項級數：

它們的各項都是正整數冪的冪函數.這種級數稱為冪級數，其中cn(n=0,1,2,…)均為常數.

顯然，當上面級數中的變量x取定了某一個值x0時，它就變為一個常數項級數。

冪級數的收斂問題

與常數項級數一樣，我們把稱為冪級數的部分和。如果這部分和當n→∞時對區間I

中的每一點都收斂，那末稱級數在區間I收斂。此時sn(x)的極限是定義在區間I中的函數，記作:s(x).這個函數s(x)稱

為級數的和函數，簡稱和，記作：

對于冪級數，我們關心的問題仍是它的收斂與發散的判定問題，下面我們來學習關于冪級數的收斂的判定準則。

冪級數的審斂準則

準則：設有冪級數.如果極限，那末，當時，冪級數收斂，而且絕對收斂；當時，

冪級數發散，其中R可以是零，也可以是+∞.

由上面的準則我們可知：冪級數的收斂區間是關于原點對稱的區間.在這個區間內級數收斂，在這個區間外級數

發散.區間稱為冪級數的收斂區間，簡稱斂區。正數R為冪級數的收斂半徑.

關于此審斂準則問題

討論冪級數收斂的問題主要在于收斂半徑的尋求。當時，級數的斂散性不能由準則來判定，需另行討論。

例題：求冪級數的收斂區間.

解答：該級數的收斂半徑為：

所以此冪級數的斂區是（-5，5）.

在x=5與x=-5，級數分別為前者發散，后者收斂.

故級數的收斂區間是[-5,5)

冪級數的性質

性質1：設有兩個冪級數與，如果

=f1(x)，-R1

=f2(x)，-R2

則=f1(x)±f2(x)，-R

性質2：冪級數的和s(x)在斂區內時連續的.

性質3：冪級數的和s(x)在斂區內的任一點均可導，且有逐項求導公式：

=

求導后的冪級數與原級數有相同的收斂半徑。

性質4：冪級數的和s(x)在斂區內可以積分，并且有逐項積分公式：

積分后所得的冪級數與原級數有相同的收斂半徑。

由以上這些性質可知：冪級數在其斂區內就像普通的多項式一樣,可以相加,相減,可以逐項求導,逐項積分。

函數的冪級數展開式

通過前面的學習我們看到，冪級數不僅形式簡單，而且有一些與多項式類似的性質。而且我們還發現有一些可以表示

成冪級數。為此我們有了下面兩個問題：

問題1：函數f(x)在什么條件下可以表示成冪級數；

問題2：如果f(x)能表示成如上形式的冪級數，那末系數cn(n=0,1,2,3,…)怎樣確定？

下面我們就來學習這兩個問題。

泰勒級數

我們先來討論第二個問題.假定f(x)在a的鄰區內能表示成

這種形式的冪級數，其中a是事先給定某一常數，我們來看看系數cn與f(x)應有怎樣的關系。

由于f(x)可以表示成冪級數，我們可根據冪級數的性質，在x=a的鄰區內f(x)可任意階可導.對其冪級數兩端逐次求

導。得：

，

，

………………………………………………

，

………………………………………………

在f(x)冪級數式及其各階導數中，令x=a分別得：

把這些所求的系數代入得：

該式的右端的冪級數稱為f(x)在x+a處的泰勒級數.

關于泰勒級數的問題

上式是在f(x)可以展成形如的冪級數的假定下得出的.實際

上，只要f(x)在x=a處任意階可導，我們就可以寫出函數的泰勒級數。

問題：函數寫成泰勒級數后是否收斂？是否收斂于f(x)？

函數寫成泰勒級數是否收斂將取決于f(x)與它的泰勒級數的部分和之差

是否隨n→＋∞而趨向于零.如果在某一區間I中有那末f(x)在x=a處的泰勒級數將在區間I

中收斂于f(x)。此時，我們把這個泰勒級數稱為函數f(x)在區間I中的泰勒展開式.

泰勒定理

設函數f(x)在x=a的鄰區內n+1階可導，則對于位于此鄰區內的任一x，至少存在一點c,c在a與x之間，使得：

此公式也被稱為泰勒公式。(在此不加以證明）

在泰勒公式中，取a=0，此時泰勒公式變成：

其中c在0與x之間

此式子被稱為麥克勞林公式。

函數f(x)在x=0的泰勒級數稱為麥克勞林級數.當麥克勞林公式中的余項趨于零時，我們稱相應的泰勒展開式為麥克

勞林展開式.

即：

幾種初等函數的麥克勞林的展開式

1.指數函數ex

2.正弦函數的展開式

3.函數(1+x)m的展開式