證明題

中考數(shù)學(xué)證明題精選之老陽三干創(chuàng)作

1.如圖，兩相交圓的公共弦AB為32，在⊙O1中為內(nèi)接正三角形的一邊，在⊙O2中

為內(nèi)接正六邊形的一邊，求這兩圓的面積之比。

2.已知扇形的圓心角為1500，弧長為?20，求扇形的面積。

3.如圖，已知PA、PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，PO＝4cm，∠APB

＝600，求陰影部分的周長。

4.如圖，已知直角扇形AOB，半徑OA＝2cm，以O(shè)B為直徑在扇形內(nèi)

作半圓M，過M引MP∥AO交?

AB于P，求?

AB與半圓弧及MP圍成的陰

影部分面積

陰

S。

5.如圖，⊙O內(nèi)切于△ABC，切點(diǎn)分別為D、E、F，若∠C＝900，AD＝

4，BD＝6，求圖中陰影部分的面積。

6.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝900，O點(diǎn)在AB上，半圓O切AC于D，切BC于E，

AO＝15cm，BO＝20cm，求?

DE的長。

7.如圖，有一個直徑是1米圓形鐵皮，要從中剪出一個最大的

圓心角為900的扇形ABC，求：

（1）被剪掉（陰影）部分的面積；

（2）用所留的扇形鐵皮圍成一個圓錐，該圓錐的底面半徑

是多少？

8.如圖，⊙O與⊙O

?外切于M，AB、CD是它們的外公切線，A、B、C、D為切點(diǎn)，

EO

?⊥OA于E，且∠AOC＝1200。

（1）求證：⊙O

?的周長等于?

AMC的弧長；

（2）若⊙O

?的半徑為1cm，求圖中陰影部分的面積。

9.如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.

(1)求證：DC=BC;

(2)E是梯形內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)是梯形外一點(diǎn)，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，試判斷△ECF的

2

O

1

O?

?

例1圖

B

A

例4圖

2

1

O

Q

M

P

B

A

?

第3題圖

A

B

O

C

形狀，并證明你的結(jié)論；

(3)在（2）的條件下，當(dāng)BE：CE=1：2，∠

BEC=135°時，求sin∠BFE的值.

10.已知：如圖，在□ABCD中，E、F分別為邊AB、

CD的中點(diǎn)，BD是對角線，AG∥DB交CB的延長線于

G．

（1）求證：△ADE≌△CBF；

（2）若四邊形BEDF是菱形，則四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)

論．

11.如圖13－1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別

重合在一起．現(xiàn)正方形ABCD堅(jiān)持不動，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)O（點(diǎn)O也

是BD中點(diǎn)）按順時針方向旋轉(zhuǎn)．

（1）如圖13－2，當(dāng)EF與AB相交于點(diǎn)M，GF與BD相交于點(diǎn)N時，通過觀察

或丈量BM，F(xiàn)N的長度，猜測BM，F(xiàn)N滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜測；

（2）若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖13－3所示的位置時，線段FE的延長線與AB的

延長線相交于點(diǎn)M，線段BD的延長線與GF的延長線相交于點(diǎn)N，此時，

（1）中的猜測還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

12.如圖，已知⊙O的直徑AB垂直于弦CD于E，連結(jié)AD、BD、OC、OD，且OD＝5。

（1）若sin∠BAD?

3

5

，求CD的長；

（2）若∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（陰影部分）的面積（結(jié)果保存?）。

13.如圖，已知：C是以AB為直徑的半圓O上一點(diǎn)，CH⊥AB于點(diǎn)H，直線AC與過B

點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)D，E為CH中點(diǎn)，連接AE并延長交BD于點(diǎn)F，直線CF交直線

AB于點(diǎn)G.

（1）求證：點(diǎn)F是BD中點(diǎn)；

（2）求證：CG是⊙O的切線；

（3）若FB=FE=2，求⊙O的半徑．

14.如圖，已知O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，3），

⊙A的半徑為2．過A作直線l平行于x軸，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動．

（１）當(dāng)點(diǎn)P在⊙O上時，請你直接寫出它的坐標(biāo)；

E

B

F

C

D

A

圖13－2

E

A

B

D

G

F

O

M

N

C

圖13－3

A

B

D

G

E

F

O

M

N

C

圖13－1

A(G)

B(E)

C

O

D(F)

（２）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為12，試判斷直線OP與⊙A的位置關(guān)系，并說明理由.

15.如圖，延長⊙O的半徑OA到B，使OA=AB，

DE是圓的一條切線，E是切點(diǎn)，過點(diǎn)B作DE的垂線，

垂足為點(diǎn)C.

求證：∠ACB=

3

1

∠OAC.

16.如圖１，一架長4米的梯子AB斜靠在與地面OM垂直的墻壁ON上，梯子與地面

的傾斜角α為?60．

⑴求AO與BO的長；

⑵若梯子頂端A沿NO下滑，同時底端B沿OM向右滑行.

①如圖2，設(shè)A點(diǎn)下滑到C點(diǎn)，B點(diǎn)向右滑行到D點(diǎn)，而且AC:BD=2:3，試計(jì)算

梯子頂端A沿NO下滑多少米；

②如圖３，當(dāng)A點(diǎn)下滑到A’點(diǎn)，B點(diǎn)向右滑行到B’點(diǎn)時，梯子AB的中點(diǎn)P也

隨之運(yùn)動到P’點(diǎn)．若∠POP’＝?15，試求AA’的長．

17．如圖⊙O的直徑DF與弦AB交于點(diǎn)E，C為⊙O外一點(diǎn)，CB⊥AB，G?是直線CD

上一點(diǎn)，∠ADG=∠ABD，求證：AD·CE=DE·DF．

說明：（1）如果你經(jīng)過反復(fù)探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過

程中的某種思路推導(dǎo)過程寫出來（要求至少寫3步）．（2）在你經(jīng)過說明（1）的

過程之后，?可以從下列①、②、③中選取一個彌補(bǔ)或更換已知條件，完成你的證

明．

①∠CDB=∠CEB；②AD∥EC；③∠DEC=∠ADF，且∠CDE=90°．

C

O

B

A

E

D

G

F

C

A

B

D

O

E

18．已知，如圖，在半徑為4的⊙O中，AB、CD是兩條直

徑，M為OB的中點(diǎn)，CM的延長線交⊙O于點(diǎn)E，且

EM>MC，連結(jié)DE，DE=15．

（1）求EM的長；（2）求sin∠EOB的值．

19．如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，

?D?是AB延長線上一點(diǎn)，AE⊥DC交DC的延長線于點(diǎn)E，且

AC平分∠EAB．

（1）求證：DE是⊙O切線；

（2）若AB=6，AE=

24

5

，求BD和BC的長．

20．如圖：⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)P，O1O2的延長線交⊙O2于點(diǎn)A，AB切⊙O1于點(diǎn)B，

交⊙O2于點(diǎn)C，BE是⊙O1的直徑，過點(diǎn)B作BF⊥O1P，垂足為F，延長BF交PE于點(diǎn)

G．

（1）求證：PB2=PG·PE；（2）若PF=

3

2

，tan∠A=

3

4

，求：O1O2的長．

21．如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，割線PA、PB分別與⊙O相交于A、C、B、D四點(diǎn)，

PT?切⊙O于點(diǎn)T，點(diǎn)E、F分別在PB、PA上，且PE=PT，∠PFE=∠ABP．

（1）求證：PD·PF=PC·PE；

（2）若PD=4，PC=5，AF=

21

20

，求PT的長．

（1）求tan∠DCE的值；（2）求AB的長．

M

C

O

B

A

E

D

C

O

B

A

E

D

T

C

O

B

A

E

D

P

F

C

O

B

A

E

D

23．如圖，已知矩形ABCD，以A為圓心，AD為半徑的圓交AC、AB于M、E，CE?的

延長線交⊙A于F，CM=2，AB=4．

（1）求⊙A的半徑；（2）求CE的長和△AFC的面積．

24．如圖，正方形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，延長BA到E，使

AE=AB，連結(jié)ED．

（1）求證：直線ED是⊙O的切線；

（2）連結(jié)EO交AD于點(diǎn)F，求證：EF=2FO．

25.如圖8．PA和PB分別與⊙O相切于A，B兩點(diǎn)，作直徑AC，

并延長交PB于點(diǎn)D．連結(jié)OP，CB．（1）求證：OP∥CB；（2）若PA＝12，

DB：DC＝2：1，求⊙O的半徑．

26.如圖9．在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O為BC的中

點(diǎn)。（1）寫出點(diǎn)O到△ABC的三個頂點(diǎn)A、B、C（2）如果點(diǎn)

M、N分別在線段AB、AC上移動，移動中堅(jiān)持AN＝BM，請判斷

△OMN的形狀，并證明你的結(jié)論。

27.如圖9，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，直線DE與⊙O相切于點(diǎn)A．BD∥CA．求證：

AB·DA＝BC·BD．

28.劉衛(wèi)同學(xué)在一次課外活動中，用硬紙片做了兩個直角三角形，見圖①、②．圖

①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；圖②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4

cm．圖③是劉衛(wèi)同學(xué)所做的一個實(shí)驗(yàn)：他將△DEF的直角邊DE與△ABC的斜邊

AC重合在一起，并將△DEF沿AC方向移動．在移動過程中，D、E兩點(diǎn)始終在

AC邊上(移動開始時點(diǎn)D與點(diǎn)A重合)．

(1)在△DEF沿AC方向移動的過程中，劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn)：F、C兩點(diǎn)間的距離逐漸

▲．

(填“不變”、“變大”或“變小”)

(2)劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過進(jìn)一步地研究，編制了如下問題：

M

C

B

A

E

D

O

F

問題①：當(dāng)△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，F(xiàn)、C的連線與AB平

行?

問題②：當(dāng)△DEF移動至什么位置，即AD的長為多少時，以線段AD、FC、BC

的長度為三邊長的三角形是直角三角形?

問題③：在△DEF的移動過程中，是否存在某個位置，使得∠FCD=15°?如果存

在，

求出AD的長度；如果不存在，請說明理由．

請你分別完成上述三個問題的解答過程．

29.如圖所示，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（3，0），（0，1），

點(diǎn)D是線段BC上的動點(diǎn)（與端點(diǎn)B、C不重合），過點(diǎn)D作直線y＝－

1

2

x＋b

交折線OAB于點(diǎn)E．

（1）記△ODE的面積為S，求S與b的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時，若矩形OABC關(guān)于直線DE的對稱圖形為四邊形

OA1B1C1，試探究OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變更，若不

變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由.

30.已知：如圖13，在□ABCD中，AE是BC邊上的高，將△ABE沿BC方向平移，使

點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，得△GFC.

⑴求證：BEDG；

⑵若∠B60，當(dāng)AB與BC滿足什么數(shù)量關(guān)系時，四邊形ABFG是菱形？證明

你的結(jié)論.

C

D

B

A

EO

x

y

A

D

G

A

M

N

F

31.如圖14，以BC為直徑的⊙O交△CFB的邊CF于點(diǎn)A，BM平分∠ABC交AC于點(diǎn)

M，

AD⊥BC于點(diǎn)D，AD交BM于點(diǎn)N，ME⊥BC于點(diǎn)E，AB2＝AF·AC，cos∠ABD＝

5

3，AD

＝12．

⑴求證：△ANM≌△ENM；

⑵試探究：直線FB與⊙O相切嗎？請說明理由.

⑶證明四邊形AMEN是菱形，并求該菱形的面積S.

32.如圖，已知正方形OABC在直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A、C分別在x、y軸的正半軸

上，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，等腰直角三角板OEF的直角頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，E、F分

別在OA、OC上，且OA＝4，OE＝2，將三角板OEF繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至OE1F1，

的位置，連接AE1、CF1．

（1）求證：△AOE1≌△OCF1；

（2）將三角板OEF繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)一周，是否存在某一位置，使得OE∥CF，若

存在，請求出此時E點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

2011年中考沖刺班數(shù)學(xué)證明題集錦答案

1.解：設(shè)正三角形外接圓⊙O1的半徑為

3

R，正六邊形外接圓⊙O2的半徑為

6

R，

由題意得：ABR

3

3

3

?，ABR?

6

，∴

3

R∶

6

R＝3∶3；∴⊙O1的面積∶⊙O2的面積＝

1∶3。

2.解：設(shè)扇形的半徑為R，則

180

Rn

l

?

＝，n＝1500，?20?l

∴

180

150

20

R?

?＝，24?R

∴??2402420

2

1

2

1

????lRS＝

扇形

。

3.解：連結(jié)OA、OB

∵PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)

∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝Rt∠

∠APO＝

2

1

∠APB＝300

在Rt△PAO中，AP＝32

2

3

430cos0????PO

OA＝

2

1

PO＝2，∴PB＝32

∵∠APO＝300，∠PAO＝∠PBO＝Rt∠

∴∠AOB＝300，∴?

?

3

4

180

2120

?

?

??

AB

l

∴陰影部分的周長＝PA＋PB＋?

AB＝?

3

4

3232??＝)

3

4

34(??cm

答：陰影部分的周長為)

3

4

34(??cm。

4.解：連結(jié)OP

∵AO⊥OB，MP∥OA，∴MP∥OB

又OM＝BM＝1，OP＝OA＝2

∴∠1＝600，∠2＝300

∴PM＝3

2

3

?OP

而??

3

1

360

30

2??RS

POA扇

，

2

3

2

1

????

?

PMOMS

PMO

設(shè)PM交半圓M于Q，則直角扇形BMQ的面積為??

4

1

4

1

2??rS

BMQ扇

∴)(

POA

PMO

BMQAOB

SSSSS

扇扇扇

陰

－???

?

＝

?

?

?

?

?

?

?

?

??????

3

1

2

3

4

1

4

1

2R＝

2

3

12

5

??

5.??4；

6.?6；

7.（1）?

8

1

平方米，（2）

8

2

米；

8.（1）證明：由已知得∠AOO

?＝600，ABO

?O為直角梯形，設(shè)⊙O與⊙O

?的半徑

分別為R、r，則cos600＝

rR

rR

?

?

，即rR3?，∴⊙O

?的周長為r?2，而?

AMC＝

180

120R?

＝

r?2，∴⊙O

?的周長等于?

AMC的弧長。（2）)

6

11

34(???

陰影

Scm2。

9.[解析]（1）過A作DC的垂線AM交DC于M,

則AM=BC=2.

又tan∠ADC=2,所以

2

1

2

DM??.即DC=BC.

(2)等腰三角形.

證明：因?yàn)?,DEDFEDCFBCDCBC?????.

所以，△DEC≌△BFC

所以，,CECFECDBCF????.

所以，90ECFBCFBCEECDBCEBCD?????????????

即△ECF是等腰直角三角形.

（3）設(shè)BEk?,則2CECFk??，所以22EFk?.

因?yàn)?35BEC???，又45CEF???，所以90BEF???.

所以22(22)3BFkkk???

所以

1

sin

33

k

BFE

k

???.

10.[解析]（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD．

∵點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，

∴AE＝

2

1

AB，CF＝

2

1

CD．

∴AE＝CF

∴△ADE≌△CBF．

（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時，

四邊形AGBD是矩形．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC．

∵AG∥BD，

∴四邊形AGBD是平行四邊形．

∵四邊形BEDF是菱形，

∴DE＝BE．

∵AE＝BE，

∴AE＝BE＝DE．

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，

∴2∠2＋2∠3＝180°．

∴∠2＋∠3＝90°．

即∠ADB＝90°．

∴四邊形AGBD是矩形

11.（1）BM=FN．

證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABD=∠F=45°，OB=OF．

又∵∠BOM=∠FON，∴△OBM≌△OFN．

∴BM=FN．

（2）BM=FN仍然成立．

（3）證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，

∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．

∴∠MBO=∠NFO=135°．

又∵∠MOB=∠NOF，∴△OBM≌△OFN．

∴BM=FN．

12.（1）因?yàn)锳B是⊙O的直徑，OD＝5

所以∠ADB＝90°，AB＝10

在Rt△ABD中，sin∠BAD

BD

AB

?

又sin∠BAD?

3

5

，所以

BD

10

3

5

?，所以BD?6

因?yàn)椤螦DB＝90°，AB⊥CD

所以DEABADBDCEDE··，??

所以DE???1086

所以DE?

24

5

所以CDDE??2

48

5

（2）因?yàn)锳B是⊙O的直徑，AB⊥CD

所以CBBDACAD

⌒⌒⌒⌒

，??

所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD

因?yàn)锳O＝DO，所以∠BAD＝∠ADO

所以∠CDB＝∠ADO

設(shè)∠ADO＝4x，則∠CDB＝4x

由∠ADO：∠EDO＝4：1，則∠EDO＝x

因?yàn)椤螦DO＋∠EDO＋∠EDB＝90°

所以

4490xxx????

所以x＝10°

所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100°

所以∠AOC＝∠AOD＝100°

13.(1)證明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF

∴

FD

CE

AF

AE

BF

EH

??，∵HE＝EC，∴BF＝FD

(2)方法一：連接CB、OC，

∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°∵F是BD中點(diǎn)，

∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO

∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切線---------6′

方法二：可證明△OCF≌△OBF(參照方法一尺度得分)

(3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC

可證得：FA＝FG，且AB＝BG

由切割線定理得：（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2○

1

在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2○

2

由○

1

、○

2

得：FG2-4FG-12=0

解之得：FG1＝6，F(xiàn)G2＝－2（舍去）

∴AB＝BG＝24

∴⊙O半徑為22

14.解:⑴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2,3）或（6,3）

⑵作AC⊥OP,C為垂足.

∵∠ACP=∠OBP=90,∠1=∠1

∴△ACP∽△OBP

∴

ACAP

OBOP

?

在OBPRt?中,22153OPOBBP???,又AP=12-4=8,∴

8

3

153

AC

?

∴AC=24153?≈1.94

∵1.94<2

∴OP與⊙A相交.

15.證明：連結(jié)OE、AE，并過點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F，（3分）

∵DE是圓的一條切線，E是切點(diǎn)，

∴OE⊥DC，

又∵BC⊥DE,

∴OE∥AF∥BC.

∴∠1=∠ACB，∠2=∠3.

∵OA=OE，

∴∠4=∠3.

∴∠4=∠2.

又∵點(diǎn)A是OB的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)F是EC的中點(diǎn).

∴AE=AC.

∴∠1=∠2.

∴∠4=∠2=∠1.

即∠ACB=

3

1

∠OAC.

16.

1

2

2

OBAB??米.

3

sin60423

2

OAAB?????米.--------------(3分)

⑵設(shè)2,3,ACxBDx??在CODRt?中,

根據(jù)勾股定理:222OCODCD??

∴????2

2

2232234xx????-------------(5分)

∴??21312830xx???

∵0x?∴0381213???x

∴

8312

13

x

?

?-------------(7分)

AC=2x=

16324

13

?

即梯子頂端A沿NO下滑了

16324

13

?

米.----(8分)

⑶∵點(diǎn)P和點(diǎn)

P

?分別是AOBRt?的斜邊AB與''OBARt?的斜邊''BA的中點(diǎn)

∴POPA?，OPAP'''?-------------(9分)

∴,PAOAOPPAOAOP

????

??????-------(10分)

∴PAOPAOAOPAOP

????

???????

∴15PAOPAOPOP

???

??????

∵30PAO??

∴45PAO

??

??-----------------------(11分)

∴

2

cos45422

2

AOAB

???

?????-----(12分)

∴(2322)AAOAAO

??

????米.--------(13分)

17．證明：連結(jié)AF，則∠ABD=∠F．

∵∠ADG=∠ABD，∴∠ADG=∠F．

∵DF為⊙O的直徑，∴∠DAF=90°，

∴∠ADF+∠F=90°，∴∠ADG+∠ADF=∠FDG=90°，

∴∠DAF=∠CDE=90°，∵CB⊥AB，

∴∠ADG+∠ADF=∠FDG=90°，

∴∠DAF=∠CDE=90°，∵CB⊥AB，

∴∠CBE=90°．取EC中點(diǎn)M，連結(jié)DM、BM，則DM=BM=CM=EM，

即D、E、B、C在以EC為直徑的圓上，

∴∠ABD=∠DCE，∴∠DCE=∠F，

∴△DAF∽△EDC，∴

ADDF

DECE

?，

∴AD·CE=DE·DF，以下略；

18．（1）DC為⊙O的直徑，DE⊥EC，

EC=22DCDE?=7．

設(shè)EM=x，由于M為OB的中點(diǎn)，

∴BM=2，AM=6，∴AM·MB=x·（7-x），即6×2=x（7-x），

解得x1=3，x2=4，∵EM>MC，∴EM=4．

（2）∵OE=EM=4，∴△OEM為等腰三角形，過E作EF⊥OM，垂足為F，

則OF=1，∴EF=22OEOF?=15．

∴sin∠EOB=

15

4

．

19．（1）連結(jié)CO，則AO=BO=CO，

∴∠CAO=∠ACO，又∵∠EAC=∠CAO，

∠ACO=∠EAC，∴AE∥OC，

∴DE是⊙O的切線．

（2）∵AB=6，∴AO=BO=CO=3．

由（1）知，AE∥OC，

∴△DCO∽△DEA，

CODO

EADA

?=

BDBO

BDAB

?

?

．

又∵AE=

24

5

，∴

33

24

6

5

BD

BD

?

?

?

，

解得BD=2．

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．

又∵∠EAC=∠CAB，∴Rt△EAC∽Rt△CAB，

∴

AEAC

ACAB

?，即AC2=AB·AE=6×

24

5

=

114

5

．

在Rt△ABC中，

由勾股定理，得BC2=AB2-AC2=36-

114

5

=

36

5

．

∵BC>0，BC=

36

5

=

6

5

5

．

20．（1）∵BE是⊙O1的直徑，∴∠BPE=90°．

∵BF⊥O1P，∴∠BPF+∠FBP=90°．

∵∠GPE+∠BPF=90°，∴∠GPF=∠BPF．

∵O1E=O1P，

∴∠E=∠GPF=∠PBF，又∠BPG=∠EPB=90°，

∴△GPB∽△BPE，∴PB2=PE·PG．

（2）∵AB是⊙O1的切線，∴O1B⊥AB，

∴△O1BF∽△O1AB，∴∠O1BF=∠A．

∵tan∠A=

3

4

，∴tan∠O1BF=

3

4

．

設(shè)O1F=3m，則BF=4m．

由勾股定理得：O1B=5m=O1P，∴PF=5m-3m=2m．

又∵PF=

3

2

，∴m=

3

4

，∴O1B=O1P，∴BF=

3

4

×4=3．

由tan∠A=

BF

AF

，∴AF=

3

3

4

=4，∴AP=4-

3

2

=

5

2

，

∴PO2=

5

4

，∴O1O2=

5

4

+

3

2

+

9

4

=

20

4

=5．

21．（1）連CD，因A、B、D、C四點(diǎn)共圓，

∴∠DCP=∠ABP，而∠PFE=∠ABP，

∴∠DCP=∠PFE，CD∥EF，∴

PDPC

PEPF

?，即PD·PF=PC·PE．

（2）設(shè)PT長為x，∴PE=PT，由（1）結(jié)論得PF=

5

4

x，

由PT2=PC·PA得x2=5（

5

4

x+

21

20

），解之得x1=7，x2=-

3

4

，∴PT=7．

22．（1）由已知得EC2=ED（ED+

5

2

），解之得ED=2或ED=-

9

2

（舍去）．

∵BC為直徑，∴CD⊥BE，由勾股定理得CD=5，∴tan∠DCE=

2

5

5

DE

CD

?．

（2）連AC交BD于F，由（1）得，AD=DC=5，BC=

3

2

5．

可證△ADF∽△BCF，∴

DFAD

CFBC

?=

2

3

．

設(shè)DF=2x，則CF=3x．由CF-DF=CD，得9x-4x=5，x=1，∴DF=2，CF=3，∴

BF=

1

2

．

由相交弦定理得AF=

1

3

DFBF

CF

?，∴AB=22BFAF?=

1

5

6

．

23．（1）由勾股定理，列方程可求AD=3．

（2）過A作AG⊥EF于G，由勾股定理得CE=10，

由切割線定理得CF=

8

5

10，由△BCE∽△GAE，?得AG=

9

10

10．S△AFC=

36

5

．

24．證明：（1）連結(jié)OD易得∠EDA=45°，∠ODA=45°，

∴∠ODE=∠ADE+∠ODA=90°，?∴直線ED是⊙O的切線

（2）作OM⊥AB于M，∴M為AB中點(diǎn)，

∴AE=AB=2AM，AF∥OM，∴

EFAE

FOAM

?=2，∴EF=2FO.

25.

26.

27.證明：∵DE與⊙O相切，

∴∠C＝∠1，

∵BD∥CA，

∴∠2＝∠3……6分

∴△ABC∽△BDA．……9分

∴

DA

BC

BD

AB

?．……12分

∴AB·DA＝BC·BD．

28.【答案】

29.（1）由題意得B（3，1）．

若直線經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）時，則b＝

3

2

若直線經(jīng)過點(diǎn)B（3，1）時，則b＝

5

2

若直線經(jīng)過點(diǎn)C（0，1）時，則b＝1

①若直線與折線OAB的交點(diǎn)在OA上時，即1＜b≤

3

2

，如圖25-a，

C

A

D

E

O

·

1

2

3

B

此時E（2b，0）

∴S＝

1

2

OE·CO＝

1

2

×2b×1＝b

②若直線與折線OAB的交點(diǎn)在BA上時，即

3

2

＜b＜

5

2

，如圖2

此時E（3，

3

2

b?），D（2b－2，1）

∴S＝S矩－(S△OCD

＋S△OAE

＋S△DBE

)

＝3－[

1

2

(2b－1)×1＋

1

2

×(5－2b)·(

5

2

b?)＋

1

2

×3(

3

2

b?)]＝2

5

2

bb?

∴

2

3

1

2

535

222

bb

S

bbb

?

??

?

?

?

?

?

???

?

?

（2）如圖3，設(shè)O1A1與CB相交于點(diǎn)M，OA與C1B1相交于點(diǎn)N，則矩形OA1B1C1與

矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積。

由題意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四邊形DNEM為平行四邊形

根據(jù)軸對稱知，∠MED＝∠NED

又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四邊形DNEM為菱形．

圖3

H

N

M

C

1

A

1

B

1

O

1

D

E

x

y

C

B

A

O

D

E

x

y

CB

A

O

圖2

圖1

D

E

x

y

CB

A

O

過點(diǎn)D作DH⊥OA，垂足為H，

由題易知，tan∠DEN＝

1

2

，DH＝1，∴HE＝2，

設(shè)菱形DNEM的邊長為a，

則在Rt△DHM中，由勾股定理知：222(2)1aa???，∴

5

4

a?

∴S四邊形DNEM

＝NE·DH＝

5

4

∴矩形OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積不發(fā)生變更，面積始終為

5

4

．

30.證明：⑴∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ABCD.

∵AE是BC邊上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成.

∴CG⊥AD.∴∠AEB∠CGD90.

∵AECG，∴Rt△ABE≌Rt△CDG.

∴BEDG.····················3分

⑵當(dāng)BC

2

3AB時，四邊形ABFC是菱形.

∵AB∥GF，AG∥BF，∴四邊形ABFG是平行四邊形.

∵Rt△ABE中，∠B60，∴∠BAE30，∴BE

2

1AB.

∵BECF，BC

2

3AB，∴EF

2

1AB.

∴ABBF.∴四邊形ABFG是菱形

31.證明：⑴∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°

又∵M(jìn)E⊥BC，BM平分∠ABC，∴AM＝ME，∠AMN＝∠EMN

又∵M(jìn)N＝MN，∴△△ANM≌△ENM··········3分

⑵∵AB2＝AF·AC，∴

AC

AB

＝

AB

AF

又∵∠BAC＝∠FAB＝90°，∴△ABF∽△ACB

∴∠ABF＝∠C，∴∠FBC＝∠ABC＋∠ABF＝∠ABC＋∠C＝90°

∴FB是⊙O的切線················6分

⑶由⑴得AN＝EN，AM＝EM，∠AMN＝EMN

又∵AN∥ME，∴∠ANM＝∠EMN

∴∠AMN＝∠ANM，∴AN＝AM

∴AM＝ME＝EN＝AN

∴四邊形AMEN是菱

形……………………………………………………………………7分

∵cos∠ABD＝

5

3，∠ADB＝90°，∴

AB

BD

＝

5

3

設(shè)BD＝3x，則AB＝5x，由勾股定理，得

AD＝2235)()(xx－＝4x，而AD＝12，∴x＝3

∴BD＝9，AB＝15·················8分

∵M(jìn)B平分∠AME，∴BE＝AB＝15，∴DE＝BE－BD＝6

∵ND∥ME，∴∠BND＝∠BME

又∵∠NBD＝∠MBE，∴△BND∽△BME，∴

ME

ND

＝

BE

BD…………………………10分

設(shè)ME＝x，則ND＝12－x

∴

x

x－12

＝

15

9，解得x

2

15……………………………………………………………

11分

∴S＝ME·DE＝

2

15

×6＝

45………………………………………………………………12分

32.（1）證明：∵四邊形OABC為正方形，∴OC＝OA，∵三角板OEF是等腰直角

三角形，∴OE1

＝OF1，又三角板OEF繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至OE1F1的位置時，∠AOE1＝

∠COF1，∴△OAE1≌△OCF1；

（2）存在，∵OE⊥OF，過點(diǎn)F與OE平行的直線有且只有一條，而且與OF垂直，

又當(dāng)三角板OEF繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)一周時，則點(diǎn)F與OF垂直的直線必是⊙O的切

線，又點(diǎn)C為⊙O外一點(diǎn)，過點(diǎn)C與⊙O相切的直線只有2條，無妨設(shè)為CF1和

CF2，此時，E點(diǎn)分別在E1和E2點(diǎn)，滿足CF1∥OE1，CF2∥OE2，點(diǎn)切點(diǎn)F1在第二象限

時，點(diǎn)E1在第一象限，在Rt△CF2O中，OC＝4，OF1＝2，cos∠COF1＝1

OF

1

=

OC2

，∴∠

COF1＝60°，∴∠AOE1＝60°，∴點(diǎn)E1的橫坐標(biāo)為2cos60°＝1，點(diǎn)E1的縱坐標(biāo)為

2sin60°＝3，∴E1的坐標(biāo)為（1，3），當(dāng)切點(diǎn)F2在第一象限時，點(diǎn)E2在第四象

限，同理可求E2（1，－3），∴三角板OEF繞O點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)一周，存在兩個位

置，使得OE∥CF，此時點(diǎn)E的坐標(biāo)分別為E1（1，3或者E2（1，－3）．