拋物線的幾何性質(拋物線的幾何性質教案)

更新時間:2023-03-01 00:20:11 閱讀：評論：0

拋物線的幾何性質是？

1．范圍
因為p＞0，由方程可知，這條拋物線上的點M的坐標(x，y)滿足不等式x≥0，所以這條拋物線在y軸的右側；當x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸．
2．對稱性
以－y代y，方程不變，所以這條拋物線關于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸．
3．頂點
拋物線和它的軸的交點叫做拋物線的頂點．在方程中，當y=0時，x=0，因此拋物線的頂點就是坐標原點．
4．離心率
拋物線上的點M與焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示．由拋物線的定義可知，e=1．

高中數學拋物線的簡單幾何性質

1.拋物線切線定理
拋物線上任意點P，其在準線上的射影為M，拋物線焦點為F，則過P點的切線平分∠MPF。
2.拋物線切線方程
過拋物線上一點P（x0，y0）的的切線方程為：y0y=p(x+x0)
3.拋物線切點弦方程
過拋物線外一點P（x0，y0），做拋物線上的兩條切線，切點為A，B，則過A，B的切點弦方程為：y0y=p(x+x0)
4.焦點弦性質
性質1：以焦點弦為直徑的圓與準線相切。
性質2：以焦點弦在準線上的射影為直徑的圓與焦點弦相切。
5.切點弦性質
性質1：準線上的點形成的切點弦過焦點。
性質2：做拋物線外一點的切點弦，如果過焦點，則此點必在準線上。

拋物線幾何性質

(1)范圍 x≥0,y∈R
(2)對稱性關于x軸對稱,對稱軸又叫拋物線的軸.
(3)頂點拋物線和它的軸的交點.
(4)離心率始終為常數1
(5)焦半徑 PF|=x0+p/2
(6)通徑通過焦點且垂直對稱軸的直線,與拋物線相交于兩點,連接這兩點的線段叫做拋物線的通徑.通徑的長度：2P

拋物線有很多幾何性質，網上也有不少關于這些性質的推導的文章，不過幾乎清一色地都是用的解析幾何的方法。聯立方程，導出根與系數的關系，算算算算算……

但是，與同樣是二次曲線的橢圓和雙曲線不同，圓和拋物線的幾何性質非常「好」，不用坐標法，也能推出很多結論。不過相比具有完美對稱性的圓來說，拋物線還是遜色了許多。圓的切線很容易用幾何條件去描述（容易用反證法證出圓的切線垂直于過切點的直徑），而拋物線的切線雖然也容易用幾何條件描述，但相關結論卻難以用純幾何法證出。所以涉及切線問題時，還是需要用坐標法證明一個重要結論的。雖然如此，本文的證明過程還是要比帶著一大坨方程的純代數法清爽得多。

拋物線方程是指拋物線的軌跡方程，是一種用方程來表示拋物線的方法[1]。在幾何平面上可以根據拋物線的方程畫出拋物線。拋物線在合適的坐標變換下，也可看成二次函數圖像。

拋物線有哪些性質？

　1．拋物線的簡單幾何
性質
　　拋物線的
范圍
，
對稱性
、
頂點
、離心率統稱為其簡單
幾何
性質，對于拋物線的四種不同
形式
的
標準
方程
，它們有相同的頂點和離心率，而其范圍和對稱性，則與標準方程的形式有關，注意結合
圖形
來得出。　　2．由拋物線的
定義
可知，若
直線
1過拋物線
的焦點F且交拋物線于
兩點，則焦半徑
，
，弦長
，　　拋物線的
焦點弦
有很多重要性質，
后面
結合有關
例題
作詳細研究。　　3．圓錐曲線的統一定義　　由橢圓、
雙曲線
的第二定義及拋物線的定義可知，
平面
上動點M到定點F及到定直線1的
距離
之比等于
常數
e的點M的軌跡是圓錐曲線（這里點F不在直線1上，e>0，其中F是圓錐曲線的一個焦點，1是與F對應的
準線
，而e即為其離心率。）　　當0<e<1時，軌跡是橢圓；　　當e=1時，軌跡是拋物線；　　當e>1時，軌跡是雙曲線。　4．最值問題　　設
是拋物線
上的
動點
，則點P到某定點或某定直線的距離的最大（小）值問題，可利用兩點間的距離
公式
或點到直線的距離公式建立距離d關于
或
的函數，再求最值，而拋物線的范圍則決定了函數的
定義域
。1、
通徑
是過焦點的弦中最短的弦
2、對y^2=2px來說，過焦點的弦與拋物線交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，則y1*y2=-p^2
3、對y^2=2px來說，過焦點F的弦與拋物線交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，(1/AF)+(1/BF)為
定值
4、對y^2=2px來說，過焦點F的弦與拋物線交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，過A作AA1垂直于準線于A1，過B作BB1垂直于準線于B1，M為A1B1
中點
，則AM⊥MB
5、對y^2=2px來說，過焦點F的弦與拋物線交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，C在拋物線的準線上，且BC//x軸，則AC過
原點
6、對y^2=2px來說，過焦點F的弦與拋物線交于A(x1,y1)、B(x2,y2)，
向量
OA、OB的數量積為定值
7、光學性質：過焦點的光線被拋物線反射后為一組
平行光線
。
8、設C為拋物線上一點，過拋物線的焦點F作直線L交拋物線于A、B，AF、BF分別與準線交于P、Q，則PF⊥QF。（這個結論對橢圓、雙曲線也成立。）

拋物線的性質

拋物線幾何性質
（1）設拋物線上一點P的切線與準線相交于Q，F是拋物線的焦點，則PF⊥QF。且過P作PA垂直于準線，垂足為A，那么PQ平分∠APF。
（2）過拋物線上一點P作準線的垂線PA，則∠APF的平分線與拋物線切于P。（為性質（1）第二部分的逆定理）從這條性質可以得出過拋物線上一點P作拋物線的切線的尺規作圖方法。
（3）設拋物線上一點P的切線與法線分別交軸于A、B，則F為AB中點。
（4）設拋物線上除頂點外的點P的切線交軸于A，交頂點O的切線于B，則FB垂直平分PA，且FB與準線的交點M恰好是P在準線上的射影（即PM垂直于準線）。
（5）拋物線的三條切線所圍成的三角形，其外接圓經過焦點。即：若AB、AC、BC都是拋物線的切線，則ABCF四點共圓。
（6）過拋物線外一點P作拋物線的兩條切線，連接切點的弦與軸相交于A。又設P在軸上的射影為B，則O是AB中點。
（7）若拋物線與一個三角形的三條邊（所在直線）都相切，則準線通過該三角形的垂心。
有關弦的幾何性質
（8）焦點弦兩端的切線互相垂直，并且垂足在準線上。
（9）過焦點弦的端點A、B作準線的垂線，垂足分別為M、N。設A、B處的切線相交于P，則P是MN中點，并且以AB為直徑的圓切準線于P。
（10）若拋物線的兩條焦點弦相等，連接這兩條焦點弦的中點，則連線與軸垂直。
（11）拋物線的一條弦AB與軸相交于P（不一定是焦點F），過A、B分別作軸的垂線AM、BN，拋物線頂點為O，則OP2=AM*BN。
證明
以上性質均可以用坐標法來證明，在此以
為例給出性質（1）、（4）、（9）的證明。
（1）焦點
，準線
，設
，則過P的切線方程為：
令
，得
，所以
于是
，
易證二者數量積為0，因此有PF⊥QF。
要證PQ平分∠APF，可通過全等三角形的判定方法HL證明Rt△APQ≌Rt△FPQ，得到對應角∠APQ=∠FPQ即可。HL是顯然的，因為根據拋物線的定義，有PF=PA，而斜邊PQ是公共邊，因此兩個三角形全等。
根據這個性質，我們還能得出一個推論：AF被PQ垂直平分，并且四邊形PAQF內接于圓，PQ為直徑。
（4）根據已知條件，A在x軸上，B在y軸上。
PA方程為：
，令x和y等于0，解得
容易驗證B就是AP中點
而
，它們的數量積為0，因此BF⊥AP，即BF垂直平分AP。
要證PM與準線垂直，只要證M的縱坐標與P相同，都為y0即可。
容易寫出直線BF：
，令
，解得
故
，命題得證。
（9）設
聯立AB與拋物線方程，消去x得
由韋達定理，
又PA與PB都為切線，根據切線方程，
聯立PA與PB的表達式可解得
而
，根據中點坐標公式和韋達定理可知P是MN中點。
設AB中點為E，則E的縱坐標
，與P的縱坐標相同，
因此PE∥x軸，PE⊥MN
而根據性質（8）可知PA⊥PB，即△PAB為直角三角形
所以E是△PAB的外心，所以PE是半徑
根據切線的判定定理可知，MN是圓E的切線，切點為P。
切線的尺規作圖
根據幾何性質（2）可以得到過拋物線上一點或拋物線外一點P作拋物線的切線的尺規作圖方法。
（1）P在拋物線上
①過P作準線的垂線，設A為垂足
②連接PF（F是焦點）
③作∠APF的平分線PQ
則根據性質（2），直線PQ為切線
（2）P在拋物線外
①連接PF
②以P為圓心，PF為半徑畫弧，弧與準線分別交于A、B
③過A、B分別作準線的垂線，垂線和拋物線分別交于M、N
④連接PM、PN，則PM、PN為所求切線（有兩條）
這是因為，若連接MF，則在△PAM和△PFM中
∵PA=PF（圓的定義），PM=PM（公共邊），MA=MF（拋物線的定義）
∴△PAM≌△PFM（SSS）
∴∠AMP=∠FMP（全等三角形的對應角相等）
∴MP平分∠AMF（角平分線的定義）