有理數(shù)定義

有理數(shù)基本概念及運算

-1-

（一）有理數(shù)的基本概念

1、正數(shù)和負數(shù)

（1）、大于0的數(shù)叫做正數(shù)。

（2）、在正數(shù)前面加上負號“-”的數(shù)叫做負數(shù)。

（3）、數(shù)0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，0是正數(shù)與負數(shù)的分界。

（4）、在同一個問題中，分別用正數(shù)與負數(shù)表示的量具有相反的意義。

2、有理數(shù)

(1)凡能寫成分數(shù)形式的數(shù)，都是有理數(shù)，整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù).

注意：0即不是正數(shù)，也不是負數(shù)；-a不一定是負數(shù)，如：-（-2）=4，這個時候的a=-2。

?不是有理數(shù)；

(2)有理數(shù)的分類:①

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

負分數(shù)

負整數(shù)

負有理數(shù)

零

正分數(shù)

正整數(shù)

正有理數(shù)

有理數(shù)②

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

負分數(shù)

正分數(shù)

分數(shù)

負整數(shù)

零

正整數(shù)

整數(shù)

有理數(shù)

(3)自然數(shù)＜====＞0和正整數(shù)；a＞0＜====＞a是正數(shù)；a＜0＜====＞a是負數(shù)；

a≥0＜====＞a是正數(shù)或0＜====＞a是非負數(shù)；a≤0＜====＞a是負數(shù)或0＜====

＞a是非正數(shù).

3、數(shù)軸【重點】

（1）、用一條直線上的點表示數(shù)，這條直線叫做數(shù)軸。它滿足以下要求：

①在直線上任取一個點表示數(shù)0，這個點叫做原點；

②通常規(guī)定直線上從原點向右（或上）為正方向，從原點向左（或下）為負方向；

③選取適當(dāng)?shù)拈L度為單位長度，直線上從原點向右，每隔一個單位長度取一個點，依次

表示1,2,3…；從原點向左，用類似的方法依次表示-1,-2，-3…

（2）、數(shù)軸的三要素：原點、正方向、單位長度。

（3）、畫數(shù)軸的步驟：一畫（畫一條直線并選取原點）；二取（取正反向）；三選（選取單位

長度）；四標（標數(shù)字）。數(shù)軸的規(guī)范畫法：是條直線，數(shù)字在下，字母在上。

注意：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)字上的點表示，但是數(shù)軸上的所有點并不都表示有理數(shù)。

（4）、一般地，設(shè)a是一個正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)a的點在原點的右邊，與原點的距離是a

個單位長度；表示數(shù)-a的點在原點的左邊，與原點的距離是a個單位長度。

有理數(shù)基本概念及運算

-2-

4、相反數(shù)

（1）、只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。

①注意：a-b+c的相反數(shù)是-a+b-c；a-b的相反數(shù)是b-a；a+b的相反數(shù)是-a-b；

②相反數(shù)的商為-1；

③相反數(shù)的絕對值相等。

（2）、一般地，設(shè)a是一個正數(shù)，數(shù)軸上與原點的距離是a的點有兩個，他們分別在原點的

兩側(cè)，表示a和-a，我們說這兩點關(guān)于原點對稱。

（3）、a和-a互為相反數(shù)。0的相反數(shù)是0，正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)，負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù)。

相反數(shù)是它本身的數(shù)只有0。

（4）、在任意一個數(shù)前面添上“-”號，新的數(shù)就表示原數(shù)的相反數(shù)。

（5）、若兩個數(shù)a、b互為相反數(shù)，就可以得到a+b=0；反過來若a+b=0，則a、b互為相反

數(shù)。

（6）、多重符號的相乘由“-”的個數(shù)來定：若“-”的個數(shù)為偶數(shù)，相乘結(jié)果為正數(shù)；若“-

“的個數(shù)為奇數(shù)，化簡結(jié)果為負數(shù)。比如：-2×4×（-3）×（-1）×（-5），因為有4個負

號，所以最終結(jié)果是正數(shù)，再算絕對值的積，得到120.即：-2×4×（-3）×（-1）×（-5）

=+(2×4×3×1×5)=120.

5、絕對值

（1）、絕對值的定義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離。數(shù)a的絕

對值記作|a|。

（2）、正數(shù)的絕對值等于它本身；0的絕對值是0（或者說0的絕對值是它本身，或者說0

的絕對值是它的相反數(shù)）；負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)；（注意：絕對值的意義是數(shù)軸上表

示某數(shù)的點離開原點的距離；）。0是絕對值最小的數(shù)。

（3）、絕對值可表示為：

?

?

?

?

?

??

?

?

?

)0(

)0(0

)0(

aa

a

aa

a或

?

?

?

??

?

?

)0(

)0(

aa

aa

a；

（4）、

01???a

a

a

；

01????a

a

a

；

（5）、任何數(shù)的絕對值總是非負數(shù)（非負數(shù)是正數(shù)或0），即|a|≥0。

（6）、互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等。絕對值相等的兩個數(shù)可能是互為相反數(shù)或者相等。

（7）、有理數(shù)比大小：

①正數(shù)比0大，0大于負數(shù)，正數(shù)大于負數(shù)；

②兩個負數(shù)比較，絕對值大的反而小；

③數(shù)軸上的兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大；

（8）、比較兩個負數(shù)的大小的步驟如下：

①先求出兩個數(shù)負數(shù)的絕對值；

②比較兩個絕對值的大小；

③根據(jù)“兩個負數(shù)，絕對值大的反而小”做出正確的判斷。

有理數(shù)基本概念及運算

-3-

（二）有理數(shù)的基本運算

6、有理數(shù)的加法

（1）、有理數(shù)加法法則【原創(chuàng)】：

①同號相同號，絕對值相加；

②異號取大號，絕對值相減；

③數(shù)與0相加，仍得這個數(shù).

④一對相反數(shù)，其和等于0.

（2）、加法計算步驟：先定符號，再算絕對值。

（3）、有理數(shù)加法的運算律：

①加法的交換律：a+b=b+a；

②加法的結(jié)合律：（a+b）+c=a+（b+c）.

（4）、為了計算簡便，往往會采取以下方法：

①互為相反的兩個數(shù)，可以先相加；

②符號相同的數(shù)，可以先相加；

③分母相同的數(shù)，可以先相加；

④幾個數(shù)相加能得到整數(shù)，可以先相加。

7、有理數(shù)的減法

（1）、有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)；即a-b=a+（-b）.（有理

數(shù)減法運算時注意兩“變”：①減法變加法；②把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù).）

注：有理數(shù)的減法實質(zhì)就是把減法變加法。

8、有理數(shù)的乘法

（1）、有理數(shù)乘法法則：

①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；

②任何數(shù)同零相乘都得零；

（2）、一個數(shù)同1相乘，結(jié)果是原數(shù)；一個數(shù)同-1相乘，結(jié)果是原數(shù)的相反數(shù)。

（3）、乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)；

注意：0沒有倒數(shù)；若ab=1<====>a、b互為倒數(shù)。

（4）、幾個不是偶的數(shù)相乘，積的符號由負因式的個數(shù)決定。負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積是

正數(shù)；負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)是，積是負數(shù)。

（5）、有理數(shù)乘法的運算律：

①乘法的交換律：ab=ba；

②乘法的結(jié)合律：（ab）c=a（bc）；

③乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac.

有理數(shù)基本概念及運算

-4-

9、有理數(shù)的除法

（1）、有理數(shù)除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。

（2）、有理數(shù)除法符號法則：兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任

何一個不等于0的數(shù)，都得0。

（3）、乘除混合運算的步驟：①先把除法轉(zhuǎn)化為乘法；②確定積的符號；③運用乘法運算律

和乘法法則進行計算得出結(jié)果。

10、有理數(shù)的乘方

（1）、求n個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。在an中，a叫做底數(shù)，

n叫做指數(shù)。

（2）、an表示的意義是n個a相乘。如：23=2×2×2=8

（3）、分數(shù)的乘方，在書寫時一定要把整個分數(shù)用小括號括起來。如：（1/2）2

（4）、負數(shù)的乘方，在書寫時一定要把整個負數(shù)（連同負號）用小括號括起來。

（5）、10的幾次方，冪的結(jié)果中1后面就有幾個0。如：105=100000

（6）、負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)。顯然，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的

任何正整數(shù)次冪都是0。1的任何次冪都是1。-1的奇數(shù)次冪是-1，-1的偶數(shù)次冪是1。

11、科學(xué)記數(shù)法

（1）、把一個大于10數(shù)表示成a×10n的形式（其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，而且

1≤︱a︱＜10，n是正整數(shù)），使用的是科學(xué)計數(shù)法。

（2）、用科學(xué)記數(shù)法表示一個n位整數(shù)，其中10的指數(shù)是n-1。

例：240000000用科學(xué)計數(shù)法記為2.4×108

12、近似數(shù)

（1）、接近實際數(shù)字，但是與實際數(shù)字還是有差別，這個數(shù)是一個近似數(shù)。

（2）、精確度：近似數(shù)與準確數(shù)的接近程度可以用精確度表示。

（3）、利用四舍五入法得到的近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位。

（4）、從一個數(shù)的左邊的第一個非0數(shù)字起，到末尾數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效

數(shù)字。

（5）、解題技巧：①近似數(shù)精確到哪一位，只需看這個數(shù)的最末一位在原數(shù)的哪一位。

②當(dāng)四舍五入到十位或十位以上時，應(yīng)先用科學(xué)記數(shù)法表示這個數(shù)，再按要求取近似數(shù)。

（6）、a×10n中有效數(shù)字是指a的有效數(shù)字。

13、等于本身的數(shù)匯總：

①相反數(shù)等于本身的數(shù)：0

②倒數(shù)等于本身的數(shù)：1，-1

③絕對值等于本身的數(shù)：正數(shù)和0

④平方等于本身的數(shù)：0,1

⑤立方等于本身的數(shù)：0,1，-1.