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精品資料
第6章磁力的計算
由理論力學可知，體系在某一方向的力和力矩等于在該方向的能量梯度，可表達為：
ii
i
W
T
q
W
F
??
?
?
?
?
?,(6-1)
式中，W—為體系的能量，
i
q—在i方向的坐標，
i
F—i方向的力，T—作用在?方向的力
矩，?—旋轉角。
1．吸引力的計算
1)氣隙能量有解的表達式:
0
2
2?
ggg
LAB
W?或
?8
2
ggg
LAB
W?
(6-2)
由上式得吸引力:
0
2
2?
gg
AB
F?（6-3）
式中，F—吸引力??N，
g
B—氣隙磁密?
?2m
Wb
，
g
A—板面積??2m，
0
?—真空磁導率
??
m
H7104???
2)如果氣隙較大,
g
B不均勻，能量表達式由(3)得引力應為:
?8
2
gg
AB
F?
(6-4)
式中，F—吸引力??
yn
d，
g
B—G，
g
A—2cm。
為了計算方便，將上式化為：
g
gA
B
F
2
4965
?
?
?
?
?
?
?
?
?（6-5）
式中，F—kgf，
g
B
—G，
g
A
—2cm。
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精品資料
dV
B
Wg????
0
2
2
1
?
（6-6）
dV為氣隙體積元，積分在全部氣隙中進行，如果1?
r
?時，
0
?應改為
0
?
0r
?，此式由計
算機求出W，再由
i
q
W
?
?
求出
i
F。
3）也可不先求W，直接按下式求出磁吸引力F
?
：
??
?
?sdpF
??
?
（6-7）
F
?
——作用于磁體上的磁吸引力；
s
?
——包圍該物體的任意表面；
p
?
——作用于該表面上的應力；
p
?
的表達式為：
??nBBBnp
?
??
??
2
00
2
11
??
???（6-8）
n
?
——沿積分表面s法線方向的單位矢量；
B
?
——磁感應強度矢量
4）下面介紹
05
RC與鐵氧體之間的磁吸引力。
試驗證明，在永磁體直徑D等于高度
m
L時，吸引力最大。故假定1??DL
m
，此時，
氣隙磁密
g
B可用下列公式（注：此法由磁核積分法導出）。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
2
1
1
D
L
D
L
BB
g
g
rg
在磁力試驗中發現永磁體的
CB
H也起作用，故將上式改為：
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精品資料
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
2
1
1
D
L
D
L
HBB
g
g
CBrg
(6-9)
例，求兩個鐵氧圓環之間的吸引力。兩環的磁特性和幾何尺寸為：
GB
r
3500?，
eCB
OH2250?，cmd0.5?＝
外
，cmd2.3?＝
內
高度cmL
m
5.1?
可把圓環看成是直徑??
內
外
－ddD
2
1
?和高度
m
L的圓柱繞z軸旋轉而成的，故可用（6）
和（10）式聯立求解。
試驗結果和計算結果表面，當相對氣隙5.0?
D
L
g以前計算值和試驗值相近。
2.排斥力的計算
由庫倫定律可知，排斥力在數值上與吸引力相等，
2
210
4
r
Fmm
?
?
?
?
（6-10）
當
1m
Q與
2m
Q符號相同，為排斥力；
當
1m
Q與
2m
Q符號相反，為吸引力。
這個條件??
斥
引
＝FF
對于線性退磁曲線的鐵氧體和稀土鉻永磁體，基本滿足，而對于
oi
CNA1等的永磁體不滿足。
這個條件即使對
5O
RC,吸引力也稍大于排斥力。
這是由于在排斥條件下，有一磁矩偏離原來的方向，從而使磁板厚度有所減小。如果
兩個永磁體的退磁曲線與縱坐標的交角接近450，則M在退磁場中變化越微小。
例，利用磁荷積分法，求出吸引力與排斥力，將排斥力的計算值與試驗值比較，可知：
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精品資料
1）當5.0?
D
L
g時，計算值和試驗值接近；
2）當
g
L較小時，計算值大于試驗值；
3）當
g
L大時，計算值小于試驗值。
故在利用排斥力的系統中，為了穩定，常使用中等氣隙。因為氣隙太小時，排斥力與氣
隙的曲線太陡。氣隙稍有變化，排斥力變化太大，不利于穩定。而氣隙
g
L太大，則排斥力
太小，需要使用更多的永磁材料。所以選擇中等氣隙較合適。
3.力矩的計算
1)永磁力矩電機的力矩。
??NICT
e
（6-11）
T——力矩（mN?，除以9.8九化為mkgf?）；
e
C——常數，決定于電機的具體結構；
NI——每板的總電流（A）；
?——每板的磁通量（Wb）.
2)磁力傳動器的力矩計算。
平面軸向磁力傳動器。
靜止時，永磁體的工作點在A，這是低狀態，轉動時，主動體與被動體有一個角度差
（或較相位差）?，永磁體的工作點在C，這是高狀態，它的能量用下式計算：
??
122
1
8
HHBV
OAC
W
rm
??
?
?
?
?
?
?
?
?
面積
（6-12）
m
V為全部永磁體的體積，
mmm
LAV2?
在A點有：
______________________________________________________________________________________________________________
精品資料
????
????
?
?
?
?
?
?
?
ggkm
ggfm
LHkLH
ABkAB
11
1
11
1（6-13）
在C點有：
????
??????
?
?
?
?
?
??
?
2
222
2
22
2
?rLHkLH
ABkAB
ggrm
ggfm
（6-14）
上兩式各符號的意義與磁導法中相同。角標1對應A點，角標2對應C點。
假定，
mg
AA?（忽略漏磁），
????????2211,
gggg
HBHB??
上面條件在空氣和真空中成立，在A1，C
u
，無磁不銹鋼中也基本成立，得：
??
??
??
????2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
?rL
LH
k
k
B
L
LH
k
k
B
g
m
r
f
g
m
r
f
?
?
?
（6-15）
利用BHB
r
???的關系，求出
????????
?????????
?
?
?
?
?
??
?
?
?
2
222
2
11
1
1
1
?rLLkk
B
H
LLkk
B
H
gmrf
r
gmrf
r
（6-16）
于是得到能量表達式：
????????????????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
gmrf
gmrf
r
m
LLkk
rLLkk
B
V
W
11
2
222
2
1
1
1
1
82
1
?
?
（6-17）
進一步計算力矩：
??
??
??????
??
????
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
1
82
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
rL
L
k
k
rrrL
L
k
k
B
V
W
T
g
m
r
f
g
m
r
f
r
m（6-18）
______________________________________________________________________________________________________________
精品資料
令，
??
?
?
cos
2
2
?
?rR
L
g
g
??
?
?
?
sin
2
2
?
?rL
r
g
代入（23）式，得：
??
??
??
??
2
2
2
2
22
2
2
cos
1
cossin
82
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
g
m
r
f
g
m
r
f
r
m
L
L
k
k
L
rL
k
k
B
V
T
?
??
?
（6-19）
當
????22
rf
kk＝1時，欲得到最大力矩
max
T，由式（24）確定條件是：
3,4.500??
gm
LL?代入式（24）中，得，
??cmdrABT
ynmr
?????22
max
1032.1
式中，
r
B——G;
m
A——2cm，永磁體的面積；
r——
cm
，永磁體的半徑。
注意：
（a）當
????22
rf
kk和
gm
LL的值變化時，?的最佳值也要變化；
（b）在
g
L較大的場合，
????22
rf
kk＝1和3?
gm
LL這兩個條件不能試驗，這時得到
的力矩明顯小于
max
T。
max
T時理想設計的最大值，在
g
L較小時，能接近
max
T。
（c）實際計算時應考慮氣隙磁密分布的狀態（它和極數有關）。系數?，當氣隙磁密
時理想的矩形波時，?為1.0；當氣隙磁密分布時理想的正方形波時，?為0.5。當氣隙磁
密在兩者之間，?在0.5與1.0之間取值。為設計留有余量，一般取?＝0.5。
（d）由氣隙磁能求力和力矩
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精品資料
氣隙磁電W
g
可通過氣隙磁通
g
?，氣隙磁壓降
g
?，和氣隙磁導P
g
來表示：
ggggggg
ppW22
2
1
2
1
2
1
???????(6-20)
按理論力學求力和力矩的法則，在x方向的力，
??????
x
p
x
p
xx
W
Fggggggg
x?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
22
2
1
2
1
2
1
??
（6-21）
?方向的力矩，
??????
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?ggggggg
ppW
T
22
2
1
2
1
2
1
（6-22）
例，求兩平行磁極之間的吸引力。
氣隙截面
g
A，間隙
g
L，
g
g
gL
A
p0
?
?，
ggg
LH??，
ggg
AB??
??
ggg
g
g
ggggg
ALH
L
A
LHpW2
0
0
2
2
2
1
1
2
1
2
1
?
?
?????
或????
ggg
g
g
gggg
ALB
A
L
ABp2
00
2
2
2
1
2
1
2
1
??
????
或
gggggg
ALHB
2
1
2
1
????
軸向吸引力
x
F，
ggggggg
g
gg
x
AHBABAH
L
W
x
W
F
2
1
2
1
2
1
2
0
2
0
???
?
?
?
?
?
?
?
?
______________________________________________________________________________________________________________
精品資料
這三個式子是等價的，因為，
gg
HB
0
??
式中，????????mHNFmAmAHmWbB
ggg
7
0
22104,,,,?????
例2，同軸圓柱表面由徑向磁通引起的軸向力。同軸圓柱表面的徑向氣隙
g
L，可動小圓柱
的半徑
1
r，深入大圓筒內的深度為l，欲求小圓柱所受的軸向力
z
F。
解：徑向氣隙中的磁導
g
p，
??
g
g
gL
Lr
p
22
10
?
?
??
??
2
10
2
2
2
1
g
g
gg
gzL
Lr
l
p
F?
?
?
?
?
??
??
或??2
2
10
24g
g
g
lLr
L
?
??
?
?
?
例3，求同軸圓柱面之間的力矩。
轉子半徑為
1
r，定子的單邊氣隙為
g
L，轉子離開平衡位置的轉角為?（單位為弧度）。
氣隙磁導
g
p，
??
g
g
gL
LLr
p
2
2
10
???
?
??
g
gg
L
LLrp
2
2
10
?
?
?
??
?
力矩
??
2
10
2
4
2
2
1
g
g
gg
gL
LLrp
T?
?
?
?
?
??
?
?
，或??2
10
2
2??
?
LLr
g
g
?
?
______________________________________________________________________________________________________________
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