正弦圖像

正弦、余弦函數的圖象

一、教材分析

本節課是高中數學必修4第1章第4節第1課時的內容，是利用多媒體教學

生畫出正弦函數、余弦函數的圖象。根據正弦線畫出函數???2,0,sin??xxy

的圖

像，利用正弦曲線和誘導公式畫出余弦曲線，并且介紹了用五點法畫正弦函數、

余弦函數的簡圖。它是在學習了三角函數的基礎知識上展開的，又為今后學習正

弦型函數?????wxAysin

的圖象及運用數形結合思想研究正余弦函數的性質打

下堅實的知識基礎，因此本節課的內容起到了承上啟下的作用。

二、學情分析

學生已經掌握了正弦線、誘導公式等三角函數知識和一些基本函數的圖象及

其畫法，這為本節課的學習奠定了知識上的基礎。利用正弦線畫出正弦函數圖象

時，學生難以想到平移正弦線的作用，理解圖象的形成過程有一定的困難。五點

法畫正余弦函數的簡圖時，由于五點的選取和往常不一樣，因此選關鍵點會遇到

一些障礙。

三、教學重難點

教學重點：正弦函數和余弦函數的圖象；

教學難點：利用正弦線畫正弦函數圖象，正、余弦函數圖像間的關系，五點

法畫正余弦函數圖象。

四、教學目標

知識與技能目標：能刻畫正、余弦函數圖象；應用“五點法”作出正弦函數、

余弦函數的簡圖，并利用圖象解決一些有關問題；

過程與方法目標：通過體驗利用單位圓中的正弦線作出的正弦函數圖象的過

程，體會數形結合的思想。利用正余弦函數的關系感知其函數圖象間的關系。能

夠闡明并使用“五點法”作正弦函數、余弦函數的圖象的方法；

情感、態度與價值觀目標：通過作正弦函數和余弦函數圖象，加深對數形結

合的感悟；

五、教學過程

1、情境引入：

“裝滿細沙的漏斗在做單擺運動時，沙子落在與單擺運動方向垂直運動的木板上

的軌跡”。

思考：該曲線是何曲線？你有辦法畫出該曲線的圖象嗎？

明確研究思想，利用簡諧振動圖象引出正弦曲線、余弦曲線。

2、溫故知新：

（1）作函數圖像的方法：描點法、圖像變換法

【設計意圖】：復習前知，為新知作鋪墊。

（2）單位圓中的三角函數線

復習單位圓中正弦線、余弦線、正切線的作法，并且強調三角函數線是有

向線段。

【設計意圖】：復習前知，為利用正弦線畫正弦函數做準備。

（3）如何畫出正弦函數（sin,yxxR??）、余弦函數（cos,yxxR??）圖

像？

提示：利用三角函數線

【設計意圖】：對三角函數線的復習起前后呼應的效果。

給出思考：

通過上述實驗，我們對正弦函數圖像有了直觀印象，那如何畫出函數

y=sinx,x∈[0,2π]的圖像呢？----描點法

先請同學們在直角坐標系中作點(,sin)

33

??

？——粗略描點法和幾何描點法

【設計意圖】：體會用學過的“粗略描點法”作圖像的麻煩和不準確。

畫出函數y=sinx,x∈[0,2π]圖象（幾何描點法）：

探究過程：（老師提示，學生分組討論）

（1）我們可以用單位圓中的三角函數線來刻畫三角函數，那是否可以用它來

幫助作三角函數圖像呢？

【設計意圖】：建立單位圓的三角函數線與三角函數圖像之間的聯系，引出利用

正弦線作正弦函數圖像的方法。

【師生活動】：教師講解利用單位圓中的正弦線作正弦函數圖像的方法。學生思

考如何得到圖像上的一個點，即對于自變量x，如何利用正弦線確定它所對應的

y的值？

（2）為什么要從單位圓與x軸交點A開始，將單位圓分成12等份？

【設計意圖】：使學生認識這樣可以把正弦函數有代表性的取值都包括在內，以

便較準確地做出圖像，體會用學過的“描點法”作圖像取點的技巧和合理性。

【師生活動】：教師指導學生思考。學生討論，分析各個角度正弦線的位置。

（3）如何利用正弦線描出正弦函數圖像上的一些點呢？

【設計意圖】：進一步明確如何利用單位圓中的正弦線畫正弦函數圖像。

【師生活動】：教師注意引導學生分析圖像上的點與單位圓中的圓心角及其對應

的正弦線之間的關系。學生思考如何利用正弦線描出圖像。

（4）按照教科書敘述的步驟,描出12個點,做出函數y=sinx,x∈[0,2π]

的圖像。

【設計意圖】：培養學生的動手操作能力，形成對正弦函數圖像感知。

【師生活動】：教師指導學生動手畫圖，學生動手畫圖。

y=sinx,x∈[0,2π]

M1

P1

M2

P2

M1’

P1’

M2’

P2’

1

-1

π

2π

x

y

O

2

?3

2

?'O

作圖過程：

（1）在直角坐標系的x軸上任意取一點O1，以O1為圓心作單位圓；

（2）從圓O1與x軸的交點A起把圓O1分成12等份（份數宜取6的倍數，份數

越多）畫出的圖象越精確）；

（3）再把x軸上從0到2?

這一段（≈6.28）分成12等份；

（4）過圓O1上的各分點作x軸的垂線，可以得到對應于0、

6

?

、

3

?

、

2

?

、?、

2?

等角的正弦線；

（5）把角x的正弦線向右平移，使它的起點與x軸上的點x重合；

（6）再用光滑的曲線把這些正弦線的終點連結起來，就得到函數y=sinx,x∈

[0,2π]的圖象。

3、新知拓展：

如何做出函數sin,yxxR??的圖像？

因為終邊相同的角有相同的三角函數值，三角函數值有周而復始的變化規律。所

以函數sinyx?在[0,2)x??的圖象與函數sinyx?，

[2,2(1)),(,0)xkkkZk??????的圖象的形狀完全一樣，只是位置不同，于是只

要將它向左、右平行移動（每次2?

個單位長度），就可以得到正弦函數

sin,()yxxR??的圖象，即正弦曲線。

【設計意圖】：引導學生利用誘導公式（一），只要將函數y=sinx,x∈[0,2

π]的圖像左、右平移（每次2?

個單位長度）就可以得到函數y=sinx,x∈R

的圖像。

【師生活動】：教師提示學生從誘導公式入手，進行思考。學生思考問題，總結

規律，動手畫圖。

你能根據誘導公式，以正弦函數的圖像為基礎，通過適當的圖形變換得到余

弦函數的圖像嗎？

由cossin()

2

yxx

?

???知，把正弦圖像向左平移

2

?

個單位即得余弦函數圖像。

探究：能否將正弦函數右移

3

2

?

個單位得到余弦函數圖像呢？

可以，由

3

cossin()

2

yxx

?

???可知。

【設計意圖】：使學生從函數解析式之間的關系思考函數圖像之間的關系，進而

學習通過圖象變換畫余弦函數圖像的方法，讓學生感受有了一個函數圖像為基礎

時，可以通過圖像變換得到另一函數的圖像，降低作圖的難度。

【師生活動】：教師引導學生思考。學生利用誘導公式，回答兩個函數之間的關

系，再用坐標變換做出余弦函數圖像。

提問在做出正弦函數y=sinx,x∈[0,2π]的圖像時，應抓住哪些關鍵

點？

五點作圖法：(0,0)、(,1)

2

?

、(,0)?

、

3

(,1)

2

?

?、(2,0)?

【設計意圖】：從對圖像的整體觀察入手，引出“五點法”。

【師生活動】：教師提出問題。學生通過觀察圖像，確定在[0,2π]上起關鍵作用

的五個點，并通過描出五個點做圖像。

類似于正弦函數圖像的五個關鍵點，你能找出余弦函數圖像的五個關鍵點

嗎？請將它們的坐標寫出來，然后做出函數y=cosx,x∈[0,2π]的簡圖。

五點作圖法：(0,1)、(,0)

2

?

、(,1)??、

3

(,0)

2

?

、(2,1)?

【設計意圖】：類比正弦函數，學會“五點法”作余弦函數的簡圖。

【師生活動】：教師提出思考的問題，引導學生回答。學生通過類比，確定余弦

函數圖像的五個關鍵點并做出在上的圖像。

4、例題分析：

例題1.畫出下列函數的簡圖：

（1）y=1+sinx，x∈[0,

?2]

課本思考題：

你能否從函數圖像變換的角度出發，利用函數y=sinx，x∈[0,

?2]的

圖像來得到函數y=1+sinx，x∈[0,

?2]的圖像？【設計意圖】：使學生從圖

象變換的角度認識函數之間的關系。

【師生活動】：教師提出思考問題。學生獨立完成，回答問題。

練習畫出下列函數的簡圖：

（1）cos,[0,2]yxx????（2）

3

2sin1,[,]

22

yxx

??

????

同樣的，你能否從函數圖像變換的角度出發，從函數y=cosx，x∈[0,2π]的

圖像得到函數y=-cosx，x∈[0,2π]的圖像？

探究：能否用五點法畫出sinyx?

13

[,]

66

x

??

?、cosyx?

11

[,]

66

x

??

??圖像？

【設計意圖】：鞏固“五點法”。

【師生活動】：師生共同用“五點法”畫出例1的圖像，然后由學生獨立完成練

習1，并總結圖像的作法。

5、課堂小結：

通過這節課的學習，同學們，你們有什么收獲嗎？

引導學生作如下小結:1.代數描點法（誤差大）；2.幾何描點法（精確

但步驟繁）；3.五點法（重點掌握）------簡圖；4.平移（正弦函數圖像-------

余弦函數圖像）

【設計意圖】：反思學習過程，對研究正弦函數、余弦函數圖像的方法進行概括，

深化認識。

【師生互動】：學生思考回答。教師補充完善。

10、布置作業：

1.畫出下列函數的簡圖。

(1)y=1-sinxx∈[0,2π](2)y=3cosx

5

[,]

22

x

??

?(3)y=0.5sinx

3

[,]

22

x

??

??

【設計意圖】：鞏固“五點法”。

2.思考題：用五點法畫出函數sin2yx?[0,2]x??圖像

【設計意圖】：鞏固“五點法”，并讓學生思考判斷五點的橫坐標有什么不同