判斷矩陣

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等價(jià)：存在可逆矩陣QP,，使BPAQ?，則A與B等價(jià)；

相似：存在可逆矩陣P，使BAPP??1，則A與B相似；

合同：存在可逆矩陣C，使BACCT?，則A與B合同.

一、相似矩陣的定義及性質(zhì)

定義1設(shè)BA,都是

n

階矩陣，若有可逆矩陣P，使BAPP??1

，則稱B是A的相似矩陣，或

說(shuō)矩陣A與B相似，記為BA~.對(duì)A進(jìn)行運(yùn)算APP1?

稱為對(duì)A進(jìn)行相似變換，可逆矩陣P稱

為把A變成B的相似變換矩陣.

注矩陣相似是一種等價(jià)關(guān)系.

（1）反身性：AA~.

（2）對(duì)稱性：若BA~，則AB~.

（3）傳遞性：若BA~，CB~，則CA~.

性質(zhì)1若BA~，則

（1）

TTBA~；

（2）

11~??BA；

（3）EBEA?????；

（4）BA?；

（5）)()(BRAR?.

推論若

n

階矩陣A與對(duì)角矩陣

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??

n

?

?

?

?

2

1

相似，則

n

???,,,

21

?是A的n個(gè)特

征值.

性質(zhì)2若

1??PBPA，則A的多項(xiàng)式1)()(??PBPA??.

推論若A與對(duì)角矩陣?相似，則

1

2

1

1

)(

)(

)(

)()(??

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

???PPPPA

n

??

??

??

??

?

.

注（1）與單位矩陣相似的只有它本身；

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（2）有相同特征多項(xiàng)式的矩陣不一定相似祛痘品牌 .

二、矩陣可對(duì)角化的條件

對(duì)

n

階方陣A，如果可以找到可逆矩陣P，使???APP1

為對(duì)角陣，就稱為把方陣A對(duì)

角化。

定理1

n

階矩陣A可對(duì)角化（硫化氫化學(xué)式 與對(duì)角陣相似）A?有

n

個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。

推論如果

n

階矩陣A的

n

個(gè)特征值互不相等，則A與對(duì)角陣相似.（逆命題不成立）

注：（1）若A～?，則?的主對(duì)角元素即為A的特征值，如果不計(jì)

i

?的排列順序，則?唯一，

稱之為矩陣A的相似標(biāo)準(zhǔn)形。

（2）可逆矩陣P由A的

n

個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量構(gòu)成。

把一個(gè)矩陣化為對(duì)角陣，不僅可錦鯉怎么畫(huà) 以使矩陣運(yùn)算簡(jiǎn)化，而且在理論和應(yīng)用上都有意義。

可對(duì)角化的矩陣主要有以下幾種應(yīng)用：

三、實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣

實(shí)對(duì)稱矩陣是一類特殊的矩陣，它們一定可以對(duì)角化.即存在可逆矩陣P，使得???APP1

.

更可找到正交可逆矩陣T，使和???ATT1

定理2實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)。

定理2的意義：因?yàn)閷?duì)稱矩陣A的特征值

1

?為實(shí)數(shù)，所以齊次線性方程組0)(??xEA

i

?是實(shí)

系數(shù)方程組。又因?yàn)???EA

i

?，可知該齊次線性方程組一定有實(shí)的基礎(chǔ)解系，從而對(duì)應(yīng)的

特征向量員工請(qǐng)假條模板 可以取實(shí)向量。

定理3：實(shí)對(duì)稱矩陣A的對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交。

定理4：A為

n

階實(shí)對(duì)稱矩陣，

0

?是A的k重特征值，則對(duì)應(yīng)于

0

?的特征向量中，線性無(wú)關(guān)的

個(gè)數(shù)為k，即0)(

0

??XEA?的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為k。

定理5：（實(shí)對(duì)稱矩陣必可對(duì)角化）

對(duì)于任一

n

階實(shí)對(duì)稱矩陣A，一定存在

n

階正交矩陣T，使得???ATT1

。其中?是以A的

n

個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)日記一年級(jí) 角陣。

定義2若二次型AxxfT?，三國(guó)手抄報(bào) 則對(duì)稱矩陣A叫做二次型f的矩陣，也把f叫做對(duì)稱矩陣A的

二次型.對(duì)稱矩陣A的秩就叫做二次型f的秩.

推理對(duì)稱矩陣A為正定的充分必要條件是：A的特征值全為正.

定理3對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是：A的各階主子式都為正，即

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0

11

?a，0

2221

1211?

aa

aa

，0,

1

111

?

nnn

n

aa

aa

?

??

?

?；

對(duì)稱矩陣A為負(fù)定的充分必要條件是：奇數(shù)階主子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正

1.設(shè)A為正定陣，則

*1,,AAAT?

均為正定矩陣；

2.設(shè)BA,均為正定矩陣，則BA?也是正定矩陣.

四、如果

n

階矩陣A與B相似，那么A與B的特征值相同嗎？

答一定相同。因?yàn)樗鼈冇邢嗤奶卣鞫囗?xiàng)式。

證明A?與B相似，即存在可逆矩陣P，使BAPP??1

，

EAEAPPEAPPEPAPPEB???????????????????1111)()(

但務(wù)必注意：

1.即使A與B的特征值都相同，A與B也未必相同。

2.雖然相似矩陣有相同的特征值，但特征向量不一定相同。

五、判斷矩陣A是否可對(duì)角化的基本方法有哪些？

答常有如下四種方法。

（1）判斷A是不是實(shí)對(duì)稱矩陣，若是一定可對(duì)角化。

（2）求A的特征值，若

n

個(gè)特征值互異，則A一定可對(duì)角化。

（3）求A的特征向量，若有

n

個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則A可對(duì)角化，否則不可對(duì)角化。

（4）方陣A可對(duì)角化的充要條件是A的每個(gè)重特征值對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)等于該

特征值的重?cái)?shù)。

一般來(lái)說(shuō)，常用方法（2）和（4），且（2）中的條件僅僅是充分的。

六、已知

n

階方陣A可對(duì)角化，如何求可逆矩陣P，使得?),,,(diag

21

1

n

APP??????

答若

n

階方陣A可對(duì)角化時(shí)，則求可逆矩陣P的具體步驟為：

（1）求出A的全部特征值

s

???,,,

21

?；

（2）對(duì)每個(gè))1(si

i

???，求齊次方程組0)(??xEA

i

?的基礎(chǔ)解系，得n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征

向量

n

????,,

21

；

（3）令),,,(

21n

P?????，則),,,(

21

1

n

diagAPP????????，其中

n

???,,,

21

?為

n

???,,,

21

?對(duì)應(yīng)的特征值。

七、對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣A，如何求正交矩陣P，使APP1?

為對(duì)角陣？

答若A為

n

階實(shí)對(duì)稱矩陣，則一定存在正交陣P，使APP1?

為對(duì)角陣。可按以下步驟求出正

交矩陣P。

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（1）求出方陣A的全部特征值

s

???,,,

21

?，其中重根數(shù)分別為第一次世界大戰(zhàn)的原因

s

kkk,,,

21

?。

（2）對(duì)每一個(gè)

i

?求出齊次線性方程組0)(??xEA

i

?的基礎(chǔ)解系

si

ikii

,,2,1,,,,

21

??????。

（3）將si

ikii

,,2,1,,,,

21

??????正交化（若1?

i

k，則只須單位化）得正交單位特征向量

組：

n

ppp?,,

21

。

令),,,(

21n

pppP??

（4）

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

??

n

APP

?

?

?

2

1

1

?

，其中?是特征向量

i

p所對(duì)應(yīng)的特征值。

九、如何判斷一個(gè)二次型AxxfT?是正定的？

答判別二次型AxxfT?正定性的方法通常有

（1）用定義，

（2）f的標(biāo)準(zhǔn)形中的

n

個(gè)系數(shù)全為正，

（3）對(duì)稱矩陣A的特征值全大于0，

（4）正慣性指數(shù)np?，

（5）計(jì)算矩陣A的各階順序主子式，各階順序主子式均大于0。

十三、什么叫矩陣的合同？矩陣合同與矩陣相似有什么區(qū)別與聯(lián)系？

答如果存在可逆矩陣P，使，則稱矩陣A與B合同。

合同關(guān)系是一種等價(jià)關(guān)系，矩陣合同在證明矩陣正定性和化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型中有很廣泛的應(yīng)用，

在此給出一個(gè)非常有用的結(jié)論：

如果矩陣A與矩陣E合同，則A為正定矩陣。

合同與矩陣相似是有區(qū)別的，矩陣A與B相似，則存在可逆矩陣P，使BAPP??1

。顯然，

若P為正交矩陣，則

1??PPT

，矩陣合同與矩陣相似就有聯(lián)系了，由此我們可得出：

如果A為

n

階實(shí)對(duì)稱矩陣，則存在正交矩陣P，使???APP1

，此時(shí)A與?相似，A與?合

同。