中山大學珠海校區2010學年度第二學期10級高等數學一期中考試題及參考答案

珠海校區2010學年度第二學期10級高等數學一期中考試題及參考答案

完成以下各題,每題10分.考試時間90分鐘.

yy

1. 求滿足條件的函數

du?(e?sinx)dx?(xe?cosy)dy

u(x,y).

)e?P(x,y?sxinQx,y(?,xe)?yco?se,?,

解

yyy

?P?Q

?y?x

故積分與路徑無關,于是

u(x,y)?(e?sinx)dx?(xe?cosy)dy

??

y0

00

xy

?xe?siny?cosx?C.

2.計算累次積分:

I?dxdy.

??

0x

2

11

y

xy

1?y

y111

00x0

3

dx解:I?dxdy?dy

????

2

xyxy

1?y1?y

y

0

33

??dy?dy

??

11

00

xy1y

22

33

1?y1?y

22

2?11d(1?y)1

.??1?y?

363

1

1

3

3

?

3

0

0

1?y

3.

若D?{(x,y)x?y?1},計算二重積分I?(x?y)dxdy.

??

D

解: 積分區域關于兩個坐標軸都對稱,且被積函數關于x,y均為偶函數,故如記

D?(x,y)(x,y)?D,x?0,y?0

1

??

I?(x?y)dxdy?4(x?y)dxdy

????

DD

1

?4dx(x?y)dy?4[x(1?x)?(1?x)]dx?.

???

000

11?x1

14

2

23

C

2222

x?yds,其中C是圓周x?y?2x.求第一型曲線積分I?

4.

??

解: 用極坐標:

圓周的方程為r?2cos,故參數方程為x?2cos,y?2cossin.

????

2

ds?(dx)?(dy)?(2sin2)?(2cos2)d?2d

2222

????

??

??

222

22

I?x?yds?2?2cos?2d?4cosd?8.

????

????

??

C

22

22

5.

若C是上半圓周x?y?9,y?0,方向由點(3,0)到點(?3,0),求第二型曲線積分

22

I?ydx?xdy.

?

C

解:

圓周的極坐標方程為:x?3cos,y?3sin,0??.故

????

I?[(3sin)(?3sin)?(3cos)(3cos)]d

?

?

0

?????

22

?

0

?27(cos?sin)d

?

33

???

??

4

22

??

?27(1?sin)dsin?(1?cos)dcos?27?(?)??36.

??

????

??

00

??

3

6.

已知函數f(x)連續,求證;f(x)dxf(y)dy?f(x)dx.

0x0

???

aaa

2

1

??

??

??

2

證明;顯然f(x)dxf(y)dy?f(x)dxf(y)dy

????

axaa

000x

aaa

2

??????

?f(x)dxf(y)dy?f(x)dx.

???

??????

??????

000

而變換積分次序后再換積分變量字母,有

??????

aaayax

0x0000

f(x)dxf(y)dy?f(y)dyf(x)dx?f(x)dxf(y)dy

于是 證畢.

???

aaa

0x0

f(x)dxf(y)dy?f(x)dx.

2

1

??

??

??

2

x

a

xf(x)d?F(于是)a.

dy,記F(x)?f(y)則

?

證法2:

?

0

0

aaaaa

?????

0x000

f(x)dxf(y)dy?f(x)[F(a)?F(x)]dx?F(a)f(x)dx?F(x)f(x)dx

?F(a)?F(x)dF(x)?F(a)?F(x)?F(a)?f(x)dx.

222a2

??

aa

00

111

222

0

2

??

??

??

2222

z?2?x?y與z?x?y所圍立體的體積.

7. 求由曲面

22

解: 立體在xOy坐標面的投影為區域故

D?{(x,y)x?y?1}.

V?dV?dxdydz?2(1?x?y)dxdy

????????

22

?DD

21

?

2

00

2?(x?y)

22

x?y

22

?2d(1?r)rdr?.

??

??

?

22

8.

求三重積分I?(y?sinz)dV,其中?是由錐面z?x?y與平面z?所圍的區域.

???

?

解: 由對稱性, 故如記區域在xOy面的投影區域為D,則

???

ydV?0.

?

I?sinzdV?rdrdsinzdz

??????

?

?D

r

?

?d(1?cosr)rdr??4.

??

???

3

00

2

??

xdy?(y?1)dx(y?1)

2

?2

9.求曲線積分I?,其中L方程為x??1,逆時針方向.

??

?

x?(y?1)2

22

L

?(y?1)x

?P(y?1)?x?Q

22

P(x,y)?,Q(x,y)?,

??,

222

解:

2222

x?(y?1)x?(y?1)

?y[x?(y?1)]?x

由于點(0,1)位于L所圍區域(記為D)內,作圓周C: x+y=r,則由格林公式,

++222

I??0,

xdy?(y?1)dx

22

x?(y?1)

(L?C)

?

??

2222

2

?

rcos?rsinxdy?(y?1)dxxdy?(y?1)dx

??

I?d?2.??

?????

??

22222

??

x?(y?1)x?(y?1)r

0

LC

10.計算曲面積分I?dxdy,其中S為錐面z?x?y及平面z?1,z?2

???

S

?

e

z

x?y

22

?22

所圍

立體的表面,取外側.

解:

P?Q?0,R?，記S所圍的區域為?,由高斯公式,

e?P?Q?Re

zz

e

z

x?y

22

I?dxdy???dVdV?

?????????

S

?

22z22

??

??

??

2222

?x?y?z

??

x?yx?y

??

e

z

rdr?dzedz?2(z?1)e?ddz?2e.

?????

????

zz22

01010

r

1