S(自旋)

在量子力學中，自旋是與粒子所具有的內稟角動量，雖然有時會與經典力學中的自轉相

類比，但實際上本質是迥異的。經典意義中的自轉，是物體對于其質心的旋轉，比如地

球每日的自轉是順著一個通過地心的極軸所作的轉動。

首先對基本粒子提出自轉與相應角動量概念的是1925年由 Ralph Kronig 、George

Uhlenbeck 與 Samuel Goudsmit 三人所為。然而爾后在量子力學中，透過理論以及實

驗驗證發現基本粒子可視為是不可分割的點粒子，是故物體自轉無法直接套用到自旋角

動量上來，因此僅能將自旋視為一種內在性質，為粒子與生俱來帶有的一種角動量，并

且其量值是量子化的，無法被改變（但自旋角動量的指向可以透過操作來改變）。

自旋對原子尺度的系統格外重要，諸如單一原子、質子、電子甚至是光子，都帶有正半

奇數（1/2、3/2等等）或含零正整數（0、1、2）的自旋；半整數自旋的粒子被稱為費

米子（如電子），整數的則稱為玻色子（如光子）。復合粒子也帶有自旋，其由組成粒

子（可能是基本粒子）之自旋透過加法所得；例如質子的自旋可以從夸克自旋得到。

目錄

[隱藏]

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1 概論

2 發展史

3 自旋量子數

o

3.1 基本粒子的自旋

o

3.2 亞原子粒子的自旋

o

3.3 原子和分子的自旋

o

3.4 自旋與統計

4 自旋的方向

o

4.1 自旋投影量子數與自旋多重態

o

4.2 自旋矢量

5 自旋與磁矩

6 量子力學中關于自旋的數學表示

o

6.1 自旋算符

o

6.2 自旋與泡利不相容原理

o

6.3 自旋與旋轉

o

6.4 自旋與洛倫茲變換

o

6.5 泡利矩陣和自旋算符

o

6.6 沿x, y和 z 軸的自旋測量

o

6.7 沿任意方向的自旋測量

o

6.8 自旋測量的相容性

7 應用

8 相關條目

9 參考資料

10 外部鏈接

[編輯] 概論

自旋角動量是系統的一個可觀測量，它在空間中的三個分量和軌道角動量一樣滿足相同

的對易關系。每個粒子都具有特有的自旋。粒子自旋角動量遵從角動量的普遍規律，p=[J

（J+1）]h為自旋角動量量子數 ，J ＝ 0，1 ／ 2 ， 1，3／2，??。自旋為半奇

0.5

數的粒子稱為費米子，服從費米-狄拉克統計；自旋為0或整數的粒子稱為玻色子，服

從玻色-愛因斯坦統計 。復合粒子的自旋是其內部各組成部分之間相對軌道角動量和各

組成部分自旋的矢量和，即按量子力學中角動量相加法則求和。已發現的粒子中，自旋

為整數的，最大自旋為4；自旋為半奇數的，最大自旋為3／2。

自旋是微觀粒子的一種性質。自旋為0的粒子從各個方向看都一樣，就像一個點。自旋

為1的粒子在旋轉360度后看起來一樣。自旋為2的粒子旋轉180度，自旋為1／2的

粒子必須旋轉2圈才會一樣。 自旋為1／2的粒子組成宇宙的一切，而自旋為0，1，2

的粒子產生物質粒子間的力。物質粒子服從泡利不相容原理。

[編輯] 發展史

自旋的發現，首先出現在堿金屬元素的發射光譜課題中。于1924年，沃爾夫岡·泡利

首先引入他稱為是“雙值量子自由度”(two-valued quantum degree of freedom)，與

最外殼層的電子有關。這使他可以形式化地表述泡利不相容原理，即沒有兩個電子可以

在同一時間共享相同的量子態。

泡利的“自由度”的物理解釋最初是未知的。Ralph Kronig，Landé的一位助手，于1925

年初提出它是由電子的自轉產生的。當泡利聽到這個想法時，他予以嚴厲的批駁，他指

出為了產生足夠的角動量，電子的假想表面必須以超過光速運動。這將違反相對論。很

大程度上由于泡利的批評，Kronig決定不發表他的想法。

當年秋天，兩個年輕的荷蘭物理學家產生了同樣的想法，George Uhlenbeck和Samuel

Goudsmit。在保羅·埃倫費斯特的建議下，他們以一個小篇幅發表了他們的結果。它得

到了正面的反應，特別是在Llewellyn Thomas消除了實驗結果與 Uhlenbeck 和

Goudsmit 的（以及 Kronig 未發表的）計算之間的兩個矛盾的系數之后。這個矛盾是

由于電子指向的切向結構必須納入計算，附加到它的位置上；以數學語言來說，需要一

個纖維叢描述。切向叢效應是相加性的和相對論性的（比如在c趨近于無限時它消失了）；

在沒有考慮切向空間朝向時其值只有一半，而且符號相反。因此這個復合效應與后來的

相差系數2(Thomas precession)。

盡管他最初反對這個想法，泡利還是在1927年形式化了自旋理論，運用了埃爾文·薛

定諤和沃納·海森堡發現的現代量子力學理論。他開拓性地使用泡利矩陣作為一個自旋

算子的群表述，并且引入了一個二元旋量波函數。

泡利的自旋理論是非相對論性的。然而，在1928年，保羅·狄拉克發表了狄拉克方程，

描述了相對論性的電子。在狄拉克方程中，一個四元旋量所謂的“狄拉克旋量”被用于

電子波函數。在1940年，泡利證明了“自旋統計定理”，它表述了費米子具有半整數

自旋，玻色子具有整數自旋。

[編輯] 自旋量子數

[編輯] 基本粒子的自旋

對于像光子、電子、各種夸克這樣的基本粒子，理論和實驗研究都已經發現它們所具有

的自旋無法解釋為它們所包含的更小單元圍繞質心的自轉（參見經典電子半徑）。由于

這些不可再分的基本粒子可以認為是真正的點粒子，因此自旋與質量、電量一樣，是基

本粒子的內稟性質。

在量子力學中，任何體系的角動量都是量子化的，其取值只能為：

其中是約化普朗克常數，而自旋量子數是整數或者半整數(0, 1/2, 1, 3/2, 2,??)，

自旋量子數可以取半整數的值，這是自旋量子數與軌道量子數的主要區別，后者的量子

數取值只能為整數。自旋量子數的取值只依賴于粒子的種類，無法用現有的手段去改變

其取值（不要與自旋的方向混淆，見下文）。

例如，所有電子具有 ，自旋為1/2的基本粒子還包括正電子、中微子和夸克，

s = 1/2

光子是自旋為1的粒子，理論假設的引力子是自旋為2的粒子，理論假設的希格斯玻色

子在基本粒子中比較特殊，它的自旋為0。

[編輯] 亞原子粒子的自旋

對于像質子、中子及原子核這樣的亞原子粒子，自旋通常是指總的角動量，即亞原子粒

子的自旋角動量和軌道角動量的總和。亞原子粒子的自旋與其它角動量都遵循同樣的量

子化條件。

通常認為亞原子粒子與基本粒子一樣具有確定的自旋，例如，質子是自旋為1/2的粒子，

可以理解為這是該亞原子粒子能量量低的自旋態，該自旋態由亞原子粒子內部自旋角動

量和軌道角動量的結構決定。

利用第一性原理推導出亞原子粒子的自旋是比較困難的，例如，盡管我們知道質子是自

旋為1/2的粒子，但是原子核自旋結構的問題仍然是一個活躍的研究領域。

[編輯] 原子和分子的自旋

原子和分子的自旋是原子或分子中未成對電子自旋之和，未成對電子的自旋導致原子和

分子具有順磁性。

[編輯] 自旋與統計

粒子的自旋對于其在統計力學中的性質具有深刻的影響，具有半整數自旋的粒子遵循費

米-狄拉克統計，稱為費米子，它們必須占據反對稱的量子態（參閱可區分粒子），這

種性質要求費米子不能占據相同的量子態，這被稱為泡利不相容原理。另一方面，具有

整數自旋的粒子遵循玻色-愛因斯坦統計，稱為玻色子，這些粒子可以占據對稱的量子

態，因此可以占據相同的量子態。對此的證明稱為自旋統計理論，依據的是量子力學以

及狹義相對論。事實上，自旋與統計的聯系是狹義相對論的一個重要結論。

[編輯] 自旋的方向

[編輯] 自旋投影量子數與自旋多重態

在經典力學中，一個粒子的角動量不僅有大小（取決于粒子轉動的快慢），而且有方向

（取決于粒子的旋轉軸）。量子力學中的自旋同樣有方向，但是是以一種更加微妙的形

式出現的。在量子力學中，對任意方向的角動量分量的測量只能取如下值：

其中s是之前章節討論過的自旋量子數。可以看出對于給定的s，"s" 可以取“2s+1”

_z

個不同的值。例如 對于自旋為1/2的粒子，"s"只能取兩個不同的值，+1/2或-1/2。

_z

相應的量子態為粒子自旋分別指向+z或-z方向，一般我們把這兩個量子態叫做

“spin-up"和"spin-down"。 對于一個給定的量子態，可以給出一個自旋矢量,它的

各個分量是自旋沿著各坐標軸分量的數學期望值，即 . 這

個矢量描述自旋所指的“方向”，對應于經典物理下旋轉軸的概念。這個矢量在實際做

量子力學計算時并不十分有用，因為它不能被直接測量--根據不確定性原理,, and

ss

xy

s

z

不能同時有確定值。但是對于被置于同一個量子態的大量粒子，例如使用

Stern-Gerlach儀器得到的粒子，自旋矢量確實有良好定義的實驗意義。

[編輯] 自旋矢量

[編輯] 自旋與磁矩

具有自旋的粒子具有磁偶極矩，就如同經典電動力學中轉動的帶電物體。磁矩可以通過

多種實驗手段觀察，例如，在施特恩-格拉赫實驗中受到不均勻磁場的偏轉，或者測量

粒子自身產生的磁場。

一個基本粒子，電量為q，質量為m，自旋為S，則其內稟磁矩μ為

其中無量綱量g稱為g－因子，當僅有軌道角動量時，g=1。

電子是帶電荷的基本粒子，具有非零磁矩。量子電動力學理論成功以預測了電子的g-

因子，其實驗測量值為?2.002?319?304?3622(15)，括號中的兩位數字為測量的不確定

度，來源于標準差，整數部分2來源于狄拉克方程(狄拉克方程是與將電子自旋與其電

[1]

磁性質聯系起來的基本方程)，小數部分(0.002?319?304?)來源于電子與周圍電磁場的

相互作用，其中也包括電子自身的產生的電磁場。

[編輯] 量子力學中關于自旋的數學表示

[編輯] 自旋算符

與軌道角動量類似，自旋滿足對易關系：

其中 ε 為列維-奇維塔符號。 與 的本征值（用狄拉克符號表示）為：

SS

2

zijk

自旋產生和湮滅算符作用于本征矢量上可以得到：

其中。

然而與軌道角動量所不同的是，自旋的本征矢量不是球諧函數，它們不是 θ 和 φ 的

函數，而且 與 不能取半整數值也只是一種約定，沒有具體的含義。

sm

除了其它性質以外，量子力學描述的所有粒子具有內稟自旋（盡管可能出現量子數 = 0

S

的情況）。自旋量子數的取值為約化普朗克常數的整數倍或半整數倍，因此波函數可

以寫為 而不是，其中σ可以取值的集合為：

，由此可以區分玻色

子 (S=0, 1 , 2 , ...)和費米子 (S=1/2 , 3/2 , 5/2 , ...)。自旋角動量與軌道角

動量之和為總角動量，在相互作用過程中總角動量守恒。

[編輯] 自旋與泡利不相容原理

泡利不相容原理指出，對于可分辨的N粒子體系，交換其中任意兩個粒子，則有：

因此，對于玻色子，前置因子( ? 1)可簡化為+1，而對于費米子為-1。在量子力學中，

2

S

所有的粒子不是玻色子就是費米子，而在相對論量子場論中存在“超對稱”粒子，它們

是玻色子成分和費米子成分的線性組合。對于二維體系，前置因子( ? 1)可以取為任

2

S

何模為1的復數。

電子是自旋量子數S=1/2的費米子；光子是自旋量子數S=1的玻色子。這充分說明自旋

這一特性無法完全用經典的內稟軌道角動量來解釋，也就是不能認為自旋是像陀螺一樣

的自轉運動，因為軌道角動量只能導致s取整數值。電子一般情況下可以不考慮相對論

效應，光子必須采用相對論來處理，而用來描述這些粒子的麥克斯韋方程組，也是滿足

相對論關系的。

泡利不相容原理非常重要，例如，化學家和生物學家常用的元素周期表就是遵循泡利不

相容原理制訂的。

[編輯] 自旋與旋轉

如上所述，量子力學指出角動量沿任意方向的分量只能取一系列離散值，量子力學中最

普遍的描述粒子自旋的方法是，用一個歸一完備的復數集來表示內稟角動量在給定坐標

軸方向投影出現的概率。例如，對于自旋1/2的粒子，用表示角動量投影出現的

概率為 和 ，它們滿足：

由于這些復數的取值依賴于坐標軸的選取，坐標軸轉動變換可以是非平凡的，因此要求

采用線性的變換法則，以便將所有的轉動通過一個矩陣聯系起來，這要求變換必須滿足

乘法運算，而且必須保持內積不變，因此變換矩陣應當滿足：

用數學語言表述，這些矩陣是SO(3)群的幺正表示，每一個這樣的表示對應于SU(2)群

的一個表示（SO（3）群是SU(2)群的子群），SU(2)群的每一個不可約表示對應一個維

度。例如，自旋1/2的粒子在二維表示下作轉動變換，可以用泡利矩陣表示為：

其中 α,β,γ 為 歐拉角.

同樣地，可以用高維群表示描述粒子的高階自旋變換，參見泡利矩陣相關章節。

[編輯] 自旋與洛倫茲變換

我們可以在洛倫茲變換下研究自旋的行為，但與SO(3)群不同，洛倫茲群SO(3,1)是非

緊致的，不存在有限維幺正表示。

對于自旋1/2的粒子，有可能構造出保持內積不變的有限維表示。將每個粒子用一個四

元狄拉克自旋量ψ來表示，這些旋量在洛倫茲變換下遵守如下規則：

其中γ為伽馬矩陣，ω是一個反對稱的矩陣，它將洛倫茲變換參數化。我們

μμν

可以看到內積表示

保持不變。由于表示矩陣是非正定的，因此不是幺正表示。

[編輯] 泡利矩陣和自旋算符

量子力學中表示自旋這個可觀測量的算符為：

對于自旋為-1/2的情形， σ, σ和 σ為三個泡利矩陣，表示為

xyz

[編輯] 沿x, y和 z 軸的自旋測量

每個泡利矩陣的哈密頓量有兩個本征值：+1和-1。相應的歸一化本征矢量為：

,

,

.

根據量子力學基本假設，測量沿x,y或z軸的電子自旋的實驗只能得到相應坐標軸上自

旋算符(, , )的本征值： 和 粒子的量子態可以用一個具有兩個分量的自旋

SSS

xyz

量來表示：

當測量給定坐標軸方向（這里取為x軸）的自旋時，測量到自旋為的概率恰好為

。相應的測量到自旋為的概率恰好為。經過測量，

粒子的自旋將塌縮到相應的本征態。結果導致，如果粒子在給定坐標軸方向的自旋已經

被測量出確定的值，所有的測量將得到相同的本征值（因為，

依此類推），只要其它坐標軸方向的自旋還沒有被測量。

[編輯] 沿任意方向的自旋測量

沿任意方向的自旋算符很容易從泡利矩陣導出，令 = (,,)為任意單位矢量，則

uuuu

xyz

沿該方向的自旋算符為，算符σ具有本征值

u

。對于高自旋態，沿任意方向的自旋算符可以通過它與x,y,z軸三個方向的矢量

的內積來確定。

對于自旋-1/2的粒子，一個沿(,,)方向的正交的自旋子為（除了導致0/0的自旋

uuu

xyz

態）：

確定上述自旋子的一般方法：將矩陣σ對角化，求取與本征值相應的本征矢量，這樣

u

的本征矢量就可以作為自旋子。

[編輯] 自旋測量的相容性

由于泡利矩陣是反交換的，因此沿不同方向測量的自旋是不相容的，例如，在我們已知

x軸方向的自旋的情況下，測量沿y軸方向的自旋，這樣會將我們先前在x軸方向的測

量結果否定。這可以從泡利矩陣的本征矢量（本征態）中看出來：

因此，假如我們測量到沿x軸方向的自旋是，這個粒子的自旋將塌縮為本征態；

當我們接著測量y軸方向的自旋時，自旋本征態將塌縮到或者，塌縮到

這兩個本征態的概率都是，可以認為這是測量到了。當我們再次測量沿x軸的自

旋，測量到 或者 的概率各為（ 和 ），

這說明我們最初沿x軸方向的測量不再正確，因為此時沿x軸方向測量的自旋得到兩種

本征值的概率是相等的。