窄帶隨機過程

窄帶隨機過程

通信系統都有發送機和接收機，為了提高系統的可靠性，通常在

接收機的輸入端接有一個帶通濾波器，信道內的噪聲構成了一個隨機

過程，經過該帶通濾波器之后，則變成了窄帶隨機過程，因此，討論

窄帶隨機過程的規律是重要的。

一、窄帶隨機過程的定義

窄帶隨機過程的定義借助于它的功率譜密度的圖形來說

明。圖3.5.1（a）中，波形的中心頻率為，帶寬為，當滿足

時，就可認為滿足窄帶條件。

若隨機過程的功率譜滿足該條件則稱為窄帶隨機過程。

若帶通濾波器的傳輸函數滿足該條件則稱為窄帶濾波器。

隨機過程通過窄帶濾波器之后變成窄帶隨機過程。

圖3.5.1窄帶波形的頻譜及

示意波形

  二、窄帶隨機過程的表示方式

如果在示波器上觀察這個過程中一個樣本函數的波形，則

會發現它像一個包絡和相位緩慢變化的正弦波，如圖3.5.1（b）所示。

因此窄帶隨機過程可用下式表示成：

式中，是窄帶隨機過程包

絡；

是窄帶隨機過程的隨機相位。

窄帶隨機過程也可用下式表示

分別被稱作的同其中: 這里的和

相分量和正交分量。

可見，的統計特性可以由、或、的統計特性來確定。反之，

若已知的統計特性，怎樣來求 、或、的特性呢？

三、同相分量與正交分量的統計特性

設窄帶隨機過程是均值為零平穩的窄帶高斯過程。可以證

明，它的同相分量和正交分量也是均值為零的平穩高斯過程，而且與

具有相同的方差。

1.數學期望 已

設是平穩的，且均值為零，即對于任意時刻，有，所以，可

得 即 2.自相關

函數

我們知道一些統計特性可以從自相關函數中得到，所以，

按定義的自相關函數為

將

上式展開，并取數學期望為

其

中 因為是平穩的，可以令，得

（1） 同理，令，得

（2） 如果是平穩的，則、也是

平穩的。

由于式（1）和式（2）相等，則應有 可

見，的同相分量和正交分量具有相同的自相關函數，而且根據互相關

函數的性質，有 可見，有

上式表示，為的奇函數，所以 同理可以證明

即 這 得到

表明，和具有相同的方差。

3.概率密度函數 因為和

統計獨立，則和的二維概率密度函數為

利用式（3.5.16），上式改寫為

以上討論的是由的統計特性推導出

同相分量和正交分量的統計特性。

四、包絡與相位的統計特性

現在來確定窄帶平穩高斯過程的包絡和相位的統計特性，

隨機包絡和隨機相位可表示為 利用概率論

中隨機變量變換的關系來求解和的概率密度函數，把，，和在某一時

刻的隨機變量用，，和來表示。根據隨機變量變換關系有

為，的聯合概率密度函數； 其中，

為雅可比行列式，它等于 由和得

進行偏微分，并代入雅可比行列式，得

于是

因為，所以上

式中包絡，而在內取值。

利用概率論中的邊際分布知識，可求得包絡的概率密度函

數為 可見，服從瑞

利分布。

瑞利分布的特點：最大值發生在處，其值為。

圖3.5.2 窄帶高斯過程包絡的概率密

度函數 利用邊際分布知識，可求得相位的概率密度函數為

可見，隨機相位

在內服從均勻分布。 所以窄帶平穩高斯過

程的包絡和相位是統計獨立的。

五、窄帶隨機過程的功率譜密度

結論：窄帶隨機過程同相分量和正交分量具有相同的功率

譜密度，而且與窄帶隨機過程的功率譜密度具有如下關系式

式中，設的頻率范圍

,

證明：窄帶隨機過程的同相分量和正交分量的提取方法如

圖3.5.4所示。 圖3.5.4 同相分量和

正交分量的提取方法 1.同相分量

對式兩邊乘以，得

兩邊都通過截止頻率為

的低通濾波器，于是輸出為，表示為

其功率譜密度為

1.同相分量

同理，對式兩邊乘以，得

用功率譜密度表示為

由以上關系

式，可畫出功率譜密度、和如圖3.5.3所示。

圖3.5.3、和的功率

譜密度