數(shù)學(xué)史資料

§5.2

阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)

5.2.1阿拉伯文明概況

阿拉伯國家指以阿拉伯民族為主體的國家，大多分布在亞洲西部和北非一帶，一般使用阿拉

伯語，信奉伊斯蘭教。然而“阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)”并非指阿拉伯國家的數(shù)學(xué)，而是指8-15世紀阿

拉伯帝國統(tǒng)治下的中亞西亞地區(qū)的數(shù)學(xué)，是穆斯林、希臘人、波斯人和基督徒等所寫的阿拉

伯文數(shù)學(xué)著作。

穆斯林在默罕莫得（mohammed）的鼓舞下，在默罕莫得死后（632）不到半個世紀的時間

內(nèi)征服了從印度到西班牙，乃至北非和南意大利的大片土地，到7世紀初，阿拉伯半島基本

統(tǒng)一。661年，敘利亞總督摩阿維亞(muawiyah)被選為哈里發(fā)后改為世襲制,開始了倭馬亞王

朝(umayyads, 661-750).755年阿拉伯帝國分裂為兩個獨立王國。750年阿布爾·阿拔斯(abū

'l-abbās,722-754)推翻倭馬亞王朝，建立了東部王國阿拔斯王朝，762年遷都巴格達。756年，

逃亡到西班牙的倭馬亞王朝后裔阿卜杜·拉曼(abdal-rahmān) 宣告建立西部阿拉伯王國，定

首都西班牙的哥爾多華。909年，伊斯蘭什葉派脫離巴格達，在北非突尼斯建立一個新的哈

里發(fā)國家，973年遷都埃及開羅。

11世紀開始，阿拉伯帝國受到外民族的侵略，11世紀初東亞突厥人一支的塞爾柱(ljuk)人

入侵阿拉伯，并于1055年在巴格達建立素丹政權(quán)；1097年十字軍東征，開始了基督教歐洲

對穆斯林亞洲的征服；1258年，蒙古人旭烈兀(1219-1265)占領(lǐng)巴格達，建立伊兒汗國，從

此阿拉伯帝國滅亡。

在世界文明史上，阿拉伯人在保存和傳播希臘、印度甚至中國的文化，最終為近代歐洲的文

藝復(fù)興準(zhǔn)備學(xué)術(shù)前提方面作出了巨大貢獻。阿拉伯建國后，東西兩個帝國的哈里發(fā)都十分重

視科學(xué)與藝術(shù)事業(yè)，他們曾經(jīng)從拜占庭帝國收買過大量希臘人手稿，他們還延請各地科學(xué)家

到他們的首都從事科學(xué)研究，巴格達成為當(dāng)時的科學(xué)文化中心與商業(yè)中心，那里設(shè)有學(xué)院、

圖書館、天文臺等科學(xué)機構(gòu)。6世紀柏拉圖學(xué)院被羅馬王封閉后，很多希臘學(xué)者轉(zhuǎn)入波斯，

這樣具有希臘學(xué)術(shù)傳統(tǒng)的波斯文化后來成為阿拉伯文化的一部分。埃及的亞歷山大里亞城曾

是希臘的學(xué)術(shù)中心，被阿拉伯征服后，也成為留給阿拉伯人的重要文化遺產(chǎn)，而且敘利亞學(xué)

派所在的安提阿、大馬士革與基督教景教派所在地以得撒，都在阿拉伯帝國的統(tǒng)治下。這樣

阿拉伯獲得印度、希臘、近東等多地區(qū)的文化，大多來源于希臘人的手稿或敘利亞與希伯來

文譯本。今天的研究表明，中國的文化也曾直接流入阿拉伯，或通過印度間接傳播阿拉伯世

界。

在曼蘇爾哈里發(fā)時期，婆羅摩笈多等印度天算家的著作在766年左右傳入巴格達，并譯成阿

拉伯文，8世紀末到9世紀初的蘭希哈里發(fā)時期，包括《幾何原本》和《大匯編》在內(nèi)的希

臘天文數(shù)學(xué)經(jīng)典先后都被譯成阿拉伯文字。9世紀最著名翻譯家，阿拉伯學(xué)者伊本·科拉

（Tabit ibn Qorra,836-901)翻譯了歐幾里得、阿波羅尼烏斯、阿基米德、托勒玫、狄奧多修

斯等人的著作。到10世紀丟番圖、海倫等人著作也被譯成阿拉伯文。

5.2.2阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)

在中世紀的東方，除中國人之外，阿拉伯人在科學(xué)上的成就是非常突出的。就數(shù)學(xué)而言，阿

拉伯人的成就主要在代數(shù)學(xué)、三角學(xué)方面，更為重要的是，阿拉伯人在把古代東方數(shù)學(xué)文化

傳播到歐洲，導(dǎo)致歐洲近代數(shù)學(xué)的建立，作出了不可磨滅的貢獻。

1.代數(shù)學(xué)

阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的突出成就首先表現(xiàn)在代數(shù)學(xué)方面。花拉子米

(Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi,約783~850)是中世紀對歐洲

數(shù)學(xué)影響最大的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家，他的《還原與對消計算概要》

（al-kitāb al-mukhta sar fī hisāb al-jabr wa'l-muqābala）

（約820年前后）一書在12世紀被譯成拉丁文，在歐洲產(chǎn)生巨大

影響。阿拉伯語“al-jabr”, 意為還原移項，“a'l-muqābala”

即對消之意，傳入歐洲后，到十四世紀“al-jabr”演變?yōu)槔≌Z

“algebra”，也就成了今天的英文"algebra"。《代數(shù)學(xué)》的內(nèi)容

盡管所討論的數(shù)學(xué)問題比丟番圖和印度人的問題主要是算術(shù)問題，

簡單，但討論一般性解法而比起丟番圖的著作更接近于近代初等代

數(shù)。《代數(shù)學(xué)》首先指出，該書的數(shù)學(xué)問題都是由根（x）、平方（x）和數(shù)（常數(shù)）這三

2

者組成。接著分六章敘述6種類型的一、二次方程求解問題。第一章討論“平方等于根”的

方程，即ax = bx 型方程；第二章討論“平方等于數(shù)”的方程，即ax = b 型方程；第三

22

章討論“根等于數(shù)”的方程，即一次方程ax = b；第四、五、六章是關(guān)于三項二次方程求

解問題，分別討論三種類型的二次方程：

x + px = q ， x + q = px ，x = px + q ,

222

都給出了相應(yīng)的求根公式。這六種方程的系數(shù)都是正數(shù)，可統(tǒng)一為以下一般形式

x + px + q = 0

2

這樣，花拉子米相當(dāng)于獲得一般的求根公式.

每一問題求出正根x后，花拉子米又求出根的平方x 。他明確指出，二次方程可能有兩個

2

正根，也可能有負根，但他不取負根與零根。

在以上六章內(nèi)容之后，花拉子米又以幾何方式證明上述各種解法的合理性。花拉子米還指出，

任何二次方程都可以通過“還原”與“對消”（即移項與合并同類項）的步驟化成他所討論

的六種類型方程。由此可見，《代數(shù)學(xué)》關(guān)于方程的討論已超越傳統(tǒng)的算術(shù)方式，具有初等

代數(shù)性質(zhì)，不過，在使用代數(shù)符號方面，相對丟番圖和印度人的工作有了退步。花拉子米用

幾何方式證明代數(shù)解法的傳統(tǒng)被阿拉伯其它數(shù)學(xué)家所繼承，這種幾何證明方式的來源今天尚

不清楚，它似乎來源于希臘人的傳統(tǒng)，但更接近于中國宋元數(shù)學(xué)中的“條段法”。

花拉子米的另一本書《印度計算法》（algoritmi de numero indorum）也是數(shù)學(xué)史上十分

有價值的數(shù)學(xué)著作，其中系統(tǒng)介紹印度數(shù)碼和十進制記數(shù)法，以及相應(yīng)的計算方法。盡管在

8世紀印度數(shù)碼和記數(shù)法隨印度天文表傳入阿拉伯，但并未引起人們的廣泛注意，正是花拉

子米的這本書使它們在阿拉伯世界流行起來，更值得稱道的是，它后來被譯成拉丁文在歐洲

傳播，為歐洲近代數(shù)學(xué)的發(fā)生提供了科學(xué)基礎(chǔ)，所以歐洲一直稱這種數(shù)碼為阿拉伯?dāng)?shù)碼。該

書在歐洲傳播后，“algoritmi”也演變?yōu)椤癮lgorithm”。

花拉子米的數(shù)學(xué)工作為艾布·卡米勒（abu kamil，約850~930）所繼承，此人被稱作“埃

及的計算家”，可能是埃及人。他的《計算技巧珍本》的傳播和影響僅次于花拉子米的《代

數(shù)學(xué)》，許多數(shù)學(xué)問題也采自于花拉子米的書，他把埃及、巴比倫式的實用代數(shù)與希臘式理

論幾何結(jié)合起來，也常常用幾何圖示法證明代數(shù)解法的合理性。其另一著作《論五邊形和十

邊形》包括幾何和代數(shù)兩方面的內(nèi)容，關(guān)于四次方程解法和處理無理系數(shù)二次方程是其主要

特色。

波斯人奧馬海亞姆（omar khayyam，1048?-1131）是11

·

世紀最著名且最富成就的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和詩人，他曾

得到塞爾柱統(tǒng)治者馬利克沙（malik-shah,1055~1092）的

重用，受命在伊斯法罕（今伊朗境內(nèi)）天文臺負責(zé)歷法改

革工作，制定了精密的哲拉里歷。他在代數(shù)學(xué)方面的成就

集中反映于他的《還原與對消問題的論證》（簡稱《代數(shù)

學(xué)》）一書中，其中有開平方、開立方算法，根據(jù)奧馬自

己所說，這些方法來源于印度算法，但后人將其與印度的

相關(guān)方法相比較，發(fā)現(xiàn)相去甚遠，倒與中國的宋元時期的

增乘開方法十分接近，而且在取實數(shù)根的近似分數(shù)時，采

用與秦九韶、朱世杰相同的公式。該書對代數(shù)學(xué)發(fā)展的最

杰出貢獻是用圓錐曲線解三次方程。

希臘人門奈赫莫斯（menaechmus,約bc360）為解決倍立方體問題而發(fā)現(xiàn)了圓錐

曲線，實際上它與三次方程相聯(lián)系。阿基米德在解用平面截球，使所截

x = 2a

32

得的兩部分體積比為定值的問題時，導(dǎo)致一個三次方程：(a -x) = bc。他

x

22

利用兩條圓錐曲線 y(a - x) = ab和的交點來求解。阿基米德的傳統(tǒng)啟

ax = cy

22

發(fā)了阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家，一些人也采取這種方式解三次代數(shù)方程。奧馬?海亞姆首先

對不高于三次的代數(shù)方程分為25類（系數(shù)為正數(shù)），找到14類三次方程，對每

類三次方程給出相應(yīng)一種幾何解法，例如解 + ax = b，首先將其化為+

x x cx

333

= cd，（這里c= a， cd = b，按照希臘人的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)，a、b是線段，c為正

2222

方形，cd為長方體），方程 + cx = cd的解就是拋物線 = cy與半圓 =

232222

xxy

x(d - x) 交點的橫坐標(biāo)x。他首先畫出正焦弦為c的拋物線，再畫出直徑為d

的半圓，過它們的交點作垂線ps，則qs長度就是方程的解。這一創(chuàng)造，使代數(shù)

與幾何的聯(lián)系更加密切。可惜在1851年以前，歐洲人并不了解奧馬?海亞姆的這

種解析幾何方法。

在求高次方程的數(shù)值解上，晚期的納西爾·丁

（nasir-eddin,1201~1274）和阿爾·卡西

（al-kashī,?~1429）都給出了開高次方的一般性算法。

阿爾·卡西是蒙古帖木兒時代撒馬爾罕天文臺負責(zé)人，他

在《算術(shù)之鑰》中還給出了用于開方的二項式系數(shù)表，與

11世紀中國賈憲的“開方作法本源圖”十分相似，而且所

介紹的兩種造表方法之一，與楊輝算書所錄賈憲“增乘方

法求廉草”完全一致。《算術(shù)之鑰》中還有“契丹算法”

（即盈不足術(shù)，當(dāng)時的歷史學(xué)家稱中國為契丹

al-khataayn）和“百雞問題”，后來傳入歐洲。阿拉伯

人代數(shù)學(xué)確切的來源并不清楚，除印度、亞歷山大里亞的

希臘數(shù)學(xué)外，應(yīng)當(dāng)還有中國數(shù)學(xué)的影響。

在使用數(shù)學(xué)符號方面，與丟番圖相比阿拉伯人退步了，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家沒有繼承丟

番圖的做法，始終用語言敘述他們的解法。

2.三角學(xué)

由于數(shù)理天文學(xué)的需要，阿拉伯人繼承并推進了希臘的三角術(shù)，其學(xué)術(shù)主要來源于印度的《蘇

利耶歷數(shù)全書》等天文歷表，以及希臘托勒玫的《大匯編》（almagest）、梅尼勞斯的《球

面論》(sphaerica)等古典著作。

天文計算的需要，阿拉伯天文學(xué)家都致力于高精度三角函數(shù)表的編造。9世紀的海拜什·哈

西卜(al-hasīb, 764?~870?)在印度人的基礎(chǔ)上制定間隔為15' 的60進制正弦表，并且還編

制了間隔為1?的正切表。正切、余切函數(shù)的引入，導(dǎo)源于古代的立竿測影，中國唐代一行

在編制的《大衍歷》中，所立“九服晷影”就是關(guān)于不同地理緯度處晷影、漏刻長度的表格

算法，其中用到了與正切表等價的影長數(shù)表，可視為最早的正切表。艾布·瓦法(abū'l-wafā,

940~997?)在哈西卜的基礎(chǔ)上進一步編制出間隔為10' 的正弦表和正余弦表，特別是比魯尼

(al-bīrūnī, 973~1050)利用二次插值法制定了正弦、正切函數(shù)表。

對希臘三角學(xué)加以系統(tǒng)化的工作是由9世紀天文學(xué)家阿爾·巴塔尼（al-battānī, 858?~929）

作出的，而且他也是中世紀對歐洲影響最大的天文學(xué)家。其《天文論著》（又名《星的科學(xué)》）

被普拉托譯成拉丁文后，在歐洲廣為流傳，哥白尼、第谷、開普勒、伽利略等人都利用和參

考了它的成果。在該書中阿爾·巴塔尼創(chuàng)立了系統(tǒng)的三角學(xué)術(shù)語，如正弦、余弦、正切、余

切。他稱正弦為jība，來源于阿耶波多的印度語術(shù)語jīva, 拉丁語譯作sinus, 后來演變

為英語sine；稱正切為umbra versa, 意即反陰影;余切為umbra recta, 意即直陰影;后來

演變拉丁語分別為tangent和cotangent,首見于丹麥數(shù)學(xué)家芬克（1561~1656）的《圓的幾

何》（1583）一書中。而正割、余割是阿拉伯另一天文學(xué)家艾布·瓦法(abū'l-wafā, 940~997?)

最先引入的。

阿爾·巴塔尼還發(fā)現(xiàn)了一些三角函數(shù)關(guān)系式以及球面三角形的余弦定理：

cosa = cosb cosc + sinb sinc cosa.

艾布·瓦法和比魯尼(al-bīrūnī, 973~1050)等人進一步豐富了三角學(xué)公式。艾布·瓦法曾

在巴格達天文臺工作，其重要的天文學(xué)著作《天文學(xué)大全》繼承并發(fā)展了托勒玫的《大匯編》，

盡管它在天文學(xué)方面沒有什么超越托勒玫的創(chuàng)造，但其三角學(xué)方面的成就足以彪炳史冊。其

中除一些精細的三角函數(shù)表外，還證明了與兩角和、差、倍角和半角的正弦公式等價的關(guān)于

弦的一些定理，證明了平面和球面三角形的正弦定理。比魯尼曾經(jīng)得到馬蒙（ma'mun）哈里

發(fā)的支持，在烏爾根奇建造天文臺并從事天文觀測，是一位有146多部著作的多產(chǎn)學(xué)者，其

《馬蘇德規(guī)律》一書，在三角學(xué)方面有一些創(chuàng)造性的工作，他給出一種測量地球半徑的方法，

他的做法首先用邊長帶有刻度的正方形測出一座山高，再于山頂懸一直徑可以轉(zhuǎn)動的圓環(huán),

從山頂觀測地平線上一點，測得俯角，從而算出地球半徑。比魯尼算得1?子午線長為

106.4-124.2公里。

比魯尼還證明了正弦公式、和差化積公式、倍角公式和半

角公式。后來阿爾·卡西利用這些公式計算了sin1的值。

?

阿爾·卡西首先求出sin72和sin36的值，以求12 = sin

???

（7260）的值，再用半角公式求sin3的值，由三倍角

????

公式得出sin3=3sin1 4sin1，即sin1是三次方程

?????

3

sin3=3x- 4x的解，阿爾·卡西用牛頓疊代法求出sin1

??

3

的近似值。

如果說希臘以來，三角術(shù)僅是天文學(xué)的附屬的話，那么這

種情況在納西爾·丁那里發(fā)生了一些改變。1201年納西

爾·丁出生于伊朗的圖斯，生活于十字軍和蒙古人的侵占

時代，是一位知識淵博的學(xué)者。由于蒙古伊兒汗帝國的君

主旭烈兀十分重視科學(xué)文化，納西爾·丁受到他的禮遇，

他建議在馬拉蓋建造大型天文臺得到旭烈兀的允許和支持，其后他一直在這里從

事天文觀測與研究。他的天文學(xué)著作《伊兒汗天文表》（1271）是歷法史上的重

要著作，其中測算出歲差51"/每年。其《天文寶庫》對托勒玫的宇宙體系加以

評注，并提出新的宇宙模型，對后世天文學(xué)理論的形成具有一定的啟發(fā)作用。他

的《論完全四邊形》是一脫離天文學(xué)的系統(tǒng)的三角學(xué)專著，是三角學(xué)成為一門獨

立于天文學(xué)的純粹數(shù)學(xué)分支。所謂完全四邊形，即指兩兩相交的平面上的四條直

線或球面上的四條大圓弧所構(gòu)成的圖形。該書系統(tǒng)闡述了平面三角學(xué)，明確給出

正弦定理。討論球面完全四邊形，對球面三角形進行分類，指出球面直角三角形

的6種邊角關(guān)系(c為直角)：

cosc = cosa cosb ; cosc = ctga ctgb ;

cosa = cosa sinb ; cosa = tgb ctgc ;

sinb = sincsinb ; sinb = tga ctgb .

并討論了解平面和球面斜三角形的一些方法，引入極三角形的概念以解斜三角

形。指出在球面三角形中，由三邊可以求三角，反之，由三角可以求三邊，這是

球面三角與平面三角的一個重要標(biāo)志。納西爾·丁的《論完全四邊形》對15世

紀的歐洲三角學(xué)傳播與發(fā)展有著非常重要的作用。

與希臘人三角術(shù)的幾何性質(zhì)相比，阿拉伯人的三角術(shù)與印度人一樣是算術(shù)性的，

例如由正弦值求余弦值時，他們利用恒等式sin + cos =1作代數(shù)運算而求解，

22

aa

而不是利用幾何關(guān)系的推算，這是一種進步。他們和印度人一樣，用弧的正弦而

不用雙倍弧的弦，正弦（或半弦）的單位取決于半徑的單位。

3.幾何學(xué)

與阿拉伯人的代數(shù)成就和三角學(xué)成就相比，他們的幾何學(xué)工作顯得薄弱，阿拉伯人在幾何方

面的工作主要是對希臘幾何的翻譯與保存，并傳給了歐洲。他們主要受歐幾里得、阿基米德、

阿波羅尼烏斯、海倫和托勒玫等人的影響，希臘幾何學(xué)對阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的嚴格性產(chǎn)生一定的作

用。他們曾經(jīng)對《幾何原本》作過評注，其第五公設(shè)引起了他們的注意，不少人試圖證明這

條公設(shè)，如焦赫里(ai-jawhari，約830)、著名學(xué)者塔比·伊本·庫拉(thabit ibn qurra,

約826~901)、伊本·海塞姆(ibn al-haytham,965~1040?)、奧馬·海亞姆以及納西爾·丁

等人。

奧馬·海亞姆在其《辨明歐幾里得公設(shè)中的難點》（1077）中，用反證法試圖證明平行公設(shè)。

在證明過程中，實際上引用了與第五公設(shè)等價的假設(shè)：兩條直線如果越來越近，那么它們必

定在這個方向上相交。

奧馬·海亞姆的證明被納西爾·丁所繼承，西爾·丁在他的兩種《幾何原本》譯注中都討論

了平行公理，其《令人滿意的論著》一書是關(guān)于平行公設(shè)研究的專著。

實際上，納西爾·丁的證明沒有考慮到折線向左延展過程中，越來越密，以至永遠不能超過

ab的中點，更不用說到達da邊了。17世紀英國數(shù)學(xué)家華里司（,1616-1703）再次

研究了納西爾·丁的這一證法。

阿拉伯人關(guān)于第五公設(shè)的這種興趣與嘗試，誘發(fā)了后世歐洲學(xué)者在這方面的興趣，對非歐幾

何的誕生有一定的影響。