數學簡報

數學信息簡報

第173期

數學學院信息工作小組編2016年3月19日

編者按:《數學信息簡報》于2009年創辦，本刊以國內外各大

媒體網站為主要信息來源摘取有關數學學科教學、科研、學科建設、

人才培養、黨建和學生思想政治教育等網絡信息，采取定期出刊和專

題分析解讀相結合的方式，為院（所、中心）領導了解數學學科網絡

輿情信息提供服務。

本期導讀:

1密碼學先驅獲得2015年國際計算機學會圖靈獎

2進擊的復數

3如何從拓撲學上理解哲學的性質

本期內容：

密碼學先驅獲得2015年國際計算機學會圖靈獎

升陽微系統前任首席安全官WhitfieldDiffie和斯坦福大學電氣工程名譽

教授n憑借對現代密碼學中的杰出貢獻榮膺2015國際計算機

學會(ACM)圖靈獎。如今，通過安全渠道實現雙方秘密溝通的能力已經根本性地

影響到了全球數十億人的生活和工作。比如，日常生活中的銀行，電子商務網站，

電郵和云計算平臺等等，都是建立在加密基礎之上的。而這一切都源于Diffie

和Hellman在1976年發表的《密碼學新動向》，他們在這篇文章中開創性地介

紹了一種公鑰加密和數字簽名技術。目前，這項技術已經發展成為互聯網上經常

使用的基礎加密算法，Diffie-Hellman設計的協議保護著互聯網的日常通信和

數以萬億計的金融交易。用正則表達式并不擅長解決數學問題。對一個正則表達

式系統，字符從0到9,和其他的一樣，并沒有什么特殊的地方。

密碼學是通過保持私密和認證的方式避免第三方竊取和篡改信息，從而促進

通信雙方的交流。古時，人們將可讀的信息轉化為亂碼實現加密，而這種加密方

式只有少數人才能破譯。在最早期，人們可能是通過將信息中的一個字母替換成

另外一個字母的方式來實現加密。1903年無線電的發展以及十年后爆發的第一

次世界大戰讓密碼學得到了前所未有的關注和發展。同時，電子技術以及機械技

術的進步使機器加密成為可能，加密安全性也遠遠超出了以往人工加密效果。一

戰結束后的二十年間，加密機器技術日臻成熟，并逐漸成為第二次世界大戰的核

心加密技術。二戰后，隨著電子計算機的發展，加密技術已經變得更加快速和安

全。

在密碼學領域，“密鑰”是一個能將不可讀的加密文本轉換為可讀文本的一

種信息數據。加密就像使用一個特制的鑰匙將信息鎖起來，而解密則是使用鑰匙

來打開這把鎖。過去，當兩個人使用加密來進行通信的時候，他們需要使用相同

的密鑰，而如何管理這些密鑰則是對加密通信的靈活性的主要限制。

對稱密碼體制有著兩個顯著的缺點，其一是需要一個安全的密鑰傳輸機制，

由于雙方使用相同的密鑰，如果其中一人忘記了自己的密鑰，就需要從另外一人

那里得到密鑰。此外，大量使用相同的密碼加密可能導致第三方破解該密碼系統

（例如破譯出密鑰），為了限制通信雙方共享同一個密鑰的數量，密鑰管理系統

需要分配獨立的密鑰給通信雙方，這給密鑰管理系統帶來了挑戰。

非對稱加密的逆過程提供了一種數字簽名機制，信息提供者使用自己的私鑰

來對信息簽名，接收這可以使用公鑰來驗證信息的有效性。這種簽名技術要比手

寫簽名安全得多，因為哪怕是一個字節的改變也會導致信息的簽名驗證失敗，相

反，一個手寫簽名的支票上10美元與1,000,000美元的簽名是完全的一樣。

互聯網的用戶可能會熟悉使用這種公鑰加密系統來建立安全的連接，一種典

型的統一資源定位器(URL)是以“https”開頭，這里的“s”意味著將在協議的

安全傳輸層使用加密來通信，這種安全連接被設計成使用非對稱公鑰加密系統來

進行通信。

鞏固今日的網絡安全產業和建立健全密碼體系，這是當今計算機科學界的首

要準則，另外，Diffie和Hellman的工作也讓個人和企業都有機會運用加密技

術。

進擊的復數

虛數，是數系中最偉大的發現之一，但是就像無理數的發現過程是坎坷的一

樣，引入虛數的路途也不是一帆風順的。在虛數剛出現之時，曾引起數學界的一

片困惑，認為虛數是沒有意義的，想象的，虛無縹緲的，很多大數學家都不承認

虛數。

萊布尼茨曾說：“虛數是神靈遁跡的精微而奇異的隱蔽所，它大概是存在和

虛妄兩界中的兩棲物。”

然而虛數并不是偶然引入的一種虛無縹緲的東西。三次方程求根問題是歷史

上一個著名的數學問題，一直有數學家嘗試給出這個問題的解。直到十六世紀，

意大利數學家塔塔里亞才發現三次方程的求根公式。在這之后，虛數的引入就成

了一個實際的數學問題，而不再是單純的一個符號演算。不承認虛數的存在，就

意味著無法求解三次方程的根。

虛數出現之后，法國數學家棣莫佛發現著名的棣莫佛公式，歐拉用i表示-1

的平方根，將i作為虛數的單位，挪威測量學家韋塞爾試圖給虛數以直觀的幾何

解釋，高斯對于復素數進行了一系列的研究。再加上柯西及阿貝爾的努力，以及

復變函數論的創立，復數理論才比較完整和系統地建立起來，逐漸為數學家所接

受。

復數z被定義為二元有序實數對(x,y)，記為z=x+yi，其中i是虛根單位。

在復數z=x+yi中，x=Re(z)稱為實部，y=Im(z)稱為虛部。當虛部b=0時，z可

視為實數；當虛部b≠0而實部a=0時，z稱為虛數，或者純虛數。

定義兩虛數a+bi與c+di的加法：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

乘法：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i

根據乘法的定義可得i2=-1，容易驗證復數運算和實數運算的運算法則基本

相同，只不過是在運算過程中帶上符號i而已。

記r=|z|，t為z與x軸正方向的夾角，稱為z的幅角，那么有x=rcost，

y=rsint，于是有z=r(cost+isint)，稱為復數z的三角表示。歐拉證明了

e^(it)=cost+isint，所以也有z=re^(it)(x^y表示x的y次方)，稱為z的指

數表示。

復數的乘法用三角表示或者指數表示是簡單的。通過三角函數的運算可以簡

單證明若z=re^(it)，w=pe^(is)，那么zw=rpe^(i(t+s))。也就是說，兩個復數

相乘所得到的復數，其模是兩個復數模的乘積，其幅角是兩個復數幅角的和。因

此w乘以z，即為w的長度伸縮為原來的r倍，并將w逆時針旋轉角度t。

利用e^(πi/2)=cos(π/2)+isin(π/2)=i，可得一個復數z乘以i所得

復數iz可以由復數z逆時針旋轉90°得到，這說明復數的確是有幾何意義的。

閩南師范大學90后的本科生經歷十個月的自主研發，成功打造了首款國內版

Matlab——Numbit數學軟件，從而輕松解決了高等數學，線性代數，概率統計

等等的數學問題。

如何從拓撲學上理解哲學的性質

從性質上看，拓撲學是一門關于拓撲空間變化的學問，討論的是空間變化中

圖形具有的不變性質。這與哲學研究的性質具有很大的契合。我認為，這種契合

主要體現在這樣幾個方面：第一，哲學討論的思想觀念是在概念空間的時間流變

中展開的，哲學關注的不是這些流變中的特殊性質，而是能夠持有這些流變的概

念空間的一般性質，這與拓撲學的空間概念研究有共同之處；第二，哲學強調的

是概念的連續性和普遍性，在不同歷史發展過程中概念的恒常性以及思想的永久

生命始終是哲學研究追求的目標，這也是與拓撲學研究的目標契合的；第三，如

果把概念研究看做是哲學研究的重要內容，那么由概念組成的思想空間則規定著

哲學觀念的形成和變化，也決定了哲學作為一門科學的獨特地位，這也可以從拓

撲學的研究思路中得到理解。

我們知道，人類的認識結果往往是以概念的形式加以確定和傳播的，因此，

概念本身就成為我們討論人類認識的主要對象，哲學的反思正是我們對概念本身

的研究活動。然而，我們以往對概念的研究，主要關注的是概念的歷史發展，或

者是討論某一位哲學家提出某個哲學概念的歷史過程，或者是某個哲學概念形成

和發展的歷史進程。這種研究的目的是為了說明，哲學概念的思想內涵在不同的

歷史時期是如何演變發展的。它的長處在于，這的確可以幫助我們理解某個哲學

概念的發展歷史以及它的思想內容，但主要缺陷則是，我們無法理解某個哲學概

念與其他的概念之間的共時關系，也就是說不同哲學概念之間的空間關系。這就

要求我們在說明哲學概念的歷史演變的同時，更要關注哲學概念的空間關系，由

此才能構成我們對哲學概念的完整理解。而且，每個哲學家都試圖用自己的理解

表明，這個概念必須增加這些共同內容。雖然哲學的發展歷史在很大程度上正是

由不同的哲學家對相同概念的不同理解構成的，但他們的理解之所以能夠為后人

不斷討論，也正是因為這些理解本身就包含了后人能夠對這個概念作出進一步解

釋的共同內容。所以，哲學概念的發展是以概念的共同內容為基本前提的。

應當說，正是哲學概念具有的連續性和普遍性，才使得哲學研究與拓撲學有

了契合之處。拓撲學強調的連續性是以圖形的不變性質為標志的，由于圖形具有

這樣的性質才使得表面上產生變形的圖形能夠被看做是具有連續的性質；而拓撲

學適用的普遍性也是由于拓撲空間的高度抽象性，因此在許多領域可以運用我們

對拓撲空間的理解去完成在平面空間中無法完成的任務。這些正是哲學研究的根

本要求。當然，換一個角度說，哲學對連續性和普遍性的要求也反映了哲學的學

科性質，也就是要在哲學研究中追求不同歷史發展過程中概念的恒常性以及思想

的永久生命。這些要求使得哲學成為人類的一門恒久科學，并在自然科學高度發

展的今天仍然能夠作為一門獨立的學問坐擁科學的殿堂。

報：數學學院（所、中心）各系、教研室、研究室主任以上領導

簽發人：趙任主編：趙任責任編輯：孫晶

協助編輯：學生會秘書處電子郵箱sjing@

（共發32份）