正交矩陣(正交矩陣的特征值一定是1或

什么叫正交矩陣

正交矩陣是方塊矩陣，行向量和列向量皆為正交的單位向量。

行向量皆為正交的單位向量，任意兩行正交就是兩行點乘結(jié)果為0，而因為是單位向量，所以任意行點乘自己結(jié)果為1。

對于3x3正交矩陣，每行是一個3維向量，兩個3維向量正交的幾何意義就是這兩個向量相互垂直。

所以3x3正交矩陣的三行可以理解為一個3D坐標系里的三個坐標軸，下面是3＊3正交矩陣M，

x1，x2，x3，／／x軸y1，y2，y3，／／y軸z1，z2，z3，／／z軸

單位矩陣表示的三個坐標軸就是笛卡爾坐標系里的x，y，z軸：

1，0，0，／／x軸0，1，0，／／y軸0，0，1，／／z軸

一個向量乘以3x3正交矩陣的幾何意義就是把這個向量從當前坐標系變換到這個矩陣所表示的坐標系里，比如下面的矩陣M1，

0，1，0，1，0，0，0，0，1，

一個向量（1，2，3）右乘這個矩陣M1得到新的向量（2，1，3），就是把原向量從原坐標系變換到一個新的坐標系。

新坐標系的x軸在原坐標系里是（0，1，0），即落在原坐標系的y軸上，

新坐標系就是把原坐標系的x和y軸對調(diào)，所以這個正交矩陣M1作用于向量（1，2，3）后把向量的x和y分量對調(diào)了。

正交矩陣的定義“行向量和列向量皆為正交的單位向量”帶來了另一個好處：正交矩陣的轉(zhuǎn)置就是正交矩陣的逆，比普通矩陣求逆矩陣簡單多了。

下面解釋一下為什么正交矩陣的轉(zhuǎn)置就是正交矩陣的逆：

還是開頭說的正交矩陣M：

x1，x2，x3，／／rowxy1，y2，y3，／／rowyz1，z2，z3，／／rowz

每行都是單位長度向量，所以每行點乘自己的結(jié)果為1。

任意兩行正交就是兩行點乘結(jié)果為0。

矩陣M的轉(zhuǎn)置矩陣MT是：

x1，y1，z1，x2，y2，z2，x3，y3，z3，

兩個矩陣相乘Mmul＝M＊MT：

rowx＊rowx，rowx＊rowy，rowx＊rowz，rowy＊rowx，rowy＊rowy，rowy＊rowz，rowz＊rowx，rowz＊rowy，rowz＊rowz，

點乘自己結(jié)果為1，點乘別的行結(jié)果為0，所以Mmul等于單位矩陣

1，0，0，0，1，0，0，0，1，

逆矩陣的定義就是逆矩陣乘以原矩陣等于單位矩陣，所以，

正交矩陣的轉(zhuǎn)置就是正交矩陣的逆。

擴展資料

正交矩陣定義：

如果：AA＇＝E（E為單位矩陣，A＇表示“矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣”．）或A′A＝E，則n階實矩陣A稱為正交矩陣，若A為單位正交陣，則滿足以下條件：1）A是正交矩陣。

判斷是正交矩陣的方法：

一般就是用定義來驗證，若AA' = I,則A為正交矩陣，也就是驗證每一行(或列)向量的模是否為1
任意兩行(或列)的內(nèi)積是否為0。

什么是正交矩陣

如果：AA'=E（E為單位矩陣，A'表示“矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣”。）或A′A=E，則n階實矩陣A稱為正交矩陣

例如：

1 0 1 0

矩陣A： 0 1 A的轉(zhuǎn)置： 0 1 此時 AA'=E

故A本身是正交矩陣

由于AA'=E 由逆矩陣定義 若AB=E 則B為A的逆矩陣 可以知道 A'為A的逆矩陣

也就是說正交矩陣本身必然是可逆矩陣

即

若A是正交矩陣則A的n個行（列)向量是n維向量空間的一組標準正交基【即線性不相關(guān)】

擴展資料

在矩陣論中，正交矩陣（orthogonal matrix）是一個方塊矩陣Q，其元素為實數(shù)，而且行與列皆為正交的單位向量，使得該矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣為其逆矩陣。

作為一個線性映射（變換矩陣），正交矩陣保持距離不變，所以它是一個保距映射，具體例子為旋轉(zhuǎn)與鏡射。

行列式值為+1的正交矩陣，稱為特殊正交矩陣，它是一個旋轉(zhuǎn)矩陣。

行列式值為-1的正交矩陣，稱為瑕旋轉(zhuǎn)矩陣。瑕旋轉(zhuǎn)是旋轉(zhuǎn)加上鏡射。鏡射也是一種瑕旋轉(zhuǎn)。

參考資料：百度百科-正交矩陣

什么是正交矩陣

什么是正交矩陣如下：

定義

編輯播報

如果：AAT=E（E為單位矩陣，AT表示“矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣”。）或ATA=E，則n階實矩陣A稱為正交矩陣，若A為正交陣，則滿足以下條件[2][3]:

1)AT是正交矩陣

2)（E為單位矩陣）

3)AT的各行是單位向量且兩兩正交

4)AT的各列是單位向量且兩兩正交

5)(Ax,Ay)=(x,y)x,y∈R

6)|A|=1或-1

7)

8)正交矩陣通常用字母Q表示。

(9)舉例：

若A=[r11r12r13;r21r22r23;r31r32r33]，則有：

定理

在矩陣論中，實數(shù)正交矩陣是方塊矩陣Q，它的轉(zhuǎn)置矩陣是它的逆矩陣，如果正交矩陣的行列式為+1，則稱之為特殊正交矩陣。

1.方陣A正交的充要條件是A的行（列）向量組是單位正交向量組；

2.方陣A正交的充要條件是A的n個行（列）向量是n維向量空間的一組標準正交基；

3.A是正交矩陣的充要條件是：A的行向量組兩兩正交且都是單位向量；

4.A的列向量組也是正交單位向量組。

5.正交方陣是歐氏空間中標準正交基到標準正交基的過渡矩陣

何謂正交矩陣？它有哪些性質(zhì)？

定義
1
　　n階實矩陣
a稱為正交矩陣，如果：a×a′=e（e為單位矩陣，a'表示“矩陣a的轉(zhuǎn)置矩陣”。）
若a為正交陣，則下列諸條件是等價的:
　　1)
a
是正交矩陣
　　2)
a×a′=e（e為單位矩陣）
　　3)
a′是正交矩陣
　　4)
a的各行是單位向量且兩兩正交
　　5)
a的各列是單位向量且兩兩正交
　　6)
(ax,ay)=(x,y)
x,y∈r
　　
正交矩陣通常用字母q表示。
　　舉例：a=[r11
r12
r13;r21
r22
r23;r31
r32
r33]
　　則有：r11^2+r12^2+r13^2=r21^2+r22^2+r23^2=r31^2+r32^2+r33^2=1
　　r11*r12+r21*r22+r31*r32=0等性質(zhì)
　　正交方陣是歐氏空間中標準正交基到標準正交基的過渡矩陣。

正交矩陣

什么是正交矩陣

滿足公式 的矩陣就是正交矩陣，那么正交矩陣有什么特性呢？

將A表示由行向量組成的矩陣 ，則

根據(jù)公式，可知

，因此 是單位向量
，因此 與 正交

結(jié)論：正交矩陣 中的行（列）向量是兩兩正交的單位向量。