范德蒙行列式(范德蒙行列式經(jīng)典例題)

什么是范德蒙德行列式？其形式怎樣的？

題主想說的應該是范德蒙行列式。

范德蒙行列式很好區(qū)分，它有一個典型的形式：

一個n階范德蒙行列式，

第一行全是1，有n個1，

第二行是X1,X2,X3,...,Xn，

第三行是X1²,X2²,X3²,...,Xn²，

以此類推，

第n行是X1ⁿ,X2ⁿ,X3ⁿ,...,Xnⁿ。

又因為經(jīng)過轉(zhuǎn)置行列式的值不變，所以范德蒙行列式還有一種行列式，如圖：

拓展資料：

計算n階范德蒙行列式的值，用數(shù)學歸納法。

當n=2時，范德蒙德行列式D2=x2-x1，范德蒙德行列式成立。

現(xiàn)假設范德蒙德行列式對n-1階也成立，對于n階有: 首先要把Dn降階，從第n列起用后一列減去前一列的x1倍，然后按第一行進行展開，就有Dn=(x2-x1)(x3-x1)...(xn-x1)Dn-1，于是就有Dn=∏ (xi-xj)(其中∏ 表示連乘符號，其下標i,j的取值為m≥i>j≥1)，原命題得證。

參考資料：互動百科—范德蒙行列式

范德蒙行列式究竟什么意思啊，看書沒看明白啊，幫忙看看這個怎么用它算的

觀察題設條件，可以做如下改寫

這就與范德蒙行列式所要求的形式一致了（行列式轉(zhuǎn)置不影響求值）：

根據(jù)范德蒙行列式的計算公式：

代入計算得：

擴展資料：

范德蒙行列式的定義

一個e階的范德蒙行列式由e個數(shù)c₁，c₂，…，cₑ決定，它的第1行全部都是1，也可以認為是c₁，c₂，…，cₑ各個數(shù)的0次冪，它的第2行就是c₁，c₂，…，cₑ（的一次冪），它的第3行是c₁，c₂，…，cₑ的二次冪，它的第4行是c₁，c₂，…，cₑ的三次冪，…，直到第e行是c₁，c₂，…，cₑ的e-1次冪。

范德蒙行列式怎么計算

套入階范德蒙行列式即可及時，即

解題過程如下：

計算行列式：

注意到該行列式是一個第二行為1，2，3，4的四階范德蒙行列式，于是有

擴展資料：

一個e階的范德蒙行列式由e個數(shù)c₁，c₂，…，cₑ決定，它的第1行全部都是1，也可以認為是c₁，c₂，…，cₑ各個數(shù)的0次冪，它的第2行就是c₁，c₂，…，cₑ（的一次冪），它的第3行是c₁，c₂，…，cₑ的二次冪，它的第4行是c₁，c₂，…，cₑ的三次冪，…，直到第e行是c₁，c₂，…，cₑ的e-1次冪。

參考資料來源：百度百科-范德蒙行列式

范德蒙德行列式的兩種形式

范德蒙德行列式是如下形式的,
1 1 …… 1
x1 x2 …… xn
x1^2 x2^2 …… xn^2
……
x1^(n-1) x2^(n-1) …… xn^(n-1)
其第一行的元素全部是1,（可以理解為x1,x2,x3……xn的零次方）
第二行的元素則為x1,x2,x3……xn,（即x1,x2,x3……xn的一次方）
以此類推,
第n行的元素為x1^(n-1) x2^(n-1) …… xn^(n-1) （即x1,x2,x3……xn的n-1次方）
這個行列式的值是等于（Xi -Xj）的全體同類因子乘積（n>=i>j>=1）
全體同類因子就是說所有滿足（n>=i>j>=1）的Xi -Xj都要乘進去,
比如說X2 -X1、X3 -X1、X3 -X2……Xn -Xn-1
是一個連乘式子

范德蒙行列式的定義

范德蒙行列式就是在求線形遞歸方程通解的時候計算的行列式.若遞歸方程的n個解為a1,a2,a3,...,an則范德蒙行列式如右圖所示：

共n行n列用數(shù)學歸納法. 當n=2時范德蒙德行列式D2=x2-x1范德蒙德行列式成立 現(xiàn)假設范德蒙德行列式對n-1階也成立,對于n階有: 首先要把Dn降階,從第n列起用后一列減去前一列的x1倍,然后按第一行進行展開,就有Dn=(x2-x1)(x3-x1)...(xn-x1)∏ (xi-xj)（其中∏ 表示連乘符號,其下標i,j的取值為n>=i>j>=2）于是就有Dn=∏ (xi-xj)(下標i,j的取值為n>=i>j>=1),原命題得證.
注明：Dn≠（x2-x1)(x3-x1)...(xn-x1)Dn-1

范德蒙行列式如何計算?

范德蒙行列式算法先轉(zhuǎn)置，然后各列提出公因子后。得到范德蒙行列式再利用范德蒙行列式的計算公式計算根據(jù)范德蒙行列式的特點，可以將所給行列式化為范德蒙德行列式，然后利用其結(jié)果計算，范德蒙行列式就是在求線形遞歸方程通解的時候計算的行列式若遞歸方程的n個解為a1，a2，a3，an。

范德蒙行列式特點

共n行n列用數(shù)學歸納法.當n=2時范德蒙德行列式D2=x2-x1范德蒙德行列式成立現(xiàn)假設范德蒙德行列式對n-1階也成立，對于n階有首先要把Dn降階，從第n列起用后一列減去前一列的x1倍，然后按第一行進行展開。

就有Dn=(x2-x1)(x3-x1)...(xn-x1)∏(xi-xj)（其中∏表示連乘符號，其下標i，j的取值為n>=i>j>=2）于是就有Dn=∏(xi-xj)(下標i，j的取值為n>=i>j>=1)，原命題得證。