中值定理(中值定理有什么作用)

中值定理有哪些啊?

中值定理通常包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，他們不但是研究函數(shù)形態(tài)的基礎(chǔ)，同時也是洛必達法則及泰勒公式的理論基礎(chǔ)。

中值定理是反映函數(shù)與導(dǎo)數(shù)之間聯(lián)系的重要定理，也是微積分學(xué)的理論基礎(chǔ)，在許多方面它都有重要的作用，在進行一些公式推導(dǎo)與定理證明中都有很多應(yīng)用。

在中值定理中，中值指的是，定理的結(jié)論里面一定與所討論區(qū)間[a，b]的某一個值有關(guān)，這個值統(tǒng)稱為中值，是區(qū)間[a，b]其中的一個值。

中值定理的前世今生

人們對微分中值定理的認識可以上溯到公元前古希臘時代，古希臘數(shù)學(xué)家在幾何研究中，得到如下結(jié)論，過拋物線弓形的頂點的切線必平行于拋物線弓形的底，這正是拉格朗日定理的特殊情況。希臘著名數(shù)學(xué)家阿基米德正是巧妙地利用這一結(jié)論，求出拋物弓形的面積。

意大利卡瓦列里在《不可分量幾何學(xué)》的卷一中給出處理平面和立體圖形切線的有趣引理，其中引理3基于幾何的觀點也敘述了同樣一個事實，曲線段上必有一點的切線平行于曲線的弦。這是幾何形式的微分中值定理，被人們稱為卡瓦列里定理。

三個中值定理的公式是什么？

三個中值定理的公式：

羅爾定理：如果函數(shù)f(x)滿足在閉區(qū)間［a,b]上連續(xù)；在開區(qū)間（a,b)內(nèi)可導(dǎo)；在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a,b)內(nèi)至少有一點ξ（a<ξ＜b)，使得f'(ξ）＝0。

柯西定理：如果函數(shù)f(x)及F(x)滿足在閉區(qū)間［a,b]上連續(xù)；在開區(qū)間（a,b)內(nèi)可導(dǎo)；（3)對任一x∈（a,b)，F(xiàn)'(x)≠0那么在（a,b)內(nèi)至少有一點ξ，使等式［f(b)-f(a)]/=f'(ξ）／F'(ξ）成立。

拉格朗日定理：如果函數(shù)f(x)滿足在閉區(qū)間［a,b]上連續(xù)；在開區(qū)間（a,b)內(nèi)可導(dǎo)。那么在（a,b)內(nèi)至少有一點ξ（a<ξ＜b)，使等式f(b)-f(a)=f′（ξ）（b-a)成立。

積分中值定理：

積分中值定理，是一種數(shù)學(xué)定律。分為積分第一中值定理和積分第二中值定理，它們各包含兩個公式。其中，積分第二中值定理還包含三個常用的推論。這個定理的幾何意義為：若f(x)≥0，x∈［a,b]，則由x軸、x=a、x=b及曲線y=f(x)圍成的曲邊梯形的面積等于一個長為b-a，寬為f(ξ)的矩形的面積。

中值定理公式

微分中值定理是一系列中值定理總稱，是研究函數(shù)的有力工具，其中最重要的內(nèi)容是拉格朗日定理，可以說其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情況或推廣。
微分中值定理反映了導(dǎo)數(shù)的局部性與函數(shù)的整體性之間的關(guān)系，應(yīng)用十分廣泛。
羅爾定理：內(nèi)容：如果函數(shù)f(x)滿足：在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；
在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點ξ(a<ξ<b)，使得f'(ξ)=0.
幾何上，羅爾定理的條件表示，曲線弧（方程為）是一條連續(xù)的曲線弧，除端點外處處有不垂直于x軸的切線，且兩端點的縱坐標相等。
而定理結(jié)論表明：弧上至少有一點，曲線在該點切線是水平的。

三個中值定理的內(nèi)容是什么?

三個中值定理分別是拉格朗日中值定理、柯西中值定理、積分中值定理。

拉格朗日中值定理：一段連續(xù)光滑曲線中必然有一點，它的斜率與整段曲線平均斜率相同。柯西中值定理粗略地表明，對于兩個端點之間的給定平面弧，至少有一個點，使曲線在該點的切線平行于兩端點所在的弦。

柯西中值定理：其幾何意義為，用參數(shù)方程表示的曲線上至少有一點，它的切線平行于兩端點所在的弦。該定理可以視作在參數(shù)方程下拉格朗日中值定理的表達形式。

積分中值定理：這個定理的幾何意義為若f(x)≥0，x∈[a,b]，則由x軸、x=a、x=b及曲線y=f(x)圍成的曲邊梯形的面積等于一個長為b-a，寬為f(ξ)的矩形的面積。

以下是中值定理應(yīng)用的相關(guān)介紹：

在一些等式的證明中，我們往往容易思維定式，只是對于原來的式子要從哪去證明，很不容易去聯(lián)系其它，只從式子本身所表達的意思去證明。

無窮小（大）量階的比較時，看到兩個無窮小（大）量之比的極限可能存在，也可能不存在。如果存在，其極限值也不盡相同。稱兩個無窮小量或兩個無窮大量之比的極限為 型或 型不定式極限。

解決這種極限的問題通常要用到洛比達法則。這是法則的內(nèi)容，而在計算時往往都是直接的應(yīng)用結(jié)論，沒有注意到定理本身的證明，而這個定理的證明也應(yīng)用到了中值定理。

以上資料參考百度百科——中值定理