特征多項式(特征多項式是什么意思)

線性代數(shù)里的特征多項式是什么？求其概念。

要理解特征多項式，首先需要了解一下特征值與特征向量，這些都是聯(lián)系在一起的：
設(shè)A是n階矩陣，如果數(shù)λ和n維非零列向量x使得關(guān)系式
Ax=λx
成立，那么，這樣的數(shù)λ就稱為方陣A的特征值，非零向量x稱為A對應(yīng)于特征值λ的特征向量。
然后，我們也就可以對關(guān)系式進(jìn)行變換：
(A-λE)x=0
其中E為單位矩陣
這是n個未知數(shù)n個方程的齊次線性方程組，它有非零解的充要條件是系數(shù)行列式為0，即
|A-λE|=0
帶入具體的數(shù)字或者符號，可以看出該式是以λ為未知數(shù)的一元n次方程，稱為方陣A的特征方程，左端
|A-λE|是λ的n次多項式，也稱為方陣A的特征多項式。
到此為止，特征多項式的定義表述完畢。

矩陣的特征多項式是什么？

矩陣的特征多項式是：λE-A的行列式。

λI-A稱為A的特征矩陣；|λI-A|稱為A的特征多項式；|λI-A|=0稱為A的特征矩陣，而由些求出的全部根,即為A的全部特征值。對每一個求出特征值λ，求出齊次方程組(λI-A)x=o的基礎(chǔ)解是&1，&2，&3...&s，則k1&1+k2&2+...ks&s即是A對應(yīng)于 λ的全部特征向量（其中,k1...ks不全為零）。

設(shè)A是數(shù)域P上的一個n階矩陣，λ是一個未知量：

系數(shù)行列式|A-λE|稱為A的特征多項式，記¦(λ)=|λE-A|，是一個P上的關(guān)于λ的n次多項式，E是單位矩陣。

¦(λ)=|λE-A|=λn+a1λn-1+…+an= 0是一個n次代數(shù)方程，稱為A的特征方程。特征方程¦(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ0)稱為A的特征根(或特征值)。n次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)有且僅有n個根，而在實數(shù)域內(nèi)不一定有根，因此特征根的多少和有無，不僅與A有關(guān)，與數(shù)域P也有關(guān)。

以A的特征值λ0代入(λE-A)X=0，得方程組(λ0E-A)X=0，是一個齊次方程組，稱為A的關(guān)于λ0的特征方程組。因為|λ0E-A|=0，(λ0E-A)X=0必存在非零解，稱為A的屬于λ0的特征向量。所有λ0的特征向量全體構(gòu)成了λ0的特征向量空間。

特征多項式是什么？

解法：

1、把|λE-A|的各行（或各列）加起來，若相等，則把相等的部分提出來（一次因式）后，剩下的部分是二次多項式，肯定可以分解因式。

2、把|λE-A|的某一行（或某一列）中不含λ的兩個元素之一化為零，往往會出現(xiàn)公因子，提出來，剩下的又是一二次多項式。

3、試根法分解因式。

擴(kuò)展資料

性質(zhì)：

當(dāng)A為上三角矩陣（或下三角矩陣）時，

，其中是主對角線上的元素。對于二階方陣，特征多項式能表為

。一般而言，若，則

。

此外：

（1）特征多項式在基變更下不變：若存在可逆方陣 C使得

，則。

（2）對任意兩方陣，有。一般而言，若A為矩陣，B 為矩陣（設(shè)），則。

（3）凱萊-哈密頓定理：

。

參考資料：百度百科-特征多項式

矩陣的特征多項式怎么求

特征矩陣如上，求其行列式，即特征多項式。

按第1列展開，得到2階行列式，然后按對角線法則展開，得到：

(λ-1)[(λ+1)λ-1]

=(λ-1)(λ^2+λ-1)

=(λ-1)[(λ^2+λ+1)-2]

=(λ^3-1)-2(λ-1)

=λ^3-2λ+1

對于求解線性遞推數(shù)列，我們還經(jīng)常使用生成函數(shù)法，而對于常系數(shù)線性遞推數(shù)列，其生成函數(shù)是一個有理分式，其分母即特征多項式。

為n*n的矩陣A的特征多項式為|A-λE|，其中E為n*n的單位矩陣。

擴(kuò)展資料：

特征多項式解法：

1、把|λE-A|的各行（或各列）加起來，若相等，則把相等的部分提出來（一次因式）后，剩下的部分是二次多項式，肯定可以分解因式。

2、把|λE-A|的某一行（或某一列）中不含λ的兩個元素之一化為零，往往會出現(xiàn)公因子，提出來，剩下的又是一二次多項式。

3、試根法分解因式。

對布于任何交換環(huán)上的方陣都能定義特征多項式。要理解特征多項式，首先需要了解一下特征值與特征向量，這些都是聯(lián)系在一起的：

設(shè)A是n階矩陣，如果數(shù)λ和n維非零列向量x使得關(guān)系式Ax=λx成立，那么，這樣的數(shù)λ就稱為方陣A的特征值，非零向量x稱為A對應(yīng)于特征值λ的特征向量。

參考資料來源：百度百科——特征多項式

特征多項式展開公式

特征多項式展開公式：E-A=(λ-λ1)(λ-λ2)(λ-λ3)。特征多項式：對于求解線性遞推數(shù)列，我們還經(jīng)常使用生成函數(shù)法，而對于常系數(shù)線性遞推數(shù)列，其生成函數(shù)是一個有理分式，其分母即特征多項式。

矩陣的特征多項式是什么？

矩陣的特征多項式是：λE-A的行列式。

λI-A稱為A的特征矩陣；|λI-A|稱為A的特征多項式；|λI-A|=0稱為A的特征矩陣，而由些求出的全部根,即為A的全部特征值。對每一個求出特征值λ，求出齊次方程組(λI-A)x=o的基礎(chǔ)解是&1，&2，&3...&s，則k1&1+k2&2+...ks&s即是A對應(yīng)于 λ的全部特征向量（其中,k1...ks不全為零）。

多項式的排列的題時注意：

1、由于單項式的項包括它前面的性質(zhì)符號，因此在排列時，仍需把每一項的性質(zhì)符看作是這一項的一部分，一起移動。

2、有兩個或兩個以上字母的多項式，排列時，要注意先確認(rèn)按照哪個字母的指數(shù)來排列，確定按這個字母降冪排列，還是升冪排列。

3、幾個單項式的和叫做多項式。在多項式中，每個單項式叫做多項式的項，其中不含字母的項叫做常數(shù)項。一個多項式有幾項就叫做幾項式。

4、多項式的次數(shù)：多項式中，次數(shù)最高的項的次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù)。

5、多項式的排列：把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母降冪排列；把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母升冪排列。