曲線積分(曲線積分與路徑無關的條件)

曲線積分

首先，對這部分內容的整體把握。

前面提到：對弧長的曲線積分有一應用是計算線密度為曲線形變量的某元件的質量。我們便基于此來說明。
為了計算質量，我們依據 取微元 的思想，將曲線形元件分為長度趨于0的n個弧段。由于弧段足夠的短，于是用弧段上某點的線密度代替弧段上其他各處的線密度。再知道各弧段的長度，我們便可以計算各弧段的質量。由此，我們將每個線段的質量相加，便得到了元件的總質量。
于是我們建立一個直角坐標系，用函數來描述元件的形狀和線密度。由于每段的質量=線密度*長度。已知了線密度是與坐標（x，y）相關的值，我們還要找到長度與坐標（x，y）的關系，這樣才方便計算。

正如上面所提到的，我們需要找到每段長度 與坐標 的關系。依據 以直代曲 的思想，顯然有 。我們將元件的弧線方程寫成參數方程的形式有 ，其中 又有

所以 的近似值 （即弧微分）有如下形式 。

于是，我們便得到了

其中 和 分別表示小弧段兩端的 值。
根據積分中值定理定理，又有

其中 ，
于是，我們便得到

（這里我們直接將小弧段的線密度用 點的線密度替換）。上式顯然是函數 在區間 上的定積分。所以

又根據定義（請自行翻閱書籍），我們將第一類定積分記作 ，所以有

對以上內容進行比較簡單的記憶便是：在計算第一類曲線積分的時候，最重要的是搞清楚弧微分應該怎么表示出來。在直角坐標系，參數方程的情況下弧微分為

在極坐標情況下弧微分為

所以曲線積分為

同上，我們可以用計算變力沿曲線做功的例子來幫助理解。但為了說明方便，在此我使用恒力沿曲線做功的例子來說明，即相當于表示力的函數（被積函數）為常數。對于變力的情況，可以用沿用上面微元的方法加以類推。
首先，我們考慮熟悉的平拋運動，求重力在此過程中做的功。很明顯這符合對坐標的曲線積分的情況，被積函數為重力，積分路徑為曲線。如果用數學的思維和表達式求這個曲線積分，可以寫為求

L為平拋軌跡的方程，用向量值函數表示重力

可知 ， 。然后用第二類曲線積分的計算法對 求解。
但是如果我們在此用物理的思維，便是用 。
接著，我們考慮一個詭異的運動：還是平拋，但有一個力的形式如下：

我們需要求這個力做功。依照上面，用數學表達式即為，求

在物理方法中，有兩種思路。一為，直接求力和位移的數量積。二為，將力分解為 方向和 方向，分別求兩方向的做功然后相加。
我們比較數學方式和物理形式，可以將其對應起來

最后再以一個比較數學的題目來進一步說明如何理解對坐標的曲線積分：計算 ，其中 為拋物線 上從 到 的一段弧。
轉換成物理語言便是：求變力 沿曲線做的功。而 對應的便是 方向做的功， 對應的便是 方向做的功。

在此我不在對計算方法予以推導，我想說的是：在進行計算的時候，不按照書上方式將對 ， 的積分和都化為對 或 或參數 的積分，而是像物理里面一樣， ， 兩個方向分開來看也是可行且合理的。
計算對坐標的曲線積分的核心便是把每部分（或整體）的被積函數中的自變量和積分變量相統一。

如果明白了以上內容，那理解兩類曲線積分之間的聯系就是水到渠成的事情。
我們知道，第二類曲線積分可以看作變力沿曲線做功。那么類似的，我們可以把第一類曲線積分也看作變力沿曲線做功，只是這個變力很是特殊，它與曲線的軌跡 時時相切 。
基于以上理解，我們可以想到，正是由于變力與曲線時時相切，其做功便可以直接相乘（ ）。因此，我們可以將 中的 看作力的大小的函數。 便是小段的位移。
基于以上理解，我們想將第二類曲線積分化為第一類曲線積分的形式，我們要如何做呢。這時候我們想到，在物理里面，求力做功不僅可以把力和位移都分解為沿 和 方向，還可以 直接求力和位移的數量積 或是 將力投影到位移方向 。
于是，我們將力投影到位移方向。但是由于一般給出的力的形式 都是沿 軸和 軸分解，所以我們做這兩個分方向的力的投影到位移上，可知

下圖為以上公式來源的示意圖。

上述公式 左邊 可以理解為 將力和位移都分解為 和 方向分別求解再相加來求功 ， 右邊 可以理解為 將力投影到位移方向再相乘求功 。
于是，我們也可以理解了書上的公式

等式 左邊 表示 力與位移的數量積的方式求功 ， 右邊 表示 力投影到位移方向求功 。

（未完待續）

曲線積分

不難學的，哥們給你說說吧：
第一類曲線積分，可以通過將ds轉化為dx或dt變成定積分來做，但是單純的第一類曲線積分和二重積分沒有關系，只有通過轉化為第二類曲線積分后，要是滿足格林公式或者斯托科斯公式條件，可以用公式轉化為簡單的曲面積分，再將曲面積分投影到坐標面上轉化為二重積分來計算，這是第一類曲線積分和二重積分關系，但是第一類曲線積分和三重積分么有任何關系……
第一類曲面積分，可以通過公式變換，將dS轉化為dxdy，直接轉化為二重積分來做，但是和三重積分沒有任何關系，只有通過轉化為第二類曲面積分，滿足了高斯公式條件，才能用高斯公式轉化為三重積分來計算
曲線積分與定積分，曲面積分與二重積分的區別：曲面積分、曲線積分都是給定了特定的曲線或者曲面的方程形式，意思是在曲線上或曲面上進行積分的，而不是像普通的二重積分和定積分那樣直接在xyz坐標上進行積分，所以要將第一類曲線積分，第一類曲面積分通過給定的方程形式變換成在xyz坐標進行積分，另外既然給定了曲線或曲面方程，就可以根據方程把一個量表示成其他的兩個量的關系，因為是在給定的曲線或曲面方程上進行積分的，所以要滿足給定的曲線或曲面的方程，所以各個量之間可以代換的，這個普通的定積分和二重積分不能這么做的……
第一類曲線積分：對線段的曲線積分，有積分順序，下限永遠小于上限……求解時米有第二類曲線積分簡單，需要運用公式將線段微元ds通過給定的曲線方程形式表示成x與y的形式，進行積分，這個公式書里面有的，就是對參數求導，然后再表示成平分和的根式……
第二類曲線積分：對坐標的曲線積分，沒有積分順序，意思是積分上下限可以顛倒了……
第一類曲線積分和第二類曲線積分的關系：可以用余弦進行代換，余弦值指的是線段的切向量，這個書本里面的，我就不寫了
第一類曲面積分：對面積的曲面積分，求解時要通過給定的曲面方程形式，轉化成x與y的形式，這個公式書里面也有的，就是求偏導吧？然后表示成平方和根式的形式
第二類曲面積分：對坐標的曲線積分，這個簡單一些，好好看看就可以了
兩類曲面積分的聯系：可以用余弦代換，但是這個余弦是曲面的法向量
下面給出第一類曲線積分和第一類曲面積分的聯系，方便你記憶：都是要轉化成在xyz坐標面上的積分，都是平方和的根式形式，但是第一類曲線積分是對參數求導，第一類曲面積分是求偏導，為何都是平方和的根式形式？原因是在微段或微面上用直線代替曲線，相當于正方體求對角線，你想想是不是，肯定要出現平方和的根式，你好好看看推導過程……
第二類曲線積分與第二類曲面積分的關系：
第二類曲線積分如果封閉的話，可以用格林公式或斯托克斯公式化簡
第二類曲面積分如果封閉的話，可以用高斯公式進行化簡
這些東西很有趣的，你要學會對應的記憶啊……

曲線積分計算公式

曲線積分公式：w=Gh。

在數學中，曲線積分是積分的一種。積分函數的取值沿的不是區間，而是特定的曲線，稱為積分路徑。曲線積分有很多種類，當積分路徑為閉合曲線時，稱為環路積分或圍道積分。曲線積分可分為：第一類曲線積分和第二類曲線積分。曲線，是微分幾何學研究的主要對象之一。

直觀上，曲線可看成空間質點運動的軌跡。微分幾何就是利用微積分來研究幾何的學科。為了能夠應用微積分的知識，我們不能考慮一切曲線，甚至不能考慮連續曲線，因為連續不一定可微。這就要我們考慮可微曲線。

數學學習方法：

1.課后復習：每天課后除了完成老師的作業外，首先把當天的知識回顧一遍，尤其是對作業中的錯題要進行整理，把錯題摘抄到錯題本上，把錯題原因、解決方法總結一下，再把錯題重新做一遍。加深印象。概念性的知識點，做到背熟。

2.把錯題收集在錯題本上，按照課后復習里提到的錯題整理方法把錯題再梳理一遍。最后再了解一下自己的分數在班級或年級成績里是一個什么檔次。這并不是過分在意分數，而是了解自己實力的好辦法。

3.舉一反三：要盡可能掌握題型的多種解題方法，這樣可以發散思維，培養自己的分析習慣。從而找出最優解，最佳答案。

4.考前復習：在考試之前，一般不會過多的去做題了，只是把錯題本拿出來再看看，把沒有把握的，或有疑問的題再看看。

5.考后總結：一般拿到卷子先看自己哪錯了，分析一下錯題，是不懂錯的，還是粗心錯的。

高數曲線積分如何計算的？

曲線積分一般分為兩類，對弧長的曲線積分，就是形如∫L f(x,y)ds ,L為積分曲線。而另一類也是對坐標的曲線積分，形如∫L f(x,y)dx+g(x,y)dy, L為積分曲線。

1.對弧長的線積分計算常用的有以下兩種計算方法：

平面上對坐標的線積分（第二類線積分）計算常用有以下四種方法：

（1）直接法

就是將積分曲線關系直接帶入被積函數轉化為單一變量積分！

（2）利用格林公式

應用格林公式一定要注意以下兩點：

a.P(x,y),Q(x,y)在閉區間D上處處有連續一階偏導數

b.積分曲線L為封閉曲線且取正向。

（3）補線后用格林公式

若要計算的線積分的積分曲線不封閉，但直接法計算不方便時，此時可補一條曲線，使原曲線變成封閉曲線。

這里給個提示：再沒有使用格林公式之前，積分曲線的變量關系可以隨便帶入積分表達式，一旦使用了格林公式，現在就成了二重積分，就不再滿足積分曲線的變量的等量關系了。

曲線積分你們誰能說說！詳細些！

曲線積分是積分的一種。積分函數的取值沿的不是區間，而是特定的曲線，稱為積分路徑。曲線積分有很多種類，當積分路徑為閉合曲線時，稱為環路積分或圍道積分。曲線積分可分為：第一類曲線積分和第二類曲線積分。

對弧長的曲線積分的積分元素是弧長元素ds；例如：對L的曲線積分∫f(x,y)*ds 。對坐標軸的曲線積分的積分元素是坐標元素dx或dy，例如：對L’的曲線積分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。

擴展資料

設有一曲線形構件占xOy面上的一段曲線 ，設構件的密度分布函數為ρ(x,y)，設ρ(x,y)定義在L上且在L上連續，求構件的質量。對于密度均勻的物件可以直接用ρV求得質量。

對于密度不均勻的物件，就需要用到曲線積分,dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds；L是積分路徑，∫ρ(x,y)ds就叫做對弧長的曲線積分。

在曲線積分中，被積的函數可以是標量函數或向量函數。積分的值是路徑各點上的函數值乘上相應的權重（一般是弧長，在積分函數是向量函數時，一般是函數值與曲線微元向量的標量積）后的黎曼和。

曲線積分的基本簡介

曲線積分分為：對弧長的曲線積分 （第一類曲線積分）
對坐標軸的曲線積分（第二類曲線積分）
兩種曲線積分的區別主要在于積分元素的差別；對弧長的曲線積分的積分元素是弧長元素ds；例如：對L的曲線積分∫f(x,y)*ds 。對坐標軸的曲線積分的積分元素是坐標元素dx或dy，例如：對L’的曲線積分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。但是對弧長的曲線積分由于有物理意義，通常說來都是正的，而對坐標軸的曲線積分可以根據路徑的不同而取得不同的符號。