微分方程的通解(微分方程的通解包含了所有的特解嗎)

微分方程的通解公式

微分方程的通解公式：

1、一階常微分方程通解

dydx+p(x)y=0dydx+p(x)y=0。

2、齊次微分方程通解

y=ce−∫p(x)dx。

3、非齊次微分方程通解

y=e−∫p(x)dx(c+∫q(x)e∫p(x)dxdx)。

4、二階常系數齊次線性微分方程通解

y′′+py′+qy=0(∗)，其中p,q為常數求解Δ=r2+pr+q=0解出Δ兩個根r1，r2。

微分方程的通解怎么求

微分方程的解通常是一個函數表達式y=f(x),（含一個或多個待定常數，由初始條件確定）。

例如：

其解為：

其中C是待定常數；

如果知道

則可推出C=1，而可知 y=-cos x+1。

一階線性常微分方程

對于一階線性常微分方程，常用的方法是常數變易法：

對于方程：y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：

然后將這個通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。

二階常系數齊次常微分方程

對于二階常系數齊次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解

對于方程：

可知其通解：

其特征方程：

根據其特征方程，判斷根的分布情況，然后得到方程的通解

一般的通解形式為：

若

則有

若

則有

在共軛復數根的情況下：

r=α±βi

擴展資料

一階微分方程的普遍形式

一般形式：F（x,y,y'）=0

標準形式：y'=f(x,y)

主要的一階微分方程的具體形式

約束條件

微分方程的約束條件是指其解需符合的條件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的約束條件。

常微分方程常見的約束條件是函數在特定點的值，若是高階的微分方程，會加上其各階導數的值，有這類約束條件的常微分方程稱為初值問題。

若是二階的常微分方程，也可能會指定函數在二個特定點的值，此時的問題即為邊界值問題。若邊界條件指定二點數值，稱為狄利克雷邊界條件（第一類邊值條件），此外也有指定二個特定點上導數的邊界條件，稱為諾伊曼邊界條件（第二類邊值條件）等。

偏微分方程常見的問題以邊界值問題為主，不過邊界條件則是指定一特定超曲面的值或導數需符定特定條件。

唯一性

存在性是指給定一微分方程及約束條件，判斷其解是否存在。唯一性是指在上述條件下，是否只存在一個解。

針對常微分方程的初值問題，皮亞諾存在性定理可判別解的存在性，柯西-利普希茨定理[4]則可以判別解的存在性及唯一性。

針對偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判別解的存在性及唯一性。 皮亞諾存在性定理可以判斷常微分方程初值問題的解是否存在。

參考資料來源：百度百科-常微分方程

參考資料來源：百度百科-微分方程

微分方程的通解方法

微分方程的解通常是一個函數表達式y=f(x),（含一個或多個待定常數，由初始條件確定）。

例如：dy/dx=sin x，其解為： y=-cos x+C，其中C是待定常數；

如果知道y=f(π)=2，則可推出C=1，而可知 y=-cos x+1。

一階線性常微分方程

對于一階線性常微分方程，常用的方法是常數變易法：

對于方程：y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：

然后將這個通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。

擴展資料：

以下是常微分方程的一些例子，其中u為未知的函數，自變量為x，c及ω均為常數。

微分方程的通解是什么意思？

具體回答如下：

令x+1=e^t，則(x+1)y'=dy/dt，(x+1)²y''=d²y/dt²-dy/dt。

代入原方程：

dy/dt-dy/dt+dy/dt=te^t

d²y/dt²=te^t

dy/dt=∫te^tdt=te^t-e^t+C1（C1是積分常數）

y=∫[(te^t-e^t+C1]dt

=te^t-2e^t+C1t+C2（C2是積分常數）

=(x+1)ln(x+1)-2(x+1)+C1ln(x+1)+C2

故原方程的通解是y=(x+1)ln(x+1)-2(x+1)+C1ln(x+1)+C2（C1，C2是積分常數）

約束條件：

微分方程的約束條件是指其解需符合的條件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的約束條件。

常微分方程常見的約束條件是函數在特定點的值，若是高階的微分方程，會加上其各階導數的值，有這類約束條件的常微分方程稱為初值問題。

微分方程的通解公式

微分方程的通解公式：

y=y1+y* = 1/2 + ae^(-x) +be^(-2x)，其中：a、b由初始條件確定，例：y''+3y'+2y = 1，其對應的齊次方程的特征方程為s^2+3s+2=0，因式分(s+1)(s+2)=0，兩個根為：s1=-1 s2=-2。

y''+py'+qy=0，等式右邊為零，為二階常系數齊次線性方程；y''+py'+qy=f（x），等式右邊為一個函數式，

為二階常系數非齊次線性方程。可見，后一個方程可以看為前一個方程添加了一個約束條件。對于第一個微分方程，目標為求出y的表達式。求解過程在課本中分門別類寫得很清楚，由此得到的解，稱為【通解】，

通解代表著這是解的集合。我們中學就知道，M個變量，需要M個個約束條件才能全部解出。例如，解三元一次方程組，需要三個方程。由此，在變量相同的條件下，多一個約束條件f（y），就可以多確定一個解，此解就稱為【特解】。

微分方程的通解是指什么?

一階線性非齊次微分方程 y'+p(x)y=q(x)。

通解為 y=e^[-∫p(x)dx]{∫q(x)e^[∫p(x)dx]dx+C}。

用的方法是先解齊次方程，再用參數變易法求解非齊次。

相關介紹：

微分方程伴隨著微積分學一起發展起來的。微積分學的奠基人Newton和Leibniz的著作中都處理過與微分方程有關的問題。

微分方程的應用十分廣泛，可以解決許多與導數有關的問題。物理中許多涉及變力的運動學、動力學問題，如空氣的阻力為速度函數的落體運動等問題，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化學、工程學、經濟學和人口統計等領域都有應用。

數學領域對微分方程的研究著重在幾個不同的面向，但大多數都是關心微分方程的解。只有少數簡單的微分方程可以求得解析解。

不過即使沒有找到其解析解，仍然可以確認其解的部分性質。在無法求得解析解時，可以利用數值分析的方式，利用電腦來找到其數值解。動力系統理論強調對于微分方程系統的量化分析，而許多數值方法可以計算微分方程的數值解，且有一定的準確度。