數列求和(數列求和的七種方法)

數列求和的方法

數列求和的方法如下：

方法一：錯位相減

形如An=Bn∙Cn，其中{Bn}為等差數列，首項為b1，公差為d；{Cn}為等比數列，首項為c1，公比為q。對數列{An}進行求和，首先列出Sn，記為①式；再把①式中所有項同乘等比數列{Cn}的公比q，即得q∙Sn，記為②式；然后①②兩式錯開一位作差，從而得到{An}的前n項和。

這種數列求和方式叫做錯位相減。

備注：等差數列的通項常見形式為an=An+B(其中A、B為常數)，等比數列通項常見的形式為an=Aqn-m(其中A、m為常數)。

方法二：裂項相消

把數列的每一項都拆成正負兩項，使其正負抵消，只剩下首尾幾項，再進行求和，這種數列求和方式叫做裂項相消。

方法三：分組求和

有一類數列，既不是等差，又不是等比，但若把這個數列適當的拆開，就會分成若個等差，等比或者其他常見數列(即可用倒序相加，錯位相減或裂項相消求和的數列)，然后分別求和，之后再進行合并即可算出原數列的前n項和。

數列求和有哪五種方法?

一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差數列求和公式：
2、 等比數列求和公式：
自然數方冪和公式：
3、 4、
5、
[例] 求和1＋x2＋x4＋x6＋…x2n+4(x≠0)
∴該數列是首項為1,公比為x2的等比數列而且有n+3項
當x2＝1 即x＝±1時 和為n+3
評注：
(1)利用等比數列求和公式．當公比是用字母表示時,應對其是否為1進行討論,如本題若為“等比”的形式而并未指明其為等比數列,還應對x是否為0進行討論．
(2)要弄清數列共有多少項,末項不一定是第n項．
對應高考考題：設數列1,（1+2）,…,（1+2+ ）,……的前頂和為 ,則 的值.
二、錯位相減法求和
錯位相減法求和在高考中占有相當重要的位置,近幾年來的高考題其中的數列方面都出了這方面的內容.需要我們的學生認真掌握好這種方法.這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法,這種方法主要用于求數列{an�� bn}的前n項和,其中{ an }、{ bn }分別是等差數列和等比數列.求和時一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個數列的等比數列的公比 ；然后再將得到的新和式和原和式相減,轉化為同倍數的等比數列求和,這種方法就是錯位相減法.
[例] 求和：（ ）………………………①
由題可知,{ }的通項是等差數列{2n－1}的通項與等比數列{ }的通項之積
設 ……………………….② （設制錯位）
①－②得 （錯位相減）
再利用等比數列的求和公式得：
∴
注意、1 要考慮 當公比x為值1時為特殊情況
2 錯位相減時要注意末項
此類題的特點是所求數列是由一個等差數列與一個等比數列對應項相乘.
對應高考考題：設正項等比數列 的首項 ,前n項和為 ,且 .（Ⅰ）求 的通項； （Ⅱ）求 的前n項和 .
三、反序相加法求和
這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法,就是將一個數列倒過來排列（反序）,再把它與原數列相加,就可以得到n個 .
[例] 求證：
證明：設 …………………………..①
把①式右邊倒轉過來得
（反序）
又由 可得
…………..……..②
①+②得 （反序相加）
∴
四、分組法求和
有一類數列,既不是等差數列,也不是等比數列,若將這類數列適當拆開,可分為幾個等差、等比或常見的數列,然后分別求和,再將其合并即可.
若數列 的通項公式為 ,其中 中一個是等差數列,另一個是等比數列,求和時一般用分組結合法.
[例]：求數列 的前n項和；
分析：數列的通項公式為 ,而數列 分別是等差數列、等比數列,求和時一般用分組結合法；
[解] ：因為 ,所以
（分組）
前一個括號內是一個等比數列的和,后一個括號內是一個等差數列的和,因此
五、裂項法求和
這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解,然后重新組合,使之能消去一些項,最終達到求和的目的.通項分解（裂項）如：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
[例] 求數列 的前n項和.
設 （裂項）
則 （裂項求和）
＝
＝
小結：此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之后,其中中間的大部分項都互相抵消了.只剩下有限的幾項.
注意：余下的項具有如下的特點
1余下的項前后的位置前后是對稱的.
2余下的項前后的正負性是相反的.
[練習] 在數列{an}中,,又 ,求數列{bn}的前n項的和.

數列求和公式

數列求和公式有七個方法：公式法、列項相消法、錯位相減法、分解法、分組法、倒序相加法、乘公比錯項相減等。具體介紹如下：

1、公式法。

公式法是解一元二次方程的一種方法，也指套用公式計算某事物。

另外還有配方法、十字相乘法、直接開平方法與分解因式法等解方程的方法。公式表達了用配方法解一般的一元二次方程的結果。

根據因式分解與整式乘法的關系，把各項系數直接帶入求根公式，可避免配方過程而直接得出根，這種解一元二次方程的方法叫做公式法。

2、裂項相消法。

裂項相消法把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和。

3、 錯位相減法。

適用于通項公式為等差的一次函數乘以等比的數列形式{an}、{bn}分別是等差數列和等比數列。

4、分解法。

數學中用以求解高次一元方程的一種方法。把方程的一側的數（包括未知數），通過移動使其值化成0，把方程的另一側各項化成若干因式的乘積，然后分別令各因式等于0而求出其解的方法叫因式分解法。

5、分組求和法。

分組求和法一個數列的通項公式是由幾個等差或等比或可求和的數列的通項公式組成，求和時可用分組求和法，分別求和而后相加。

6、倒序相加法。

等差數列：首項為a1，末項為an，公差為d，那么等差數列求和公式為Sn=a1*n+[n*(n-1)*d]/2或Sn=[n*(a1+an)]/2。

7、乘公比錯項相減（等差×等比）。

這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列{an×bn}的前n項和，其中{an}，{bn}分別是等差數列和等比數列。類似于錯位相減法。

數列求和的七種方法

常見的數列求和方式有7種，分別為：裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法、公式法、分組求和法、數學歸納法和觀察法。這7種求解方法之間的聯系如下圖所示；在具體應用過程中，可根據每種方法的使用條件，靈活求解。若要熟練掌握數列求和方法，需要在掌握基本概念的基礎上多加練習，熟能生巧，巧能成精。

舉例：1、裂項相消法

顧名思義，就是將數列an通項拆分為若干項，一般為某數列bn相鄰兩項之差，這樣求和時便可以抵消中間部分，只剩首尾兩項。常見的能夠裂項的數列如下所示。

2、錯位相減法

適用于差比數列求和，即an=bncn，其中bn為等差數列，cn為等比數列。

3、倒序相加法

數列求和的基本方法

數列求和是按照一定規律排列的數進行求和。求Sn實質上是求{Sn}的通項公式，應注意對其含義的理解。以下便是幾種數列求和的方法。

01

差比數列求和法。運用此公式從而求出數列。
a:等差數列首項
d:等差數列公差
e:等比數列首項
q:等比數列公比

02

錯位相減法。適用于通項公式為等差的一次函數乘以等比的數列形式（等差等比數列相乘）
{ an }、{ bn }分別是等差數列和等比數列.

03

等比數列求和公式，等差數列求和公式。運用公式套入題目。從而得到結果。

04

倒序相加法。這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n個(a1+an)

特別提示

以上為幾種簡單的數列求和方法。需加以實際數學題目進行實際運用。