特征向量(特征向量是唯一的嗎)

特征向量怎么求

從定義出發，Ax=cx：A為矩陣，c為特征值，x為特征向量。

矩陣A乘以x表示，對向量x進行一次轉換（旋轉或拉伸）（是一種線性轉換），而該轉換的效果為常數c乘以向量x（即只進行拉伸）。

通常求特征值和特征向量即為求出該矩陣能使哪些向量（當然是特征向量）只發生拉伸，使其發生拉伸的程度如何（特征值大?。?。

擴展資料：

數值計算的原則：

在實踐中，大型矩陣的特征值無法通過特征多項式計算，計算該多項式本身相當費資源，而精確的“符號式”的根對于高次的多項式來說很難計算和表達：阿貝爾－魯費尼定理顯示高次（5次或更高）多項式的根無法用n次方根來簡單表達。

對于估算多項式的根的有效算法是有的，但特征值的小誤差可以導致特征向量的巨大誤差。求特征多項式的零點，即特征值的一般算法，是迭代法。最簡單的方法是冪法：取一個隨機向量v，然后計算一系列單位向量。

什么是特征向量？特征值？

特征向量是一個非簡并的向量，在這種變換下其方向保持不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特征值（本征值）。

特征值是線性代數中的一個重要概念。

線性變換通常可以用其特征值和特征向量來完全描述。特征空間是一組特征值相同的特征向量。“特征”一詞來自德語的eigen。

希爾伯特在1904年第一次用這個詞，更早亥爾姆霍爾茲也在相關意義下使用過該詞。eigen一詞可翻譯為”自身的”、“特定于……的”、“有特征的”、或者“個體的”，這顯示了特征值對于定義特定的線性變換的重要性。

擴展資料：

求矩陣的全部特征值和特征向量的方法如下：

第一步：計算的特征多項式；

第二步：求出特征方程的全部根，即為的全部特征值；

第三步：對于的每一個特征值，求出齊次線性方程組的一個基礎解系，則的屬于特征值的全部特征向量是（其中是不全為零的任意實數）。

參考資料來源：百度百科-特征值

參考資料來源：百度百科-特征向量

特征向量是什么意思？

特征根：特征根法也可用于通過數列的遞推公式（即差分方程，必須為線性）求通項公式，其本質與微分方程相同。稱為二階齊次線性差分方程：加權的特征方程。

特征向量：A為n階矩陣，若數λ和n維非0列向量x滿足Ax=λx，那么數λ稱為A的特征值，x稱為A的對應于特征值λ的特征向量。

Ax=λx也可寫成( A-λE)x=0，并且|λE-A|叫做A 的特征多項式。當特征多項式等于0的時候，稱為A的特征方程，特征方程是一個齊次線性方程組，求解特征值的過程其實就是求解特征方程的解。
令|A-λE|=0，求出λ值。

A是n階矩陣，Ax=λx，則x為特征向量，λ為特征值。

擴展資料：

特征向量方程

從數學上看，如果向量v與變換A滿足Av=λv，則稱向量v是變換A的一個特征向量，λ是相應的特征值。這一等式被稱作“特征值方程”。

假設它是一個線性變換，那么v可以由其所在向量空間的一組基表示為：

其中vi是向量在基向量上的投影（即坐標），這里假設向量空間為n 維。由此，可以直接以坐標向量表示。利用基向量，線性變換也可以用一個簡單的矩陣乘法表示。上述的特征值方程可以表示為：

但是，有時候用矩陣形式寫下特征值方程是不自然甚或不可能的。例如在向量空間是無窮維的時候，上述的弦的情況就是一例。

取決于變換和它所作用的空間的性質，有時將特征值方程表示為一組微分方程更好。若是一個微分算子，其特征向量通常稱為該微分算子的特征函數。例如，微分本身是一個線性變換因為（若M和N是可微函數，而a和b是常數）。

考慮對于時間t的微分。其特征函數滿足如下特征值方程：

其中λ是該函數所對應的特征值。這樣一個時間的函數，如果λ = 0，它就不變，如果λ為正，它就按比例增長，如果λ是負的，它就按比例衰減。例如，理想化的兔子的總數在兔子更多的地方繁殖更快，從而滿足一個正λ的特征值方程。

參考資料來源：百度百科--特征根法

參考資料來源：百度百科--特征向量

什么是特征向量？

你好~

數學上，線性變換的特征向量（本征向量）是一個非退化的向量，其方向在該變換下不變。該向量在此變換下縮放的比例稱為其特征值（本征值）。一個變換通?？梢杂善涮卣髦岛吞卣飨蛄客耆枋觥Ｌ卣骺臻g是相同特征值的特征向量的集合?！疤卣鳌币辉~來自德語的eigen。1904年希爾伯特首先在這個意義下使用了這個詞，更早亥爾姆霍爾茲也在相關意義下使用過該詞。eigen一詞可翻譯為“自身的”，“特定于...的”，“有特征的”或者“個體的”—這強調了特征值對于定義特定的變換有多重要。

什么是特征向量?

數學上,線性變換的特征向量（本征向量）是一個非退化的向量,其方向在該變換下不變.該向量在此變換下縮放的比例稱為其特征值（本征值）.一個變換通?？梢杂善涮卣髦岛吞卣飨蛄客耆枋?特征空間是相同特征值的特征向...

特征向量的性質

特征向量的性質如下：

第一性質

線性變換的特征向量是指在變換下方向不變，或者簡單地乘以一個縮放因子的非零向量。特征向量對應的特征值是它所乘的那個縮放因子。

特征空間就是由所有有著相同特征值的特征向量組成的空間，還包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量。

線性變換的主特征向量是最大特征值對應的特征向量。特征值的幾何重次是相應特征空間的維數。有限維向量空間上的一個線性變換的譜是其所有特征值的集合。

例如，三維空間中的旋轉變換的特征向量是沿著旋轉軸的一個向量，相應的特征值是1，相應的特征空間包含所有和該軸平行的向量。該特征空間是一個一維空間，因而特征值1的幾何重次是1。特征值1是旋轉變換的譜中唯一的實特征值。

第二性質

A的一個特征值λ的代數重次是λ作為A的特征多項式的零點的次數;換句話說，若λ是一個該多項式的根，它是因子(t − λ)在特征多項式中在因式分解后中出現的次數。一個n×n矩陣有n個特征值，如果將代數重次計算在內的話，因為其特征多項式次數為n。

一個代數重次1的特征值為"單特征值"。在關于矩陣理論的條目中，可能會遇到如下的命題:"一個矩陣A的特征值為4,4,3,3,3,2,2,1,"表示4的代數重次為二，3的是三，2的是二，而1的是1。這樣的風格因為代數重次對于矩陣理論中的很多數學證明很重要而被大量使用。

回想一下，我們定義特征向量的幾何重次為相應特征空間的維數，也就是λI − A的零空間。代數重次也可以視為一種維數:它是相應廣義特征空間 (第一種意義)的維數，也就是矩陣(λI − A)^k對于任何足夠大的k的零空間。

也就是說，它是"廣義特征向量"(第一種意義)的空間，其中一個廣義特征向量是任何一個如果 λI − A作用連續作用足夠多次就"最終"會變0的向量。任何特征向量是一個廣義特征向量，以此任一特征空間被包含于相應的廣義特征空間。

這給了一個幾何重次總是小于代數重次的簡單證明。這里的第一種意義不可和下面所說的廣義特征值問題混淆。