n維向量空間

高等代數(shù)理論基礎(chǔ)21：n維向量空間

定義：數(shù)域P中n個數(shù)組成的有序數(shù)組 稱為數(shù)域P上一個n維向量, 稱為向量的分量

注：幾何上的向量可認為是n=2,3且P為實數(shù)域的特殊情形

定義：若n維向量 的對應(yīng)分量都相等,即 ,則稱兩個向量相等,記作

定義：向量 稱為向量 的和,記作

定義：分量全為零的向量 稱為零向量,記作0

定義：向量 稱為向量 的負向量,記作

向量加法四條運算規(guī)律：

交換律：

結(jié)合律：

定義：

定義：設(shè)k為數(shù)域P中的數(shù),向量 稱為向量 與數(shù)k的數(shù)量乘積,記作

數(shù)量乘法四條基本運算規(guī)律：

另：

定義：以數(shù)域P中的數(shù)作為分量的n維向量的全體,同時考慮到定義在它們上面的加法和數(shù)量乘法,稱為數(shù)域P上的n維向量空間

注：

1.n=3時,3維實向量空間可認為是幾何空間中全體向量所成的空間

2.數(shù)域P上n維向量空間由數(shù)域P上全體n維向量的集合組成一個有加法和數(shù)量乘法的代數(shù)結(jié)構(gòu)

3. 稱為行向量

稱為列向量

n維向量空間的n維是指什么意思？

很簡單。只是因為我們處于三維空間，大于三維的度量不容易感知。
先從三維談起，如向量{x1,x2,x3}在三維空間上必然可以分解為
{x1,x2,x3}=x1{1,0,0}+x2{0,1,0}+x3{0,0,1}
這三個分量{1,0,0}{0,1,0}{0,0,1}是線性無關(guān)的。而且是正交的。這樣空間直角坐標系就有了基。這三個分量可以將任何三維向量線性表出。所以三維向量組成的幾何空間其實可以用這三個基表達出任何三維向量。當(dāng)然，向量和點對應(yīng)，三維向量其實也是對應(yīng)三維直角坐標系的一個點。
這樣對于n維向量{x1,x2,...,xn}=x1{1,0,..,0}+...+xn{0,0,...,1}
其實在n維空間上就是由n個基構(gòu)成的一個線性組合。換句話說，它也是其在n維直角坐標系中的一個點。當(dāng)然，這里的直角的含義是，n個基兩兩正交。
按照你的要求我再說明白一點，一個n維向量其實就是一個n維歐式空間的一個點。只不過是有n個向量的。

n維向量空間V中向量的維數(shù)是否為n維?

n維向量空間V中向量的維數(shù)是不為n維的，因為向量空間V中的元素都不一定是向量。有可能是多項式，有可能是數(shù)。

并且如果空間維數(shù)為n，則基向量的個數(shù)為n，從而元素的坐標由n個數(shù)組成，它構(gòu)成一個n維向量，反之，一個n維向量，以此為坐標在給定的基下可以獲得空間一個元素。故n維空間與n維向量集合之間一一對應(yīng)，是同構(gòu)的。

不過你要說 R^n 的一個子空間（維數(shù) m < n），但里面的向量仍然用原來的基下的坐標來表示，那么這些向量就仍然可以叫 n 維向量。

當(dāng)然如果你又給這個子空間找了一組基，把其中的向量用這組基下的坐標來表示，那這些向量就變成 m 維的了。

并且一個向量空間是n維的話說，那么，它里面的任何一個向量就都是n維的；如果你遇到的向量是n維的，那么，它所在的空間一定是一個n維的向量空間。

在一個n維的向量空間里絕不會存在不足n維的向量，再小得子空間里的向量也是n維的。子空間是啥。是不滿秩的空間，不是降維的空間。

n維向量空間的n維是指什么意思? 111

很簡單.只是因為我們處于三維空間,大于三維的度量不容易感知.
先從三維談起,如向量{x1,x2,x3}在三維空間上必然可以分解為
{x1,x2,x3}=x1{1,0,0}+x2{0,1,0}+x3{0,0,1}
這三個分量{1,0,0}{0,1,0}{0,0,1}是線性無關(guān)的.而且是正交的.這樣空間直角坐標系就有了基.這三個分量可以將任何三維向量線性表出.所以三維向量組成的幾何空間其實可以用這三個基表達出任何三維向量.當(dāng)然,向量和點對應(yīng),三維向量其實也是對應(yīng)三維直角坐標系的一個點.
這樣對于n維向量{x1,x2,...,xn}=x1{1,0,..,0}+...+xn{0,0,...,1}
其實在n維空間上就是由n個基構(gòu)成的一個線性組合.換句話說,它也是其在n維直角坐標系中的一個點.當(dāng)然,這里的直角的含義是,n個基兩兩正交.
按照你的要求我再說明白一點,一個n維向量其實就是一個n維歐式空間的一個點.只不過是有n個向量的.

n維向量是什么意思？

是普通平面和空間向量概念的推廣，是一種特殊的矩陣。

由數(shù)a1,a2....an組成的有序數(shù)組，稱為n維向量，簡稱為向量。向量通常用斜體希臘字母等表示。在一個向量組中，若有一個部分向量組線性相關(guān)， 則整個向量組也必定線性相關(guān)，反之不成立。推論一個線性無關(guān)的向量組的任何非空的部分向量組都 線性無關(guān)。

在機器學(xué)習(xí)過程中，我們會經(jīng)常遇到向量、數(shù)組和矩陣這三種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，下面就這三種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)做一次詳細的分析。同時我們時常困惑于維度，n維向量，n維數(shù)組，矩陣的維度，本文著重就這一方面進行分析。

解析幾何中，我們把“既有大小又有方向的量”叫作向量，并把可隨意平行移動的有向線段作為向量的幾何形象。

在引進坐標系以后，這種向量就有了坐標表示式— — n個有次序的實數(shù)，也就是n維向量。因此，當(dāng)　n ≤ 3 時，n維向量可以把有向線段作為幾何形象，但當(dāng)n＞3 時，n 維向量就不再有這種幾何形象，只是沿用一些幾何術(shù)語罷了。

3維向量空間：

在點空間取定坐標系以后，空間中的點P（x，y，z）與3 維向量　r =（x，y，z）T 之間有一一對應(yīng)的關(guān)系，因此，向量空間可以類比為取定了坐標系的點空間。在討論向量的運算時，我們把向量看作有向線段；在討論向量集時，則把向量r 看作以r 為向徑的點P，從而把點P 的軌跡作為向量集的圖形。

在同濟大學(xué)線性代數(shù)第六版中，有這樣一句話，矩陣的列向量組和行向量組都是只含有限個向量的向量組；反之，一個含有限個向量的向量組總可以構(gòu)成一個矩陣。因此我們可以推斷，列向量是可以多維的，但是它的深度只能是一維（這里的深度是相對于矩陣和數(shù)組而言的，而這里的維度是指的空間的維度，這是兩個不同的概念）。

劉老師您好，問您一個問題：n維向量空間的基一定要是n個線性無關(guān)的n維向量嗎？

我來試著證一下
設(shè)n維向量空間V中有向量組B:b1,b2,...,bt，則R(B)≦t
由n維向量空間的定義，V中存在向量組A:a1,a2,...,an是V的一個基
①當(dāng)t<n時，有R(B)<R(A)=n
由向量組線性表示的必要條件得出，A無法由B線性表示
所以B不能構(gòu)成基
②當(dāng)t>n時，由基的定義知A是V的最大無關(guān)組，所以B線性相關(guān)
所以B不能構(gòu)成基
綜上，必然有t=n