數學初三

初三知識整理

人教版體系框架（7～9年級）

七年級上冊（61）

第1章有理數（19）

第2章整式的加減（8）

第3章一元一次方程（18）

第4章圖形認識初步（16）

七年級下冊（62）

第5章相交線與平行線（14）

第6章平面直角坐標系（7）

第7章三角形（8）

第8章二元一次方程組（12）

第9章不等式與不等式組（12）

第10章數據庫的收集整理與描述（9）

八年級上冊（62）

第11章全等三角形（11）

第12章軸對稱（13）

第13章實數（8）

第14章一次函數（17）

第15章整式的乘除與因式分解（13）

八年級下冊（61）

第16章分式（14）

第17章反比例函數（8）

第18章勾股定理（8）

第19章四邊形（16）

第20章數據的分析（15）

九年級上冊（62）

第21章二次根式（9）

第22章一元二次方程（13）

第23章旋轉（8）

第24章圓（17）

第25章概率初步（15）

九年級下冊（48）

第26章二次函數（12）

第27章相似（13）

第28章銳角三角函數（12）

第29章投影與視圖（11）

全套教科書包含了課程標準（實驗稿）規定的“數與代數”“空間與圖形”“統計與概率”“實踐與

綜合應用”四個領域的內容，在體系結構的設計上力求反映這些內容之間的聯系與綜合，使它們形成

一個有機的整體

九年級上冊包括二次根式、一元二次方程、旋轉、圓、概率初步五章內容，學習內容涉及到了《課程

標準》的四個領域。包含以下章節：

第21章二次根式第22章一元二次方程

第23章旋轉第24章圓

第25章概率初步

本冊書內容分析如下：

第21章二次根式

學生已經學過整式與分式，知道用式子可以表示實際問題中的數量關系。解決與數量關系有關的

問題還會遇到二次根式。“二次根式”一章就來認識這種式子，探索它的性質，掌握它的運算。

在這一章，首先讓學生了解二次根式的概念，并掌握以下重要結論：

（1）是一個非負數；

（2）≥0）；

（3）(a≥0)．

注：關于二次根式的運算，由于二次根式的乘除相對于二次根式的加減來說更易于掌握，教科書先安

排二次根式的乘除，再安排二次根式的加減。“二次根式的乘除”一節的內容有兩條發展的線索。一

條是用具體計算的例子體會二次根式乘除法則的合理性，并運用二次根式的乘除法則進行運算；一條

是由二次根式的乘除法則得到

(a≥0，b≥0)，(a≥0，b>0)，

并運用它們進行二次根式的化簡。

“二次根式的加減”一節先安排二次根式加減的內容，再安排二次根式加減乘除混合運算的內容。

在本節中，注意類比整式運算的有關內容。例如，讓學生比較二次根式的加減與整式的加減，又如，

通過例題說明在二次根式的運算中，多項式乘法法則和乘法公式仍然適用。這些處理有助于學生掌握

本節內容。

第22章一元二次方程

學生已經掌握了用一元一次方程解決實際問題的方法。在解決某些實際問題時還會遇到一種新方

程——一元二次方程。“一元二次方程”一章就來認識這種方程，討論這種方程的解法,并運用這種

方程解決一些實際問題。

本章首先通過雕像設計、制作方盒、排球比賽等問題引出一元二次方程的概念，給出一元二次方

程的一般形式。然后讓學生通過數值代入的方法找出某些簡單的一元二次方程的解，對一元二次方程

的解加以體會，并給出一元二次方程的根的概念，

“22.2降次——解一元二次方程”一節介紹配方法、公式法、因式分解法三種解一元二次方程的

方法。下面分別加以說明。

（1）在介紹配方法時，首先通過實際問題引出形如的方程。這樣的方程可以化為更為簡

單的形如的方程，由平方根的概念，可以得到這個方程的解。進而舉例說明如何解形如

的方程。然后舉例說明一元二次方程可以化為形如的方程，引出配方法。

最后安排運用配方法解一元二次方程的例題。在例題中，涉及二次項系數不是1的一元二次方程，也涉

及沒有實數根的一元二次方程。對于沒有實數根的一元二次方程，學了“公式法”以后，學生對這個

內容會有進一步的理解。

（2）在介紹公式法時，首先借助配方法討論方程的解法，得到一元二次方程的

求根公式。然后安排運用公式法解一元二次方程的例題。在例題中，涉及有兩個相等實數根的一元二

次方程，也涉及沒有實數根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三種情況。

（3）在介紹因式分解法時，首先通過實際問題引出易于用因式分解法的一元二次方程，引出因式

分解法。然后安排運用因式分解法解一元二次方程的例題。最后對配方法、公式法、因式分解法三種

解一元二次方程的方法進行小結。

“22.3實際問題與一元二次方程”一節安排了四個探究欄目，分別探究傳播、成本下降率、面積、

勻變速運動等問題，使學生進一步體會方程是刻畫現實世界的一個有效的數學模型。

第23章旋轉

學生已經認識了平移、軸對稱，探索了它們的性質，并運用它們進行圖案設計。本書中圖形變換

又增添了一名新成員――旋轉。“旋轉”一章就來認識這種變換，探索它的性質。在此基礎上，認識

中心對稱和中心對稱圖形。

“23.1旋轉”一節首先通過實例介紹旋轉的概念。然后讓學生探究旋轉的性質。在此基礎上，通

過例題說明作一個圖形旋轉后的圖形的方法。最后舉例說明用旋轉可以進行圖案設計。

“23.2中心對稱”一節首先通過實例介紹中心對稱的概念。然后讓學生探究中心對稱的性質。在

此基礎上，通過例題說明作與一個圖形成中心對稱的圖形的方法。這些內容之后，通過線段、平行四

邊形引出中心對稱圖形的概念。最后介紹關于原點對稱的點的坐標的關系，以及利用這一關系作與一

個圖形成中心對稱的圖形的方法。

“23.3課題學習圖案設計”一節讓學生探索圖形之間的變換關系（平移、軸對稱、旋轉及其組合），

靈活運用平移、軸對稱、旋轉的組合進行圖案設計。

第24章圓

圓是一種常見的圖形。在“圓”這一章，學生將進一步認識圓，探索它的性質，并用這些知識解

決一些實際問題。通過這一章的學習，學生的解決圖形問題的能力將會進一步提高。

“24.1圓”一節首先介紹圓及其有關概念。然后讓學生探究與垂直于弦的直徑有關的結論，并運

用這些結論解決問題。接下來，讓學生探究弧、弦、圓心角的關系，并運用上述關系解決問題。最后

讓學生探究圓周角與圓心角的關系，并運用上述關系解決問題。

“24.2與圓有關的位置關系”一節首先介紹點和圓的三種位置關系、三角形的外心的概念，并通

過證明“在同一直線上的三點不能作圓”引出了反證法。然后介紹直線和圓的三種位置關系、切線的

概念以及與切線有關的結論。最后介紹圓和圓的位置關系。

“24.3正多邊形和圓”一節揭示了正多邊形和圓的關系，介紹了等分圓周得到正多邊形的方法。

“24.4弧長和扇形面積”一節首先介紹弧長公式。然后介紹扇形及其面積公式。最后介紹圓錐的

側面積公式。

第25章概率初步

將一枚硬幣拋擲一次，可能出現正面也可能出現反面，出現正面的可能性大還是出現反面的可能

性大呢？學了“概率”一章，學生就能更好地認識這個問題了。掌握了概率的初步知識，學生還會解

決更多的實際問題。

“25.1概率”一節首先通過實例介紹隨機事件的概念，然后通過擲幣問題引出概率的概念。

“25.2用列舉法求概率”一節首先通過具體試驗引出用列舉法求概率的方法。然后安排運用這種方

法求概率的例題。在例題中，涉及列表及畫樹形圖。

“25.3利用頻率估計概率”一節通過幼樹成活率和柑橘損壞率等問題介紹了用頻率估計概率的方

法。

“25.4課題學習鍵盤上字母的排列規律”一節讓學生通過這一課題的研究體會概率的廣泛應用。

知識點總結

第21章二次根式

知識框圖

學習目標

對于本章內容，教學中應達到以下幾方面要求：

1.理解二次根式的概念，了解被開方數必須是非負數的理由；

2.了解最簡二次根式的概念；

3.理解并掌握下列結論：

（1）是非負數；（2）；（3）；

4.掌握二次根式的加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關實數的簡單四則運算；

5.了解代數式的概念，進一步體會代數式在表示數量關系方面的作用。

I.二次根式的定義和概念：

1、定義：一般地，形如√ā（a≥0）的代數式叫做二次根式。當a＞0時，√a表示a的算數

平方根,√0=0

2、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式。√ā（a≥0）是一個非負數。

II.二次根式√ā的簡單性質和幾何意義

1）a≥0;√ā≥0[雙重非負性]

2）（√ā）^2=a（a≥0）[任何一個非負數都可以寫成一個數的平方的形式]

3)√(a^2+b^2)表示平面間兩點之間的距離，即推論。

III.二次根式的性質和最簡二次根式

1）二次根式√ā的化簡

a(a≥0）

√ā=|a|={

-a(a＜0)

2）積的平方根與商的平方根

√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）

√a/b=√a/√b（a≥0，b>0）

3）最簡二次根式

條件：

（1）被開方數的因數是整數或字母，因式是整式；

（2）被開方數中不含有可化為平方數或平方式的因數或因式。

如：不含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y等；

含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2

等

IV.二次根式的乘法和除法

1運算法則

√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）

√a/b=√a/√b（a≥0，b>0）

二數二次根之積，等于二數之積的二次根。

2共軛因式

如果兩個含有根式的代數式的積不再含有根式，那么這兩個代數式叫做共軛因式，也稱互

為有理化根式。

V.二次根式的加法和減法

1同類二次根式

一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二

次根式叫做同類二次根式。

2合并同類二次根式

把幾個同類二次根式合并為一個二次根式就叫做合并同類二次根式。

3二次根式加減時，可以先將二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數相同的進行合并

Ⅵ.二次根式的混合運算

1確定運算順序

2靈活運用運算定律

3正確使用乘法公式

4大多數分母有理化要及時

5在有些簡便運算中也許可以約分，不要盲目有理化

VII.分母有理化

分母有理化有兩種方法

I.分母是單項式

如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b

II.分母是多項式

要利用平方差公式

如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b

III.分母是多項式

要利用平方差公式

如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b

第22章

一元二

次方程

知識框

圖

一）

第23章

旋轉

知識框

圖

旋轉的定義

在平面內，將一個圖形繞一個圖形按某個方向轉動一個角度，這樣的運動叫做圖形的旋轉。

這個定點叫做旋轉中心，轉動的角度叫做旋轉角。

圖形的旋轉是圖形上的每一點在平面上繞著某個固定點旋轉固定角度的位置移動，其中對

應點到旋轉中心的距離相等，對應線段的長度、對應角的大小相等，旋轉前后圖形的大小和形

狀沒有改變。

旋轉對稱中心把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種

圖形叫做旋轉對稱圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉的角度叫做旋轉角（旋轉角小于0°，

大于360°）。

中心對稱和中心對稱圖形是兩個不同而又緊密聯系的概念．它們的區別是：中心對稱是指兩個

全等圖形之間的相互位置關系，這兩個圖形關于一點對稱，這個點是對稱中心，兩個圖形關于

點的對稱也叫做中心對稱．成中心對稱的兩個圖形中，其中一個上所有點關于對稱中心的對稱

點都在另一個圖形上，反之，另一個圖形上所有點的對稱點，又都在這個圖形上；而中心對稱

圖形是指一個圖形本身成中心對稱．中心對稱圖形上所有點關于對稱中心的對稱點都在這個圖

形本身上．如果將中心對稱的兩個圖形看成一個整體（一個圖形），那么這個圖形就是中心對稱

圖形；一個中心對稱圖形，如果把對稱的部分看成是兩個圖形，那么它們又是關于中心對稱．

也就是說：

①中心對稱圖形：如果把一個圖形繞著某一點旋轉180度后能與自身重合，那么我們就說，

這個圖形成中心對稱圖形。

②中心對稱：如果把一個圖形繞著某一點旋轉180度后能與另一個圖形重合，那么我們就說，

這兩個圖形成中心對稱。

中心對稱圖形

正（2N）邊形（N為大于1的正整數），線段，矩形，菱形，圓

只是中心對稱圖形

平行四邊形等．

既不是軸對稱圖形又不是中心對稱圖形

不等邊三角形，非等腰梯形等．

中心對稱的性質

①關于中心對稱的兩個圖形是全等形。

②關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分。

③關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或者在同一直線上）且相等。

識別一個圖形是否是中心對稱圖形就是看是否存在一點，使圖形繞著這個點旋轉180°后能

與原圖形重合。

中心對稱是指兩個圖形繞某一個點旋轉180°后，能夠完全重合，稱這兩個圖形關于該點對

稱，該點稱為對稱中心.二者相輔相成，兩圖形成中心對稱，必有對稱中點，而點只有能使兩個

圖形旋轉180°后完全重合才稱為對稱中點.

第24章圓

知識框圖

【圓的基本知識】

〖幾何中圓的定義〗

說：平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。定點稱為，定長稱為。

說：平面上一動點以一定點為中心，一定長為距離運動一周的軌跡稱為圓周，簡稱圓。

說：到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓。

〖圓的相關量〗

：圓周長度與圓的直徑長度的比叫做圓周率，值是

3.979323846264338327959937519230899

86280679...，通常用π表示，計算中常取3.14為它的近似值(但奧數常取3或

3.1416)。

和：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為，小于半圓的弧稱為。

連接圓上任意兩點的線段叫做弦。經過圓心的弦叫做。

和：頂點在圓心上的角叫做圓心角。頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的

角叫做圓周角。

和：過三角形的三個頂點的圓叫做的，其圓心叫做三角形的外心。和三角形三邊都相切的

圓叫做這個三角形的，其圓心稱為內心。

：在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。

圓錐側面展開圖是一個扇形。這個扇形的半徑稱為的。

〖圓和圓的相關量字母表示方法〗

圓—⊙半徑—r弧—⌒直徑—d

扇形弧長／圓錐母線—l—C—S

〖圓和其他圖形的位置關系〗

圓和點的位置關系：以點P與圓O的為例（設P是一點，則PO是點到圓心的距離），P在

⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O內，PO＜r。

直線與圓有3種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；

圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點。以直線

AB與圓O為例（設OP⊥AB于P，則PO是AB到圓心的距離）：AB與⊙O相離，PO＞r；AB與⊙O

相切，PO＝r；AB與⊙O相交，PO＜r。

兩圓之間有5種位置關系：無公共點的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內叫；有唯一公共

點的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內叫內切；有兩個公共點的叫。兩圓圓心之間的距離叫

做。兩圓的半徑分別為R和r，且R≥r，圓心距為P：外離P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P

＜R+r；內切P=R-r；內含P＜R-r。

圓的平面幾何性質和定理

一有關圓的基本性質與定理

⑴圓的確定：不在同一直線上的三個點確定一個圓。

圓的對稱性質：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條通過圓心的直線。圓也是中心對稱

圖形，其對稱中心是圓心。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的2條弧。

逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的2條弧。

⑵有關圓周角和圓心角的性質和定理在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩個圓周角，兩

組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對應的其余各組量都分別相等。一條

弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的

弦是直徑。

⑶有關外接圓和內切圓的性質和定理

①一個三角形有唯一確定的外接圓和內切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點，

到三角形三個頂點距離相等；

②內切圓的圓心是三角形各內角平分線的交點，到三角形三邊距離相等。

③S三角=1/2*△三角形周長*內切圓半徑

④兩相切圓的連心線過切點（連心線：兩個圓心相連的線段）

⑤圓O中的弦PQ的中點M，過點M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M

為XY之中點。

〖有關切線的性質和定理〗

圓的垂直于過的半徑；經過半徑的一端，并且垂直于這條半徑的直線，是這個圓的切線。

切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

切線的性質：（1）經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）經過切點垂直于切線

的直線必經過圓心。（3）圓的切線垂直于經過切點的半徑。

切線長定理：從圓外一點到圓的兩條切線的長相等，那點與圓心的連線平分切線的夾角。

〖有關圓的計算公式〗

1.圓的周長C=2πr=πd2.圓的面積S=πr^2;3.扇形弧長l=nπr/180

4.扇形面積S=π（R^2-r^2）5.圓錐側面積S=πrl

圓的解析幾何性質和定理

〖圓的解析幾何方程〗

圓的標準方程：在平面直角坐標系中，以點O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的標準方

程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

圓的一般方程：把圓的標準方程展開，移項，合并同類項后，可得圓的一般方程是

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和標準方程對比，其實D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。

圓的e=0，在圓上任意一點的半徑都是r。

〖圓與直線的位置關系判斷〗

內，直線Ax+By+C=0與圓x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置關系判斷一般方法是：

1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即

成為一個關于x的一元二次方程f（x）=0。利用判別式b^2-4ac的符號可確定圓與直線的位置

關系如下：

如果b^2-4ac>0，則圓與直線有2交點，即圓與直線相交。

如果b^2-4ac=0，則圓與直線有1交點，即圓與直線相切。

如果b^2-4ac<0，則圓與直線有0交點，即圓與直線相離。

2.如果B=0即直線為Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y軸（或垂直于x軸），將

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化為（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。令y=b，求出此時的兩個x值x1、x2，并

且規定x1

當x=-C／Ax2時，直線與圓相離；

當x1

半徑r，直徑d

在直角坐標系中，圓的解析式為：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

=>(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F

=>圓心坐標為(-D/2,-E/2)

其實不用這樣算太麻煩了

只要保證X方Y方前系數都是1

就可以直接判斷出圓心坐標為(-D/2,-E/2)

這可以作為一個結論運用的

且r=根號（圓心坐標的平方和-F）

圓知識點總結

平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓。

圓心：圓中心固定的一點叫做圓心。用字母0表示

直徑：通過圓心，并且兩端都在圓上的線段叫做圓的直徑。用字母d表示。

半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段，叫做圓的半徑。用字母r表示。

圓的直徑和半徑都有無數條。在同圓或等圓中：直徑是半徑的2倍，半徑是直徑的1／2.

圓的半徑決定了圓的大小，圓心決定了圓的位置。

圓的周長：圍成圓的曲線的長度叫做圓的周長，用C表示。

圓的周長與直徑的比值叫做圓周率。

圓周率是一個固定的數，它是一個無限不循環小數，用字母π表示。近似等于3.14。

直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。

圓的面積公式：πr方，用字母S表示。

第25章概率初步

知識框圖

第26章二次函數

知識框圖

定義與定義表達式

一般地，自變量x和y之間存在如下關系：

一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數)，則稱y為x的二次函數。

頂點式：y=a(x-h)^2+k

交點式（與x軸）：y=a(x-x1)(x-x2)

重要概念：（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，

a<0時，開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。）

二次函數表達式的右邊通常為二次。

x是，y是x的二次

x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)

二次函數的圖像在平面直角坐標系中作出二次函數y=x²的圖像，

可以看出，二次函數的圖像是一條永無止境的拋物線。

拋物線的性質

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）

2.拋物線有一個頂點P，坐標為P(-b/2a，(4ac-b²)/4a)

當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ=b²-4ac=0時，P在x軸上。

3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。

|a|越大，則拋物線的開口越小。

4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；因為若對稱軸在左邊則對稱軸小于0，

也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同號

當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0，也

就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要異號

事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數解析式（一

次函數）的斜率k的值。可通過對二次函數求導得到。

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交于（0，c）

6.拋物線與x軸交點個數

Δ=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。

Δ=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

_______

Δ=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數（x=-b±√b²－4ac

的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a）

當a>0時，函數在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b²/4a；在{x|x<-b/2a}上是減

函數，在{x|x>-b/2a}上是增函數；拋物線的開口向上；函數的值域是{y|y≥4ac-b²/4a}相反

不變

當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數是偶函數，解析式變形為y=ax²+c(a≠0)

7.定義域：R

值域：（對應解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請讀者自行推斷）

①[(4ac-b²)/4a，正無窮）；②[t，正無窮）

奇偶性：偶函數

周期性：無

解析式：

①y=ax²+bx+c[一般式]

⑴a≠0

⑵a＞0，則拋物線開口朝上；a＜0，則拋物線開口朝下；

⑶極值點：（-b/2a，(4ac-b²)/4a）；

⑷Δ=b²-4ac,

Δ＞0，圖象與x軸交于兩點：

（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；

Δ＝0，圖象與x軸交于一點：

（-b/2a，0）；

Δ＜0，圖象與x軸無交點；

②y=a(x-h)²+t[配方式]

此時，對應極值點為（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b²)/4a）；

③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式]

a≠0，此時，x1、x2即為函數與X軸的兩個交點，將X、Y代入即可求出解析式（一般與

一元二次方程連用）。

[]二次函數與一元二次方程

特別地，二次函數（以下稱函數）y=ax²+bx+c，

當y=0時，二次函數為關于x的一元二次方程（以下稱方程），

即ax²+bx+c=0

此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。

函數與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

1．二次函數y=ax²，y=a(x-h)²，y=a(x-h)²+k，y=ax²+bx+c(各

式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：

解析式

y=ax²

y=ax²+K

y=a(x-h)²

y=a(x-h)²+k

y=ax²+bx+c

頂點坐標

(0，0)

(0，K)

(h，0)

(h，k)

(-b/2a，sqrt[4ac-b²]/4a)

對稱軸

x=0

x=0

x=h

x=h

x=-b/2a

當h>0時，y=a(x-h)²的圖象可由拋物線y=ax²向右平行移動h個單位得到，

當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．

當h>0,k>0時，將拋物線y=ax²向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可

以得到y=a(x-h)²+k的圖象；

當h>0,k<0時，將拋物線y=ax²向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到

y=a(x-h)²+k的圖象；

當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到

y=a(x-h)²+k的圖象；

當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到

y=a(x-h)²+k的圖象；

因此，研究拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)²+k

的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．

2．拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對

稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b²]/4a)．

3．拋物線y=ax²+bx+c(a≠0)，若a>0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而減小；當x≥

-b/2a時，y隨x的增大而增大．若a<0，當x≤-b/2a時，y隨x的增大而增大；當x≥-b/2a

時，y隨x的增大而減小．

4．拋物線y=ax²+bx+c的圖象與坐標軸的交點：

(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；

(2)當△=b²-4ac>0，圖象與x軸交于兩點A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一

元二次方程ax²+bx+c=0

(a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x?-x?|另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由

|2×（-b/2a）－A|（A為其中一點的橫坐標）

當△=0．圖象與x軸只有一個交點；

當△<0．圖象與x軸沒有交點．當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有

y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0．

5．拋物線y=ax²+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，則當x=-b/2a時，y最小(大)值

=(4ac-b²)/4a．

頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值．

6．用待定系數法求二次函數的解析式

(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一

般形式：

y=ax²+bx+c(a≠0)．

(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸或極大（小）值時，可設解析式為頂點式：

y=a(x-h)²+k(a≠0)．

(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：

y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)．

7．二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次

函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現．

第27章相似

知識框圖

相似三角形的認識

對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形。（similartriangles）。

互為相似形的三角形叫做相似三角形

相似三角形的判定方法

根據相似圖形的特征來判斷。（對應邊成比例，對應角相等）

1.平行于三角形一邊的直線(或兩邊的延長線)和其他兩邊相交,所構成的三角形與原三角形

相似；

（這是相似三角形判定的引理，是以下判定方法證明的基礎。這個引理的證明方法需要平

行線分線段成比例的證明）

2.如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等,那么這兩個三角形相似；

3.如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等,并且相應的夾角相等,那么這兩個三角形相似；

4.如果兩個三角形的三組對應邊的比相等,那么這兩個三角形相似；

絕對相似三角形

1.兩個全等的三角形一定相似。

2.兩個等腰直角三角形一定相似。

3.兩個等邊三角形一定相似。

直角三角形相似判定定理

1.斜邊與一條直角邊對應成比例的兩直角三角形相似。

2.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個

直角三角形也相似。

三角形相似的判定定理推論

推論一：頂角或底角相等的那個的兩個等腰三角形相似。

推論二：腰和底對應成比例的兩個等腰三角形相似。

推論三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。

推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。

推論五：如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例，

那么這兩個三角形相似。

推論六：如果一個三角形的兩邊和第三邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例，那

么這兩個三角形相似。

相似三角形的性質

1.相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半

徑等）的比等于相似比。

2.相似三角形周長的比等于相似比。

3.相似三角形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形的特例

能夠完全重合的兩個三角形叫做。（congruenttriangles）

全等三角形是相似三角形的特例。全等三角形的特征：

1.形狀完全相同，相似比是k=1。

全等三角形一定是相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形。

因此，相似三角形包括全等三角形。

全等三角形的定義

能夠完全重合的兩個三角形稱為全等三角形。（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情況）

當兩個三角形完全重合時，互相重合的頂點叫做對應頂點，互相重合的邊叫做對應邊，互

相重合的角叫做對應角。

由此，可以得出：全等三角形的對應邊相等，對應角相等。

(1)全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊；

(2)全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角；

(3)有公共邊的，公共邊一定是對應邊；

(4)有公共角的，角一定是對應角；

(5)有對頂角的，對頂角一定是對應角；

三角形全等的判定公理及推論

1、三組對應邊分別相等的兩個三角形全等(簡稱SSS或“邊邊邊”)，這一條也說明了三角形

具有穩定性的原因。

2、有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等(SAS或“邊角邊”)。

3、有兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等(ASA或“角邊角”)。

由3可推到

4、有兩角及一角的對邊對應相等的兩個三角形全等(AAS或“角角邊”)

5、直角三角形全等條件有：斜邊及一直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(HL或“斜邊，

直角邊”)

所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均為判定三角形全等的定理。

注意：在全等的判定中，沒有AAA和SSA，這兩種情況都不能唯一確定三角形的形狀。

A是英文角的縮寫(angle)，S是英文邊的縮寫(side)。

全等三角形的性質

1、全等三角形的對應角相等、對應邊相等。

2、全等三角形的對應邊上的高對應相等。

3、全等三角形的對應角平分線相等。

4、全等三角形的對應中線相等。

5、全等三角形面積相等。

6、全等三角形周長相等。

7、三邊對應相等的兩個三角形全等。（SSS)

8、兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等。(SAS)

9、兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等。(ASA)

10、兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等。(AAS)

11、斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。(HL)

全等三角形的運用

1、性質中三角形全等是條件，結論是對應角、對應邊相等。而全等的判定卻剛好相反。

2、利用性質和判定，學會準確地找出兩個全等三角形中的對應邊與對應角是關鍵。在寫兩

個三角形全等時，一定把對應的頂點，角、邊的順序寫一致，為找對應邊，角提供方便。

3，當圖中出現兩個以上等邊三角形時，應首先考慮用SAS找全等三角形。

4、用在實際中，一般我們用全等三角形測等距離。以及等角，用于工業和軍事。有一定幫

助。

全等三角形做題技巧

一般來說考試中線段和角相等需要證明全等。

因此我們可以來采取逆思維的方式。

來想要證全等，則需要什么

另一種則要根據題目中給出的已知條件，求出有關信息。

然后把所得的等式運用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）證明三角形全等。

位似

概念：相似且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行的兩個圖形叫做位似。

位似一定相似但相似不一定位似~

第28章銳角三角函數

知識框圖

第29章投影與視圖

知識框圖