一筆畫問題(一筆畫問題歐拉定理)

一筆畫問題的規(guī)律有什么？

一筆畫的規(guī)律：

1、凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點為起點，最后一定能以這個點為終點畫完此圖。

2、凡是只有兩個奇點的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點為起點，另一個奇點終點。

簡介

1736年，歐拉證實：七橋問題的走法根本不存在。同時，他發(fā)表了“一筆畫定理”：一個圖形要能一筆畫完成必須符合兩個條件：圖形是聯(lián)通的；圖形中的奇點（與奇數(shù)條邊相連的點）個數(shù)為0或2。

歐拉的研究開創(chuàng)了數(shù)學上的新分支――圖形與幾何拓撲。

一筆畫問題口訣是什么？

一筆畫問題口訣是：4個度為1點，2個度為4點和1個度為2點。

(1)從一點出發(fā)的線的條數(shù)是1,3,5,7,9這樣的單數(shù)，這個點稱為奇點（單數(shù)點）。

(2)從一點出發(fā)的線的條數(shù)是2,4,6,8,10這樣的雙數(shù)，這個點稱為偶點（雙數(shù)點）。

奇點通常是一個當數(shù)學物件上被稱為未定義的點，或當它在特別的情況下無法完序，以至于此點出現(xiàn)在于異常的集合中。諸如導數(shù)。參見幾何論中一些奇點論的敘述。

一筆畫中的應(yīng)用

奇點可用于判斷一個圖形是否能夠一筆畫出：當一個圖形線條之間相通且奇點數(shù)為0或者2時，該圖形可一筆畫出。另：所有的端點都是奇點。

從這一點出發(fā)的線段數(shù)為奇數(shù)條偶點：從這一點出發(fā)的線段數(shù)為奇數(shù)條一筆畫中可以有0個奇數(shù)點或者2個奇數(shù)點一筆畫問題就是判斷奇點的個數(shù)，要是0或2，就可以一筆完成，大于2，就不能了，還可以做推廣，比如奇點數(shù)為4，要2筆;為6，要3筆而且在存在奇點的情況下，一定要從奇點出發(fā)。

一筆畫問題口訣是什么？

一筆畫問題口訣為：一筆畫，連通圖。零或二，奇點數(shù)。圓相切，外圍圖。已熟悉，不必數(shù)。

傳統(tǒng)意義上的幾何學是研究圖形的形狀大小等性質(zhì)，而存在一些幾何問題，它們所研究的對象與圖形的形狀和線段的長短沒關(guān)系，而只和線段的數(shù)目和它們之間的連接關(guān)系有關(guān)，比如一筆畫問題就是如此。即平面上由曲線段構(gòu)成的一個圖形能不能一筆畫成，使得在每條線段上都不重復(fù)。

例如漢字“日”和“中”字都可一筆畫，而“田”和“目”則不能。兩兩相連區(qū)域可一筆畫，例如，平面4個區(qū)域兩兩相連區(qū)域可一筆劃；輪胎狀上7個兩兩相連區(qū)域可一筆畫；我們可以構(gòu)造一個多維空間的無窮個兩兩相連區(qū)域一筆劃。

一筆畫的規(guī)律：

1、凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點為起點，最后一定能以這個點為終點畫完此圖。

2、凡是只有兩個奇點的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點為起點，另一個奇點終點。

“一筆畫”是個古老的問題，歐洲人把它叫做“郵遞員問題”。郵遞員面對錯綜復(fù)雜的城市街道，需要把郵件送達到分散在街道上的各個地方的客戶手上，為了少走冤枉路，出發(fā)前需要對途經(jīng)路線進行一個合理的規(guī)劃，其中需要用到的知識就是“一筆畫”。

一筆畫問題的規(guī)律證明

先定義能一筆畫出并回到起點的圖為歐拉圖，連通就是說任意兩個節(jié)點之間可以找到一條連接它們的線。這個要求看來很重要，直觀方法中與這一點對應(yīng)的是說原圖本身不能是分成多個的 設(shè)G為一歐拉圖，那么G顯然是連通的。另一方面，由于G本身為一閉路徑，它每經(jīng)過一個頂點一次，便給這一頂點增加度數(shù)2，因而各頂點的度均為該路徑經(jīng)歷此頂點的次數(shù)的兩倍，從而均為偶數(shù)。反之，設(shè)G連通，且每個頂點的度均為偶數(shù)，欲證G為一歐拉圖。為此，對G的邊數(shù)歸納。當m = 1時，G必定為單結(jié)點的環(huán)，顯然這時G為歐拉圖。設(shè)邊數(shù)少于m的連通圖，在頂點度均為偶數(shù)時必為歐拉圖，現(xiàn)考慮有m條邊的圖G。設(shè)想從G的任一點出發(fā)，沿著邊構(gòu)畫，使筆不離開

圖且不在構(gòu)畫過的邊上重新構(gòu)畫。由于每個頂點都是偶數(shù)度，筆在進入一個結(jié)點后總能離開那個結(jié)點，除非筆回到了起點。在筆回到起點時，它構(gòu)畫出一條閉路徑，記為H。從圖G中刪去H的所有邊，所得圖記為G’，G’未必連通，但其各頂點的度數(shù)仍均為偶數(shù)．考慮G的各連通分支，由于它們都連通，頂點度數(shù)均為偶數(shù)，而邊數(shù)均小于m，因此據(jù)歸納假設(shè)，它們都是歐拉圖。此外，由于G連通，它們都與H共有一個或若干個公共頂點，因此，它們與H一起構(gòu)成一個閉路徑。這就是說，G是一個歐拉圖。 1736年，歐拉證實：七橋問題的走法根本不存在。同時，他發(fā)表了“一筆畫定理”：一個圖形要能一筆畫完成必須符合兩個條件，即圖形是封閉聯(lián)通的和圖形中的奇點（與奇數(shù)條邊相連的點）個數(shù)為0或2。
歐拉的研究開創(chuàng)了數(shù)學上的新分支――拓撲學的先聲。

行測一筆畫問題奇數(shù)點是什么？

角的兩頭和線段的兩端都算是一個奇點，奇點具有以下規(guī)律：

1、凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點為起點，最后一定能以這個點為終點畫完此圖。

2、凡是只有兩個奇點的連通圖（其余都為偶點），一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點為起點，另一個奇點終點。

3、其他情況的圖都不能一筆畫出。（有偶數(shù)個奇點除以二可以算出此圖至少需幾筆畫成。）

一筆畫的區(qū)域

在平面中，4個或者4個以下的區(qū)域可以構(gòu)成兩兩相連的區(qū)域，可以一筆畫。

圖⑵。每個區(qū)域必須是單連通的，就是一個區(qū)域不能夠是分成2塊或者2塊以上。圖⑶就不是單連通的。

這是著名的四色猜想。大家知道，平面上不可能有兩兩相同的5個區(qū)域。緊致封閉平面，在一個輪胎狀的表面，7個或者7個以下的區(qū)域可以構(gòu)成兩兩相連的區(qū)域。可以“一筆劃”。把圖（A）上下對折以后，再左右對折，形成一個輪胎狀，7個區(qū)域兩兩相連。

兩兩相連的區(qū)域可以不經(jīng)過其它區(qū)域到達任何一個區(qū)域。P。J希伍德以畢生精力研究四色定理，并且證明了5色定理，稀伍德考察了一般曲面著色問題提出一個推測：在有P>1個洞的封閉曲面上，足以為任何地圖著色的最小數(shù)等于。

怎么看一筆畫與多筆畫問題

概念：

⒈、凡是由偶點組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點為起點，最后一定能以這個點為終點畫完此圖。

⒉、凡是只有兩個奇點的連通圖（其余都為偶點），一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點為起點，另一個奇點為終點。

⒊、其他情況的圖都不能一筆畫出。(奇點數(shù)除以二便可算出此圖需幾筆畫成。)

計算方式：

1、筆畫數(shù)=奇點數(shù)除以2，奇點數(shù)為0、2 為一筆畫；

2、奇點數(shù)為＞2的偶數(shù)時，除以2得筆畫；

3、奇點數(shù)為＞2的奇數(shù)時（3、5、7、9……），除以2，結(jié)果商+1，得筆畫數(shù)。

擴展資料：

歐拉把七橋問題轉(zhuǎn)化成一個幾何問題——一筆畫問題。

他不僅解決了此問題，且給出了連通圖可以一筆畫的充要條件是：奇點的數(shù)目不是0 個就是2 個（連到一點的數(shù)目如是奇數(shù)條，就稱為奇點，如果是偶數(shù)條就稱為偶點，要想一筆畫成，必須中間點均是偶點，也就是有來路必有另一條去路，奇點只可能在兩端，因此任何圖能一筆畫成，奇點要么沒有要么在兩端）