二重積分極坐標(biāo)(二重積分極坐標(biāo)θ范圍)

二重積分極坐標(biāo)是什么呢?

極坐標(biāo)系里的二重積分r是指極坐標(biāo)的極徑，表示平面坐標(biāo)點到原點的距離。

在極坐標(biāo)系下計算二重積分，需將被積函數(shù)f（x，y），積分區(qū)域D以及面積元素dσ都用極坐標(biāo)表示。函數(shù)f（x，y）的極坐標(biāo)形式為f（rcosθ，rsinθ）。

極徑上下限的判斷：從原點引一條射線（射線角度在積分區(qū)域范圍內(nèi)）若在積分區(qū)域內(nèi)交與兩條曲線，則離原點較遠（后交的曲線）的曲線則為上限，反之較遠的為下限，若在積分區(qū)域內(nèi)只交到一條曲線，則此條曲線為上限，下限為0，若在積分區(qū)域內(nèi)沒有相交的曲線，則上限為積分區(qū)域在x軸上的邊界，下限為零。

當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積。當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體體積負(fù)值。

在空間直角坐標(biāo)系中，二重積分是各部分區(qū)域上柱體體積的代數(shù)和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取負(fù)。某些特殊的被積函數(shù)f（x，y）的所表示的曲面和D底面所為圍的曲頂柱體的體積公式已知，可以用二重積分的幾何意義的來計算。

極坐標(biāo)下的二重積分是什么?

極坐標(biāo)下的二重積分是x^2+y^2，特別是含有它們的分?jǐn)?shù)方次的情況。

例如以下兩種情形通常的二重積分使用極坐標(biāo)計算：

1、積分區(qū)域D與圓有關(guān)（可以是部分圓域，例如圓周與直線所圍成的區(qū)域）。

2、被積函數(shù)f（x，y）中含有形如x²+y²，xy，y/x，x/y的式子。

若1、2同時滿足，則必定要采用極坐標(biāo)計算，但如果僅滿足其中一個，特別是1不滿足時，有時用直角坐標(biāo)計算反而更方便。

二重積分幾何意義：

在空間直角坐標(biāo)系中，二重積分是各部分區(qū)域上柱體體積的代數(shù)和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取負(fù)。某些特殊的被積函數(shù)f（x，y）的所表示的曲面和D底面所為圍的曲頂柱體的體積公式已知，可以用二重積分的幾何意義的來計算。

例如二重積分，其中，表示的是以上半球面為頂，半徑為a的圓為底面的一個曲頂柱體，這個二重積分即為半球體的體積。

數(shù)值意義：

二重積分和定積分一樣不是函數(shù)，而是一個數(shù)值。因此若一個連續(xù)函數(shù)f（x，y）內(nèi)含有二重積分，對它進行二次積分，這個二重積分的具體數(shù)值便可以求解出來。

如函數(shù)，其積分區(qū)域D是由所圍成的區(qū)域。

其中二重積分是一個常數(shù)，不妨設(shè)它為A。對等式兩端對D這個積分區(qū)域作二重定積分。

故這個函數(shù)的具體表達式為：f（x，y）=xy+1/8，等式的右邊就是二重積分?jǐn)?shù)值為A，而等式最左邊根據(jù)性質(zhì)5，可化為常數(shù)A乘上積分區(qū)域的面積1/3，將含有二重積分的等式可化為未知數(shù)A來求解。

二重積分計算（極坐標(biāo)形式）

　　極坐標(biāo)下的二重積分計算法
　　

　　極坐標(biāo)系下，直線x＝1的方程是ρcosθ＝1，即ρ＝1/cosθ。射線y＝x的方程是θ＝π/4。

　　確定θ的取值范圍：積分區(qū)域夾在射線θ＝0與θ＝π/4之間，所以θ的取值范圍是 0≤θ≤π/4。

　　確定ρ的取值范圍：從極點作射線與直線ρ＝1/cosθ相交，所以ρ的取值范圍是 0≤ρ≤1/cosθ。

　　所以，二重積分在極坐標(biāo)系下表示為：∫0～π/4 dθ ∫0～1/cosθ f(ρcosθ，ρsinθ) ρdρ

二重積分在什么情況下用極坐標(biāo)法

用極坐標(biāo)計算二重積分沒有一定之規(guī)，極坐標(biāo)一般用于積分域是圓或其中一部分zhi的，積分域用極坐標(biāo)表示比直角坐標(biāo)表示明顯簡單的，積分函數(shù)含有 x^2+y^2，特別是含有它們的分?jǐn)?shù)方次的情況。

例如以下兩種情形通常的二重積分使用極坐標(biāo)計算：

1、積分區(qū)域D與圓有關(guān)（可以是部分圓域，例如圓周與直線所圍成的區(qū)域）。

2、被積函數(shù)f（x，y）中含有形如x²+y²，xy，y/x，x/y的式子。

若1、2同時滿足，則必定要采用極坐標(biāo)計算，但如果僅滿足其中一個，特別是1不滿足時，有時用直角坐標(biāo)計算反而更方便

擴展資料：

意義

當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是柱體的體積。

當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是柱體體積負(fù)值。

幾何意義

在空間直角坐標(biāo)系中，二重積分是各部分區(qū)域上柱體體積的代數(shù)和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取負(fù)。某些特殊的被積函數(shù)f（x，y）的所表示的曲面和D底面所為圍的曲頂柱體的體積公式已知，可以用二重積分的幾何意義的來計算。

在“二重積分”中極坐標(biāo)角度如何規(guī)定？

一、一般分3種情況：

原點（極點）在積分區(qū)域的內(nèi)部，角度范圍從0到2pi；

2.原點（極點）在積分區(qū)域的邊界，角度范圍從區(qū)域的邊界，按逆時針方向掃過去，到另一條止；

3.原點（極點）在積分區(qū)域之外，角度范圍從區(qū)域的靠極軸的邊界，按逆時針方向掃過去，到另一條止。

二、方法：

1、將積分區(qū)域，分成一個個單連通區(qū)域；

2、所謂的單連通區(qū)域，就是任何極半徑， 最多只能穿透一次、再觸及區(qū)域曲線；

3、每一個單連通區(qū)域，都具有兩根切線；

4、對每一個單連通區(qū)域，積分時的角度， 按順時針方向，從第一根切線的角度， 積分到第二根曲線的角度；

5、整體的積分，就是對每個單連通區(qū)域的積分， 然后求和，得到最后結(jié)果；

6、角度必須是弧度制。

極坐標(biāo)求二重積分公式

極坐標(biāo)求二重積分公式如下：

什么是極坐標(biāo)：

極坐標(biāo)，屬于二維坐標(biāo)系統(tǒng)，創(chuàng)始人是牛頓，主要應(yīng)用于數(shù)學(xué)領(lǐng)域。極坐標(biāo)是指在平面內(nèi)取一個定點O，叫極點，引一條射線Ox，叫做極軸，再選定一個長度單位和角度的正方向（通常取逆時針方向）。

對于平面內(nèi)任何一點M，用ρ表示線段OM的長度（有時也用r表示），θ表示從Ox到OM的角度，ρ叫做點M的極徑，θ叫做點M的極角，有序數(shù)對 (ρ,θ)就叫點M的極坐標(biāo)，這樣建立的坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系。通常情況下，M的極徑坐標(biāo)單位為1（長度單位），極角坐標(biāo)單位為rad。

極坐標(biāo)的歷史：

眾所周知，希臘人最早使用了角度和弧度的概念。天文學(xué)家喜帕恰斯制成了一張求各角所對弦的弦長函數(shù)的表格。并且，曾有人引用了他的極坐標(biāo)系來確定恒星位置。在螺線方面，阿基米德描述了他的著名的螺線，一個半徑隨角度變化的方程。希臘人作出了貢獻，盡管最終并沒有建立整個坐標(biāo)系統(tǒng)。

關(guān)于是誰首次將極坐標(biāo)系應(yīng)用為一個正式的坐標(biāo)系統(tǒng)，流傳著有多種觀點。關(guān)于這一問題的較詳盡歷史，卡瓦列里首次利用極坐標(biāo)系來解決一個關(guān)于阿基米德螺線內(nèi)的面積問題。布萊士·帕斯卡隨后使用極坐標(biāo)系來計算拋物線的長度。