導數與微分(導數與微分思維導圖)

微分和導數有什么區別

導數和微分的區別一個是比值、一個是增量。

1、導數是函數圖像在某一點處的斜率，也就是縱坐標增量（Δy）和橫坐標增量（Δx）在Δx-->0時的比值。

2、微分是指函數圖像在某一點處的切線在橫坐標取得增量Δx以后，縱坐標取得的增量，一般表示為dy。

擴展資料：

設函數y = f(x)在x的鄰域內有定義，x及x + Δx在此區間內。如果函數的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示為 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不隨Δx改變的常量，但A可以隨x改變），而o(Δx)是比Δx高階的無窮小（注：o讀作奧密克戎，希臘字母）那么稱函數f(x)在點x是可微的。

且AΔx稱作函數在點x相應于因變量增量Δy的微分，記作dy，即dy = AΔx。函數的微分是函數增量的主要部分，且是Δx的線性函數，故說函數的微分是函數增量的線性主部（△x→0）。

通常把自變量x的增量 Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx = Δx。于是函數y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx。函數因變量的微分與自變量的微分之商等于該函數的導數。因此，導數也叫做微商。

當自變量X改變為X+△X時，相應地函數值由f(X)改變為f(X+△X)，如果存在一個與△X無關的常數A，使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0關于△X的高階無窮小量，則稱A·△X是f(X)在X的微分，記為dy，并稱f(X)在X可微。一元微積分中，可微可導等價。

記A·△X=dy，則dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。

微分概念是在解決直與曲的矛盾中產生的，在微小局部可以用直線去近似替代曲線，它的直接應用就是函數的線性化。微分具有雙重意義：它表示一個微小的量，因此就可以把線性函數的數值計算結果作為本來函數的數值近似值，這就是運用微分方法進行近似計算的基本思想。

推導

設函數y = f(x)在某區間內有定義，x0及x0+△x在這區間內，若函數的增量Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示為Δy = AΔx + o(Δx)，其中A是不依賴于△x的常數， o(Δx)是△x的高階無窮小，則稱函數y = f(x)在點x0是可微的。

AΔx叫做函數在點x0相應于自變量增量△x的微分，記作dy，即：dy=AΔx。微分dy是自變量改變量△x的線性函數，dy與△y的差是關于△x的高階無窮小量，我們把dy稱作△y的線性主部。得出： 當△x→0時，△y≈dy。

導數的記號為：(dy)/(dx)=f′(X)，我們可以發現，它不僅表示導數的記號，而且還可以表示兩個微分的比值（把△x看成dx，即：定義自變量的增量等于自變量的微分），還可表示為dy=f′(X)dX。[4]

幾何意義

設Δx是曲線y = f(x)上的點M的在橫坐標上的增量，Δy是曲線在點M對應Δx在縱坐標上的增量，dy是曲 線在點M的切線對應Δx在縱坐標上的增量。當|Δx|很小時，|Δy－dy|比|Δx|要小得多(高階無窮小)，因此在點M附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。

參考資料來源：百度百科-微分

導數和微分有什么區別？

導數和微分在書寫的形式有些區別，如y'=f(x),則為導數，書寫成dy=f(x)dx,則為微分。積分是求原函數，可以形象理解為是函數導數的逆運算。

通常把自變量x的增量 Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx = Δx。于是函數y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx，而其導數則為：y'=f'(x)。

設F(x)為函數f(x)的一個原函數，我們把函數f(x)的所有原函數F(x)+C（C為任意常數），叫做函數f(x)的不定積分，數學表達式為：若f'(x)=g(x)，則有∫g(x)dx=f(x)+c。

擴展資料：

設函數y = f(x)在x的鄰域內有定義，x及x + Δx在此區間內。如果函數的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示為 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依賴于Δx的常數），而o(Δx)是比Δx高階的無窮小（注：o讀作奧密克戎，希臘字母）

那么稱函數f(x)在點x是可微的，且AΔx稱作函數在點x相應于因變量增量Δy的微分，記作dy，即dy = AΔx。函數的微分是函數增量的主要部分，且是Δx的線性函數，故說函數的微分是函數增量的線性主部（△x→0）。

通常把自變量x的增量 Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx = Δx。于是函數y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx。函數因變量的微分與自變量的微分之商等于該函數的導數。因此，導數也叫做微商。

當自變量X改變為X+△X時，相應地函數值由f(X)改變為f(X+△X)，如果存在一個與△X無關的常數A，使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0關于△X的高階無窮小量，則稱A·△X是f(X)在X的微分，記為dy，并稱f(X)在X可微。一元微積分中，可微可導等價。記A·△X=dy，則dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。

微分概念是在解決直與曲的矛盾中產生的，在微小局部可以用直線去近似替代曲線，它的直接應用就是函數的線性化。微分具有雙重意義：它表示一個微小的量，因此就可以把線性函數的數值計算結果作為本來函數的數值近似值，這就是運用微分方法進行近似計算的基本思想。

積分發展的動力源自實際應用中的需求。實際操作中，有時候可以用粗略的方式進行估算一些未知量，但隨著科技的發展，很多時候需要知道精確的數值。要求簡單幾何形體的面積或體積，可以套用已知的公式。比如一個長方體狀的游泳池的容積可以用長×寬×高求出。

但如果游泳池是卵形、拋物型或更加不規則的形狀，就需要用積分來求出容積。物理學中，常常需要知道一個物理量（比如位移）對另一個物理量（比如力）的累積效果，這時也需要用到積分。

勒貝格積分的出現源于概率論等理論中對更為不規則的函數的處理需要。黎曼積分無法處理這些函數的積分問題。因此，需要更為廣義上的積分概念，使得更多的函數能夠定義積分。同時，對于黎曼可積的函數，新積分的定義不應當與之沖突。勒貝格積分就是這樣的一種積分。

黎曼積分對初等函數和分段連續的函數定義了積分的概念，勒貝格積分則將積分的定義推廣到測度空間里。

勒貝格積分的概念定義在測度的概念上。測度是日常概念中測量長度、面積的推廣，將其以公理化的方式定義。黎曼積分實際可以看成是用一系列矩形來盡可能鋪滿函數曲線下方的圖形，而每個矩形的面積是長乘寬，或者說是兩個區間之長度的乘積。

測度為更一般的空間中的集合定義了類似長度的概念，從而能夠“測量”更不規則的函數曲線下方圖形的面積，從而定義積分。在一維實空間中，一個區間A= [a,b] 的勒貝格測度μ(A)是區間的右端值減去左端值，b−a。這使得勒貝格積分和正常意義上的黎曼積分相兼容。

在更復雜的情況下，積分的集合可以更加復雜，不再是區間，甚至不再是區間的交集或并集，其“長度”則由測度來給出。

參考資料：百度百科-微分百度百科-積分

微分和導數是什么關系？

一元函數中可導與可微等價。導數是函數圖像在某一點處的斜率，是縱坐標增量（Δy）和橫坐標增量（Δx）在Δx-->0時的比值。

微分的定義：由函數B=f(A)，得到A、B兩個數集，在A中當dx靠近自己時，函數在dx處的極限叫作函數在dx處的微分，微分的中心思想是無窮分割。微分是函數改變量的線性主要部分。微積分的基本概念之一。

擴展資料

微分概念在整個微積分體系中占有重要地位。理解微分概念是微積分教育的重要環節。在歷史上，微分的定義經歷了很長時間的發展。

牛頓、萊布尼茲是微積分的主要創建人，他們的微積分可以稱為第一代微積分，第一代微積分的方法是沒有問題的，而且獲得了巨大的成功，但是對微分的定義（即微分的本質到底是什么）的說明不夠清楚。

以柯西、維爾斯特拉斯等為代表的數學家在極限理論的基礎上建立了微積分原理，可以稱之為第二代微積分，并構成當前教學中微積分教材的主要內容。

第二代微積分與第一代微積分在具體計算方法上基本相同，第二代微積分表面上解決了微分定義的說明，但是概念和推理繁瑣迂回。

參考資料來源：百度百科-微分

參考資料來源：百度百科-導數

微分和導數有什么區別

1、定義不同

導數又名微商，當函數y=f（x）的自變量x在一點x0上產生一個增量Δx時，函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數。

微分在數學中的定義：由函數B=f(A)，得到A、B兩個數集，在A中當dx靠近自己時，函數在dx處的極限叫作函數在dx處的微分，微分的中心思想是無窮分割。微分是函數改變量的線性主要部分。

2、本質不同

導數是描述函數變化的快慢，微分是描述函數變化的程度。導數是函數的局部性質，一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。而微分是一個函數表達式，用于自變量產生微小變化時計算因變量的近似值。

3、幾何意義不同

導數的幾何意義是切線的斜率，微分的幾何意義是切線縱坐標的增量。因此微分可以用來做近似運算和誤差估計。最簡單的一元情況下，導數是一個確定的數值，幾何意義是切線斜率，物理意義是瞬時速度。

參考資料來源：百度百科-導數

參考資料來源：百度百科-微分

導數與微分的關系

導數和微分的區別

求微分和求導不一樣，定義不同。

求微分：由函數B=f(A)，得到A、B兩個數集，在A中當dx靠近自己時，函數在dx處的極限叫作函數在dx處的微分，微分的中心思想是無窮分割。求導：當自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限。

函數（function）的定義通常分為傳統定義和近代定義，函數的兩個定義本質是相同的，只是敘述概念的出發點不同，傳統定義是從運動變化的觀點出發，而近代定義是從集合、映射的觀點出發。

函數的近代定義是給定一個數集A，假設其中的元素為x，對A中的元素x施加對應法則f，記作f（x），得到另一數集B，假設B中的元素為y，則y與x之間的等量關系可以用y=f（x）表示，函數概念含有三個要素：定義域A、值域C和對應法則f。

擴展資料：

設函數y = f(x)在x0的鄰域內有定義，x0及x0 + Δx在此區間內。如果函數的增量Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)可表示為 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依賴于Δx的常數），而o(Δx)是比Δx高階的無窮小，(注：o讀作奧密克戎，希臘字母),那么稱函數f(x)在點x0是可微的。

且AΔx稱作函數在點x0相應于自變量增量Δx的微分，記作dy，即dy = AΔx。函數的微分是函數增量的主要部分，且是Δx的線性函數，故說函數的微分是函數增量的線性主部（△x→0）。

通常把自變量x的增量 Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx = Δx。于是函數y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx。函數的微分與自變量的微分之商等于該函數的導數。因此，導數也叫做微商。

當自變量X改變為X+△X時，相應地函數值由f(X)改變為f(X+△X)，如果存在一個與△X無關的常數A，使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0關于△X的高階無窮小量，則稱A·△X是f(X)在X的微分，記為dy，并稱f(X)在X可微。一元微積分中，可微可導等價。記A·△X=dy，則dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。

微分概念是在解決直與曲的矛盾中產生的，在微小局部可以用直線去微分近似替代曲線，它的直接應用就是函數的線性化。微分具有雙重意義：它表示一個微小的量，因此就可以把線性函數的數值計算結果作為本來函數的數值近似值，這就是運用微分方法進行近似計算的基本思想。