復合函數求導(復合函數求導法則)

復合函數如何求導呢？

復合函數如何求導規則：

1、設u=g(x)，對f(u)求導得：f'(x)=f'(u)*g'(x)；

2、設u=g(x),a=p(u)，對f(a)求導得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)。

定義

設函數y=f(u)的定義域為Du，值域為Mu，函數u=g(x)的定義域為Dx，值域為Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么對于Mx∩Du內的任意一個x經過u；有唯一確定的y值與之對應，則變量x與y之間通過變量u形成的一種函數關系，這種函數稱為復合函數（composite function)，記為：y=f，其中x稱為自變量，u為中間變量，y為因變量（即函數）。

定義域

若函數y=f(u)的定義域是B,u=g(x)的定義域是A,則復合函數y=f的定義域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B}綜合考慮各部分的x的取值范圍，取他們的交集。

周期性

設y=f(u)的最小正周期為T1,μ＝φ（x)的最小正周期為T2,則y=f(μ）的最小正周期為T1*T2，任一周期可表示為k*T1*T2(k屬于R+).4、單調（增減）性的決定因素：依y=f(u)，μ＝φ（x)的單調性來決定。

即“增＋增＝增；減＋減＝增；增＋減＝減；減＋增＝減”，可以簡化為“同增異減”。

復合函數求導法則Y=f(u),U=g(x),則y′＝f(u)′＊g(x)′

例：

1、y=Ln(x^3),Y=Ln(u),U=x^3,y′＝f(u)′＊g(x)′＝＊(x^3)′＝＊(3x^2)=(3x^2)/Ln(x^3)]。

2、y=cos(x/3),Y=cosu,u=x/3由復合函數求導法則得y=-sin(x/3)*(1/3 )=-sin(x/3)/3。

復合函數性質是什么復合函數的性質由構成它的函數性質所決定，具備如下規律：

（1)單調性規律如果函數u=g(x)在區間［m，n］上是單調函數，且函數y=f(u)在區間［g(m)，g(n)] (或［g(n)，g(m)])上也是單調函數，那么若u=g(x)，y=f(u)增減性相同，則復合函數y=f為增函數；若u=g(x)，y= f(u)增減性不同，則y=f為減函數。

（2)奇偶性規律若函數g(x)，f(x)，f的定義域都是關于原點對稱的，則u=g(x)，y=f(u)都是奇函數y=f是奇函數；u=g(x)，y=f(u)都是偶函數，或者一奇一偶時，y= f是偶函數。

復合函數求導怎么求？

復合函數求導公式：①設u＝g（x），對f（u）求導得：f＇（x）＝f＇（u）＊g＇（x），設u＝g（x），a＝p（u），對f（a）求導得：f＇（x）＝f＇（a）＊p＇（u）＊g＇（x）。

設函數y＝f（u）的定義域為Du，值域為Mu，函數u＝g（x）的定義域為Dx，值域為Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么對于Mx∩Du內的任意一個x經過u。

有唯一確定的y值與之對應，則變量x與y之間通過變量u形成的一種函數關系，記為：y＝f［g（x）］，其中x稱為自變量，u為中間變量，y為因變量（即函數）。

擴展資料

求函數的定義域主要應考慮以下幾點：

⑴當為整式或奇次根式時，R的值域；

⑵當為偶次根式時，被開方數不小于0（即≥0）；

⑶當為分式時，分母不為0；當分母是偶次根式時，被開方數大于0；

⑷當為指數式時，對零指數冪或負整數指數冪，底不為0（如，中）。

⑸當是由一些基本函數通過四則運算結合而成的，它的定義域應是使各部分都有意義的自變量的值組成的集合，即求各部分定義域集合的交集。

⑹分段函數的定義域是各段上自變量的取值集合的并集。

⑺由實際問題建立的函數，除了要考慮使解析式有意義外，還要考慮實際意義對自變量的要求

⑻對于含參數字母的函數，求定義域時一般要對字母的取值情況進行分類討論，并要注意函數的定義域為非空集合。

⑼對數函數的真數必須大于零，底數大于零且不等于1。

⑽三角函數中的切割函數要注意對角變量的限制。

復合函數如何求導公式

復合函數求導公式：①設u=g(x)，對f(u)求導得：f'(x)=f'(u)*g'(x)，設u=g(x),a=p(u)，對f(a)求導得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)。

設函數y=f(u)的定義域為Du，值域為Mu，函數u=g(x）的定義域為Dx，值域為Mx，如果 Mx∩Du≠Ø，那么對于Mx∩Du內的任意一個x經過u，有唯一確定的y值與之對應，則變量x與y 之間通過變量u形成的一種函數關系，記為： y=f[g(x)]，其中x稱為自變量，u為中間變量，y為因變量（即函數）。

擴展資料：

注意事項：

1、若x處于分母位置，則分母x不能為0。

2、偶次方根的被開方數不小于0。

3、對數式的真數必須大于0。

4、指數對數式的底，不得為1，且必須大于0。

5、指數為0時，底數不得為0。

6、如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的，那么定義域是各個部分都有意義的x值組成的集合。

7、實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義。

參考資料來源：百度百科-復合函數

復合函數求導

復合函數求導，如果遇到分式，可用以下兩種求導:
1.型如Z=f(x)/g(x)，則Z對x求導，可用函數商的求導法則，即:Z'=[f'(x)g(x)一f(x)g'‘(x)]/g^2(x)。
2.對上式，還可轉換為乘積形式來求，此時有:
Zg(x)=f(x)，再兩邊求導得:
Z'g(x)+Zg'(x)=f'(x)
即:
Z'=[f'(x)-Zg'(x)]/g(x)
最后代入Z即可。

復合函數怎么求導

復合函數求導的方法如下：

總的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)

比如說：求ln(x+2)的導函數

[ln(x+2)]'=[1/(x+2)] 注：此時將(x+2)看成一個整體的未知數x' ×1注：1即為（x+2)的導數。

主要方法：先對該函數進行分解，分解成簡單函數，然后對各個簡單函數求導，最后將求導后的結果相乘，并將中間變量還原為對應的自變量。

復合函數證明方法如下：

先證明個引理：

f(x)在點x0可導的充要條件是在x0的某鄰域U(x0)內，存在一個在點x0連續的函數H(x),使f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0)從而f'(x0)=H(x0)

證明：設f(x)在x0可導，令 H(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈U'(x0)(x0去心鄰域)；H(x)=f'(x0),x=x0

因lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=H(x0)

所以H(x)在點x0連續，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

反之，設存在H(x),x∈U(x0),它在點x0連續，且f(x)-f(x0)=H(x)(x-x0),x∈U(x0)

因存在極限lim(x->x0)H(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f'(x)=H(x0)

所以f(x)在點x0可導，且f'(x0)=H(x0)

引理證畢。

設u=φ(x)在點u0可導，y=f(u)在點u0=φ(x0)可導，則復合函數F(x)=f(φ(x))在x0可導，且F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)

證明：由f(u)在u0可導，由引理必要性，存在一個在點u0連續的函數H(u),使f'(u0)=H(u0),且f(u)-f(u0)=H(u)(u-u0)

又由u=φ(x)在x0可導，同理存在一個在點x0連續函數G(x),使φ'(x0)=G(x0),且φ(x)-φ(x0)=G(x)(x-x0)

于是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=H(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=H(φ(x))G(x)(x-x0)

因為φ，G在x0連續，H在u0=φ(x0)連續，因此H(φ(x))G(x)在x0連續，再由引理的充分性可知F(x)在x0可導，且

F'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)

證法二：y=f(u)在點u可導，u=g(x)在點x可導，則復合函數y=f(g(x))在點x0可導，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

證明：因為y=f(u)在u可導，則lim(Δu->0)Δy/Δu=f'(u)或Δy/Δu=f'(u)+α(lim(Δu->0)α=0)

當Δu≠0，用Δu乘等式兩邊得，Δy=f'(u)Δu+αΔu

但當Δu=0時，Δy=f(u+Δu)-f(u)=0,故上等式還是成立。

又因為Δx≠0,用Δx除以等式兩邊，且求Δx->0的極限，得

dy/dx=lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)[f'(u)Δu+αΔu]/Δx=f'(u)lim(Δx->0)Δu/Δx+lim(Δx->0)αΔu/Δx

又g(x)在x處連續(因為它可導),故當Δx->0時，有Δu=g(x+Δx)-g(x)->0

則lim(Δx->0)α=0

最終有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)

復合函數如何求導

復合函數求導法則如下：

一般地，對于函數y=f(u)和u=g(ⅹ)復合而成的函數y=f(g(ⅹ))，它的導數與函數y=f(u)，u=g(x)的導數間的關系為yⅹ＇=yu＇·uⅹ＇，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x導數的乘積。

總的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)

比如說：求ln(x+2)的導函數

[ln(x+2)]'=[1/(x+2)] 【注：此時將(x+2)看成一個整體的未知數x'】 ×1【注：1即為(x+2)的導數】

復合函數求導的步驟:

1、分層：選擇中間變量，寫出構成它的內，外層函數。

2、分別求導：分別求各層函數對相應變量的導數。

3、相乘：把上述求導的結果相乘。

4、變量回代：把中間變量回代。

主要方法：

先對該函數進行分解，分解成簡單函數，然后對各個簡單函數求導，最后將求導后的結果相乘，并將中間變量還原為對應的自變量。例如，復合函數求導。

求復合函數的導數注意:

1、分解的函數通常為基本初等函數。

2、求導時分清是對哪個變量求導。

3、計算結果盡量簡單。

4、對含有三角函數的函數求導，往往需要利用三角恒等變換公式，對函數式進行化簡，使函數的種類減少，次數降低，結構盡量簡單，從而便于求導。

5、分析待求導的函數的運算結構，弄清函數是由哪些基本初等函數通過何種運算而構成的，確定所需的求導公式。