柯西中值定理(柯西中值定理幾何意義)

柯西中值定理

柯西中值定理的證明：

因?yàn)楹瘮?shù) f(x) 在閉區(qū)間[a,b] 上連續(xù)，所以存在最大值與最小值，分別用 M 和 m 表示，分兩種情況討論：

若 M=m，則函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 [a,b] 上必為常函數(shù)，結(jié)論顯然成立。

若 M>m，則因?yàn)?f(a)=f(b) 使得最大值 M 與最小值 m 至少有一個(gè)在 (a,b) 內(nèi)某點(diǎn)ξ處取得，從而ξ是f(x)的極值點(diǎn)，又條件 f(x) 在開(kāi)區(qū)間 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)得，f(x) 在 ξ 處取得極值，由費(fèi)馬引理推知：f'(ξ)=0。

另證：若 M>m ，不妨設(shè)f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可導(dǎo)條件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由極限存在定理知左右極限均為 0，得證。

擴(kuò)展資料：

范例解析

用羅爾中值定理證明：方程

3

在 (0,1) 內(nèi)有實(shí)根。

證明：設(shè)

則 F(x) 在 [0,1] 上連續(xù)，在 (0,1) 內(nèi)可導(dǎo)，

，所以由羅爾中值定理，至少存在一點(diǎn)

，使得

，所以

，所以ξ是方程

在 (0,1) 內(nèi)的一個(gè)實(shí)根。

結(jié)論得證。

柯西中值定理的條件

柯西中值定理的條件如下：

如果連續(xù)曲線弧AB上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于橫軸的切線，那么弧段上至少有一點(diǎn)C，使曲線在點(diǎn)C處的切線平行于弧AB。拉格朗日中值定理，也簡(jiǎn)稱(chēng)中值定理，是羅爾中值定理的更一般的形式，同時(shí)也是柯西中值定理的特殊情形。

a 推導(dǎo)中值公式

要點(diǎn) Cauchy 中值定理 : 若F(x)，G(x)在 [a,b] 上連續(xù)，在 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，G'(x)≠0，則

∃ξ∈(a,b)，使得F(b)−F(a)/G(b)−G(a)=F′(ξ)G′(ξ)

當(dāng)我們適當(dāng)選取函數(shù)F(x)、G(x)，就可以得到新的中值公式。

b 作為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

要點(diǎn) 由Cauchy中值定理可知,若F(x)，G(x)在某區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)，則∀x1x2∈I ，∃ξ使得

F(x2)−F(x1)G(x2)−G(x1)=F′(ξ)G′(ξ)(ξ在與x1與x2之間)。

即Cauchy中值公式給出了函數(shù)差分比與導(dǎo)數(shù)比的一種關(guān)系，利用在與x1與x2之間，我們能解決

不少問(wèn)題 (雖然ξ在x1x2之間什么位置不能肯定)。

怎樣理解柯西中值定理？

解：1.柯西中值定理：設(shè)函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)滿足：(1)在閉區(qū)間[a,b]：(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)：(3)在區(qū)間(a,b)內(nèi)g'(ε)≠0.那么,在(a,b)內(nèi),至少存在一點(diǎn)ε,使得[f(b)
-
f(a)]/[g(b)
-
g(a)]=f'(ε)/g'(ε)
2.幾何意義是：由參數(shù)方程x=g(t),y=f(t)表示的曲線弧上存在點(diǎn)(g(ζ),f(ζ))，使得該點(diǎn)處曲線的切線斜率等于連接曲線弧端點(diǎn)(g(a),f(a))和(g(b),f(b))的直線的斜率。

柯西中值定理的概念

柯西（Cauchy）中值定理：設(shè)函數(shù)滿足
⑴在閉區(qū)間上連續(xù)；
⑵在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；
⑶對(duì)任意，，
那么在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得
與拉氏定理的聯(lián)系
在柯西中值定理中，若取g(x)=x時(shí)，則其結(jié)論形式和拉格朗日中值定理的結(jié)論形式相同。
因此，拉格朗日中值定理為柯西中值定理的一個(gè)特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推廣。

柯西中值定理

柯西（Cauchy）中值定理：設(shè)函數(shù)f(m)g(m)

滿足

⑴在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；

⑵在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；

⑶對(duì)任意的m屬于(a,b)，g'(m)≠0

那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)y屬于(a,b)，使得f(b) - f(a)/ g(b) - g(a)＝ f'(y) - g'(y)成 立

推論:

如果函數(shù) 在區(qū)間 上的導(dǎo)數(shù) 恒為零，那么函數(shù) 在區(qū)間 上是一個(gè)常數(shù)。

洛必達(dá)法則

柯西中值定理的一個(gè)最重要的應(yīng)用就是可以推導(dǎo)計(jì)算待定型的極限最有效的方法——洛必達(dá)法則。

洛必達(dá)法則是求兩個(gè)無(wú)窮小量或兩個(gè)無(wú)窮大量的比的極限。在滿足一定條件下可以化成兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的比值極限，這樣就有可能使得原待定型變成簡(jiǎn)便而有效的求非待定型極限的問(wèn)題。

柯西中值定理,你學(xué)過(guò)嗎

1、柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，是微分學(xué)的基本定理之一。其幾何意義為，用參數(shù)方程表示的曲線上至少有一點(diǎn)，它的切線平行于兩端點(diǎn)所在的弦。該定理可以視作在參數(shù)方程下拉格朗日中值定理的表達(dá)形式。
2、柯西中值定理粗略地表明，對(duì)于兩個(gè)端點(diǎn)之間的給定平面弧，至少有一個(gè)點(diǎn)，使曲線在該點(diǎn)的切線平行于兩端點(diǎn)所在的弦。
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