弦切角定理證明

1

切線長定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理

以及與圓有關的比例線段

［學習目標］

1.切線長概念

切線長是在經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長度，“切線長”是切線

上一條線段的長，具有數量的特征，而“切線”是一條直線，它不可以度量長度。（PA長）

2.切線長定理

對于切線長定理，應明確（1）若已知圓的兩條切線相交，則切線長相等；（2）若已知兩條切

線平行，則圓上兩個切點的連線為直徑；（3）經過圓外一點引圓的兩條切線，連結兩個切點可得

到一個等腰三角形；（4）經過圓外一點引圓的兩條切線，切線的夾角與過切點的兩個半徑的夾角

互補；（5）圓外一點與圓心的連線，平分過這點向圓引的兩條切線所夾的角。

3.弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角。

直線AB切⊙O于P，PC、PD為弦，圖中幾個弦切角呢？（四個）

4.弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對的圓周角。

5.弄清和圓有關的角：圓周角，圓心角，弦切角，圓內角，圓外角。

6.遇到圓的切線，可聯想“角”弦切角，“線”切線的性質定理及切線長定理。

7.與圓有關的比例線段

定理圖形已知結論證法

相交弦定

理

⊙O中，AB、CD為弦，交

于P.

PA·PB＝PC·PD.連結AC、BD，證：

△APC∽△DPB.

相交弦定

理的推論

⊙O中，AB為直徑，CD⊥AB

于P.

PC2＝PA·PB.

（特殊情況）

用相交弦定理.

2

切割線定

理

⊙O中，PT切⊙O于T，

割線PB交⊙O于A

PT2＝PA·PB連結TA、TB，證：

△PTB∽△PAT

切割線定

理推論

PB、PD為⊙O的兩條割線，

交⊙O于A、C

PA·PB＝PC·PD過P作PT切⊙O于T，用

兩次切割線定理

（記憶的方法方法）

圓冪定理⊙O中，割線PB交⊙O于

A，CD為弦

P'C·P'D＝r2－

OP'2

PA·PB＝OP2－r2

r為⊙O的半徑

延長P'O交⊙O于M，延

長OP'交⊙O于N，用相交

弦定理證；過P作切線用

切割線定理勾股定理證

8.圓冪定理：過一定點P向⊙O作任一直線，交⊙O于兩點，則自定點P到兩交點的兩條線段之積

為常數||（R為圓半徑），因為叫做點對于⊙O的冪，所以將上述定理統稱為

圓冪定理。

【典型例題】

例1.如圖1，正方形ABCD的邊長為1，以BC為直徑。在正方形內作半圓O，過A作半圓切線，切

點為F，交CD于E，求DE：AE的值。

圖1

解：由切線長定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE

設CE為x，在Rt△ADE中，由勾股定理

∴，，

3

例2.⊙O中的兩條弦AB與CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。

圖2

解：由相交弦定理，得

AE·BE＝CE·DE

∵AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，

，

∴，

即

∴CE＝3cm或CE＝4cm。

故應填3或4。

點撥：相交弦定理是較重要定理，結果要注意兩種情況的取舍。

例3.已知PA是圓的切線，PCB是圓的割線，則________。

解：∵∠P＝∠P

∠PAC＝∠B，

∴△PAC∽△PBA，

∴，

∴。

又∵PA是圓的切線，PCB是圓的割線，由切割線定理，得

∴，

即，

故應填PC。

點撥：利用相似得出比例關系式后要注意變形，推出所需結論。

4

例4.如圖3，P是⊙O外一點，PC切⊙O于點C，PAB是⊙O的割線，交⊙O于A、B兩點，如果PA：

PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半徑為10cm，則圓心O到AB的距離是___________cm。

圖3

解：∵PC是⊙O的切線，PAB是⊙O的割線，且PA：PB＝1：4

∴PB＝4PA

又∵PC＝12cm

由切割線定理，得

∴

∴，

∴

∴PB＝4×6＝24（cm）

∴AB＝24－6＝18（cm）

設圓心O到AB距離為dcm，

由勾股定理，得

故應填。

例5.如圖4，AB為⊙O的直徑，過B點作⊙O的切線BC，OC交⊙O于點E，AE的延長線交BC于點

D，（1）求證：；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的長。

圖4

點悟：要證，即要證△CED∽△CBE。

證明：（1）連結BE

5

（2）

。

又∵，

∴厘米。

點撥：有切線，并需尋找角的關系時常添輔助線，為利用弦切角定理創造條件。

例6.如圖5，AB為⊙O的直徑，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延長線于E。

圖5

求證：

證明：連結BD，

∵AE切⊙O于A，

∴∠EAD＝∠ABD

∵AE⊥AB，又AB∥CD，

∴AE⊥CD

∵AB為⊙O的直徑

∴∠ADB＝90°

∴∠E＝∠ADB＝90°

∴△ADE∽△BAD

∴

∴

∵CD∥AB

∴AD＝BC，∴

6

例7.如圖6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB為割線。求證：AD·BC＝CD·AB

圖6

點悟：由結論AD·BC＝CD·AB得，顯然要證△PAD∽△PBA和△PCD∽△PBC

證明：∵PA切⊙O于A，

∴∠PAD＝∠PBA

又∠APD＝∠BPA，

∴△PAD∽△PBA

∴

同理可證△PCD∽△PBC

∴

∵PA、PC分別切⊙O于A、C

∴PA＝PC

∴

∴AD·BC＝DC·AB

例8.如圖7，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB邊為直徑作⊙O，交斜邊BC于點D，過D點

作⊙O的切線交AC于E。

圖7

求證：BC＝2OE。

點悟：由要證結論易想到應證OE是△ABC的中位線。而OA＝OB，只須證AE＝CE。

證明：連結OD。

∵AC⊥AB，AB為直徑

∴AC為⊙O的切線，又DE切⊙O于D

∴EA＝ED，OD⊥DE

∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB

在Rt△ABC中，∠C＝90°－∠B

∵∠ODE＝90°

∴

∴∠C＝∠EDC

∴ED＝EC

∴AE＝EC

∴OE是△ABC的中位線

∴BC＝2OE

7

例9.如圖8，在正方形ABCD中，AB＝1，是以點B為圓心，AB長為半徑的圓的一段弧。點E

是邊AD上的任意一點（點E與點A、D不重合），過E作所在圓的切線，交邊DC于點F，G

為切點。

當∠DEF＝45°時，求證點G為線段EF的中點；

圖8

解：由∠DEF＝45°，得

，

∴∠DFE＝∠DEF

∴DE＝DF

又∵AD＝DC

∴AE＝FC

因為AB是圓B的半徑，AD⊥AB，所以AD切圓B于點A；同理，CD切圓B于點C。

又因為EF切圓B于點G，所以AE＝EG，FC＝FG。

因此EG＝FG，即點G為線段EF的中點。

【模擬試題】（答題時間：40分鐘）

一、選擇題

1.已知：PA、PB切⊙O于點A、B，連結AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，則PA＝（）

A.B.C.5D.8

2.下列圖形一定有內切圓的是（）

A.平行四邊形B.矩形

C.菱形D.梯形

3.已知：如圖1直線MN與⊙O相切于C，AB為直徑，∠CAB＝40°，則∠MCA的度數（）

圖1

A.50°B.40°C.60°D.55°

8

4.圓內兩弦相交，一弦長8cm且被交點平分，另一弦被交點分為1：4，則另一弦長為（）

A.8cmB.10cmC.12cmD.16cm

5.在△ABC中，D是BC邊上的點，AD，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延長線與

△ABC的外接圓的交點，那么DE長等于（）

A.B.

C.D.

切⊙O于T，CT為直徑，D為OC上一點，直線PD交⊙O于B和A，B在線段PD上，若CD

＝2，AD＝3，BD＝4，則PB等于（）

A.20B.10C.5D.

二、填空題

、CD是⊙O切線，AB∥CD，EF是⊙O的切線，它和AB、CD分別交于E、F，則∠EOF＝

_____________度。

8.已知：⊙O和不在⊙O上的一點P，過P的直線交⊙O于A、B兩點，若PA·PB＝24，OP＝5，

則⊙O的半徑長為_____________。

9.若PA為⊙O的切線，A為切點，PBC割線交⊙O于B、C，若BC＝20，，則PC的

長為_____________。

10.正△ABC內接于⊙O，M、N分別為AB、AC中點，延長MN交⊙O于點D，連結BD交AC于P，

則_____________。

三、解答題

11.如圖2，△ABC中，AC＝2cm，周長為8cm，F、K、N是△ABC與內切圓的切點，DE切⊙O于點

M，且DE∥AC，求DE的長。

圖2

9

12.如圖3，已知P為⊙O的直徑AB延長線上一點，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求證：CB平分

∠DCP。

圖3

13.如圖4，已知AD為⊙O的直徑，AB是⊙O的切線，過B的割線BMN交AD的延長線于C，且

BM＝MN＝NC，若AB，求⊙O的半徑。

圖4

10

【試題答案】

一、選擇題

1.A2.C3.A4.B5.B6.A

二、填空題

7.908.19.3010.

三、解答題：

11.由切線長定理得△BDE周長為4，由△BDE∽△BAC，得DE＝1cm

12.證明：連結AC，則AC⊥CB

∵CD⊥AB，∴△ACB∽△CDB，∴∠A＝∠1

∵PC為⊙O的切線，∴∠A＝∠2，又∠1＝∠2，

∴BC平分∠DCP

13.設BM＝MN＝NC＝xcm

又∵

∴

又∵OA是過切點A的半徑，∴OA⊥AB即AC⊥AB

在Rt△ABC中，由勾股定理，得，

由割線定理：，又∵

∴

∴半徑為。