等差數列公式(等差數列公式前n項和)

數列作為高考數學重點內容，一直是高考數學的熱點和必考的考點，自然而然受到廣大考生的關注。

在高考數學里數列一般就涉及等差數列和等比數列相關知識內容，因此，今天我們就一起來簡單講講等差數列及其前n項的和相關的考點，進行分析，希望能幫助到大家。

什么是等差數列？

如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列．符號表示為an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數)．

其中有一個非常重要的知識概念：等差中項。指的是在數列中，a，A，b成等差數列的充要條件是A＝(a＋b)/2其中A叫做a，b的等差中項．

我們還要記住兩個跟等差數列的有關公式：

1、通項公式：an＝a1＋(n－1)d.

2、前n項和公式：Sn＝na1＋n(n-1)d/2＝(a1+an)n/2.

因此，反過來我們去證明{an}為等差數列可以有以下這些方法：

1、用定義證明：an－an－1＝d(d為常數，n≥2)?{an}為等差數列；

2、用等差中項證明：2an＋1＝an＋an＋2?{an}為等差數列；

3、通項法：an為n的一次函數?{an}為等差數列；

4、前n項和法：Sn＝An2＋Bn或Sn＝(a1+an)n/2.

用定義證明等差數列時，常采用的兩個式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它們的意義不同，后者必須加上“n≥2”，否則n＝1時，a0無定義．

典型例題1：

值得注意是與前n項和有關的三類問題

1、知三求二：已知a1、d、n、an、Sn中的任意三個，即可求得其余兩個，這體現了方程思想．

2、Sn＝d/2n2＋(a1-d/2)n＝An2＋Bn?d＝2A.

3、利用二次函數的圖象確定Sn的最值時，最高點的縱坐標不一定是最大值，最低點的縱坐標不一定是最小值。

等差數列的通項公式an＝a1＋(n－1)d及前n項和公式Sn＝na1＋n(n-1)d/2＝(a1+an)n/2，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現了方程的思想。

數列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法。

典型例題2：

等差數列的性質是等差數列的定義、通項公式以及前n項和公式等基礎知識的推廣與變形，熟練掌握和靈活應用這些性質可以有效、方便、快捷地解決許多等差數列問題．

應用等差數列的性質解答問題的關鍵是尋找項的序號之間的關系．

對于設元與解題的技巧，我們可以從以下兩個方面下手：

1、已知三個或四個數組成等差數列的一類問題，要善于設元，若奇數個數成等差數列且和為定值時，可設為…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；

2、若偶數個數成等差數列且和為定值時，可設為…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各項再依據等差數列的定義進行對稱設元．

同時我們還要掌握好這些等差數列的性質：

1、若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{an}為等差數列，則am＋an＝ap＋aq.

2．在等差數列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，…仍為等差數列，公差為kd.

3、若{an}為等差數列，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍為等差數列，公差為n2d.

4、等差數列的增減性：d>0時為遞增數列，且當a1<0時前n項和Sn有最小值．d<0時為遞減數列，且當a1>0時前n項和Sn有最大值。

5、等差數列{an}的首項是a1，公差為d.若其前n項之和可以寫成Sn＝An2＋Bn，則A＝d/2，B＝a1－d/2，當d≠0時它表示二次函數，數列{an}的前n項和Sn＝An2＋Bn是{an}成等差數列的充要條件。