復(fù)數(shù)形式(復(fù)數(shù)形式什么時(shí)候加es什么時(shí)候加s)

復(fù)數(shù)(Complex)作為實(shí)數(shù)的拓展歷史悠久, 一度曾被叫做子虛烏有的數(shù)(imaginary), 直到十八世紀(jì)初經(jīng)過棣莫弗及歐拉大力推動(dòng), 才被數(shù)學(xué)家們漸漸接受.

確實(shí)理解復(fù)數(shù)確實(shí)需要一點(diǎn)時(shí)間, 不過它并不復(fù)雜, 而且利用它還能畫出非常美麗的變換和分形圖形, 這次讓我們用圖形可視化的方式來擁抱這個(gè)概念.

復(fù)數(shù), 作為實(shí)數(shù)理論的延伸

先來看看在實(shí)數(shù)軸上兩個(gè)數(shù)的加減乘除這 4 種運(yùn)算. 觀察到紅藍(lán)兩個(gè)點(diǎn)(數(shù)), 在不同的計(jì)算下, 其結(jié)果(綠點(diǎn))的變化, 不管數(shù)怎樣變化, 都總還落在數(shù)軸上(除法分母為 0 時(shí)候, 當(dāng)然沒有意義).

再來看下圖中, 任何實(shí)數(shù)乘以 -1 的結(jié)果都會(huì)落在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱相應(yīng)的位置上. 所以乘以 -1 的計(jì)算可以理解為該點(diǎn)(數(shù))繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了半圈.

數(shù)學(xué)家進(jìn)一步思考, 既然乘以 -1 是轉(zhuǎn)動(dòng) 180°, 那么只轉(zhuǎn)動(dòng)了 90° (比如整數(shù) 1 )落在哪里? 有什么意義呢?

進(jìn)入新的二維復(fù)數(shù)平面

這是19世紀(jì)數(shù)學(xué)史上非常重要的一步, 現(xiàn)在不在是在一維的實(shí)數(shù)軸上, 而是進(jìn)入了二維的復(fù)平面.

考慮到轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè) 90° 會(huì)剛好到 -1. 所以認(rèn)為 -1 的平方根是相應(yīng)于 1 的一個(gè) 90度的旋轉(zhuǎn)(也就是 1*i*i=-1), 這樣在平面上與實(shí)數(shù)軸垂直的單位線段, 稱為是 1 個(gè)虛數(shù)單位 i . 于是有著性質(zhì):

這個(gè)沒在實(shí)數(shù)軸上奇怪的點(diǎn)實(shí)際上落在復(fù)數(shù)平面(complex plane, 或稱為阿爾岡平面)上了, 所有在復(fù)平面上的數(shù)都滿足 z=a+b i 這樣的結(jié)構(gòu), 稱之為復(fù)數(shù). 其中a 稱為實(shí)部(real part), b 為虛部(imaginary part). 如下圖 1+2i 復(fù)數(shù), 1 和 2 是實(shí)數(shù), i 是虛數(shù)單位, 這樣的復(fù)平面幾何表示如下圖所示:

現(xiàn)在來看直角坐標(biāo)平面是二維的, 需要兩個(gè)數(shù)(x,y)來描述任意一點(diǎn)的位置, 但現(xiàn)在用一個(gè)復(fù)數(shù)就夠了, 可以用實(shí)數(shù)組(a,b)代表這個(gè)復(fù)數(shù), 并且可以在復(fù)平面上繪制出來. 不過請(qǐng)記住這里應(yīng)該將每個(gè)這樣的點(diǎn)看做一個(gè)復(fù)數(shù), 而不是一對(duì)實(shí)數(shù).

還有三個(gè)新概念需要知曉:

復(fù)數(shù)的模(modulus, 通常寫為 |z|)輻角(argument, 通常寫為 arg(z))復(fù)數(shù)的共軛(conjugate,通常寫為 ˉz)

復(fù)數(shù)的模就是它長(zhǎng)度 r: 從原點(diǎn)到 z 點(diǎn)之間的距離. 輻角 φ 就是與實(shí)軸的夾角, 共軛就是 a-b i 的形式. 觀察下圖可以更好理解:

復(fù)數(shù)的運(yùn)算操作

復(fù)數(shù)有如何運(yùn)算, 比如可以兩兩相加, 也就是兩個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部分別對(duì)應(yīng)相加, 可以看成是平移的操作.

復(fù)數(shù)也可以有數(shù)乘運(yùn)算, 就是對(duì)模的放大或縮小了:

復(fù)數(shù)的乘法, 就如上面所述, 數(shù)乘以 i 相當(dāng)于這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng) 90°:

z1*z2 兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘其實(shí)就是旋轉(zhuǎn)+伸縮兩種變換, 也就是兩個(gè)復(fù)數(shù)的模相乘(伸縮大小), 輻角相加(旋轉(zhuǎn)量).

如果對(duì)圖片中的每一點(diǎn)做復(fù)數(shù)運(yùn)算的變換, 可以得到各種有趣的平面變換圖像. 這里為了紀(jì)念歐拉大神, 就以他老人家頭像為例, 比如做乘以 2 i 的函數(shù)變換 - 旋轉(zhuǎn) 90°, 同時(shí)放大了2 倍的變換; 另一個(gè)變換函數(shù)為三次方, 你也可以思考為什么會(huì)變成這個(gè)形狀呢? :-)　

最美的數(shù)學(xué)公式 - 歐拉公式

復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)可以轉(zhuǎn)成極坐標(biāo)(不清楚可查看這里)的形式 (r,θ), 那么該點(diǎn)所表示的復(fù)數(shù)是什么呢？可用 x = r cos(θ) 和 y = r sin(θ) 來轉(zhuǎn)化到笛卡爾坐標(biāo). 所以極坐標(biāo) (r, θ) 表示復(fù)數(shù) z = x + iy = r cos(θ) + i r sin(θ).

特別的, 如果 r = 1, 則 z = cos(θ) + i sin(θ).

形如 r e^(i θ) 的復(fù)數(shù)為極坐標(biāo)形式, 并且與之相對(duì)的 x+iy 為笛卡爾形式. 1743 年, 瑞士數(shù)學(xué)家歐拉給出了著名的歐拉公式, 對(duì)所有實(shí)數(shù) θ 都成立:

特別當(dāng) θ=π 時(shí)，歐拉公式的特殊形式更是被評(píng)為數(shù)學(xué)上最美的公式:

這個(gè)簡(jiǎn)潔公式包括了 5 個(gè)數(shù)學(xué)上最重要的常數(shù): 0, 1(自然數(shù)的基本單位), e(描述變化率的自然指數(shù)), π 以及 i(虛數(shù)的基本單位).

我們可以很快用幾何的方法來證明該等式, 觀察下圖不同的 θ 值對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo) e^θ, 請(qǐng)留意動(dòng)畫停頓之處(特別是在復(fù)平面旋轉(zhuǎn)角度為 180°, 點(diǎn)落到等于 -1 的時(shí)刻), 相信就會(huì)理解上面的歐拉等式:

關(guān)于復(fù)數(shù), 還可以進(jìn)一步查看這里《文化脈絡(luò)中的數(shù)學(xué)》- 【從復(fù)數(shù)開始的科技文明】部分, 相信會(huì)有更多的收獲.

原作者：遇見數(shù)學(xué)

編輯：天津新東方大學(xué)考試-王老師

審核：sorin