小波變換(小波變換圖像處理)

提到卡農（Canon），你們首先想到的可能是電影《我的野蠻女友》中全智賢彈奏的那一首《Canon in D》。這是一個普遍存在的誤解，卡農并非某支曲子獨有的名字，而是類似于絕句、律詩這樣的格式，凡是滿足這樣格式的曲子，統統都稱為卡農。

卡農曲的基本點是一個單一的主題與它自己相伴而奏。由加入的各個不同聲部分別唱出主題的“副本”。做這種事可以有許多方式，最簡單的一種實現方式是輪唱，像《保衛黃河》，第一個聲部先唱出主題，隔一段時間后，這一主題的“副本”在完全一樣的調上加入演奏，在規定的時間結束后，第三個聲部再加入演奏，唱出主題，以此類推。這樣的演唱方式對于大部分的主題而言是難以和諧的。所以，某一主題能成為卡農曲的主題，它的每個音符必須起到多種作用——首先它是主題旋律的一部分，其次它還與所有共同演奏的不同聲部產生和聲——即在一個包含三個聲部的曲子里，主題的每個音符除了要構成曲調，還要與主題上的另外兩個音符構成和聲。下面提供一支世界著名的卡農曲，結合上文描述的卡農特征，幫助大家更為直觀地認識什么是卡農。

作曲家們似乎覺得只在時間上將每個聲部分開顯得過于簡單，所以還存在更為復雜的卡農曲。第一種復雜的卡農是：主題的各個“副本”不僅在時間上，同時在音高上互相交錯。除音高外，各個聲部的速度不同也構成另一種復雜變化。僅在音高和速率上創新是遠遠不夠的，這群人類歷史上璀璨的天才還創作出了主題轉位式、螃蟹式卡農來體現自己的才華。

一個個音符在天才們的手中，就像磚石一樣被修筑成了美輪美奐的城堡。如果說卡農曲是修筑的城堡，那么小波變換（WF）就是完美拆解這座城堡的方法。

傅里葉變換：科學中最常用的變換

在數學或者信息科學中，變換表示對同一對象的不同描述。我們可以說9個蘋果，也可以說3斤6兩蘋果——這兩種描述都是我提在手里的蘋果數量——這可能是我們日產生活中最常用的變換。我們簡單的稱將1個蘋果和1兩蘋果“相關性”為4，這樣我們可以說“1個蘋果由4個‘1兩蘋果’組成”，“1兩”和“1斤”這樣的字眼被稱為這個變換的變換基（當然這么說可能不太準確，但是這樣能幫助我們理解什么是變換）。

傅里葉變換是科學中最常用的變換，它用頻率（序列的變換速率）來描述時間序列。

上式的含義即為“一個幅度為2，頻率為的正弦信號由1個頻率和1個頻率構成”。

下面我們看幾個簡單的例子，下面三幅圖的原始信號都包含頻率為100Hz, 200Hz, 300Hz的三種正弦信號，但是從序列本身來看它們之間還是存在明顯的差異。經過傅里葉變換轉換至頻域，我們看不到任何差異(這里我們只保留了正頻率部分，因為負頻率部分與其對稱)。這是由于傅里葉變換所用到的“基”是無限長度上的周期函數，而圖1和圖2的信號都是有限長度的正弦信號，傅里葉變換并不能識別出這樣信號的不同。

圖一：信號1及其傅里葉變換

圖二：信號2及其傅里葉變換

圖三：信號3及其傅里葉變換

小波變換：科學家譜寫的卡農曲

小波變換提供了新的思路，其基函數是在時域上有限的信號。一組典型的基函數為被稱為morlet小波基函數。

圖四：Morlet小波函數

不同于無限長的正弦函數，morlet的定義域是有限的。圖四展示的基本morlet函數的解析式為：

現在我們為基本的morlet函數引入兩個新的參數，表示信號縮放的和信號位移的：

當、滿足一定的規則的時候，這樣的函數可以通過組合構成任意的序列，這樣的一組函數被稱為小波函數簇。最基本的小波函數可以視作一支卡農曲的主題，小波函數簇中的其他函數就是它的各個“副本”，不同的演奏速度對應不同的，不同的演奏時間對應參數，小波變換就是科學家們譜寫的一支支卡農曲。我們來看看小波變換的工作情況：

圖五：信號1及其小波變換

圖六：信號2及其小波變換

圖七：信號3及其小波變換

從圖五至圖七，很明顯能看出某種頻率的信號強度，以及其在什么時候開始，什么時候結束。這就完成了傅里葉變換不能做到的事情。當然小波變換還有許多復雜得多的理論，這里就不再展開。

結束語

回到卡農，最為理想的情況下，我們使用最初的卡農主題作為基本小波函數生成的小波函數簇，可以將卡農曲簡單粗暴地解構成獨立的若干個聲部，同時還能知道這些聲部什么時候加入演奏（通常來說這樣的方法是不奏效的）。此外，由于morlet小波函數具有“絕對音準”，也是音樂信號處理的常用工具。

小波變換最初被應用在地震波信號的處理上，后來逐漸被其他領域借鑒。也許最初提出小波變換的法國科學家Jean Morlet(1931-2007)對卡農曲情有獨鐘，他在聽到美妙的歌聲時，想到了這個絕妙的點子。