大數(shù)定理(大數(shù)定理和中心極限定理的區(qū)別和聯(lián)系)

1713年，數(shù)學(xué)家伯努利嚴(yán)格的證明了概率論上第一個極限定理：大數(shù)定律。

概率論歷史上第一個極限定理屬于伯努利，后人稱之為“大數(shù)定律”。概率論中討論隨機變量序列的算術(shù)平均值向隨機變量各數(shù)學(xué)期望的算術(shù)平均值收斂的定律。

在隨機事件的大量重復(fù)出現(xiàn)中，往往呈現(xiàn)幾乎必然的規(guī)律，這個規(guī)律就是大數(shù)定律。通俗地說，這個定理就是，當(dāng)統(tǒng)計樣本數(shù)量趨近于無窮大時，隨機事件的概率將趨近于一個穩(wěn)定值。

為了驗證這個定理，伯努利還曾經(jīng)扔了2萬多次硬幣，來描述這個定理，當(dāng)扔硬幣次數(shù)到2萬次左右時，他發(fā)現(xiàn)硬幣正面朝上和朝下的次數(shù)基本接近1：1，隨著實驗次數(shù)的增加，誤差也在下降，到達(dá)2萬次時，誤差已經(jīng)在千分位了。但是從某個局部來看，比如任意抽取這實驗數(shù)據(jù)的100次連續(xù)測試結(jié)果，硬幣朝上和朝下的概率并不相等，而且差距最高達(dá)30次。甚至出現(xiàn)過連續(xù)20多次都是正面朝上的情況。

由此，得到一個小數(shù)法則，當(dāng)樣本數(shù)不夠的時候，可能出現(xiàn)實際實驗結(jié)果與概率不相符的結(jié)論。即：

樣本數(shù)量要達(dá)到一定程度，實驗結(jié)果和概率的誤差才能收縮到一個比較小的范圍。

我們在證券投資學(xué)的課本里面通常有一個風(fēng)險評估的方法，就是看一個資產(chǎn)的歷年來收益的平均情況，然后再統(tǒng)計均方差，均方差最小的表示最穩(wěn)定的資產(chǎn)（風(fēng)險最小）。

某基金列出了10年以來的輝煌戰(zhàn)果，收益平均穩(wěn)定在30%每年，然后給你結(jié)論，包你年賺25%以上。但這種說法是不可信的，因為樣本數(shù)量不夠多啊，巴菲特的公司已經(jīng)連續(xù)盈利50多年了，你會看到如果把他的收益均方差做成按年統(tǒng)計的圖表：?

看到了沒有，股神還是有兩年是虧本的！股神都不能保證“包賺”……當(dāng)樣本數(shù)量足夠大的時候，才能看清真面目，國內(nèi)的基金才成立多少年啊，統(tǒng)計樣本是在太小，因此你不管怎么選都是賭博而已。

有人很聰明，把這個定律的規(guī)律用于澳門、拉斯維加斯等賭場去應(yīng)用，大數(shù)定律的核心是足夠多的樣本反映出誤差足夠小的概率本征值。那么這個指標(biāo)在賭場中（彩票），就叫“熱號”，在合規(guī)的賭場中，經(jīng)常可以看到這種賭具：

規(guī)則很簡單，0~36個號碼里面，你隨便押注，中了陪你35倍賭金，沒中就沒收賭金。也可以押大小、單雙、奇偶，賠率是1：1，當(dāng)然還有其他的押法，賠率不同而已。

很多賭徒，認(rèn)為連續(xù)出了幾把大，就去押小。這樣的結(jié)果，是你根本賺不到錢，還要賠錢。因為，按照概率論，每一次開盤，都是獨立事件，中那個號碼是固定概率，不會因為連續(xù)幾把大號后，出小號的概率就會增加。伯努利的實驗數(shù)據(jù)已經(jīng)告訴你，他曾經(jīng)扔過連續(xù)20多次正面！因此輪盤上，連續(xù)10幾次開出大號并不違背概率論。

每個輪盤的電子屏上會顯示連續(xù)500次開盤結(jié)果中，出現(xiàn)次數(shù)最多的5個號碼（熱號），出現(xiàn)次數(shù)最少的5個號碼（冷號），每次下注，就下這5個號碼熱號即可。連續(xù)等額下注7次，中了一次就離臺走人了，沒有中也離臺走人了。這樣做的就是遵循大數(shù)法則，500次游戲的結(jié)果相對于十幾次當(dāng)然是個“大數(shù)”，樣本增加了，誤差就小，某些事件的概率就會收斂到某個值附近。以500次統(tǒng)計出來的收斂值和10次統(tǒng)計的收斂值，以大數(shù)定律來看，500次的結(jié)論誤差更小更精確！但是如果以10000次來統(tǒng)計的話，每個號碼出現(xiàn)的次數(shù)就趨近于相同了，不存在熱號冷號的情況。但500次實驗反映的是一個局部的事件受到“不可知”因素干擾的結(jié)果，也就是這500次和下500次都是隨機事件，但得到的統(tǒng)計是不同的（還是小數(shù)法則）。你跟著統(tǒng)計結(jié)論走，贏面略大而已。

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