初中數學知識點

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第一冊

第一章有理數

1.1正數和負數

以前學過的0以外的數前面加上負號“－”的書叫做負數。

以前學過的０以外的數叫做正數。

數０既不是正數也不是負數，０是正數與負數的分界。

在同一個問題中，分別用正數和負數表示的量具有相反的意義

1.2有理數

1.2.1有理數

正整數、0、負整數統稱整數，正分數和負分數統稱分數。

整數和分數統稱有理數。

1.2.2數軸

規定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸。

數軸的作用：所有的有理數都可以用數軸上的點來表達。

注意事項：⑴數軸的原點、正方向、單位長度三要素，缺一不可。

⑵同一根數軸，單位長度不能改變。

一般地，設是一個正數，則數軸上表示a的點在原點的右邊，與原點的距離

是a個單位長度；表示數－a的點在原點的左邊，與原點的距離是a個單位長度。

1.2.3相反數

只有符號不同的兩個數叫做互為相反數。

數軸上表示相反數的兩個點關于原點對稱。

在任意一個數前面添上“－”號，新的數就表示原數的相反數。

1.2.4絕對值

一般地，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值。

一個正數的絕對值是它的本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對

值是0。

在數軸上表示有理數，它們從左到右的順序，就是從小到大的順序，即左邊

的數小于右邊的數。

比較有理數的大小：⑴正數大于0，0大于負數，正數大于負數。

⑵兩個負數，絕對值大的反而小。

1.3有理數的加減法

1.3.1有理數的加法

有理數的加法法則：

⑴同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。

⑵絕對值不相等的餓異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大

的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數的兩個數相加得0。

⑶一個數同0相加，仍得這個數。

兩個數相加，交換加數的位置，和不變。

加法交換律：a＋b＝b＋a

三個數相加，先把前面兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變。

加法結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

1.3.2有理數的減法

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有理數的減法可以轉化為加法來進行。

有理數減法法則：

減去一個數，等于加這個數的相反數。

a－b＝a＋(－b)

1.4有理數的乘除法

1.4.1有理數的乘法

有理數乘法法則：

兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。

任何數同0相乘，都得0。

乘積是1的兩個數互為倒數。

幾個不是0的數相乘，負因數的個數是偶數時，積是正數；負因數的個數是

奇數時，積是負數。

兩個數相乘，交換因數的位置，積相等。

ab＝ba

三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積相等。

（ab）c＝a（bc）

一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加。

a（b＋c）＝ab＋ac

數字與字母相乘的書寫規范：

⑴數字與字母相乘，乘號要省略，或用“”

⑵數字與字母相乘，當系數是1或－1時，1要省略不寫。

⑶帶分數與字母相乘，帶分數應當化成假分數。

用字母x表示任意一個有理數，2與x的乘積記為2x，3與x的乘積記為3x，

則式子2x＋3x是2x與3x的和，2x與3x叫做這個式子的項，2和3分別是著兩

項的系數。

一般地，合并含有相同字母因數的式子時，只需將它們的系數合并，所得結

果作為系數，再乘字母因數，即

ax＋bx＝（a＋b）x

上式中x是字母因數，a與b分別是ax與bx這兩項的系數。

去括號法則：

括號前是“＋”，把括號和括號前的“＋”去掉，括號里各項都不改變符號。

括號前是“－”，把括號和括號前的“－”去掉，括號里各項都改變符號。

括號外的因數是正數，去括號后式子各項的符號與原括號內式子相應各項的

符號相同；括號外的因數是負數，去括號后式子各項的符號與原括號內式子相應

各項的符號相反。

1.4.2有理數的除法

有理數除法法則：

除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數。

a÷b＝a·

b

1

(b≠0)

兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于

0的數，都得0。

因為有理數的除法可以化為乘法，所以可以利用乘法的運算性質簡化運算。

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乘除混合運算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果。

1.5有理數的乘方

1.5.1乘方

求n個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪。在an中，a叫

做底數，n叫做指數，當an看作a的n次方的結果時，也可以讀作a的n次冪。

負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數。

正數的任何次冪都是正數，0的任何正整數次冪都是0。

有理數混合運算的運算順序：

⑴先乘方，再乘除，最后加減；

⑵同極運算，從左到右進行；

⑶如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行

1.5.2科學記數法

把一個大于10的數表示成a×10n的形式（其中a是整數數位只有一位的數，

n是正整數），使用的是科學記數法。

用科學記數法表示一個n位整數，其中10的指數是n－1。

1.5.3近似數和有效數字

接近實際數目，但與實際數目還有差別的數叫做近似數。

精確度：一個近似數四舍五入到哪一位，就說精確到哪一位。

從一個數的左邊第一個非0數字起，到末位數字止，所有數字都是這個數

的有效數字。

對于用科學記數法表示的數a×10n，規定它的有效數字就是a中的有效數字。

第二章一元一次方程

2.1從算式到方程

2.1.1一元一次方程

含有未知數的等式叫做方程。

只含有一個未知數（元），未知數的指數都是1（次），這樣的方程叫做一元

一次方程。

分析實際問題中的數量關系，利用其中的相等關系列出方程，是數學解決實

際問題的一種方法。

解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數的值，這個值就是方程

的解。

2.1.2等式的性質

等式的性質1等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），結果仍相等。

等式的性質2等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相

等。

2.2從古老的代數書說起——一元一次方程的討論⑴

把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫做移項。

2.3從“買布問題”說起——一元一次方程的討論⑵

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方程中有帶括號的式子時，去括號的方法與有理數運算中括號類似。

解方程就是要求出其中的未知數（例如x），通過去分母、去括號、移項、

合并、系數化為1等步驟，就可以使一元一次方程逐步向著x＝a的形式轉化，

這個過程主要依據等式的性質和運算律等。

去分母：

⑴具體做法：方程兩邊都乘各分母的最小公倍數

⑵依據：等式性質2

⑶注意事項：①分子打上括號

②不含分母的項也要乘

2.4再探實際問題與一元一次方程

第三章圖形認識初步

3.1多姿多彩的圖形

現實生活中的物體我們只管它的形狀、大小、位置而得到的圖形，叫做幾何

圖形。

3.1.1立體圖形與平面圖形

長方體、正方體、球、圓柱、圓錐等都是立體圖形。此外棱柱、棱錐也是常

見的立體圖形。

長方形、正方形、三角形、圓等都是平面圖形。

許多立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它們適當地剪開，就可以展開成

平面圖形。

3.1.2點、線、面、體

幾何體也簡稱體。長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾

何體。

包圍著體的是面。面有平的面和曲的面兩種。

面和面相交的地方形成線。

線和線相交的地方是點。

幾何圖形都是由點、線、面、體組成的，點是構成圖形的基本元素。

3.2直線、射線、線段

經過兩點有一條直線，并且只有一條直線。

兩點確定一條直線。

點C線段AB分成相等的兩條線段AM與MB，點M叫做線段AB的中點。類似

的還有線段的三等分點、四等分點等。

直線桑一點和它一旁的部分叫做射線。

兩點的所有連線中，線段最短。簡單說成：兩點之間，線段最短。

3.3角的度量

角也是一種基本的幾何圖形。

度、分、秒是常用的角的度量單位。

把一個周角360等分，每一份就是一度的角，記作1；把1度的角60等分，

每份叫做1分的角，記作1；把1分的角60等分，每份叫做1秒的角，記作1。

3.4角的比較與運算

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3.4.1角的比較

從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平

分線。類似的，還有叫的三等分線。

3.4.2余角和補角

如果兩個角的和等于90（直角），就說這兩個角互為余角。

如果兩個角的和等于180（平角），就說這兩個角互為補角。

等角的補角相等。

等角的余角相等。

本章知識結構圖

第四章數據的收集與整理

幾何圖形

立體圖形

從不同方向看立

體圖形

展開立體圖形

平面圖形

直線、射線、線

段

角角的度量角的大小比較余角和補角角的平分線

等角的補角相等

等角的余角相等

平面圖形平面圖形

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收集、整理、描述和分析數據是數據處理的基本過程。

4.1喜愛哪種動物的同學最多——全面調查舉例

用劃記法記錄數據，“正”字的每一劃（筆畫）代表一個數據。

考察全體對象的調查屬于全面調查。

4.2調查中小學生的視力情況——抽樣調查舉例

抽樣調查是從總體中抽取樣本進行調查，根據樣本來估計總體的一種調查。

統計調查是收集數據常用的方法，一般有全面調查和抽樣調查兩種，實際中

常常采用抽樣調查的方式。調查時，可用不同的方法獲得數據。除問卷調查、訪

問調查等外，查閱文獻資料和實驗也是獲得數據的有效方法。

利用表格整理數據，可以幫助我們找到數據的分布規律。利用統計圖表示經

過整理的數據，能更直觀地反映數據規律。

4.3課題學習調查“你怎樣處理廢電池？”

調查活動主要包括以下五項步驟：

一、設計調查問卷

⑴設計調查問卷的步驟

①確定調查目的；

②選擇調查對象；

③設計調查問題

⑵設計調查問卷時要注意：

①提問不能涉及提問者的個人觀點；

②不要提問人們不愿意回答的問題；

③提供的選擇答案要盡可能全面；

④問題應簡明；

⑤問卷應簡短。

二、實施調查

將調查問卷復制足夠的份數，發給被調查對象。

實施調查時要注意：

⑴向被調查者講明哪些人是被調查的對象，以及他為什么成為被調查者；

⑵告訴被調查者你收集數據的目的。

三、處理數據

根據收回的調查問卷，整理、描述和分析收集到的數據。

四、交流

根據調查結果，討論你們小組有哪些發現和建議？

五、寫一份簡單的調查報告

第二冊

第五章相交線與平行線

5.1相交線

5.1.1相交線

有一個公共的頂點，有一條公共的邊，另外一邊互為反向延長線，這樣的兩

個角叫做鄰補角。

兩條直線相交有4對鄰補角。

有公共的頂點，角的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做對頂角。

兩條直線相交，有2對對頂角。

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對頂角相等。

5.1.2

兩條直線相交，所成的四個角中有一個角是直角，那么這兩條直線互相垂直。

其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。

注意：⑴垂線是一條直線。

⑵具有垂直關系的兩條直線所成的4個角都是90。

⑶垂直是相交的特殊情況。

⑷垂直的記法：a⊥b，AB⊥CD。

畫已知直線的垂線有無數條。

過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。簡單說成：垂線

段最短。

直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。

5.2平行線

5.2.1平行線

在同一平面內，兩條直線沒有交點，則這兩條直線互相平行，記作：a∥b。

在同一平面內兩條直線的關系只有兩種：相交或平行。

平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

5.2.2直線平行的條件

兩條直線被第三條直線所截，在兩條被截線的同一方，截線的同一旁，這樣

的兩個角叫做同位角。

兩條直線被第三條直線所截，在兩條被截線之間，截線的兩側，這樣的兩個

角叫做內錯角。

兩條直線被第三條直線所截，在兩條被截線之間，截線的同一旁，這樣的兩

個角叫做同旁內角。

判定兩條直線平行的方法：

方法1兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平

行。簡單說成：同位角相等，兩直線平行。

方法2兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平

行。簡單說成：內錯角相等，兩直線平行。

方法3兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線

平行。簡單說成：同旁內角互補，兩直線平行。

5.3平行線的性質

平行線具有性質：

性質1兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡單說成：兩直線平

行，同位角相等。

性質2兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。簡單說成：兩直線平

行，內錯角相等。

性質3兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補。簡單說成：兩直線

平行，同旁內角互補。

同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段的長度，叫做著兩

條平行線的距離。

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判斷一件事情的語句叫做命題。

5.4平移

⑴把一個圖形整體沿某一方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形

的形狀和大小完全相同。

⑵新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是

對應點，連接各組對應點的線段平行且相等。

圖形的這種移動，叫做平移變換，簡稱平移。

第六章平面直角坐標系

6.1平面直角坐標系

6.1.1有序數對

有順序的兩個數a與b組成的數對，叫做有序數對。

6.1.2平面直角坐標系

平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸，組成平面直角坐標系。水平的數

軸稱為x軸或橫軸，習慣上取向右為正方向；豎直的數軸稱為y軸或縱軸取2

向上方向為正方向；兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點。

平面上的任意一點都可以用一個有序數對來表示。

建立了平面直角坐標系以后，坐標平面就被兩條坐標軸分為了Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、

Ⅳ四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。坐標軸上的

點不屬于任何象限。

6.2坐標方法的簡單應用

6.2.1用坐標表示地理位置

利用平面直角坐標系繪制區域內一些地點分布情況平面圖的過程如下：

⑴建立坐標系，選擇一個適當的參照點為原點，確定x軸、y軸的正方向；

⑵根據具體問題確定適當的比例尺，在坐標軸上標出單位長度；

⑶在坐標平面內畫出這些點，寫出各點的坐標和各個地點的名稱。

6.2.2用坐標表示平移

在平面直角坐標系中，將點（x，y）向右（或左）平移a個單位長度，可以

得到對應點（x＋a，y）（或（x－a，y））；將點（x，y）向上（或下）平移b個

單位長度，可以得到對應點（x，y＋b）（或（x，y－b））。

在平面直角坐標系內，如果把一個圖形各個點的橫坐標都加（或減去）一個

正數a，相應的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度；如果把

它各個點的縱坐標都加（或減去）一個正數a，相應的新圖形就是把原圖形向上

（或向下）平移a個單位長度。

第七章三角形

7.1與三角形有關的線段

7.1.1三角形的邊

由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。相

鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內角，簡稱三角形的角。

頂點是A、B、C的三角形，記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”。

三角形兩邊的和大于第三邊。

7.1.2三角形的高、中線和角平分線

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7.1.3三角形的穩定性

三角形具有穩定性。

7.2與三角形有關的角

7.2.1三角形的內角

三角形的內角和等于180。

7.2.2三角形的外角

三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。

三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。

三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角。

7.3多邊形及其內角和

7.3.1多邊形

在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。

連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。

n邊形的對角線公式：

2

)3(－nn

各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。

7.3.2多邊形的內角和

n邊形的內角和公式：180（n－2）

多邊形的外角和等于360。

7.4課題學習鑲嵌

第八章二元一次方程組

8.1二元一次方程組

含有兩個未知數，并且未知數的指數都是1的方程叫做二元一次方程

把具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方

程組。

使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解

二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。

8.2消元

由二元一次方程組中的一個方程，將一個未知數用含有另一未知數的式子表

示出來，再代入另一方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解。這種

方法叫做代入消元法，簡稱代入法。

兩個二元一次方程中同一未知數的系數相反或相等時，將兩個方程的兩邊分

別相加或相減，就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程。這種方法叫做加

減消元法，簡稱加減法。

8.3再探實際問題與二元一次方程組

第九章不等式與不等式組

9.1不等式

9.1.1不等式及其解集

用“＜”或“＞”號表示大小關系的式子叫做不等式。

使不等式成立的未知數的值叫做不等式的解。

能使不等式成立的未知數的取值范圍，叫做不等式解的集合，簡稱解集。

含有一個未知數，未知數的次數是1的不等式，叫做一元一次不等式。

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9.1.2不等式的性質

不等式有以下性質：

不等式的性質1不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方

向不變。

不等式的性質2不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。

不等式的性質3不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。

9.2實際問題與一元一次不等式

解一元一次方程，要根據等式的性質，將方程逐步化為x＝a的形式；而解

一元一次不等式，則要根據不等式的性質，將不等式逐步化為x＜a（或x＞a）

的形式。

9.3一元一次不等式組

把兩個不等式合起來，就組成了一個一元一次不等式組。

幾個不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式的解集。解不等

式就是求它的解集。

對于具有多種不等關系的問題，可通過不等式組解決。解一元一次不等式組

時。一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數軸可

以直觀地表示不等式組的解集。

9.4課題學習利用不等關系分析比賽

第十章實數

10.1平方根

如果一個正數x的平方等于a，即x2＝a，那么這個正數x叫做a的算術平

方根。a的算術平方根記為，讀作“根號a”，a叫做被開方數。

如果一個數的平方等于a，那么這個數叫做a的平方根或二次方根。

求一個數a的平方根的運算，叫做開平方。

10.2立方根

如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根或三次方根。

求一個數的立方根的運算，叫做開立方。

10.3實數

無限不循環小數又叫做無理數。

有理數和無理數統稱實數。

一個正實數的絕對值是它本身；一個負實數的絕對值是它的相反數；0的絕

對值是0。

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第五章相交線與平行線

5.1相交線

5.1.1相交線

有一個公共的頂點，有一條公共的邊，另外一邊互為反向延長線，這樣的兩

個角叫做鄰補角。

兩條直線相交有4對鄰補角。

有公共的頂點，角的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做對頂角。

兩條直線相交，有2對對頂角。

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對頂角相等。

5.1.2

兩條直線相交，所成的四個角中有一個角是直角，那么這兩條直線互相垂直。

其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。

注意：⑴垂線是一條直線。

⑵具有垂直關系的兩條直線所成的4個角都是90。

⑶垂直是相交的特殊情況。

⑷垂直的記法：a⊥b，AB⊥CD。

畫已知直線的垂線有無數條。

過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。簡單說成：垂線

段最短。

直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。

5.2平行線

5.2.1平行線

在同一平面內，兩條直線沒有交點，則這兩條直線互相平行，記作：a∥b。

在同一平面內兩條直線的關系只有兩種：相交或平行。

平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。

5.2.2直線平行的條件

兩條直線被第三條直線所截，在兩條被截線的同一方，截線的同一旁，這樣

的兩個角叫做同位角。

兩條直線被第三條直線所截，在兩條被截線之間，截線的兩側，這樣的兩個

角叫做內錯角。

兩條直線被第三條直線所截，在兩條被截線之間，截線的同一旁，這樣的兩

個角叫做同旁內角。

判定兩條直線平行的方法：

方法1兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平

行。簡單說成：同位角相等，兩直線平行。

方法2兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平

行。簡單說成：內錯角相等，兩直線平行。

方法3兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線

平行。簡單說成：同旁內角互補，兩直線平行。

5.3平行線的性質

平行線具有性質：

性質1兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡單說成：兩直線平

行，同位角相等。

性質2兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。簡單說成：兩直線平

行，內錯角相等。

性質3兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補。簡單說成：兩直線

平行，同旁內角互補。

同時垂直于兩條平行線，并且夾在這兩條平行線間的線段的長度，叫做著兩

條平行線的距離。

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判斷一件事情的語句叫做命題。

5.4平移

⑴把一個圖形整體沿某一方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形

的形狀和大小完全相同。

⑵新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是

對應點，連接各組對應點的線段平行且相等。

圖形的這種移動，叫做平移變換，簡稱平移。

第六章平面直角坐標系

6.1平面直角坐標系

6.1.1有序數對

有順序的兩個數a與b組成的數對，叫做有序數對。

6.1.2平面直角坐標系

平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸，組成平面直角坐標系。水平的數

軸稱為x軸或橫軸，習慣上取向右為正方向；豎直的數軸稱為y軸或縱軸取2

向上方向為正方向；兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點。

平面上的任意一點都可以用一個有序數對來表示。

建立了平面直角坐標系以后，坐標平面就被兩條坐標軸分為了Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、

Ⅳ四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。坐標軸上的

點不屬于任何象限。

6.2坐標方法的簡單應用

6.2.1用坐標表示地理位置

利用平面直角坐標系繪制區域內一些地點分布情況平面圖的過程如下：

⑴建立坐標系，選擇一個適當的參照點為原點，確定x軸、y軸的正方向；

⑵根據具體問題確定適當的比例尺，在坐標軸上標出單位長度；

⑶在坐標平面內畫出這些點，寫出各點的坐標和各個地點的名稱。

6.2.2用坐標表示平移

在平面直角坐標系中，將點（x，y）向右（或左）平移a個單位長度，可以

得到對應點（x＋a，y）（或（x－a，y））；將點（x，y）向上（或下）平移b個

單位長度，可以得到對應點（x，y＋b）（或（x，y－b））。

在平面直角坐標系內，如果把一個圖形各個點的橫坐標都加（或減去）一個

正數a，相應的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度；如果把

它各個點的縱坐標都加（或減去）一個正數a，相應的新圖形就是把原圖形向上

（或向下）平移a個單位長度。

第七章三角形

7.1與三角形有關的線段

7.1.1三角形的邊

由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。相

鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內角，簡稱三角形的角。

頂點是A、B、C的三角形，記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”。

三角形兩邊的和大于第三邊。

7.1.2三角形的高、中線和角平分線

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7.1.3三角形的穩定性

三角形具有穩定性。

7.2與三角形有關的角

7.2.1三角形的內角

三角形的內角和等于180。

7.2.2三角形的外角

三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。

三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。

三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角。

7.3多邊形及其內角和

7.3.1多邊形

在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。

連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。

n邊形的對角線公式：

2

)3(－nn

各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。

7.3.2多邊形的內角和

n邊形的內角和公式：180（n－2）

多邊形的外角和等于360。

7.4課題學習鑲嵌

第八章二元一次方程組

8.1二元一次方程組

含有兩個未知數，并且未知數的指數都是1的方程叫做二元一次方程

把具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方

程組。

使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解

二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。

8.2消元

由二元一次方程組中的一個方程，將一個未知數用含有另一未知數的式子表

示出來，再代入另一方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解。這種

方法叫做代入消元法，簡稱代入法。

兩個二元一次方程中同一未知數的系數相反或相等時，將兩個方程的兩邊分

別相加或相減，就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程。這種方法叫做加

減消元法，簡稱加減法。

8.3再探實際問題與二元一次方程組

第九章不等式與不等式組

9.1不等式

9.1.1不等式及其解集

用“＜”或“＞”號表示大小關系的式子叫做不等式。

使不等式成立的未知數的值叫做不等式的解。

能使不等式成立的未知數的取值范圍，叫做不等式解的集合，簡稱解集。

含有一個未知數，未知數的次數是1的不等式，叫做一元一次不等式。

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9.1.2不等式的性質

不等式有以下性質：

不等式的性質1不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方

向不變。

不等式的性質2不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。

不等式的性質3不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。

9.2實際問題與一元一次不等式

解一元一次方程，要根據等式的性質，將方程逐步化為x＝a的形式；而解

一元一次不等式，則要根據不等式的性質，將不等式逐步化為x＜a（或x＞a）

的形式。

9.3一元一次不等式組

把兩個不等式合起來，就組成了一個一元一次不等式組。

幾個不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式的解集。解不等

式就是求它的解集。

對于具有多種不等關系的問題，可通過不等式組解決。解一元一次不等式組

時。一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數軸可

以直觀地表示不等式組的解集。

9.4課題學習利用不等關系分析比賽

第十章實數

10.1平方根

如果一個正數x的平方等于a，即x2＝a，那么這個正數x叫做a的算術平

方根。a的算術平方根記為，讀作“根號a”，a叫做被開方數。

如果一個數的平方等于a，那么這個數叫做a的平方根或二次方根。

求一個數a的平方根的運算，叫做開平方。

10.2立方根

如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根或三次方根。

求一個數的立方根的運算，叫做開立方。

10.3實數

無限不循環小數又叫做無理數。

有理數和無理數統稱實數。

一個正實數的絕對值是它本身；一個負實數的絕對值是它的相反數；0的絕

對值是0。

初三數學上冊知識點

第一章實數

★重點★實數的有關概念及性質，實數的運算

☆內容提要☆

一、重要概念

1．數的分類及概念

數系表：

說明：“分類”的原則：1）相稱（不重、不漏）

2）有標準

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2．非負數：正實數與零的統稱。（表為：x≥0）

常見的非負數有：

性質：若干個非負數的和為0，則每個非負擔數均為0。

3．倒數：①定義及表示法

②性質：A.a≠1/a（a≠±1）;B.1/a中，a≠0;C.0＜a＜1時1/a＞1;a＞1時，1/a＜1;D.

積為1。

4．相反數：①定義及表示法

②性質：A.a≠0時，a≠-a;B.a與-a在數軸上的位置;C.和為0,商為-1。

5．數軸：①定義（“三要素”）

②作用：A.直觀地比較實數的大小;B.明確體現絕對值意義;C.建立點與實數的一一對應關系。

6．奇數、偶數、質數、合數（正整數—自然數）

定義及表示：

奇數：2n-1

偶數：2n（n為自然數）

7．絕對值：①定義（兩種）：

代數定義：

幾何定義：數a的絕對值頂的幾何意義是實數a在數軸上所對應的點到原點的距離。

②│a│≥0,符號“││”是“非負數”的標志;③數a的絕對值只有一個;④處理任何類型

的題目，只要其中有“││”出現，其關鍵一步是去掉“││”符號。

二、實數的運算

1．運算法則（加、減、乘、除、乘方、開方）

2．運算定律（五個—加法[乘法]交換律、結合律;[乘法對加法的]

分配律）

3．運算順序：A.高級運算到低級運算;B.（同級運算）從“左”

到“右”（如5÷×5）;C.(有括號時)由“小”到“中”到“大”。

三、應用舉例（略）

附：典型例題

1．已知：a、b、x在數軸上的位置如下圖，求證：│x-a│+│x-b│

=b-a.

2.已知：a-b=-2且ab<0，（a≠0，b≠0），判斷a、b的符號。

第二章代數式

★重點★代數式的有關概念及性質，代數式的運算

☆內容提要☆

一、重要概念

分類：

1.代數式與有理式

用運算符號把數或表示數的字母連結而成的式子，叫做代數式。單獨

的一個數或字母也是代數式。

整式和分式統稱為有理式。

2.整式和分式

含有加、減、乘、除、乘方運算的代數式叫做有理式。

沒有除法運算或雖有除法運算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

有除法運算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

3.單項式與多項式

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沒有加減運算的整式叫做單項式。（數字與字母的積—包括單獨的一個數或字母）

幾個單項式的和，叫做多項式。

說明：①根據除式中有否字母，將整式和分式區別開;根據整式中有否加減運算，把單項式、

多項式區分開。②進行代數式分類時，是以所給的代數式為對象，而非以變形后的代數式為

對象。劃分代數式類別時，是從外形來看。如，

=x,=│x│等。

4.系數與指數

區別與聯系：①從位置上看;②從表示的意義上看

5.同類項及其合并

條件：①字母相同;②相同字母的指數相同

合并依據：乘法分配律

6.根式

表示方根的代數式叫做根式。

含有關于字母開方運算的代數式叫做無理式。

注意：①從外形上判斷;②區別：、是根式，但不是無理式（是無理數）。

7.算術平方根

⑴正數a的正的平方根（[a≥0—與“平方根”的區別]）;

⑵算術平方根與絕對值

①聯系：都是非負數，=│a│

②區別：│a│中，a為一切實數;中，a為非負數。

8.同類二次根式、最簡二次根式、分母有理化

化為最簡二次根式以后，被開方數相同的二次根式叫做同類二次根式。

滿足條件：①被開方數的因數是整數，因式是整式;②被開方數中不含有開得盡方的因數或

因式。

把分母中的根號劃去叫做分母有理化。

9.指數

⑴(—冪，乘方運算)

①a＞0時，＞0;②a＜0時，＞0（n是偶數），＜0（n是奇數）

⑵零指數：=1（a≠0）

負整指數：=1/（a≠0,p是正整數）

二、運算定律、性質、法則

1．分式的加、減、乘、除、乘方、開方法則

2．分式的性質

⑴基本性質：=（m≠0）

⑵符號法則：

⑶繁分式：①定義;②化簡方法（兩種）

3．整式運算法則（去括號、添括號法則）

4．冪的運算性質：①?=;②÷=;③=;④=;⑤

技巧：

5．乘法法則：⑴單×單;⑵單×多;⑶多×多。

6．乘法公式：（正、逆用）

（a+b）（a-b）=

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(a±b)=

7．除法法則：⑴單÷單;⑵多÷單。

8．因式分解：⑴定義;⑵方法：A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分組分解法;E.

求根公式法。

9．算術根的性質：＝;;(a≥0,b≥0);(a≥0,b＞0)(正用、逆用)

10．根式運算法則：⑴加法法則（合并同類二次根式）;⑵乘、除法法則;⑶分母有理化：

A.;B.;C..

11．科學記數法：（1≤a＜10,n是整數＝

三、應用舉例（略）

四、數式綜合運算（略）

第三章統計初步

★重點★

☆內容提要☆

一、重要概念

1.總體：考察對象的全體。

2.個體：總體中每一個考察對象。

3.樣本：從總體中抽出的一部分個體。

4.樣本容量：樣本中個體的數目。

5.眾數：一組數據中，出現次數最多的數據。

6.中位數：將一組數據按大小依次排列，處在最中間位置的一個數（或最中間位置的兩個數

據的平均數）

二、計算方法

1.樣本平均數：⑴;⑵若，，…，,則(a—常數，，，…，接近較整的常數a);⑶加

權平均數：;⑷平均數是刻劃數據的集中趨勢（集中位置）的特征數。通常用樣本平均數去

估計總體平均數，樣本容量越大，估計越準確。

2．樣本方差：⑴;⑵若,,…,,則（a—接近、、…、的平均數的較“整”的常數）;

若、、…、較“小”較“整”，則;⑶樣本方差是刻劃數據的離散程度（波動大小）的特

征數，當樣本容量較大時，樣本方差非常接近總體方差，通常用樣本方差去估計總體方差。

3．樣本標準差：

三、應用舉例（略）

第四章直線形

★重點★相交線與平行線、三角形、四邊形的有關概念、判定、性質。

☆內容提要☆

一、直線、相交線、平行線

1．線段、射線、直線三者的區別與聯系

從“圖形”、“表示法”、“界限”、“端點個數”、“基本性質”等方面加以分析。

2．線段的中點及表示

3．直線、線段的基本性質（用“線段的基本性質”論證“三角形兩邊之和大于第三邊”）

4．兩點間的距離（三個距離：點-點;點-線;線-線）

5．角（平角、周角、直角、銳角、鈍角）

6．互為余角、互為補角及表示方法

7．角的平分線及其表示

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8．垂線及基本性質（利用它證明“直角三角形中斜邊大于直角邊”）

9．對頂角及性質

10．平行線及判定與性質（互逆）（二者的區別與聯系）

11．常用定理：①同平行于一條直線的兩條直線平行（傳遞性）;②同垂直于一條直線的兩

條直線平行。

12．定義、命題、命題的組成

13．公理、定理

14．逆命題

二、三角形

分類：⑴按邊分;

⑵按角分

1．定義（包括內、外角）

2．三角形的邊角關系：⑴角與角：①內角和及推論;②外角和;③n邊形內角和;④n邊形外

角和。⑵邊與邊：三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。⑶角與邊：在同一三

角形中，

3．三角形的主要線段

討論：①定義②××線的交點—三角形的×心③性質

①高線②中線③角平分線④中垂線⑤中位線

⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等邊三角形

4．特殊三角形（直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形）的判定與性質

5．全等三角形

⑴一般三角形全等的判定（SAS、ASA、AAS、SSS）

⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②專用方法

6．三角形的面積

⑴一般計算公式⑵性質：等底等高的三角形面積相等。

7．重要輔助線

⑴中點配中點構成中位線;⑵加倍中線;⑶添加輔助平行線

8．證明方法

⑴直接證法：綜合法、分析法

⑵間接證法—反證法：①反設②歸謬③結論

⑶證線段相等、角相等常通過證三角形全等

⑷證線段倍分關系：加倍法、折半法

⑸證線段和差關系：延結法、截余法

⑹證面積關系：將面積表示出來

三、四邊形

分類表：

1．一般性質（角）

⑴內角和：360°

⑵順次連結各邊中點得平行四邊形。

推論1：順次連結對角線相等的四邊形各邊中點得菱形。

推論2：順次連結對角線互相垂直的四邊形各邊中點得矩形。

⑶外角和：360°

2．特殊四邊形

⑴研究它們的一般方法:

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⑵平行四邊形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定義、性質和判定

⑶判定步驟：四邊形→平行四邊形→矩形→正方形

┗→菱形——↑

⑷對角線的紐帶作用：

3．對稱圖形

⑴軸對稱（定義及性質）;⑵中心對稱（定義及性質）

4．有關定理：①平行線等分線段定理及其推論1、2

②三角形、梯形的中位線定理

③平行線間的距離處處相等。（如，找下圖中面積相等的三角形）

5．重要輔助線：①常連結四邊形的對角線;②梯形中常“平移一腰”、“平移對角線”、“作高”、

“連結頂點和對腰中點并延長與底邊相交”轉化為三角形。

6．作圖：任意等分線段。

四、應用舉例（略）

第五章方程（組）

★重點★一元一次、一元二次方程，二元一次方程組的解法;方程的有關應用題（特別是行

程、工程問題）

☆內容提要☆

一、基本概念

1．方程、方程的解（根）、方程組的解、解方程（組）

2．分類：

二、解方程的依據—等式性質

1．a=b←→a+c=b+c

2．a=b←→ac=bc(c≠0)

三、解法

1．一元一次方程的解法：去分母→去括號→移項→合并同類項→

系數化成1→解。

2．元一次方程組的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法

②加減法

四、一元二次方程

1．定義及一般形式：

2．解法：⑴直接開平方法（注意特征）

⑵配方法（注意步驟—推倒求根公式）

⑶公式法：

⑷因式分解法（特征：左邊=0）

3．根的判別式：

4．根與系數頂的關系：

逆定理：若，則以為根的一元二次方程是：。

5．常用等式：

五、可化為一元二次方程的方程

1．分式方程

⑴定義

⑵基本思想：

⑶基本解法：①去分母法②換元法（如，）

⑷驗根及方法

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2．無理方程

⑴定義

⑵基本思想：

⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②換元法（例，）⑷驗根及方法

3．簡單的二元二次方程組

由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組都可用代入法解。

六、列方程（組）解應用題

一概述

列方程（組）解應用題是中學數學聯系實際的一個重要方面。其具體步驟是：

⑴審題。理解題意。弄清問題中已知量是什么，未知量是什么，問題給出和涉及的相等關系

是什么。

⑵設元（未知數）。①直接未知數②間接未知數（往往二者兼用）。一般來說，未知數越多，

方程越易列，但越難解。

⑶用含未知數的代數式表示相關的量。

⑷尋找相等關系（有的由題目給出，有的由該問題所涉及的等量關系給出），列方程。一般

地，未知數個數與方程個數是相同的。

⑸解方程及檢驗。

⑹答案。

綜上所述，列方程（組）解應用題實質是先把實際問題轉化為數學問題（設元、列方程），

在由數學問題的解決而導致實際問題的解決（列方程、寫出答案）。在這個過程中，列方程

起著承前啟后的作用。因此，列方程是解應用題的關鍵。

二常用的相等關系

1．行程問題（勻速運動）

基本關系：s=vt

⑴相遇問題(同時出發)：

⑵追及問題（同時出發）：

若甲出發t小時后，乙才出發，而后在B處追上甲，則

⑶水中航行：;

2．配料問題：溶質=溶液×濃度

溶液=溶質+溶劑

3．增長率問題：

4．工程問題：基本關系：工作量=工作效率×工作時間（常把工作量看著單位“1”）。

5．幾何問題：常用勾股定理，幾何體的面積、體積公式，相似形及有關比例性質等。

三注意語言與解析式的互化

如，“多”、“少”、“增加了”、“增加為（到）”、“同時”、“擴大為（到）”、“擴大了”、……

又如，一個三位數，百位數字為a，十位數字為b，個位數字為c，則這個三位數為：100a+10b+c，

而不是abc。

四注意從語言敘述中寫出相等關系。

如，x比y大3，則x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x與y的差為3，則x-y=3。五注意單

位換算

如，“小時”“分鐘”的換算;s、v、t單位的一致等。

七、應用舉例（略）

第六章一元一次不等式（組）

★重點★一元一次不等式的性質、解法

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☆內容提要☆

1．定義：a＞b、a＜b、a≥b、a≤b、a≠b。

2．一元一次不等式：ax＞b、ax＜b、ax≥b、ax≤b、ax≠b(a≠0)。

3．一元一次不等式組：

4．不等式的性質：⑴a>b←→a+c>b+c

⑵a>b←→ac>bc(c>0)

⑶a>b←→ac

⑷（傳遞性）a>b,b>c→a>c

⑸a>b,c>d→a+c>b+d.

5．一元一次不等式的解、解一元一次不等式

6．一元一次不等式組的解、解一元一次不等式組（在數軸上表示解集）

7．應用舉例（略）

第七章相似形

★重點★相似三角形的判定和性質

☆內容提要☆

一、本章的兩套定理

第一套（比例的有關性質）：

涉及概念：①第四比例項②比例中項③比的前項、后項，比的內項、外項④黃金分割等。

第二套：

注意：①定理中“對應”二字的含義;

②平行→相似（比例線段）→平行。

二、相似三角形性質

1．對應線段…;2．對應周長…;3．對應面積…。

三、相關作圖

①作第四比例項;②作比例中項。

四、證（解）題規律、輔助線

1．“等積”變“比例”，“比例”找“相似”。

2．找相似找不到，找中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來

3．添加輔助平行線是獲得成比例線段和相似三角形的重要途徑。

4．對比例問題，常用處理方法是將“一份”看著k;對于等比問題，常用處理辦法是設“公

比”為k。

5．對于復雜的幾何圖形，采用將部分需要的圖形（或基本圖形）“抽”出來的辦法處理。

五、應用舉例（略）

第八章函數及其圖象

★重點★正、反比例函數，一次、二次函數的圖象和性質。

☆內容提要☆

一、平面直角坐標系

1．各象限內點的坐標的特點

2．坐標軸上點的坐標的特點

3．關于坐標軸、原點對稱的點的坐標的特點

4．坐標平面內點與有序實數對的對應關系

二、函數

1．表示方法：⑴解析法;⑵列表法;⑶圖象法。

2．確定自變量取值范圍的原則：⑴使代數式有意義;⑵使實際問題有

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意義。

3．畫函數圖象：⑴列表;⑵描點;⑶連線。

三、幾種特殊函數

（定義→圖象→性質）

1．正比例函數

⑴定義：y=kx(k≠0)或y/x=k。

⑵圖象：直線（過原點）

⑶性質：①k>0，…②k<0，…

2．一次函數

⑴定義：y=kx+b(k≠0)

⑵圖象：直線過點（0,b）—與y軸的交點和（-b/k,0）—與x軸的交點。

⑶性質：①k>0,…②k<0,…

⑷圖象的四種情況：

3．二次函數

⑴定義：特殊地，都是二次函數。

⑵圖象：拋物線（用描點法畫出：先確定頂點、對稱軸、開口方向，再對稱地描點）。用配

方法變為，則頂點為（h,k）;對稱軸為直線x=h;a>0時，開口向上;a<0時，開口向下。

⑶性質：a>0時，在對稱軸左側…，右側…;a<0時，在對稱軸左側…，右側…。

4.反比例函數

⑴定義：或xy=k(k≠0)。

⑵圖象：雙曲線（兩支）—用描點法畫出。

⑶性質：①k>0時，圖象位于…，y隨x…;②k<0時，圖象位于…，y隨x…;③兩支曲線無

限接近于坐標軸但永遠不能到達坐標軸。

四、重要解題方法

1．用待定系數法求解析式（列方程[組]求解）。對求二次函數的解析式，要合理選用一般式

或頂點式，并應充分運用拋物線關于對稱軸對稱的特點，尋找新的點的坐標。如下圖：

2．利用圖象一次（正比例）函數、反比例函數、二次函數中的k、b;a、b、c的符號。

六、應用舉例（略）

第九章解直角三角形

★重點★解直角三角形

☆內容提要☆

一、三角函數

1．定義：在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，則sinA=;cosA=;tgA=;ctgA=.

2．特殊角的三角函數值：

0°30°45°60°90°

sinα

cosα

tgα/

ctgα/

3．互余兩角的三角函數關系：sin(90°-α)=cosα;…

4．三角函數值隨角度變化的關系

5．查三角函數表

二、解直角三角形

1．定義：已知邊和角（兩個，其中必有一邊）→所有未知的邊和角。

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標準文案

2．依據：①邊的關系：

②角的關系：A+B=90°

③邊角關系：三角函數的定義。

注意：盡量避免使用中間數據和除法。

三、對實際問題的處理

1．俯、仰角：2．方位角、象限角：3．坡度：

4．在兩個直角三角形中，都缺解直角三角形的條件時，可用列方程的辦法解決。

四、應用舉例（略）

第十章圓

★重點★①圓的重要性質;②直線與圓、圓與圓的位置關系;③與圓有關的角的定理;④與圓

有關的比例線段定理。

☆內容提要☆

一、圓的基本性質

1．圓的定義（兩種）

2．有關概念：弦、直徑;弧、等弧、優弧、劣弧、半圓;弦心距;等圓、同圓、同心圓。

3．“三點定圓”定理

4．垂徑定理及其推論

5．“等對等”定理及其推論

5．與圓有關的角：⑴圓心角定義（等對等定理）

⑵圓周角定義（圓周角定理，與圓心角的關系）

⑶弦切角定義（弦切角定理）

二、直線和圓的位置關系

1.三種位置及判定與性質：

2.切線的性質（重點）

3.切線的判定定理（重點）。圓的切線的判定有⑴…⑵…

4．切線長定理

三、圓換圓的位置關系

1.五種位置關系及判定與性質：(重點：相切)

2.相切（交）兩圓連心線的性質定理

3.兩圓的公切線：⑴定義⑵性質

四、與圓有關的比例線段

1.相交弦定理

2.切割線定理

五、與和正多邊形

1.圓的內接、外切多邊形（三角形、四邊形）

2.三角形的外接圓、內切圓及性質

3.圓的外切四邊形、內接四邊形的性質

4.正多邊形及計算

中心角：

內角的一半：(右圖)

（解Rt△OAM可求出相關元素,、等）

六、一組計算公式

1.圓周長公式

2.圓面積公式

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標準文案

3.扇形面積公式

4.弧長公式

5.弓形面積的計算方法

6.圓柱、圓錐的側面展開圖及相關計算

七、點的軌跡

六條基本軌跡

八、有關作圖

1.作三角形的外接圓、內切圓

2.平分已知弧

3.作已知兩線段的比例中項

4.等分圓周：4、8;6、3等分

九、基本圖形

十、重要輔助線

1.作半徑

2.見弦往往作弦心距

3.見直徑往往作直徑上的圓周角

4.切點圓心莫忘連

5.兩圓相切公切線（連心線）

6.兩圓相交公共弦

初三（下冊）數學各章節重要知識點總結

二次函數

1.二次函數的一般形式：y=ax2+bx+c.(a≠0)

2.關于二次函數的幾個概念：二次函數的圖象是拋物線，所以也叫拋物線y=ax2+bx+c；拋

物線關于對稱軸對稱且以對稱軸為界，一半圖象上坡，另一半圖象下坡；其中c叫二次函

數在y軸上的截距,即二次函數圖象必過（0，c）點.

3.y=ax2(a≠0)的特性：當y=ax2+bx+c(a≠0)中的b=0且c=0時二次函數為y=ax2(a≠0);

這個二次函數是一個特殊的二次函數，有下列特性：

（1）圖象關于y軸對稱；（2）頂點（0，0）；（3）y=ax2(a≠0)可以經過補0看做二次函

數的一般式，頂點式和雙根式，即：y=ax2+0x+0,y=a(x-0)2+0,y=a(x-0)(x-0).

4.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象及幾個重要點的公式：

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標準文案

5.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)中，a、b、c與Δ的符號與圖象的關系：

(1)a＞0<=>拋物線開口向上；a＜0<=>拋物線開口向下；

(2)c＞0<=>拋物線從原點上方通過；c=0<=>拋物線從原點通過；

c＜0<=>拋物線從原點下方通過；

(3)a,b異號<=>對稱軸在y軸的右側；a,b同號<=>對稱軸在y軸的左側；

b=0<=>對稱軸是y軸；

(4)Δ＞0<=>拋物線與x軸有兩個交點；

Δ=0<=>拋物線與x軸有一個交點（即相切）；

Δ＜0<=>拋物線與x軸無交點.

6．求二次函數的解析式：已知二次函數圖象上三點的坐標，可設解析式y=ax2+bx+c，并把

這三點的坐標代入，解關于a、b、c的三元一次方程組，求出a、b、c的值,從而求出

解析式-------待定系數法.

8．二次函數的頂點式：y=a(x-h)2+k(a≠0)；由頂點式可直接得出二次函數的頂點坐標

（h,k），對稱軸方程x=h和函數的最值y最值=k.

9．求二次函數的解析式：已知二次函數的頂點坐標（x0,y0）和圖象上的另一點的坐標，可

設解析式為y=a(x-x0)2+y0，再代入另一點的坐標求a，從而求出解析式.（注意：習

題無特殊說明，最后結果要求化為一般式）

10.二次函數圖象的平行移動：二次函數一般應先化為頂點式，然后才好判斷圖象的平行移

動；y=a(x-h)2+k的圖象平行移動時，改變的是h,k的值,a值不變，具體規律如下：

k值增大<=>圖象向上平移；k值減小<=>圖象向下平移；（x-h）值增大<=>圖象向

左平移；(x-h)值減小<=>圖象向右平移.

11.二次函數的雙根式：(即交點式)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)；由雙根式直接可得二次函

數圖象與x軸的交點（x1,0）,（x2,0）.

12.求二次函數的解析式：已知二次函數圖象與x軸的交點坐標（x1,0），（x2,0）和圖象上

的另一點的坐標，可設解析式為y=a(x-x1)(x-x2)，再代入另一點的坐標求a，從而求

出解析式.（注意：習題最后結果要求化為一般式）

13．二次函數圖象的對稱性：已知二次函數圖象上的點與對稱軸，可利用圖象的對稱性求出

已知點的對稱點，這個對稱點也一定在圖象上.

相似形

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標準文案

1.相似形

(1)形狀相同的兩個圖形叫做相似形。

(2)相似的圖形，他們的大小不一定相同。大小相同的兩個相似形是全等形。

(3)如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形對應角相等，對應邊的長度成比例。

(4)圖形的大小或放縮，稱為圖形的放縮運動。通過放縮運動，兩個相似的圖形可以互相重

合（即稱為全等形）。

2.比例線段

(1)兩條線段長度的比叫做兩條線段的比。

(2)在四條線段中，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，那么這四條線段叫做成

比例線段，簡稱比例線段。

(3)比例線段的性質：

基本性質：如果

ac

bd

?，那么adbc?（或,,

bdabcd

accdab

???）。

合比性質：如果

ac

bd

?，那么

abcd

bd

??

?。

等比性質：如果

ac

k

bd

??，那么

acac

k

bdbd

?

???

?

。

（4）黃金分割

如果點P把線段AB分割成AP和PB（AP>PB）,其中，AP是AB和PB的比例中項，那么這種

分割為黃金分割，點P稱為AB的黃金分割點，AP與AB的比值

51

2

?

稱為黃金分割數，它

的近似值為0.618。

3.三角形一邊的平行線

(1)定理1平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對應線段成比例。

推論1平行于三角形的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形三邊

對應成比例。

(2)三角形三條中線的交點叫做三角形的重心。三角形的重心到一個頂點的距離，等于它到

這個頂點對邊中點的距離的兩倍。

(3)定理2如果一條直線截三角形兩邊所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形

的第三邊。

推論2如果一條直線截三角形兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側）所得的對

應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

(4)兩條直線被三條平行線所截，截得的對應線段成比例。

兩條直線被被三條平行線所截，如果在一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截

得的線段也相等。

4.相似三角形

(1)概念：對應角相等，對應邊成比例的三角形，叫做相似三角形．

(2)相似用符號“∽”表示，讀作“相似于”．

(3)相似三角形對應邊的比叫做相似比(或相似系數)．

(4)相似三角形對應角相等，對應邊成比例．

(5)注意：

①對應性：即兩個三角形相似時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應位置上，這樣寫比較

容易找到相似三角形的對應角和對應邊．

②順序性：相似三角形的相似比是有順序的．

實用文檔

標準文案

③兩個三角形形狀一樣，但大小不一定一樣．

④全等三角形是相似比為1的相似三角形．二者的區別在于全等要求對應邊相等，而相似要

求對應邊成比例．

定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊延長線)相交，所構成的三角形與原

三角形相似．

定理的基本圖形：

用數學語言表述是：

BCDE//?，

ADE??∽ABC?．

5.相似三角形的判定

(1)相似三角形：如果兩個三角形的三個角對應相等，三條邊對應成比例。

對應邊的比叫做相似比。當相似比等于1時，這兩個相似三角形是全等三角形。

（2）相似三角形的預備定理

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似。

（3）相似三角形的判定定理1

如果一個三角形的兩角與另一個三角形的兩角對應相等，那么這兩個三角形相似。

（4）相似三角形判定定理2

如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應成比例，且夾角相等，那么這兩個三角

形相似。

（5）相似三角形判定定理3

如果一個三角形的三邊與另一個三角形的三邊對應成比例，那么這兩個三角形相似。

（6）直角三角形相似的判定定理

如果一個直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應

成比例，那么這兩個直角三角形相似。

（7）兩個三角形相似，那么它們的對應角相等，對應邊成比例。

6.相似三角形的性質

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標準文案

（1）相似三角形的對應角相等，對應邊成比例。

（2）相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比等于相似比。

（3）相似三角形周長的比等于相似比。

（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

7.相似多邊形的性質：

（1）相似多邊形周長比，對應對角線的比等于相似比．

（2）相似多邊形中對應三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比．

（3）相似多邊形面積比等于相似比的平方．

銳角三角函數

1.勾股定理：直角三角形兩直角邊

a

、b的平方和等于斜邊

c

的平方。222cba??

2.如下圖，在Rt△ABC中，∠C為直角，則∠A的銳角三角函數為(∠A可換成∠B)：

定義表達式取值范圍關系

正

弦

斜邊

的對邊A

A

?

?sin

c

a

A?sin

1sin0??A

(∠A為銳角)

BAcossin?

BAsincos?

1cossin22??AA

余

弦

斜邊

的鄰邊A

A

?

?cos

c

b

A?cos

1cos0??A

(∠A為銳角)

正

切

的鄰邊

的對邊

A

tan

?

?

?

A

A

b

a

A?tan

0tan?A

(∠A為銳角)

BAcottan?

BAtancot?

A

A

cot

1

tan?

(倒數)

1cottan??AA

余

切的對邊

的鄰邊

A

A

A

?

?

?cot

a

b

A?cot

0cot?A

(∠A為銳角)

3.任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦

值。

4.任意銳角的正切值等于它的余角的余切值；任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。

5.0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函數值(重要)

三角函數0°30°45°60°90°

?sin

0

2

1

2

2

2

3

1

?cos

1

2

3

2

2

2

1

0

)90cot(tanAA???

)90tan(cotAA???

BAcottan?

BAtancot?

)90cos(sinAA???

)90sin(cosAA???

BAcossin?

BAsincos?

A90B

90

?????

?????

得

由BA

對

邊

鄰邊

斜邊

AC

B

b

a

c

A90B

90

?????

?????

得

由BA

實用文檔

標準文案

?tan

0

3

3

13-

?cot

-31

3

3

0

6.正弦、余弦的增減性：

當0°≤

?

≤90°時，sin

?

隨

?

的增大而增大，cos

?

隨

?

的增大而減小。

7.正切、余切的增減性：

當0°<

?

<90°時，tan

?

隨

?

的增大而增大，cot

?

隨

?

的增大而減小。

1.解直角三角形的定義：已知邊和角（兩個，其中必有一邊）→所有未知的邊和角。

依據：①邊的關系：222cba??；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的

定義。(注意：盡量避免使用中間數據和除法)

2.應用舉例：

(1)仰角：視線在水平線上方的角；俯角：視線在水平線下方的角。

(2)坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即

h

i

l

?。坡

度一般寫成1:m的形式，如1:5i?等。

把坡面與水平面的夾角記作

?

(叫做坡角)，那么tan

h

i

l

???。

3.從某點的指北方向按順時針轉到目標方向的水平角，叫做方位角。如圖3，OA、OB、

OC、OD的方向角分別是：45°、135°、225°。

4.指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如圖4,OA、

OB、OC、OD的方向角分別是：北偏東30°（東北方向），南偏東45°（東南方向），

南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。

視圖與投影

1.三視圖包括：主視圖、俯視圖和左視圖。

三視圖之間要保持長對正，高平齊，寬相等。一般地，俯視圖要畫在主視圖的下方，左視

圖要畫在正視圖的右邊。

主視圖：從物體正面視得的圖象

俯視圖：從物體上面視得的圖象

左視圖：從物體左面視得的圖象

2.視圖中每一個閉合的線框都表示物體上一個表面(平面或曲面)，而相連的兩個閉合線框一

仰角

鉛垂線

水平線

視線

視線

俯角

:ihl?

h

l

實用文檔

標準文案

定不在一個平面上。

3.在一個外形線框內所包括的各個小線框，一定是平面體（或曲面體）上凸出或凹的各個小

的平面體（或曲面體）。

4.在畫視圖時，看得見的部分的輪廓線通常畫成實線，看不見的部分輪廓線通常畫成虛線。

物體在光線的照射下，會在地面或墻壁上留下它的影子，這就是投影

．．

。

太陽光線可以看成平行的光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影

．．．．

。

探照燈、手電筒、路燈的光線可以看成是從一點出發的，像這樣的光線所形成的投影稱為中

．

心投影

．．．

。

5.區分平行投影和中心投影：①觀察光源；②觀察影子。

眼睛的位置稱為視點

．．

；由視點發出的線稱為視線

．．

；眼睛看不到的地方稱為盲區

．．

。

6.從正面、上面、側面看到的圖形就是常見的正投影，是當光線與投影垂直時的投影。

（1）點在一個平面上的投影仍是一個點；

（2）線段在一個面上的投影可分為三種情況：

線段垂直于投影面時，投影為一點；

線段平行于投影面時，投影長度等于線段的實際長度；

線段傾斜于投影面時，投影長度小于線段的實際長度。

（3）平面圖形在某一平面上的投影可分為三種情況：

平面圖形和投影面平行的情況下，其投影為實際形狀；

平面圖形和投影面垂直的情況下，其投影為一線段；

平面圖形和投影面傾斜的情況下，其投影小于實際的形狀。

初三（下冊）數學教學大綱

二次函數

1．函數

平面直角坐標系。常量。變量。函數及其表示法。

具體要求：

（1）理解平面直角坐標系的有關概念，并會正確地畫出直角坐標系；理解平面內點的坐標

的意義，會根據坐標確定點和由點求得坐標。了解平面內的點與有序實數對之間一一對應。

（2）了解常量、變量、函數的意義，會發現、提出函數的實例，以及分辨常量與變量、自

變量與函數。

（3）理解自變量的取值范圍和函數值的意義，對解析式為只含有一個自變量的簡單的整式、

分式、二次根式的函數，會確定它們的自變量的取值范圍和求它們的函數值。

（4）了解函數的三種表示法，會用描點法畫出函數的圖象。

實用文檔

標準文案

（5）通過函數的教學，使學生體會事物是互相聯系和有規律地變化著的，并向學生滲透數

形結合的思想方法。

2．二次函數的圖象

二次函數。拋物線的頂點、對稱軸和開口方向。

△一元二次方程的圖象解法。

具體要求：

（1）理解二次函數和拋物線的有關概念，會用描點法畫出二次函數的圖象，會用公式（不

要求掌握公式推導過程和記憶公式）確定拋物線的頂點和對稱軸。

*（2）會用配方法確定拋物線的頂點和對稱軸。

△（3）會用圖象法求一元二次方程的近似解。

*（4）會用待定系數法由已知圖象上三個點的坐標求二次函數的解析式。

相似形

1．比例線段

比與比例。比例的基本性質。合比性質。等比性質。

兩條線段的比。成比例的線段。

平行線分線段成比例。截三角形兩邊或其延長線的直線平行于第三邊的判定。

具體要求：

（1）理解比與比例的概念。能夠說出比例關系式中比例的內項、外項、第四比例項或比例

中項。

（2）掌握比例的基本性質定理、合比性質和等比性質。會用它們進行簡單的比例變形。

（3）理解線段的比、成比例線段的概念。會判斷線段是否成比例。了解黃金分割。

（4）了解平行線分線段成比例定理及截三角形兩邊或其延長線的直線平行于第三邊的判定

定理的證明；會用它們證明線段成比例、線段平行等問題，并會進行有關的計算。會分線段

成已知比。

2．相似形

相似三角形。三角形相似的判定。直角三角形相似的判定。相似三角形的性質。

具體要求：

（1）理解相似三角形的概念。

（2）靈活運用兩對對應角相等、或一對對應角相等且夾邊成比例、或三對邊之比相等則兩

三角形相似的判定定理，以及一對直角邊和斜邊成比例則兩直角三角形相似的判定定理。

（3）理解相似比的概念和相似三角形的對應高的比等于相似比的性質。

（4）會按已知相似比作一個三角形與已知三角形相似。

銳角三角函數（及解直角三角形）

1．銳角三角函數

銳角三角函數。銳角三角函數值。角的三角函數值。

具體要求：

（1）了解銳角三角函數的概念，能夠正確地應用，，，表示直角三角形中兩邊的比。

（2）會用科學計算器（尚無條件的學校可使用算表）由已知銳角求它的三角函數值，由已

知三角函數值求它對應的銳角。

實用文檔

標準文案

（3）熟記，角的三角函數值，會計算含有特殊角的三角函數式的值，會由一個特殊銳角的

三角函數值，求出它對應的角度。

2．解直角三角形

解直角三角形。解直角三角形的應用。

實習作業。

具體要求：

（1）掌握直角三角形的邊角關系，會運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余及銳角三

角函數解直角三角形。

（2）會用解直角三角形的有關知識解某些簡單的實際問題。

（3）通過與三角形或四邊形有關的實習作業，培養學生解決實際問題的能力和用數學的意

識。

視圖與投影（識圖初步）

正投影的視圖。

基本幾何體的視圖。

簡單零件圖。

具體要求：

（1）了解正投影，視圖主視圖、俯視圖、左視圖的意義。

（2）會畫基本幾何體的二視圖或三視圖。

（3）會描繪含有直線和圓弧，圓弧和圓弧連接的輪廓線的簡單零件圖。