無(wú)理數(shù)是什么(無(wú)理數(shù)是什么意思無(wú)理數(shù)包括哪些)

什么是無(wú)理數(shù)？

無(wú)理數(shù)是指實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)。簡(jiǎn)單的說(shuō)，無(wú)理數(shù)就是10進(jìn)制下的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，如圓周率、如圓周率、√2等。

在數(shù)學(xué)中，無(wú)理數(shù)是所有不是有理數(shù)字的實(shí)數(shù)，后者是由整數(shù)的比率（或分?jǐn)?shù)）構(gòu)成的數(shù)字。當(dāng)兩個(gè)線段的長(zhǎng)度比是無(wú)理數(shù)時(shí)，線段也被描述為不可比較的，這意味著它們不能“測(cè)量”，即沒(méi)有長(zhǎng)度（“度量”）。

常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有：圓周長(zhǎng)與其直徑的比值，歐拉數(shù)e，黃金比例φ等等。

擴(kuò)展資料：

“有理數(shù)”這一名稱(chēng)不免叫人費(fèi)解，有理數(shù)并不比別的數(shù)更“有道理”。事實(shí)上，這似乎是一個(gè)翻譯上的失誤。有理數(shù)一詞是從西方傳來(lái)，在英語(yǔ)中是rational number，而rational通常的意義是“理性的”。中國(guó)在近代翻譯西方科學(xué)著作，依據(jù)日語(yǔ)中的翻譯方法，以訛傳訛，把它譯成了“有理數(shù)”。

但是，這個(gè)詞來(lái)源于古希臘，其英文詞根為ratio，就是比率的意思（這里的詞根是英語(yǔ)中的，希臘語(yǔ)意義與之相同）。所以這個(gè)詞的意義也很顯豁，就是整數(shù)的“比”。與之相對(duì)，“無(wú)理數(shù)”就是不能精確表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，而并非沒(méi)有道理。

無(wú)理數(shù)是什么？

無(wú)理數(shù)是指實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō),無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。如圓周率、√2(根號(hào)2)等。

無(wú)理數(shù)，也稱(chēng)為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不能寫(xiě)作兩整數(shù)之比。若將它寫(xiě)成小數(shù)形式，小數(shù)點(diǎn)之后的數(shù)字有無(wú)限多個(gè)，并且不會(huì)循環(huán)。

常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有非完全平方數(shù)的平方根、π和e（其中后兩者均為超越數(shù)）等。無(wú)理數(shù)的另一特征是無(wú)限的連分?jǐn)?shù)表達(dá)式，無(wú)理數(shù)最早由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派弟子希伯索斯發(fā)現(xiàn)。

而有理數(shù)由所有分?jǐn)?shù)，整數(shù)組成，總能寫(xiě)成整數(shù)、有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)，并且總能寫(xiě)成兩整數(shù)之比，如21/7等。

相關(guān)如下：

15世紀(jì)意大利著名畫(huà)家達(dá).芬奇稱(chēng)之為“無(wú)理的數(shù)”，17世紀(jì)德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒稱(chēng)之為“不可名狀”的數(shù)。

然而真理畢竟是淹沒(méi)不了的，畢氏學(xué)派抹殺真理才是“無(wú)理”。人們?yōu)榱思o(jì)念希伯索斯這位為真理而獻(xiàn)身的可敬學(xué)者，就把不可通約的量取名“無(wú)理數(shù)”——這就是無(wú)理數(shù)的由來(lái)。

由無(wú)理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)下半葉。1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù)，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無(wú)理數(shù)被認(rèn)為“無(wú)理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)。

什么是無(wú)理數(shù)

無(wú)理數(shù)也稱(chēng)為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不能寫(xiě)作兩整數(shù)之比。若將它寫(xiě)成小數(shù)形式，小數(shù)點(diǎn)之后的數(shù)字有無(wú)限多個(gè)，并且不會(huì)循環(huán)。

無(wú)理數(shù)指的是什么

無(wú)理數(shù)是指除有理數(shù)以外的實(shí)數(shù)，當(dāng)中的“理”字來(lái)自于拉丁語(yǔ)的rationalis，意思是“理解”，實(shí)際是拉丁文對(duì)于logos“說(shuō)明”的翻譯，是指無(wú)法用兩個(gè)整數(shù)的比來(lái)說(shuō)明一個(gè)無(wú)理數(shù)。

無(wú)理數(shù)的定義：在數(shù)學(xué)中，無(wú)理數(shù)是所有不是有理數(shù)字的實(shí)數(shù)，后者是由整數(shù)的比率（或分?jǐn)?shù)）構(gòu)成的數(shù)字。當(dāng)兩個(gè)線段的長(zhǎng)度比是無(wú)理數(shù)時(shí)，線段也被描述為不可比較的，這意味著它們不能“測(cè)量”，即沒(méi)有長(zhǎng)度（“度量”）。

無(wú)理數(shù)是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)。簡(jiǎn)單的說(shuō)，無(wú)理數(shù)就是10進(jìn)制下的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，如π、√2等。

無(wú)理數(shù)和有理數(shù)有哪些區(qū)別

1.性質(zhì)不同

有理數(shù)是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中的重要內(nèi)容之一，在現(xiàn)實(shí)生活中有廣泛的應(yīng)用，是繼續(xù)學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式、直角坐標(biāo)系、函數(shù)、統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)內(nèi)容以及相關(guān)學(xué)科知識(shí)的基礎(chǔ)。無(wú)理數(shù)，也稱(chēng)為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不能寫(xiě)作兩整數(shù)之比。若將它寫(xiě)成小數(shù)形式，小數(shù)點(diǎn)之后的數(shù)字有無(wú)限多個(gè)，并且不會(huì)循環(huán)。

2.范圍不同

有理數(shù)集是整數(shù)集的擴(kuò)張。在有理數(shù)集內(nèi)，加法、減法、乘法、除法（除數(shù)不為零）4種運(yùn)算通行無(wú)阻。無(wú)理數(shù)是指實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)。簡(jiǎn)單的說(shuō)，無(wú)理數(shù)就是10進(jìn)制下的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。

3.結(jié)構(gòu)不同

有理數(shù)為整數(shù)（正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)）和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱(chēng)。無(wú)理數(shù)是所有不是有理數(shù)字的實(shí)數(shù)，后者是由整數(shù)的比率（或分?jǐn)?shù)）構(gòu)成的數(shù)字。

無(wú)理數(shù)的概念是什么

在數(shù)學(xué)中，無(wú)理數(shù)是所有不是有理數(shù)字的實(shí)數(shù)，無(wú)理數(shù)，也稱(chēng)為無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，不能寫(xiě)作兩整數(shù)之比。

無(wú)理數(shù)的概念

無(wú)理數(shù)是指實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)。簡(jiǎn)單的說(shuō)，無(wú)理數(shù)就是10進(jìn)制下的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，常見(jiàn)的無(wú)理數(shù)有：圓周長(zhǎng)與其直徑的比值，歐拉數(shù)e，黃金比例φ等等。無(wú)理數(shù)最早由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派弟子希伯索斯發(fā)現(xiàn)。

有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的區(qū)別

（1）性質(zhì)區(qū)別：

有理數(shù)是兩個(gè)整數(shù)的比，總能寫(xiě)成整數(shù)、有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)；無(wú)理數(shù)不能寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)之比，是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。

（2）結(jié)構(gòu)區(qū)別：

有理數(shù)是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱(chēng)；無(wú)理數(shù)是所有不是有理數(shù)的實(shí)數(shù)。

（3）范圍區(qū)別：

有理數(shù)集是整數(shù)集的擴(kuò)張，在有理數(shù)集內(nèi)，加法、減法、乘法、除法(除數(shù)不為零)4種運(yùn)算均可進(jìn)行；無(wú)理數(shù)是指實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)。

無(wú)理數(shù)集及其他數(shù)集的符號(hào)

無(wú)理數(shù)集相當(dāng)于實(shí)數(shù)集中有理數(shù)集的補(bǔ)集，實(shí)數(shù)集R，有理數(shù)集Q，所以無(wú)理數(shù)集合符號(hào)為CrQ。

所有正整數(shù)組成的集合稱(chēng)為正整數(shù)集，記作N*，Z+或N+。

所有負(fù)整數(shù)組成的集合稱(chēng)為負(fù)整數(shù)集，記作Z-。

全體虛數(shù)組成的集合稱(chēng)為虛數(shù)集，記作I。

全體實(shí)數(shù)和虛數(shù)組成的復(fù)數(shù)的集合稱(chēng)為復(fù)數(shù)集，記作C。

無(wú)理數(shù)的概念是什么

無(wú)理數(shù)是指除有理數(shù)以外的實(shí)數(shù)，當(dāng)中的“理”字來(lái)自于拉丁語(yǔ)的rationalis，意思是“理解”，實(shí)際是拉丁文對(duì)于logos“說(shuō)明”的翻譯，是指無(wú)法用兩個(gè)整數(shù)的比來(lái)說(shuō)明一個(gè)無(wú)理數(shù)。

定義：

在數(shù)學(xué)中，無(wú)理數(shù)是所有不是有理數(shù)字的實(shí)數(shù)，后者是由整數(shù)的比率（或分?jǐn)?shù)）構(gòu)成的數(shù)字。當(dāng)兩個(gè)線段的長(zhǎng)度比是無(wú)理數(shù)時(shí)，線段也被描述為不可比較的，這意味著它們不能“測(cè)量”，即沒(méi)有長(zhǎng)度（“度量”）。

無(wú)理數(shù)是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)。簡(jiǎn)單的說(shuō)，無(wú)理數(shù)就是10進(jìn)制下的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，如π、 √2等。

擴(kuò)展資料
歷史：

傳說(shuō)中，無(wú)理數(shù)最早由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派弟子希伯斯發(fā)現(xiàn)。他以幾何方法證明√2無(wú)法用整數(shù)及分?jǐn)?shù)表示。而畢達(dá)哥拉斯深信任意數(shù)均可用整數(shù)及分?jǐn)?shù)表示，不相信無(wú)理數(shù)的存在。

后來(lái)希伯斯觸犯學(xué)派章程，將無(wú)理數(shù)透露給外人，因而被扔進(jìn)海中處死，其罪名竟然等同于“瀆神”。

無(wú)理數(shù)集：

無(wú)理數(shù)集是不可數(shù)集（因有理數(shù)集是可數(shù)集而實(shí)數(shù)集是不可數(shù)集）。無(wú)理數(shù)集是個(gè)不完備的拓?fù)淇臻g，它是與所有正數(shù)數(shù)列的集拓?fù)渫瑯?gòu)的，當(dāng)中的同構(gòu)映射是無(wú)理數(shù)的連分?jǐn)?shù)開(kāi)展。因而貝爾綱定理可以應(yīng)用在無(wú)數(shù)間的拓?fù)淇臻g上。

數(shù)學(xué)中無(wú)理數(shù)概念是什么

無(wú)理數(shù)就是小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字有無(wú)限多個(gè)，而且不會(huì)循環(huán)出現(xiàn)。本文中，我整理了相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，歡迎閱讀。

無(wú)理數(shù)的定義

無(wú)理數(shù)是指除有理數(shù)以外的實(shí)數(shù)，當(dāng)中的“理”字來(lái)自于拉丁語(yǔ)的rationalis，意思是“理解”，實(shí)際是拉丁文對(duì)于logos“說(shuō)明”的翻譯，是指無(wú)法用兩個(gè)整數(shù)的比來(lái)說(shuō)明一個(gè)無(wú)理數(shù)。

在數(shù)學(xué)中，無(wú)理數(shù)是所有不是有理數(shù)字的實(shí)數(shù)，后者是由整數(shù)的比率（或分?jǐn)?shù)）構(gòu)成的數(shù)字。當(dāng)兩個(gè)線段的長(zhǎng)度比是無(wú)理數(shù)時(shí)，線段也被描述為不可比較的，這意味著它們不能“測(cè)量”，即沒(méi)有長(zhǎng)度（“度量”）。

無(wú)理數(shù)是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能表示成兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)。簡(jiǎn)單的說(shuō)，無(wú)理數(shù)就是10進(jìn)制下的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，如π、√2等。

無(wú)理數(shù)分類(lèi)

（1）π，也就是3.1415926……這類(lèi)的，只要和π有關(guān)系的基本上都是無(wú)理數(shù)了。

（2）開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)。這里“開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)”一般是指開(kāi)方后得到的數(shù)，而不是字面解釋的那個(gè)意思。例如根號(hào)2，三次根號(hào)2……

（3）還有一種就是這類(lèi)的：例如：0.101001000100001……，它有規(guī)律，但是這個(gè)規(guī)律是不循環(huán)的，每次都多一個(gè)0，發(fā)現(xiàn)了沒(méi)。它是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。這個(gè)也是無(wú)理數(shù)。

但是無(wú)限循環(huán)小數(shù)不是無(wú)理數(shù)。這些數(shù)是沒(méi)有全部的，就像10000后面還有10001一樣。

無(wú)理數(shù)歷史

畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras，約公元前580年至公元前500年間）是古希臘的大數(shù)學(xué)家。他證明許多重要的定理，包括后來(lái)以他的名字命名的畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理），即直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積之和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積。

畢達(dá)哥拉斯將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用得純熟之后，覺(jué)得不能只滿(mǎn)足于用來(lái)算題解題，于是他試著從數(shù)學(xué)領(lǐng)域擴(kuò)大到哲學(xué)，用數(shù)的觀點(diǎn)去解釋一下世界。經(jīng)過(guò)一番刻苦實(shí)踐，他提出“萬(wàn)物皆為數(shù)”的觀點(diǎn)：數(shù)的元素就是萬(wàn)物的元素，世界是由數(shù)組成的，世界上的一切沒(méi)有不可以用數(shù)來(lái)表示的，數(shù)本身就是世界的秩序。

公元前500年，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的弟子希伯索斯（Hippasus）發(fā)現(xiàn)了一個(gè)驚人的事實(shí)，一個(gè)正方形的對(duì)角線與其一邊的長(zhǎng)度是不可公度的（若正方形的邊長(zhǎng)為1，則對(duì)角線的長(zhǎng)不是一個(gè)有理數(shù)），這一不可公度性與畢氏學(xué)派的“萬(wàn)物皆為數(shù)”（指有理數(shù)）的哲理大相徑庭。

這一發(fā)現(xiàn)使該學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人惶恐，認(rèn)為這將動(dòng)搖他們?cè)趯W(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位，于是極力封鎖該真理的流傳，希伯索斯被迫流亡他鄉(xiāng)，不幸的是，在一條海船上還是遇到畢氏門(mén)徒。被畢氏門(mén)徒殘忍地投入了水中殺害。科學(xué)史就這樣拉開(kāi)了序幕，卻是一場(chǎng)悲劇。

希伯索斯的發(fā)現(xiàn)，第一次向人們揭示了有理數(shù)系的缺陷，證明了它不能同連續(xù)的無(wú)限直線等同看待，有理數(shù)并沒(méi)有布滿(mǎn)數(shù)軸上的點(diǎn)，在數(shù)軸上存在著不能用有理數(shù)表示的“孔隙”。而這種“孔隙”經(jīng)后人證明簡(jiǎn)直多得“不可勝數(shù)”。

于是，古希臘人把有理數(shù)視為連續(xù)銜接的那種算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想徹底地破滅了。不可公度量的發(fā)現(xiàn)連同芝諾悖論一同被稱(chēng)為數(shù)學(xué)史上的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，對(duì)以后2000多年數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，促使人們從依靠直覺(jué)、經(jīng)驗(yàn)而轉(zhuǎn)向依靠證明，推動(dòng)了公理幾何學(xué)和邏輯學(xué)的發(fā)展，并且孕育了微積分思想萌芽。

不可約的本質(zhì)是什么？長(zhǎng)期以來(lái)眾說(shuō)紛紜，得不到正確的解釋?zhuān)瑑蓚€(gè)不可通約的比值也一直認(rèn)為是不可理喻的數(shù)。15世紀(jì)意大利著名畫(huà)家達(dá).芬奇稱(chēng)之為“無(wú)理的數(shù)”，17世紀(jì)德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒稱(chēng)之為“不可名狀”的數(shù)。

然而真理畢竟是淹沒(méi)不了的，畢氏學(xué)派抹殺真理才是“無(wú)理”。人們?yōu)榱思o(jì)念希伯索斯這位為真理而獻(xiàn)身的可敬學(xué)者，就把不可通約的量取名“無(wú)理數(shù)”——這就是無(wú)理數(shù)的由來(lái)。

由無(wú)理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)下半葉。1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù)，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無(wú)理數(shù)被認(rèn)為“無(wú)理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)。

以上是我整理的相關(guān)知識(shí)，希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)能有所幫助。