初一數學題

基礎鞏固篇

第一講有理數

重點分析：

1.回顧以前學過的關于“數”的知識，進一步理解自然數、分數的產生和發展的實際背景，

通過學生身邊的例子體驗自然數與分數的意義以及它們在計數、測量、排序、編碼等方面的

應用.

2.從相反意義的量的表示，理解正數、負數的概念，理解有理數產生的必然性、合理性.

3.有理數的分類：按有理數的整分性可以分為整數和分數；按有理數的正負性可以分為正有

理數、負有理數和零.

難點分析：

1.分數都可以化為小數，有些小數(有限小數和無限循環小數）可以化為分數.

2.相反意義的量包含兩個要素：一是它們的意義要相反；二是它們都具有數量(必須是同一

類量，數量大小可以不相等）.

下列說法中，正確的是(）.

①0是整數；②0是有理數；③0是自然數；④0是正數；⑤0是負數；⑥0是非負數．

A.①②③⑥B.①②⑥C.①②③D.②③⑥

思路點撥0是自然數，是整數，不是正數也不是負數，但屬于非負數，根據題意描述進行

判斷即可．

解題過程①②③⑥正確，0不是正數也不是負數，所以④⑤錯誤，故選A．

方法歸納本題考查了有理數的定義，注意掌握0這個特殊的數，它是自然數，也是整數，

它既不是正數也不是負數．

易錯誤區數擴大到有理數范圍后，注意0的特殊性，特別注意0是整數，0既不是正數，

也不是負數，但它是非負數．

把下列各數填入相應的大括號里：

-3，0.2，3.14，8，0，-2，20,

1

4

,-6.5，17%，-2

1

8

.

整數：{…}；

分數：{…}；

正數：{…}；

負數：{…}；

自然數：{…}；

負有理數：{…}．

思路點撥有理數包括整數和分數，整數包括正整數、0、負整數，分數包括正分數和負分

數，根據以上內容判斷即可．

解題過程整數：{-3，8，0，-2，20，…}；

分數：{0.2，3.14,

1

4

,-6.5，17%，-2

1

8

，…}；

正數：{0.2，3.14，8，20,

1

4

,17%，…}；

負數：{-3，-2，-6.5，-2

1

8

，…}；

自然數：{8，0，20，…}；

負有理數：{-3，-2，-6.5，-2

1

8

，…}．

方法歸納本題考查了有理數的定義，理解有理數的定義是解本題的關鍵.注意：有理數包

括整數和分數，整數包括正整數、0、負整數，分數包括正分數和負分數．

易錯誤區本題數據比較多，大部分數據承擔多種角色，所以要注意不重不漏.

(1）已知4個礦泉水空瓶可以換1瓶礦泉水，現有15個礦泉水空瓶，若不付錢，最多可以

喝瓶礦泉水.

(2）師生共52人外出春游，到達后，班主任把買礦泉水的錢給班長，要他給每人買一瓶礦

泉水.班長到商店后，發現商店正在進行促銷活動，規定每5個空瓶可換1瓶礦泉水.班長只

要買瓶礦泉水，就可以保證每人一瓶.

思路點撥(1）看15里面有幾個4，再看余下的空瓶包含幾個4，把個數相加即可.(2）因為

5個空瓶=1個空瓶+1瓶的水，可知4個空瓶可以換1瓶的水，因此花4瓶的錢可以喝到5

瓶水，所以花40瓶的錢可以喝到50瓶水，還差2瓶單買.

解題過程(1）15÷4=3(組)……3(瓶)，可先換3瓶礦泉水，喝完后還剩3+3=6個空瓶，拿

出4個空瓶換1瓶礦泉水，還剩3個空瓶，找人借1個空瓶湊齊4個空瓶換1瓶礦泉水，喝

完還剩1個空瓶，再把這個空瓶還給那個人，故最多可以喝5瓶礦泉水.

(2）52÷5=10（組）……2（瓶）；4×10+2=42（瓶）.∴班長只要買42瓶礦泉水，就可以保

證每人一瓶.

方法歸納本題考查的知識點是推理與論證，題（2）關鍵要抓住“5個空瓶可換1瓶礦泉

水”這個條件，據此得出“買4瓶就可以喝到5瓶水”這一結論，然后再列式計算.

易錯誤區換來的礦泉水喝完又是空瓶，可以繼續換.

（1）若m＞0，n＜0，|n|＞|m|，用“＜”號連接m，n，|n|，-m，請結合數軸解答.

（2）由小到大排列下列各分數：

6

11

，

10

17

，

12

19

，

15

23

，

20

33

，

60

91

.

思路點撥（1）首先根據在數軸上表示數的方法，在數軸上表示出所給的各數；然后根據

當數軸方向朝右時，右邊的數總比左邊的數大，把這些數由小到大用“＜”號連接起來即可.

（2）本題是比較分數的大小，常規方法是通分，將分母化成相同的數，再比較分子的大小，

但本題通分比較復雜，而如果先把分子通分，即化成分子相同的分數，再比較分母的大小就

比較簡單了.

解題過程（1）如圖，∴n＜-m＜m＜|n|.

方法歸納本題考查的是有理數的大小比較，比較有理數的大小通常有數軸法、作差法、作

商法、分類討論法等，題（1）利用數軸法比較，題（2）是比較多個分數的大小，可以通分

比較大小，通分既可以通分母，也可以通分子.

易錯誤區（1）注意：當n<0時，|n|=-n，關鍵要知道各個數表示的點所在的位置.（2）分

子的最小公倍數是60，通分子與通分母的方法一樣，但要注意分子相同的情況下分母越大

分數值越小.

分子為1、分母是等于2或大于2的自然數的分數叫做分數單位.早在三千多年前，古埃及人

就利用分數單位進行書寫和計算.將一個分數拆分為幾個不同的分數單位之和是一個古老且

有意義的問題.例如：.

(1）仿照上例，分別把分數

5

8

和

3

5

拆分成兩個不同的分數單位之和.

58=；35=.

(2）在上例中，

3

4

=

1

4

+

1

2

，又因為

1

2

=

3

6

=

12

6

?

=

1

6

+

2

6

=

1

6

+

1

3

，所以

3

4

=

1

4

+

1

6

+

1

3

，即

3

4

可以寫成三個不同的分數單位之和.按照這樣的思路，它也可以寫成四個，甚至五個不同的

分數單位之和.根據這樣的思路，探索分數

5

8

能寫成哪些兩個以上的不同的分數單位之和.

思路點撥(1）由分數單位的意義可知，將一個分數拆分為幾個不同的分數單位之和，就是

利用同分母分數的加法或約分的性質，把這個分數拆成兩個同分母分數，使其中一個分子是

1，另一個分數的分子能整除分母.(2）只要根據分數單位的轉化方法，把其中一個分數單位

利用分數的性質繼續拆分即可.

解題過程(1）.

(2）.(答案不唯一)

方法歸納本題考查了分數性質的靈活應用、同分母分數的相加以及約分方法，也考查了學

生的觀察能力.

易錯誤區分子為1、分母是等于或大于2的自然數的分數叫做分數單位，最大的分數單位

是

1

2

.

請根據各數之間的關系，找規律填空.

(1）

(2）

(3）

思路點撥(1）觀察圖形中的數可知：(9+6）×1=15；(6+7）×4=52；(5+8）×3=39；由此

可得，每個三角形中：(上面的數+左下的數）×右下的數=中間的數.(2）根據圖形中的數可

知：中間的數=上下數之差，左邊的數=中間的數×右邊的數，由此即可解答.(3）觀察每組

圖形中三個數的特點可知：下邊的數由三部分組成，最左邊的數字是右上方的數的十位上的

數字，最右邊的數字是左上方的數的個位上的數字，中間的數字是左上方的數的十位上的數

字與右上方的數的個位上的數字之和，由此即可解答.

解題過程(1）(11+3）×2=28.故？=28.

(2）61-56=5，5×3=15.故△=5，？=15.

(3）最左邊的數字是6，最右邊的數字是8，中間的數字是1+1=2，所以這個數是628.故？

=628.

方法歸納本題主要考查了學生通過對特例進行分析從而歸納總結出一般規律的能力.對于

找規律的題目首先應找出哪些部分發生了變化，是按照什么規律變化的，通過分析找到各部

分的變化規律后直接利用規律求解.

易錯誤區規律的確定通常至少要三個特例，從一個或兩個特例中總結出的結論不一定正

確，所以歸納出的一般規律要進行檢驗，使每一個特例都滿足規律.

拓展訓練

A組

1.小軍家的門牌號是256號，其中自然數的應用屬于(）.

A.計數B.測量C.標號D.排序

2.下列說法中，錯誤的有（）.

①-247是負分數；②1.5不是整數；③非負有理數不包括0；④正整數、負整數統稱為有理

數；⑤0是最小的有理數；⑥3.14不是有理數．

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.超市某品牌食品包裝袋上“質量”標注：500g±20g.下列待檢查的各袋食品中質量合格的

是（）.

A.530gB.519gC.470gD.459g

4.比較-1

3

5

，

12

13

，-1

2

3

，

17

15

的大小，結果正確的是（）.

5.一個紙環鏈，按紅黃綠藍紫的順序重復排列，截去其中的一部分，剩下部分如圖所示，則

被截去部分紙環的個數可能是(）.

A.2018B.2019C.2020D.2021

(第5題）

6.在下表適當的空格里面畫上“√”.

有理數整數分數正整數負分數自然數

-7

-3.14

0

2

3

7.氣象臺記錄了某地本周七天的氣溫變化情況(如下表），其中正號表示的數據是比前一天上

升的溫度，負號表示的數據是比前一天下降的溫度.已知上周日氣溫為3℃，根據表中數據，

請你判斷該地本周最低氣溫是℃.

星期一二三四五六日

氣溫變化（℃）+2-4-1-2+3-5-3

8.某登山隊從大本營出發，在向上攀登的過程中，測得所在位置的氣溫y（℃）與向上攀登

的高度x（km）的幾組對應值如下表：

向上攀登的高度x（km）0.51.01.52.0

氣溫y（℃）2.0-0.9-4.1-7.0

若每向上攀登1km，所在位置的氣溫下降幅度基本一致，則向上攀登的海拔高度為2.5km時，

登山隊所在位置的氣溫約為℃.

9.將一列數排成如圖所示的形式，按此規律排下去，那么第10行從左邊數第9個數

是.

（第9題）

10.在奧運五環圖案內，分別填寫五個數a，b，c，d，e，如，其中a，b，

c是三個連續偶數(a＜b＜c），d，e是兩個連續奇數(d＜e），且滿足a+b+c=d+e，例如

.請你在0～20之間選擇另一組符合條件的數填入五環圖案內.

11.把下列各數填入相應的大括號里：

1，-0.1，

1

4

，-789，|-25|，0，-（+20），-3.14，-590，-

1

2

，0.81.

非負整數：{…};

負分數：{…};

正有理數：{…}.

B組

12.下列說法中，正確的有(）.

①整數就是正整數和負整數；②零是整數，但不是自然數；③分數包括正分數、負分數；④

正數和負數統稱為有理數；⑤一個有理數，它不是整數就是分數.

A.1個B.2個C.3個D.4個

13.一種“拍7”的游戲規定：把從1起的自然數中含7的數稱作“明7”，把7的倍數稱作

“暗7”，那么在1~100的自然數中，“明7”和“暗7”共有(）.

A.22個B.29個C.30個D.31個

14.已知數a在數軸上的位置如圖，則a，-a，

1

a

，-

1

a

的大小關系是（）.

（第14題）

A.-

1

a

＜-a＜

1

a

＜aB.

1

a

＜a＜-

1

a

＜-a

C.-a＜-

1

a

＜

1

a

＜aD.

1

a

＜a＜-a＜-

1

a

15.已知下列各數：-3.14，24，+17，-7

1

2

,

5

16

,-0.01，0，其中整數有個，負分數有

個，非負數有個．

16.分子是1、分母是等于或大于2的自然數的分數叫做分數單位，如

1

2

,

1

3

,

1

4

，…，某些分

數單位可以拆分成兩個分母是相鄰自然數的分數單位的差，如

1

6

=

1

2

-

1

3

,

1

12

=

1

3

-

1

4

,

1

20

=

1

4

-

1

5

，則在分數單位

1

2

,

1

3

,

1

4

,…,

1

100

中，不能按上述要求拆分

的有個.

17.如圖，一只甲蟲在5×5的方格（每小格邊長為1個單位長度）上沿著網格線運動，它從

A處出發去看望B，C，D處的其他甲蟲.規定：向上向右走為正，向下向左走為負.如果從A

到B記為：A→B（+1，+4），從D到C記為：D→C（-1，+2），其中第一個數表示左右方

向，第二個數表示上下方向．

（1）圖中從A到C可以記為A→C（，），從B到C可以記為B→C

（，）.

（2）從D到可以記為D→（-4，-2）.

（3）若這只甲蟲的行走路線為A→B→C→D，則該甲蟲走過的路程長度為個單位長

度.

（4）若這只甲蟲從A處去P處的行走路線依次為（+1，+3），（+3，-2），（-2，+1），請在

圖中標出P的位置．

(第17題）

18.把幾個數用大括號括起來，相鄰兩個數之間用逗號隔開，如：{1，2}，{1，4，7}，…，

我們稱之為集合，其中的每一個數稱為該集合的元素.如果一個所有元素均為有理數的集合

滿足：當有理數x是集合的一個元素時，2020-x也必是這個集合的元素，這樣的集合我們

又稱為黃金集合.例如{0，2020}就是一個黃金集合.

（1）集合{2020}(填“是”或“不是”，下同)黃金集合，集合{-1，2021}黃

金集合.

（2）若一個黃金集合中最大的一個元素為4020，則該集合是否存在最小的元素？如果存在，

請直接寫出答案；如果不存在，請說明理由.

（3）若一個黃金集合所有元素之和為整數M，且24200＜M＜24300，則該集合共有幾個元

素？說明你的理由．

走進重高

1.【瀘州】在-2，0，

1

2

，2四個數中，最小的是（）.

A.-2B.0C.

1

2

D.2

2.【聊城】悉尼、紐約與北京的時差如下表（正數表示同一時刻比北京時間早的時數，負數

表示同一時刻比北京時間晚的時數）：

城市悉尼紐約

時差（時）+2-13

北京6月15日23時，悉尼、紐約的時間分別是（）.

A.6月16日1時，6月15日10時

B.6月16日1時，6月14日10時

C.6月15日21時，6月15日10時

D.6月15日21時，6月16日12時

3.南水北調工程中線自2014年12月正式通水以來，沿線多座大中城市受益，河南、河北、

北京及天津四個省（市）的水資源緊張態勢得到緩解，有效促進了地下水資源的涵養和恢復.

若與上年同期相比，北京地下水的水位下降記為負，回升記為正，記錄從2013年底以來，

北京地下水水位的變化得到下表：

下列關于2013年以來北京地下水水位的說法，不正確的是（）.

A.從2014年底開始，北京地下水水位的下降趨勢得到緩解

B.從2015年底到2016年底，北京地下水水位首次回升

C.2013年以來，每年年底的地下水位與上年同比的回升量最大的是2018年

D.2018年9月底的地下水水位低于2012年底的地下水水位

4.實際測量一座山的高度時，可在若干個觀測點中測量每兩個相鄰可視觀測點的相對高度，

然后用這些相對高度計算出山的高度.下表是某次測量數據的部分記錄（用A-C表示觀測點

A相對觀測點C的高度），根據這次測量的數據，可得觀測點A相對觀測點B的高度是m.

A-CC-DE-DF-EG-FB-G

90m80m-60m50m-70m40m

5.規定[a]表示不超過a的最大整數，例如[4.3]＝4.若m＝[π+1]，n＝[2.1]，則[m+

9

4

n]在此

規定下的值為.

6.2018年國慶節放假七天，高速公路免費通行，各地風景區游人如織，其中聞名于世的“三

孔”，在10月1日的游客人數就已經達到了10萬人，接下來的六天中，每天的游客人數變

化（單位：萬人）如下表（正數表示比前一天多的人數，負數表示比前一天少的人數）：

（1）10月3日的游客人數為萬人.

（2）這七天，游客人數最多的是多少萬人？最少呢？

（3）這7天參觀的總人數約為多少萬人？

高分奪冠

1.10個互不相等的有理數，每9個的和都是“分母為22的既約真分數(分子與分母無公約數

的真分數）”，則這10個有理數的和為(）.

A.

1

2

B.

11

18

C.

7

6

D.

5

9

2.已知a＝20212021×999，b＝20202020×1000，則a與b的大小關系是ab.

3.記|a，b|的值為a，b兩數中最大的數，例如|3，5|＝5.若m滿足|2，2-m|＝3-2m，則m＝.

4.找規律，在空格里填上合適的數.

(第4題）

5.某路公交車從起點出發經過A，B，C，D四站到達終點，途中上下乘客情況如下表(正數

表示上車的人數，負數表示下車的人數）：

起點ABCD終點

上車的人數181512750

下車的人數0-4-5-9-12

(1）到終點站下車的有多少人？填在表格中相應位置.

(2）車行駛在哪兩站之間時，車上的乘客最多？站和站.

(3）若每人乘坐一站需買票0.5元，問該車出車一次能收入多少錢？要求寫出算式.

第二講數軸和絕對值

重點分析：

1.數軸的三要素：原點、單位長度、正方向.

2.理解有理數可以用數軸上的點表示，數軸上的點不一定表示有理數.

3.相反數：實數a與－a互為相反數，零的相反數仍是零.若a，b互為相反數，則a+b＝0.

4.倒數：若兩個實數的乘積為1，就稱這兩個實數互為倒數，零沒有倒數.

5.絕對值的幾何意義：表示這個數在數軸上所對應的點到原點的距離或數軸上點與點之間的

距離.

6.比較有理數大小的兩種基本方法：利用數軸比較大小；利用法則比較大小.

難點分析：

1.數軸涉及數和形兩個方面，是解決許多數學問題的重要工具.

2.絕對值具有非負性，去絕對值問題往往會涉及較復雜的符號問題.

若有理數m在數軸上對應的點為M，且滿足|m|＞1且m＜0，則下列數軸表示正確的是(）.

A.B.

C.D.

思路點撥根據絕對值的意義得到m在原點的左側，且離原點的距離大于1，然后利用數軸

表示數的方法對各選項進行判斷．

解題過程∵|m|＞1，m＜0，∴m＜-1.故選D．

方法歸納本題考查了數軸：規定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸.數軸的三要

素：原點、單位長度、正方向．

易錯誤區注意絕對值的幾何意義是指數軸上的點與原點的距離，或點與點之間的距離．

已知a是最大的負整數的相反數，|b+4|＝2，且|c-5|+|d+3|＝0.

（1）寫出a，b，c，d的值.

（2）計算|a+c|+|b|-|d|的值.

思路點撥（1）根據有理數的概念求出a，根據絕對值的性質求出b，再根據非負數的性質

列方程求解即可得到c，d.（2）將a，b，c，d的值代入代數式進行計算即可得解.

解題過程（1）∵a是最大的負整數的相反數，∴a＝1.

∵|b+4|＝2，∴b+4＝2或b+4＝-2.

∴b＝-2或b＝-6.

∵|c-5|+|d+3|＝0，∴c-5＝0，d+3＝0，解得c＝5，d＝-3.

∴a＝1，b＝-2或-6，c＝5，d＝-3.

（2）|a+c|+|b|-|d|＝|1+5|+|-2|-|-3|＝6+2-3＝5，或|a+c|+|b|-|d|＝|1+5|+|-6|-|-3|

＝6+6-3＝9，

∴|a+c|+|b|-|d|的值為5或9.

方法歸納本題考查了非負數的性質：幾個非負數的和為0時，這幾個非負數都為0；還考

查了絕對值的性質和有理數的概念.

易錯誤區由|b+4|＝2得到的b的值有兩個，所以本題需要分類討論，特別注意不要漏解.

如圖，數軸上標出了7個點，相鄰兩點之間的距離都相等，點A表示-4，點G表示8.

(1）點B表示的有理數是，表示原點的是點.

(2）圖中的數軸上另有點M到點A、點G的距離之和為13，則這樣的點M表示的有理數

是.

(3）若相鄰兩點之間的距離不變，將原點取在點D，則點C表示的有理數是，此時

點B與點表示的有理數互為相反數.

思路點撥(1）先根據數軸上兩點之間的距離公式求出點A到點G的距離，再求出相鄰兩點

之間的距離即可解答.(2）設點M表示的有理數是m，根據數軸上兩點之間距離的定義即可

求出m的值.(3）根據相鄰兩點間的距離是2可求出點C的坐標，再根據相反數的定義即可

求出結論.

解題過程(1）∵數軸上標出了7個點，相鄰兩點之間的距離都相等，已知點A表示-4，點

G表示8，∴AG=｜8+4｜=12.∴相鄰兩點之間的距離=

12

6

=2.

∴點B表示的有理數是-4+2=-2，點C表示的有理數是-2+2=0.

故答案為：-2，C.

(2）設點M表示的有理數是m，則｜m+4｜+｜m-8｜=13，∴m=-4.5或m=8.5.

故答案為：-4.5或8.5.

(3）若將原點取在點D，∵每兩點之間的距離為2，∴點C表示的有理數是-2.

∵點B與點F在原點D的兩側且到原點的距離相等，

∴此時點B與點F表示的有理數互為相反數.

故答案為：-2,F.

方法歸納本題考查的是數軸的特點及數軸上兩點之間距離的定義，熟知數軸上兩點之間的

距離公式是解答本題的關鍵.

易錯誤區第(2）題中A，G兩點間的距離為12，所以數軸上到點A、點G距離之和為13

的點M在線段AG外，這樣的點有兩個.

如圖，數軸上從左到右的三個點A，B，C所對應的數分別為a，b，c，其中點A、點B兩點

間的距離AB的長是2019，點B、點C兩點間的距離BC的長是1000.

（1）若以點C為原點，直接寫出點A，B所對應的數.

（2）若原點O在A，B兩點之間，求|a|+|b|+|b-c|的值.

（3）若O是原點，且OB＝19，求a+b-c的值.

思路點撥（1）根據數軸的定義可求點A，B所對應的數.（2）先根據絕對值的性質求得

|a|+|b|＝2019，|b-c|＝1000，再代入計算即可求解.（3）分兩種情況：原點O在點B的左

邊；原點O在點B的右邊，進行討論即可求解.

解題過程（1）點A所對應的數是-1000-2019＝-3019，點B所對應的數是-1000.

（2）當原點O在A，B兩點之間時，|a|+|b|＝2019，|b-c|＝1000，|a|+|b|+|b-c|＝2019+1000

＝3019.

（3）若原點O在點B的左邊，則點A，B，C所對應的數分別是a＝-2000，b＝19，c＝1019，

則a+b-c＝-2000+19-1019＝-3000.

若原點O在點B的右邊，則點A，B，C所對應的數分別是a＝-2038，b＝-19，c＝981，

則a+b-c＝-2038+（-19）-981＝-3038.

方法歸納本題主要考查了數軸及絕對值，解題的關鍵是能把數和點對應起來，也就是把

“數”和“形”結合起來，在學習中要注意培養數形結合的數學思想.

易錯誤區一方面要正確找到表示數的點在數軸上的位置，另一方面要注意位置不確定的情

況下要分類討論.

（1）如圖，一根木棒放在數軸上，木棒的左端與數軸上的點A重合，右端與點B重合．

若將木棒沿數軸向右水平移動，則當它的左端移動到點B時，它的右端在數軸上所對應的數

為20；若將木棒沿數軸向左水平移動，則當它的右端移動到點A時，它的左端在數軸上所

對應的數為5（單位：cm），由此可得木棒的長為cm.

（2）由題（1）的啟發，請你借助“數軸”這個工具幫助小紅解決下列問題：

問題：一天，小紅去問曾當過數學老師現在退休在家的爺爺的年齡，爺爺說：“我若是你現

在這么大，你還要34年才出生；你若是我現在這么大，我就116歲了，是老壽星了，哈哈!”

請求出爺爺現在多少歲了.

思路點撥（1）本題關鍵是正確識圖，由數軸觀察知木棒的3倍長是20-5=15（cm），則此

木棒長為5cm.(2）在求爺爺的年齡時，借助數軸，把小紅與爺爺的年齡差看作木棒AB，類

似地，爺爺是小紅那么大時看作當點B移動到點A時，此時點A所對應的數為-34，小紅是

爺爺這么大時看作當點A移動到點B時，此時點B所對應的數為116，所以可知爺爺比小紅

大［116-（-34）］÷3=50(歲)，從而可求得爺爺的年齡．

解題過程（1）如圖1，觀察數軸可知木棒的3倍長是20-5=15（cm），則此木棒長為5cm．故

答案為：5．

圖1圖2

（2）如圖2，借助數軸，把小紅與爺爺的年齡差看作木棒AB，類似地爺爺是小紅那么大時

看作當點B移動到點A時，此時點A所對應的數為-34；小紅是爺爺那么大時看作當點A移

動到點B時，此時點B所對應的數為116．

∴爺爺比小紅大［116-（-34）］÷3=50（歲），則爺爺的年齡為116-50=66（歲）．故爺爺現

在66歲．

方法歸納本題考查了數軸的應用和數形結合思想，解題的關鍵是把爺爺與小紅的年齡差看

作一個整體（木棒AB）．

易錯誤區解題時要用好數軸，在數軸上準確地畫圖，注意所使用的線段AB的實際意義．

觀察下列每對數在數軸上的對應點之間的距離：4與-2，3與5，-2與-6，-4與3，回答下

列各題.

(1）你能發現所得距離與這兩個數的差的絕對值有什么關系嗎？

(2）若數軸上的點A表示的數為x，點B表示的數為―1，則點A與點B兩點間的距離可以

表示為.

(3）結合數軸求得｜x-2｜+｜x+3｜的最小值為，取得最小值時x的取值范圍

為.

(4）滿足｜x+1｜+｜x+4｜>3的x的取值范圍為.

思路點撥(1）通過觀察容易得出結論.(2）在數軸上找到點B所在的位置，點A可以位于

數軸上的任意位置，分三種情況進行分類討論.(3）(4）根據(2）中的結論，利用數軸分析.

解題過程(1）相等.

(2）結合數軸，分以下三種情況：

當x≤-1時，距離為-x-1

當-1

當x>0時，距離為x+1

綜上，我們得到A與B兩點間的距離可以表示為x+1.

(3）｜x-2｜，即x與2的差的絕對值，它可以表示數軸上x與2之間的距離；｜x+3｜=｜

x-(-3）｜,即x與-3的差的絕對值，它也可以表示數軸上x與-3之間的距離.

如圖，x在數軸上的位置有三種可能：

圖1圖2圖3

圖2符合題意，∴｜x-2｜+｜x+3｜的最小值為5，取得最小值時x的取值范圍為-3≤x≤2.

(4）同理｜x+1｜表示數軸上x與-1之間的距離，｜x+4｜表示數軸上x與-4之間的距離.

∴本題即求當x在什么范圍內時x與-1之間的距離加上x與-4之間的距離會大于3.

借助數軸，我們可以得到正確答案：x<-4或x>-1.

方法歸納借助數軸可以使有關絕對值的問題轉化為數軸上的距離問題，反之，有關數軸上

的距離問題也可以轉化為絕對值問題.這種相互轉化在解決某些問題時可以帶來方便.事實

上，｜a-b｜表示的幾何意義就是在數軸上表示數a與數b的兩點之間的距離.這是一個很有

用的結論，我們正是利用這一結論并結合數軸的知識解決了(3）(4）這兩道難題.

易錯誤區｜a-b｜表示的幾何意義就是在數軸上表示數a與數b這兩點之間的距離，｜

a+b｜表示的幾何意義就是在數軸上表示數a與數-b這兩點之間的距離.

拓展訓練

A組

1.如圖，數軸上有A，B，C，D四個點，其中到原點距離相等的兩個點是(）.

(第1題）

A.點B與點DB.點A與點CC.點A與點DD.點B與點C

2.符號語言“|a|＝-a（a≤0）”所表達的意思是（）.

A.正數的絕對值等于它本身B.負數的絕對值等于它的相反數

C.非正數的絕對值等于它的相反數D.負數的絕對值是正數

3.如圖，點A表示的有理數是a，則a，-a，1的大小順序為(）.

A.a＜-a＜1B.-a＜a＜1C.a＜1＜-aD.1＜-a＜a

4.如圖，將刻度尺放在數軸上（數軸的單位長度是1cm），刻度尺上“0cm”和“3cm”分別

對應數軸上的3和0，那么刻度尺上“5.4cm”對應的數軸上的數為（）.

A.5.4B.-2.4C.-2.6D.-1.6

5.已知點A在數軸上的位置如圖，則點A表示的數的相反數是.

6.如圖，數軸上點Q、點P、點R、點S和點T分別表示五個數，如果點R和點T表示的數

互為相反數，那么這五個點所表示的數中，點對應的數絕對值最大.

7.推理題.

(1）5的相反數是-5，-5的相反數是，那么-x的相反數是,m+12n的相反

數是.

(2）數軸上到點2和點6距離相等的點表示的數是4，有這樣的關系4=12(2+6），那么到點

100和到點999距離相等的點表示的數是，到點m和點-n距離相等的點表示的數

是.

(3）數軸上點4和點9之間的距離為5個單位，有這樣的關系5=9-4，那么點10和點-3之

間的距離是，點m和點n之間的距離是.

8.閱讀：因為一個非負數的絕對值等于它本身，負數的絕對值等于它的相反數，所以當a≥0

時，｜a｜=a；當a<0時，｜a｜=-a.根據以上閱讀完成：

(1）｜3.14-π｜=.

(2）計算：|1-

1

2

|+|

1

2

-

1

3

|+|

1

3

-

1

4

|+…+|

1

99

-

1

100

|.

9.已知|x-2|+|y+3|+|z-5|＝0，求：

（1）x，y，z的值.

（2）|x|+|y|+|z|的值.

10.結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：

（1）數軸上表示4和1的兩點之間的距離是；表示-3和2的兩點之間的距離

是；一般地，數軸上表示數m和數n的兩點之間的距離等于|m-n|.如果表示數a

和-2的兩點之間的距離是3，那么a=.

（2）若數軸上表示數a的點位于-4與2之間，求|a+4|+|a-2|的值．

11.有理數a，b，c在數軸上的對應點如圖，且a，b，c滿足條件10｜a｜=5｜b｜=2｜c｜

=10.

(1）求a，b，c的值.

(2）求｜a-2b｜+｜b-2c｜+｜c-2a｜的值.

(第11題）

12.如圖1，已知數軸上有三點A，B，C，它們對應的數分別為a，b，c，且c-b＝b-a，點C

對應的數是10.

（1）若BC＝15，求a，b的值.

（2）如圖2，在（1）的條件下，O為原點，動點P，Q分別從點A，C同時出發，點P向左

運動，運動速度為每秒2個單位長度，點Q向右運動，運動速度為每秒1個單位長度，N為

OP的中點，M為BQ的中點.

①用含t的代數式表示PQ，MN.

②在點P，Q的運動過程中，PQ與MN存在一個確定的等量關系，請指出它們之間的關系，

并說明理由.

B組

13.對于任何有理數a，下列一定為負數的是(）.

A.-(-3+a）B.-aC.-｜a+1｜D.-｜a｜-1

14.有理數a，b在數軸上的對應位置如圖，則下列四個選項正確的是（）.

A.a＜b＜-b＜-aB.a＜-b＜-a＜bC.a-b＞0D.-a+b＞0

15.如圖，圓的周長為4個單位長度.在該圓的4等分點處分別標上數字0，1，2，3，先讓

圓周上表示數字0的點與數軸上表示數-1的點重合，再將數軸按逆時針方向環繞在該圓上，

則數軸上表示數-2020的點與圓周上表示數字（）的點重合．

A.0B.1C.2D.3

16.根據給出的數軸，解答下面的問題.

(第16題）

(1）請你根據圖中A，B(在－2，－3的正中間）兩點的位置，分別寫出它們所表示的有理數

A：，B：.

(2）在數軸上畫出與點A的距離為2的點(用不同于A，B，M，N的其他字母表示），并寫出

這些點所表示的數：.

(3）若經過折疊，點A與－3表示的點重合，則點B與數表示的點重合.

(4）若數軸上M，N兩點之間的距離為9(M在N的左側），且M，N兩點經過(3）中的折疊后

重合，那么M，N兩點表示的數分別是：M，N.

17.如圖，從數軸上的原點開始，先向左移動2cm到達點A，再向左移動4cm到達點B，然后

向右移動10cm到達點C.

（1）用1個單位長度表示1cm，請你在題中所給的數軸上表示出A，B，C三點的位置.

（2）把點C到點A的距離記為CA，則CA＝cm.

（3）若點B以每秒3cm的速度向左移動，同時點A，C分別以每秒1cm，5cm的速度向右移

動，設移動時間為t（s）（t＞0），試探究CA-AB的值是否會隨著t的變化而變化,請說明理

由.

（第17題）

18.當x為何值時，下列各式有最小值？請求出它們的最小值.

(1)|x+1|+|x-2|+|x-3|.

(2)|x+1|+|x-2|+|x-3|+|x-1|.

(3)|x-2|+|x-4|+|x-6|+…+|x-20|.

走進重高

1.【婁底】已知點M，N，P，Q在數軸上的位置如圖，則其中對應的數的絕對值最大的點是

（）.

.Q

（第1題）（第2題）

2.【貴陽】如圖，數軸上的單位長度為1，有三個點A，B，C，若點A，B表示的數互為相反

數，則圖中點C對應的數是（）.

A.-2B.0C.1D.4

3.【福建】已知A，B，C是數軸上的三個點，且點C在點B的右側，點A，B表示的數分別

是1，3，如圖.若BC＝2AB，則點C表示的數是.

（第3題）（第5題）

4.如果一個零件的實際長度為a，測量結果是b，則稱|b-a|為絕對誤差，

||ba

a

?

為相對誤

差.現有一零件實際長度為5.0cm，測量結果是4.8cm，則本次測量的相對誤差是.

5.如圖，數軸上點A表示的數為1，現點A做如下移動：第1次點A向左移動3個單位長度

至點A1，第2次從點A1向右移動6個單位長度至點A2，第3次從點A2向左移動9個單位長

度至點A3……按照這種移動方式進行下去，點A2019表示的數是.

6.已知數軸上兩點A，B，其中點A表示的數為-2，點B表示的數為2，若在數軸上存在一點

C，使得AC+BC＝n，則稱點C為點A，B的“n節點”.例如：若點C表示的數為0，有AC+BC

＝2+2＝4，則稱點C為點A，B的“4節點”.

請根據上述規定回答下列問題：

（1）若點C為點A，B的“n節點”，且點C在數軸上表示的數為-4，求n的值.

（2）若點D是數軸上點A，B的“5節點”，請你直接寫出點D表示的數：.

（3）若點E在數軸上（不與點A，B重合），滿足BE=

1

2

AE，且此時點E為點A，B的“n節

點”，求n的值.

圖1圖2圖3

（第6題）

高分奪冠

1.如圖，在數軸上有A，B，C，D四個整數點（即各點均表示整數），且2AB＝BC＝3CD.若A，

D兩點表示的數分別為-5和6，E為線段BD的中點，則中點E表示的數為（）.

A.0B.1C.2D.3

2.已知a在數軸上的位置如圖所示，則

|1|

||1

a

a

?

?

的值為．

(第3題）

3.如圖，正方形的周長為8個單位.在該正方形的4個頂點處分別標上0，2，4，6，先讓正

方形上表示數字6的點與數軸上表示-3的點重合，再將數軸按順時針方向環繞在該正方形

上，則數軸上表示2021的點與正方形上表示數字的點重合．

4.【歸納】

（1）觀察下列各式的大小關系：

|-2|+|3|＞|-2+3|，|-6|+|3|＞|-6+3|，|-2|+|-3|＝|-2-3|，|0|+|-8|＝|0-8|.

歸納：|a|+|b||a+b|（填“＞”“＜”“＝”“≥”或“≤”）.

【應用】

（2）根據上題中得出的結論，若|m|+|n|＝13，|m+n|＝1，求m的值.

【延伸】

（3）當a，b，c滿足什么條件時，|a|+|b|+|c|＞|a+b+c|.

5.已知x1，x2，…，x2020都是不等于0的有理數，請你探究以下問題：

（1）若y1=1

1

||x

x

，則y1=.

（2）若y2=1

1

||x

x

+2

2

||x

x

，則y2=.

（3）若y3=1

1

||x

x

+2

2

||x

x

+3

3

||x

x

，求y3的值.

（4）由以上探究可知,y2020=1

1

||x

x

+2

2

||x

x

+…+2020

2020

||x

x

,共有個不同的值；在y2020這些

不同的值中，最大的值和最小的值的差等于，y2020的這些所有的不同的值的絕對值

的和等于．

第三講有理數的加減

重點分析：

1.有理數加法法則：(1）同號相加，取相同符號，并把絕對值相加.(2）絕對值不等的異號

加減，取絕對值較大的加數符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值，互為相反數的兩個

數相加得0.(3）一個數同0相加，仍得這個數.

2.加法交換律:a+b=b+a，兩個數相加，交換加數的位置，和不變.加法結合律:a+b+c=(a+b）

+c=a+(b+c），三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變.

3.有理數減法法則：減去一個非零的數，等于加上這個數的相反數.其中，兩變：減法運算

變加法運算，減數變成它的相反數；一不變：被減數不變.可以表示成：a－b=a+(－b）.

難點分析：

1.在進行有理數加法運算時，首先判斷兩個加數的符號：是同號還是異號，是否有0，從而

確定用哪一條法則.在應用過程中，一定要牢記“先符號，后絕對值”，熟練以后就不會出

錯了.

2.在進行有理數加法運算時，一般采取：(1）互為相反數的先加(抵消）.(2）同號的先加.(3）

同分母的先加.(4）能湊整數的先加.(5）異分母分數相加，先通分，再計算.

計算：(1）-6-8-2+3.54-4.72+16.46-5.28.

(2）(-3

2

3

)-(-2

3

4

)-(-1

2

3

)-1.75.

思路點撥(1）注意運算過程中的簡便方法，讓能夠湊成整十的兩個數相結合.(2）首先化

簡，然后利用有理數的加法法則和加法的交換律進行計算.

解題過程(1）原式=(-6-8-2-4.72-5.28）+(3.54+16.46）=-26+20=-6.

(2）原式=-3

2

3

+2

3

4

+1

2

3

-1

3

4

=(-3

2

3

+1

2

3

)+(2

3

4

-1

3

4

)=-2+1=-1.

方法歸納在計算時要靈活運用運算定律使運算更加簡便.

易錯誤區當使用運算定律后不能使運算更簡便的，就按一般運算順序計算.

若|a|＝1，|b|＝2，|c|＝4，且|a+b-c|＝a+b-c，求a+b+c的值.

思路點撥根據絕對值先求出a，b，c的值，再進行分類討論，即可解答.

解題過程∵|a|＝1，|b|＝2，|c|＝4，

∴a＝±1，b＝±2，c＝±4.

∵|a+b-c|＝a+b-c，∴a+b-c≥0.

∴

∴a+b+c的值為-1或-5或-3或-7.

方法歸納本題考查了絕對值的定義及有理數的加減運算，解答時要注意對a，b，c值的限

制以及分類討論.

易錯誤區本題根據a+b-c的結果為非負數進行分類討論時，要做到不重不漏.

用簡便方法計算:

(1）111.1+(-12）+0.9.(2）(+13）+(-21）+(+28）+(-10）.

(3）4.33+(-7.52）+(-4.33）.(4）

5

6

+(-

1

7

)+(-

1

6

)+(-

6

7

).

思路點撥(1）能湊整的先湊整，簡稱湊整結合法.(2）把正數與負數分別結合在一起再相

加，簡稱同號結合法.(3）有相反數的先把相反數相加，簡稱相反數結合法.(4）遇到分數，

先把同分母的數相加，簡稱同分母結合法.

解題過程(1）原式=111.1+0.9+(-12）=112+(-12）=100.

(2）原式=［(+13）+(+28）］+［(-21）+(-10）］=(+41）+(-31）=10.

(3）原式=(-7.52）+［(+4.33）+(-4.33）］=(-7.52）+0=-7.52.

(4）原式=[

5

6

+(-

1

6

)]+[(-

1

7

)+(-

6

7

)]=

2

3

+(-1）=-

1

3

.

方法歸納認真觀察算式的特點，合理利用簡便計算規則：①湊整結合法；②同號結合法；

③相反數結合法；④同分母結合法.

易錯誤區不是所有的計算都有簡便方法的.

某檢修小組從A地出發，在東西向的馬路上檢修線路，如果規定向東行駛為正，向西行駛為

負，一天中七次行駛記錄如下表（單位：km）：

第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次

-3+8-9+10+4-6-2

（1）在第次記錄時距A地最遠.

（2）求收工時距A地多遠.

（3）若每千米耗油0.3升，每升汽油需7.2元，問檢修小組工作一天需汽油費多少元？

思路點撥（1）分別計算出每次距A地的距離，進行比較即可.（2）收工時距A地的距離

等于所有記錄數字的和的絕對值.（3）所有記錄數的絕對值的和乘0.3升，就是共耗油數，

再乘汽油單價即可.

解題過程（1）由題意得，第一次距A地|-3|＝3（km），第二次距A地-3+8＝5（km），第

三次距A地|-3+8-9|＝4（km），第四次距A地|-3+8-9+10|＝6（km），第五次距A地

|-3+8-9+10+4|＝10（km），而第六次、第七次是向相反的方向又行駛了共8km，∴在第五次

記錄時距A地最遠.故答案為：五.

（2）根據題意得，|-3+8-9+10+4-6-2|＝2(km)，∴收工時距A地2km.

（3）根據題意得，檢修小組走的路程為|-3|+|+8|+|-9|+|+10|+|+4|+|-6|+|-2|＝42（km），

42×0.3×7.2＝90.72（元）.∴檢修小組工作一天需汽油費90.72元.

方法歸納本題主查考查正負數在實際生活中的應用及有理數的加減混合運算，要將實際問

題中的數量關系正確地用算式表示出來.

易錯誤區注意題（3）與題（2）的區別，題（3）是求油耗，需要求路程，即需要求絕對

值的和.

問題：能否將1，2，3，4，…，10這10個數分成兩組，使它們的差為5？

解：1+2+3+…+10＝55，要使差為5，需將這10個數分成兩組，一組的和為30，另一組的和

為25，然后把它們相減.

下面給出一種分法，例如：（6+7+8+9）-（1+2+3+4+5+10）＝5.

應用：在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這10個數前面任意添上“+”號或“-”號.

（1）能否使它們的和等于-7？

（2）能否使它們的和等于-2？若能，給出一種分法；若不能，請說明理由.

思路點撥（1）要讓其計算的和為-7，10個數的和是負奇數，相鄰的數分為5組，每組兩

個數相減得-1，5組得-5，與-7相差-2，可考慮選擇兩組相鄰奇數與相鄰偶數相減求和.（2）

根據數的和的奇偶性原則，一組數的和的奇偶性是不變的，1+2+3+…+10＝55是一個奇數，

即可得出答案.

解題過程（1）能使它們的和等于-7，例如：1-2+3-4+5-6+7-9+8-10＝-7.

（2）不能.理由如下：

∵1+2+3+…+10＝55是一個奇數，

∴無論怎樣分，結果不可為偶數.

方法歸納本題考查了有理數的加減混合運算法則及整數和的奇偶性的運用.

易錯誤區本題要靈活運用整數的奇偶性解題：一組整數的和、差的奇偶性永遠不變.另外

題(1)中要靈活分組，多次嘗試，準確計算.

觀察下列等式：，將以上三個等式兩邊分別

相加得：.

(1）猜想并寫出：=.

(2）直接寫出下列各式的計算結果：

①=.

②）=.

(3）探究并計算：.

(4）計算：.

思路點撥（1）觀察可得分子為1、分母為兩個相鄰整數的分數可化為這兩個整數的倒數

之差，即.(2）根據此規律把各分數轉化，再進行分數的加減運

算.(3）先提出

1

4

，然后按照前面的運算方法計算即可.(4）先提出

1

2

，然后按照前面的方

法計算即可.

方法歸納本題考查了關于數的變化規律：通過觀察數之間的變化規律，得到一般性的結論，

再利用此結論解決問題.

易錯誤區(3）(4）要注意觀察算式的特點，轉化為第(2）題中的運算方法.

在有理數的范圍內，我們定義三個數之間的新運算“#”法則：

a#b#c=．

如：（-1）#2#3==5.

（1）計算：4#（-2）#（-5）=.

(2）計算：3#（-7）#（

11

3

）=.

(3）在-

6

7

，-

5

7

，…，-

1

7

，0,

1

9

,

2

9

，…，

8

9

這15個數中：

①任取三個不同的數作為a，b，c的值，進行“a#b#c”運算，求所有計算結果的最小值.

②若將這15個數任意分成五組，每組三個數，進行“a#b#c”運算，得到五個不同的結果，

由于分組不同，所以五個運算的結果也不同，那么五個結果之和的最大值是．

思路點撥（1）（2）根據題中所給出的新運算法則列式計算即可.(3）①分a＜b+c與a≥b+c

兩種情況把原式化簡，即可得出最小值.②將

1

9

，

2

9

，…，

8

9

分別賦予b，c，同時賦予a

四個負數，最后一組a=0，b，c賦予兩個負數即可．

方法歸納本題考查的是有理數的加減混合運算，根據題意列出有理數相加減的式子是解答

本題的關鍵．

易錯誤區本題是新定義運算題，閱讀量較大，不易理解，要綜合文字和算式準確理解題意．

拓展訓練

A組

1.下面的數中，與－3的和為0的是(）.

A.3B.-3C.

1

3

D.-

1

3

2.下列結論中，不正確的是(）.

A.若a＞0，b＜0，且a＞|b|，則a+b＜0

B.若a＜0，b＞0，且|a|＞b，則a+b＜0

C.若a＞0，b＞0，則a+b＞0

D.若a＜0，b＜0，則a+b＜0

3.把(+5）-(+3）-(-1）+(-5）寫成省略括號的和的形式是(）.

A.-5-3+1-5B.5-3-1-5C.5+3+1-5D.5-3+1-5

4.絕對值大于2且小于5的所有整數的和是（）.

A.7B.-7C.0D.5

5.若|a|+|b|＝|a+b|，則a，b的關系是（）.

A.a，b的絕對值相等

B.a，b異號

C.a+b的和是非負數

D.a，b同號或a，b其中一個為0

6.若|x|＝7，|y|＝5，且x+y＞0，則x-y的值是（）.

A.2或12B.2或-12C.-2或12D.-2或-12

7.若在1，2，3，…，2022這些數前任意添加一個正號或者負號，則(）.

A.它們的和是奇數

B.它們的和是偶數

C.若有奇數個負號，則它們的和是奇數；若有偶數個負號，則它們的和是偶數

D.若有奇數個負號，則它們的和是偶數；若有偶數個負號，則它們的和是奇數

8.計算的結果為．

9.計算：

（1）（-3.6）+（+2.5）.（2）-

3

7

-（-3

1

2

）-2

4

7

+

1

2

.

（3）（-49）-（+91）-（-5）+（-9）.（4）-5-（-11）+2

1

3

-（-

2

3

）.

（5）3

1

2

-（-

1

3

）+2

2

3

+（-

1

2

）.（6）

2

5

-|-1

1

2

|-（+2

1

4

）-（-2.75）.

（7）（-7）-（-11）+（-9）-（+2）.（8）（-4

1

4

）-（+5

1

3

）-（-4

1

4

）．

10.王先生到某中心大樓辦事，假定乘電梯向上一樓記作+1，向下一樓記作-1，王先生從1

樓出發，電梯上下樓層依次記錄如下（單位：層）：+6，-3，+10，-8，+12，-7，-10.

（1）請你通過計算說明王先生最后是否回到出發點1樓.

（2）該中心大樓每層高3m，電梯每向上或下1m需要耗電0.2度，根據王先生現在所處位

置，請你算算，他辦事時電梯需要耗電多少度？

11.已知｜ab-2｜與｜a-1｜互為相互數，試求下式的值：

.

12.在班級元旦聯歡會上，主持人邀請李強、張華兩位同學參加一個游戲，游戲規則是每人

每次抽取四張卡片，如果抽到白色卡片，那么加上卡片上的數；如果抽到黑色卡片，那么減

去卡片上的數，比較兩人所抽4張卡片的計算結果，結果小的為同學們唱歌.李強抽到如圖

1的四張卡片，張華抽到如圖2的四張卡片.李強、張華誰會為同學們唱歌？

(第12題）

B組

13.定義新運算：對任意有理數a，b，都有a?b=

1

a

+

1

b

.例如,2?3=

1

2

+

1

3

=

5

6

,那么3⊕（-4）

的值是（）.

A.-

7

12

B.-

1

12

C.

1

12

D.

7

12

14.若a+b+c＝0，且|c|＞|b|＞|a|，則下列說法中可能成立的是（）.

A.a，b為正數，c為負數

B.a，c為正數，b為負數

C.b，c為正數，a為負數

D.a，b，c均為負數

15.對于實數a，b，如果a＞0，b＜0且|a|＜|b|，那么下列等式中成立的是（）.

A.a+b=|a|+|b|B.a+b=-（|a|+|b|）

C.a+b=-（|a|-|b|）D.a+b=-（|b|-|a|）

16.在實際生活中，八點五十五通常可以說成九點差五分，有時這樣表達更清楚，受此啟發，

我們設計了一種新的加減計數法.例如：7寫成13，13=10-3；191寫成209，209=200-9；3651

寫成4351，4351＝4000-350+1＝3651.按這個方法請計算：23125＝.

17.規定一種新運算：a※b＝(a＋1）－(b－1），右邊的運算是正常的加減運算.例如：(－5）

※(－2）＝(－5＋1）－(－2－1）＝(－4）－(－3）＝－4＋3＝－1，由以上規定計算：(0※1）

＋(1※2）＋(2※3）＋(3※4）＋…＋(2019※2020）=.

18.小明在電腦中設置了一個有理數的運算程序：輸入數a，加“*”鍵，再輸入數b，就可

以得到運算：a*b=（a-b）-|b-a|．

（1）求（-3）*2的值.

（2）求（3*4）*（-5）的值．

19.把幾個數用大括號圍起來，中間用逗號斷開，例如：{1，2，3}，{2，7，8，19}，我們

稱之為集合，其中的數稱為集合的元素.如果一個集合滿足：當有理數a是集合的元素時，

有理數8-a也是這個集合的元素，這樣的集合我們稱其為好的集合.

（1）請你判斷集合{1，2}，{1，4，7}是不是好的集合.

（2）請你寫出滿足條件的兩個好的集合的例子.

20.從2開始，連續的偶數相加，它們和的情況如下表：

(1）如果n=8，那么S的值為.

（2）根據表中的規律猜想：用含n的代數式表示S的公式為S=2+4+6+8+…+2n=.

(3）根據上面的規律計算102+104+106+…+2022的值(寫出計算過程）.

走進重高

1.【赤峰】|（-3）-5|等于（）.

A.-8B.-2C.2D.8

2.【銅仁】計算的值為（）.

A.

1

100

B.

99

100

C.

1

99

D.

100

99

3.【江西】中國人最先使用負數，魏晉時期的數學家劉徽在“正負術”的注文中指出，可將

算籌（小棍形狀的記數工具）正放表示正數，斜放表示負數.如圖，根據劉徽的這種表示法，

觀察圖1，可推算圖2中所得的數值為.

4.【六盤水】計算1+4+9+16+25+…的前29項的和是.

5.古代埃及人在進行分數運算時，只使用分子是1的分數，因此這種分數也叫做埃及分數.

我們注意到，某些真分數恰好可以寫成兩個埃及分數的和，例如：

7

12

=

1

3

+

1

4

.

（1）請將

11

30

寫成兩個埃及分數的和的形式：.

（2）若真分數

13

x

可以寫成兩個埃及分數的和的形式，請寫出兩個x不同的取值：.

6.閱讀材料：對于可以按如下計算：

上面這種方法叫拆數法，仿照上面的方法，請你計算：（-2020

5

6

）+（-2019

2

3

）+4040

3

4

+

（-1

1

2

）.

高分奪冠

1.將1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數字分別填在如圖所示的九個空格中，要求每一行

從左到右的數字逐漸增大，每一列從上到下的數字也逐漸增大.當數字2，4固定在圖中所示

的位置時，按規則填寫空格，所有可能出現的結果有（）.

A.4種B.6種C.8種D.9種

2.數學上，為了簡便，把從1到n的連續n個自然數的乘積記作n!，即n!=1×2×3×…×(n-1）

×n，將上述n個自然數的和記作k=，即k=1+2+3+…+n，則i的

值為.

3.如圖的號碼是由14個數字組成的，把每一個數字寫在下面的方格中，若任意相鄰的三個

數字之和都等于14，則x的值等于.

4.計算:

（1）

1

2

+（

1

3

+

2

3

）+（

1

4

+

2

4

+

3

4

）+…+（

1

99

+

2

99

+…+

97

99

+

98

99

）.

（2）1-2+3-4+5-6+…+2019-2020+2021.

5.對于任意有理數a，b，定義運算如下：a*b=a+b-

2021

2

，a*b*c=a+b+c-

2021

2

×2,…，計

算1*2*3*4*…*2020*2021的值．

6.將九個數填在3×3（3行3列）的方格中，如果滿足每一橫行、每一豎列和每條對角線上

的三個數之和都相等，這樣的圖稱為“廣義的三階幻方”.如圖1就是一個滿足條件的廣義

三階幻方.圖2、圖3的廣義三階幻方中分別給出了三個數．

（1）請直接將圖2、圖3的其余6個數全填上.

（2）就圖3加以說明這樣填寫的理由．

圖1圖2圖3

(第6題）

第四講有理數的乘除

重點分析：

1.有理數乘法法則：

(1）兩數相乘，同號為正，異號為負，并把絕對值相乘.

(2）任何數同0相乘，都得0.

2.有理數乘法運算律:

(1）乘法交換律：a×b=b×a.

(2）乘法結合律：(a×b）×c=a×(b×c）.

(3）分配律：a×(b+c）=a×b+a×c.

3.有理數除法法則：

(1）除以一個數等于乘這個數的倒數(注意：0沒有倒數）.

(2）兩數相除，同號為正，異號為負，并把絕對值相除.

難點分析：

1.幾個不等于0的數相乘，積的符號由負因數的個數決定.當負因數的個數為奇數時，積為

負；當負因數的個數為偶數時，積為正.

2.幾個數相乘，有一個因數為0時，積為0.

3.乘積為1的兩個有理數互為倒數.

如圖是小明的計算過程，請仔細閱讀，并解答下列問題．

（1）解題過程中有兩處錯誤：

第1處是第步，錯誤原因是；

第2處是第步，錯誤原因是.

(2）請寫出正確的解答過程．

思路點撥（1）首先根據有理數四則混合運算的運算順序，從第一步到第二步，先計算除

法，再計算乘法，所以第1處是第二步，錯誤原因是運算順序錯誤；然后根據有理數除法的

運算方法，可得第2處是第三步，錯誤原因是符號錯誤.(2）根據有理數除法、乘法的運算

方法，從左向右，求出算式的值是多少即可．

解題過程（1）根據分析，可得：

第1處是第二步，錯誤原因是運算順序錯誤；

第2處是第三步，錯誤原因是符號錯誤．

方法歸納本題主要考查了有理數除法的運算方法，要熟練掌握，解答本題的關鍵是要明確：

除以一個不等于0的數，等于乘這個數的倒數．

易錯誤區運算順序和符號是有理數運算中最常見的兩類錯誤，尤其是符號，運算時一定要

先確定符號．

對于有理數a，b，定義運算“※”：a※b=a·b-a-b-2.

(1）計算(-2）※3的值.

(2）填空：4※(-2）(-2）※4(填“＞”“＜”或“=”）.

(3）我們知道：有理數的加法運算和乘法運算滿足交換律.那么，由(2）的計算結果，你認

為這種運算“※”是否滿足交換律？請說明理由.

(1）將a=-2，b=3代入運算公式a※b=a·b-a-b-2，即可得到(-2）※3

的值.(2）運用運算公式分別計算出4※(-2）和(-2）※4的值即可比較大小.(3）是否滿足

交換律關鍵是利用公式分別計算出a※b和b※a的結果，再利用乘法交換律和加法交換律看

看是否相等.

(1）(-2）※3=(-2）×3-(-2）-3-2=-9.

(2）4※(-2）=4×(-2）-4-(-2）-2=-12.

(-2）※4=(-2）×4-(-2）-4-2=-12.

故答案為：=.

(3）這種運算“※”滿足交換律.

理由是：∵a※b=a·b-a-b-2，

b※a=b·a-b-a-2=a·b-a-b-2，

∴a※b=b※a.∴這種運算“※”滿足交換律.

本題主要考查了有理數的運算，還考查了運用乘法交換律和加法交換律

證明公式的性質.

第(3）題中說明該運算滿足交換律時不能用特殊值法，這樣證明不全面.

（1）原式第一、三項結合，第二、四項結合，約分即可得到結果.(2）

原式利用乘法分配律計算即可得到結果.(3）原式第一項因式變形后，利用乘法分配律計算

即可得到結果.(4）原式逆用乘法分配律即可得到結果．

本題考查了有理數的乘法法則和簡便運算，熟練掌握運算法則是解本題

的關鍵．

題（4）是逆用乘法分配律，特別要注意添加括號時各項符號的變化．

在計算時先對整式進行觀察，選擇合適的方法有利于提高解題效率.

在除法運算中，當除數是多個數時，不能應用分配律.

現有7個數：-1，-2，-2，-4，-4，-8，-8，將它們填入圖1（3個圓兩兩相交分成

7個部分）中，使得每個圓內部的4個數之積相等，設這個積為m，如圖2給出了一種填法，

此時m＝64，在所有的填法中，m的最大值為.

圖1圖2

觀察圖形可知，這7個數分別可能被乘了1次、2次或3次.要使每個圓內

部的4個數之積相等且最大，-8，-8必須放在被乘兩次的位置，與-8，-8同圓的只能是-1，

-2，其中-2放在中心位置，可得m＝128.

觀察圖形可知，這7個數分別可能被乘了1次、2次或3次.要使每個圓

內部的4個數之積相等且最大，-8，-8必須放在被乘兩次的位置，與-8，-8同圓的只能是

-1，-2，其中-2放在中心位置，如圖.

∴m＝（-8）×（-8）×（-1）×（-2）＝128.

本題考查有理數的乘法，關鍵是找出圓內各個部分的特點從而得到各部

分可能的數值，先確定兩個-8的位置，再去確定圖中其他各個部分的數值.

本題的題意不容易理解，同時要注意計算每個圓內部4個數之積時各個

部分的數被乘的次數，多比較、多嘗試可以求得正確答案.

（1）分三種情況討論：一是a，b同為正數；二是a，b同為負數；三是a，

b一正一負.（2）仿照題（1）分四種情況討論即可求解.（3）根據已知得到b+c＝-a，a+c

＝-b，a+b＝-c，a，b，c兩正一負，利用(2)的結論進一步計算即可求解.

（1）已知a，b是有理數，ab≠0，

①當a＜0，b＜0時，

a

a

+

b

a

=-1-1＝-2.

②當a＞0，b＞0時，

a

a

+

b

b

=1+1＝2.

③當a，b異號時，

a

a

+

b

b

=1-1=0.

∴

a

a

+

b

b

=±2或0.

（2）已知a，b，c是有理數，abc≠0，

①當a＜0，b＜0，c＜0時，

a

a

+

b

b

+

c

c

=-1-1-1＝-3.

②當a＞0，b＞0，c＞0時，

a

a

+

b

b

+

c

c

=1+1+1＝3.

③當a，b，c兩負一正時，

a

a

+

b

b

+

c

c

=-1-1+1＝-1.

④當a，b，c兩正一負時，

a

a

+

b

b

+

c

c

=-1+1+1＝1.

∴

a

a

+

b

b

+

c

c

=±1或±3.

（3）∵a，b，c是有理數，a+b+c＝0，abc＜0，

∴b+c＝-a，a+c＝-b，a+b＝-c，a，b，c兩正一負.∴

a

a

+

b

b

+

c

c

=1.

∴

a

Cb?

+

b

Ca?

+

c

ba?

＝-

a

a

-

b

b

-

b

b

=-1.

本題考查了有理數的乘除以及絕對值，利用絕對值的性質求出xx的值

可求得結果，要注意xx的值的不確定性.

分類討論是本題的難點，利用x的正負來確定xx的值有多種情況，保證

分類不重不漏是關鍵.

已知a，b，c為有理數.

(1）如果ab＞0，a+b＞0，試確定a，b的正負.

(2）如果ab＞0，abc＞0，bc＜0，試確定a，b，c的正負.

由有理數的運算法則即可判斷所求字母的正負性.

(1）∵ab＞0，∴a，b同號.又∵a+b＞0，∴a，b都為正數.

(2）∵ab＞0，∴a，b同號.又∵abc＞0，∴c＞0.

又∵bc＜0，∴b，c異號，即b＜0，故a＜0.

∴a，b為負數，c為正數.

積的符號由負因數的個數決定.當負因數有奇數個時，積為負；當負因

數有偶數個時，積為正.

解決此類判斷正負的問題，單個條件無法判斷時，要綜合幾個所給條件

考慮.

拓展訓練

A組

1.下列說法中，錯誤的是(）.

A.任何有理數都有倒數B.互為倒數的兩個數積為1

C.互為倒數的兩個數同號D.2和12互為倒數

2.計算(-1）÷(-5）×?

?

?

?

?

?

?

5

1

的結果是(）.

A.-1B.1C.-

25

1

D.-25

3.下列說法中，不正確的是(）.

A.一個數（不為0）與它的倒數之積是1

B.一個數與它的相反數之和為0

C.兩個數的商為-1，這兩個數互為相反數

D.兩個數的積為1，這兩個數互為相反數

4.若2019×24＝m，則2019×25的值可表示為（）.

A.m+1B.m+24C.m+2019D.m+25

6.若有理數a，b，c滿足a+b+c＞0，且abc＜0，則a，b，c中正數有（）個.

A.0B.1C.2D.3

7.若

b

a

=2，

c

b

=6，則

c

a

=.

8.已知a，b互為相反數，c，d互為倒數，那么式子

36

1833

?

??

cd

ba

的值是.

9.學習了有理數的運算后，薛老師給同學們出了這樣一道題.

計算：

16

15

71×(-8），看誰算得又對又快.下面是前兩名同學給出的解法：

小強：原式=-

16

1151

×8=-

16

9208

=-575

2

1

;

小莉：原式=?

?

?

?

?

?

?

16

15

71×(-8）=71×(-8）+

16

15

×(-8）=-575

2

1

.

(1）對于以上兩種解法，你認為誰的解法比較好？其理由是什么？對你有何啟發？

(2）此題還有其他解法嗎？如果有，用另外的方法把它解出來.

10.計算:

(1）-1+5÷?

?

?

?

?

?

?

6

1

×(-6）.(2）

2

1

1×

7

5

-?

?

?

?

?

?

?

7

5

×

2

1

2+-?

?

?

?

?

?

?

2

1

×

7

5

.

11.如圖，小明有5張寫著不同數的卡片，請你按照題目要求抽出卡片，完成下列問題.

（1）從中取出3張卡片，使這3張卡片上數的乘積最大，如何抽取？最大值是多少？

（2）從中取出2張卡片，使這2張卡片上數相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？

（第11題）

12.某公司去年1～3月份平均每月盈利2萬元，4～6月份平均每月虧損1.6萬元，7～10

月份平均每月虧損1.4萬元，11～12月份平均每月盈利3.4萬元(假設盈利為正，虧損為負）.

(1）去年該公司是盈利還是虧損？

(2）去年該公司平均每月盈利(或虧損）多少萬元？

B組

13.下列結論：①若|x|＝2，則x一定是2；②若干個有理數相乘，若負因數的個數是奇數，

則乘積一定是負數；③若|a+b|＝a-b，則a≥0，b＝0或a＝0，b≤0；④若a，b互為相反數，

則ab=-1.其中正確的說法的個數是（）.

A.1B.2C.3D.4

14.定義一種對正整數n的“F”運算：①當n為奇數時，F（n）＝3n+1；②當n為偶數時，

F（n）=n2k[其中k是使F（n）為奇數的正整數]，兩種運算交替重復進行，例如:取n＝24，

則：

若n＝13，則第2020次“F”運算的結果是（）.

A.1B.4C.2020D.42020

15.已知a，b為任意非零有理數，則

a

a

+

b

b

+

ab

ab

的可能取值是(）.

A.-3或1B.3或1或-1C.1或3D.-1或3

16.已知有理數a，b滿足ab＜0，|a|＞|b|，2（a+b）＝|b-a|，則ba的值為.

17.小華在課外書中看到這樣一道題：

計算：

36

1

÷

4

1

+

12

1

-

18

7

-

36

1

+)

36

1

18

7

12

1

4

1

???

?

?

?

÷

36

1

.

她發現，這個算式反映的是前后兩部分的和，而這兩部分之間存在著某種關系，利用這種關

系，她順利地解答了這道題.

（1）前后兩部分之間存在著什么關系？

（2）先計算哪部分比較簡便？請計算比較簡便的那部分.

（3）利用（1）中的關系，直接寫出另一部分的結果.

（4）根據以上分析，求出原式的結果.

18.教室里一般都裝日光燈來照明，已知每根燈管每小時的平均耗電量約為0.04千瓦時（俗

稱為度），而1千瓦時電的價格是0.75元.設教室每天平均開燈10小時，請計算并回答以下

問題：

（1）若每所中小學平均有30間教室，每間教室配有12根燈管，則一所中小學所有教室一

天的耗電量是多少千瓦時？

（2）某市約有500所中小學，一年若按210個工作日（即上學時間）計，則每年該市中小

學所有教室的照明電費約為多少元？

19.1+2+3+…+100＝？經過研究，這個問題的一般性結論是1+2+3+…+n=

2

1

n(n+1)，其中n

是正整數.

現在我們來研究一個類似的問題：1×2+2×3+3×4+…n（n+1）＝？

觀察下面三個特殊的等式：

1×2=

3

1

（1×2×3-0×1×2）；

2×3=

3

1

（2×3×4-1×2×3）；

3×4=

3

1

（3×4×5-2×3×4）.

將這三個等式的兩邊相加，可以得到1×2+2×3+3×4=

3

1

×3×4×5＝20.

讀完上述材料，請你思考后回答下列問題：

（1）直接寫出下列各式的計算結果：

①1×2+2×3+3×4+…+10×11＝.

②1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）＝.

（2）探究并計算：

1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n（n+1）（n+2）＝.

（3）請利用（2）的探究結果，直接寫出下式的計算結果：

1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+10×11×12＝.

走進重高

1.【大慶】已知兩個有理數a，b，如果ab＜0且a+b＞0，那么（）.

A.a＞0，b＞0B.a＜0，b＞0

C.a，b同號D.a，b異號，且正數的絕對值較大

2.【赤峰】若正整數x，y滿足（2x-5）（2y-5）＝25，則x+y等于（）.

A.18或10B.18C.10D.26

3.若“！”是一種數學運算符號，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝

4×3×2×1，…，則50！48！的值為（）.

A.

48

50

B.49！C.2450D.2！

5.已知非零有理數m，n滿足

m

m

+

n

n

=-2，則

mn

mn

=.

6.【杭州】計算6÷?

?

?

?

?

?

2

1

，方方同學的計算過程如下：原式＝6÷-12+6÷13=-12+18＝6.

請你判斷方方的計算過程是否正確，若不正確，請你寫出正確的計算過程.

7.在1，-2，3，-4，-5中任取兩個數相乘，最大的積是a，最小的積是b.

（1）求ab的值.

（2）若|x-a|+|y+b|＝0，求（-x-y）·y的值.

高分奪冠

1.某種藥品的說明書上貼有如圖所示的標簽，一次服用這種藥品的劑量范圍是(）.

(第1題）

A.15mg～30mgB.20mg～30mg

C.15mg～40mgD.20mg～40mg

2.已知a1=

321

1

??

×

2

1

=

3

2

，a2=

432

1

??

+

3

1

=

8

3

，a3=

432

1

??

+

4

1

=

15

4

，…，依據上述

規律，則a99==．

3.如圖，一個啤酒瓶的高度為30cm，瓶中裝有高度為12cm的水，將瓶蓋蓋好后倒置，這時

瓶中水面高度是20cm，則瓶中水的體積和瓶子的容積之比為(瓶底的厚度不計）.

(第3題）

4.一本書的頁碼是連續的自然數：1，2，3，4，…，當將這些頁碼加起來的時候，某個頁碼

加了兩次，得到不正確的結果2020，則這個被加了兩次的頁碼是.

5.一個能被13整除的自然數我們稱為“十三數”，“十三數”的特征是：這個自然數的末

三位與末三位以前的數字組成的數之差能被13整除.例如：判斷383357能不能被13整除，

這個數的末三位數字是357，末三位以前的數字組成的數是383，這兩個數的差是383-357

＝26，26能被13整除，因此383357是“十三數”.

（1）判斷3253和254514是否為“十三數”，請說明理由.

（2）若一個四位自然數，千位數字和十位數字相同，百位數字與個位數字相同，則稱這個

四位數為“間同數”.

①求證：任意一個四位“間同數”能被101整除.

②若一個四位自然數既是“十三數”，又是“間同數”，求滿足條件的所有四位數的最大值

與最小值之差.

6.分析判斷：

(1）如果ab＜0，a＜b，試確定a，b的正負.

（2）如果ab<0，a+b<0，｜a｜>｜b｜，試確定a，b的正負.

（3）如果ab＜0，abc＜0，bc<0，試確定a，b，c的正負.

第五講有理數的乘方及混合運算

重點分析：

1.乘方可以看作乘法的特殊情況.規律：正數的任何次冪都是正數；負數的奇次冪是負數，

負數的偶次冪是正數.互為相反數的兩數的奇次冪仍互為相反數，它們的偶次冪則相等.

2.有理數的混合運算法則：先算乘方，再算乘除，最后算加減，若有括號的，則先算括號里

面的.

3.準確數和近似數是應用有理數解決實際問題所必需的.

4.科學計數法：把一個實數表示成±a×10n(1≤a＜10，n為整數）的形式.

難點分析：

有理數的混合運算需要運用多種法則，較復雜的符號判別和運算順序是本講的難點.

(1）先算括號內或者直接運用乘法分配律來計算都可以.(2）先相乘，再

加減或者直接逆用乘法分配律來計算.(3）先算乘方，再算乘除，最后相加減.

對于有理數的混合運算首先要仔細觀察所求式子，看是否能運用運算律

使運算簡便，然后按照有理數混合運算的順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號

的要先算括號里面的.

對于(1）(2）小題運用乘法分配律時要注意運算符號；(3）小題注意-22

表示2個2相乘的相反數，其結果為-4.

比較6111，3222，2333的大小.［提示：amn=(am)n］

由于3個冪的底數與指數都不相同，觀察發現，它們的指數有最大公約數

111，所以可將3個冪都轉化為指數是111的冪的形式，然后只需比較它們的底數即可.

∵3222=(32）111=9111，2333=(23）111=8111，

又∵9111＞8111＞6111，

∴3222＞2333＞6111.

本題主要考查了冪的大小的比較方法.一般說來，比較幾個冪的大小，

可以把它們的底數變為相同，或者把它們的指數變為相同，再分別比較它們的指數或底數.

當冪的底數和指數都不同時，不能直接比較出大小.

閱讀理解：

已知（ab）2=a2b2，（ab）3=a3b3，（ab）4=a4b4.

（1）用特例驗證上述等式是否成立.

(2）通過上述驗證，猜一猜：（ab）100=，歸納得出：（ab）n=.

(3）上述性質可以用來進行運算，反之仍然成立，即：anbn=（ab）n.

應用上述等式計算：-

4

1

2019×42020．

（1）任取一組a,b的值代入進行計算即可.(2）根據（1）中的各數的值找

出規律即可解答.(3）逆用（2）中的規律計算即可．

（1）令a=2，b=3，

則（2×3）2=22×32=36，（2×3）3=23×33=216，（2×3）4=24×34=1296，故（ab）n=anbn.

（2）a100b100anbn

本題考查的是有理數的乘方及規律的歸納總結.解答本題的關鍵是根據

（1）中各數的特點找出規律，再根據此規律進行解答．

冪的運算要特別注意概念，弄清底數、指數和運算法則，還要注意結果

的符號．

我們常用的數是十進制數，如4657=4×103+6×102+5×101+7×100，十進制數要

用10個數碼(又叫數字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.在電子計算機中用的是二進制數，

只要2個數碼：0和1，如二進制數110=1×22+1×21+0×20，相當于十進制數中的6；

110101=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20，相當于十進制數中的53.那么二進制中的數

101011等于十進制數中的哪個數？(提示：非零有理數的零次冪都為1)

認真觀察給出的兩個式子：110=1×22+1×21+0×20和

110101=1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20，得出規律再計算即可.

101011=1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=32+0+8+0+2+1=43.

解答本題的關鍵是找出規律，按照規律進行計算.

最右邊的數字乘20，不是乘21，20=1.

若a，b，c均為整數，且｜a-b｜2021+｜c-a｜2020=1，則｜a-c｜+｜c-b｜+｜b-a｜

的值為(）.

A.1B.2C.3D.2021

本題可分類討論，分別計算｜a-b｜=1，｜c-a｜=0和｜a-b｜=0，｜c-a｜

=1這兩種情況下所求代數式的值，然后得到結果.

∵a，b，c均為整數，且｜a-b｜2021+｜c-a｜2020=1，

∴｜a-b｜=1，｜c-a｜=0或｜a-b｜=0，｜c-a｜=1.

當｜a-b｜=1，｜c-a｜=0時，可得c=a，

∴｜a-c｜+｜c-b｜+｜b-a｜=｜a-a｜+｜a-b｜+｜b-a｜=0+1+1=2；

當｜a-b｜=0，｜c-a｜=1時，可得b=a，

∴｜a-c｜+｜c-b｜+｜b-a｜=｜a-c｜+｜c-a｜+｜a-a｜=1+1+0=2；

綜上可知：｜a-c｜+｜c-b｜+｜b-a｜的值為2.

故選B.

本題主要考查了絕對值和非負數的性質，關鍵是要分類討論.

互為相反數的兩個數的絕對值相等，即｜a-b｜=｜b-a｜.

若a，b，c在數軸上的對應點如圖，且|a|＝|b|.

（1）計算：100-99a-99b.

（2）確定（a-b）（b-c）（a-c）的符號.

（3）化簡：|a|-|a+b|+|c-a|+|c-b|.

（1）先由圖判斷出a，b，c的符號，再根據|a|＝|b|這一條件計算即可.

（2）先確定a-b，b-c，a-c的符號，從而可以判斷（a-b）（b-c）（a-c）的符號.（3）根據

a，a+b,c-a,c-b的符號，先去絕對值符號，再化簡即可.

由圖可知，a＞0，b＜c＜0.

∵|a|＝|b|，∴a＝-b.

（1）100-99a-99b＝100-99（-b）-99b＝100+99b-99b＝100.

（2）∵a-b＞0，b-c＜0，a-c＞0，

∴（a-b）（b-c）（a-c）＜0.

∴（a-b）（b-c）（a-c）的符號為“-”.

（3）|a|-|a+b|+|c-a|+|c-b|＝a-0+a-c+c-b＝2a-b.

本題考查了有理數的混合運算以及數軸的知識，解題的關鍵是利用數軸

判斷出各整式的符號，再計算就簡單了.

題（3）中需要先確定絕對值中的數（或式）的符號，再根據絕對值的意

義及有理數的運算法則計算即可.

閱讀材料：求1+2+22+23+24+…+22020的值.

解：設S＝1+2+22+23+24+…+22020①，

將等式兩邊同時乘2得2S＝2+22+23+24+…+22020+22021②，

②-①得S＝22021-1，即S＝1+2+22+23+24+…+22020＝22021-1.

請你仿照此法計算：

（1）1+2+22+23+24+…+210.

（2）1+3+32+33+34+…+3n（其中n為正整數）.

（1）設S＝1+2+22+23+24+…+210，兩邊同時乘2后得到關系式，與已知等

式相減，變形即可求出所求式子的值.（2）同理可得到所求式子的值.

（1）設S＝1+2+22+23+24+…+210①，

將等式兩邊同時乘2得2S＝2+22+23+24+…+210+211②，

②-①得S＝211-1，即S＝1+2+22+23+24+…+210＝211-1.

（2）設S＝1+3+32+33+34+…+3n①，

將等式兩邊同時乘3得3S＝3+32+33+34+…+3n+3n+1②，

②-①得2S＝3n+1-1，即S=1+3+32+33+34+…+3n=

2

1

（3n+1-1）.

本題考查了有理數的乘方，題中求和的方法通常被稱為錯位相減法.

使用錯位相減法求和時，要注意不要出現多項、漏項等項數處理不當導

致的錯誤，還要注意求最后的結果時不要漏乘系數.

拓展訓練

A組

1.(-3）4表示(）.

A.4個(－3）相乘的積B.－3乘4的積

C.3個(－4）相乘的積D.4個(－3）相加的和

2.若a2＝1，b是2的相反數，則a+b的值為（）.

A.-3B.-1C.-1或-3D.1或-3

3.若0

A.x

4.中國是嚴重缺水的國家之一，人均淡水資源為世界人均水平的四分之一，所以我們要節約

用水.若每人每天浪費水0.32L，則100萬人每天浪費的水，用科學計數法表示為(）.

A.3.2×107LB.3.2×106LC.3.2×105LD.3.2×104L

5.如圖，數軸的單位長度為1，如果P，Q表示的數互為相反數，那么圖中的4個點中，哪

一個點表示的數的平方值最大(）.

（第5題）

.T

6.【巴中】2017年四川省經濟總量達到3.698萬億元，居全國第6位，在全國發展大局中

具有重要地位.把3.698萬億用科學計數法表示（精確到0.1萬億）為（）.

A.3.6×1012B.3.7×1012C.3.6×1013D.3.7×1013

7.【赤峰】8月份是新學期開學準備季，東風和百惠兩書店對學習用品和工具書實施優惠銷

售.優惠方案分別是：在東風書店購買學習用品或工具書累計花費60元后，超出部分按50%

收費；在百惠書店購買學習用品或工具書累計花費50元后，超出部分按60%收費.郝愛同學

準備買價值300元的學習用品和工具書，她在哪家書店消費更優惠（）.

A.東風B.百惠C.兩家一樣D.不能確定

8.現規定一種運算“*”：a*b=ab，如3*2=32=9，則

2

1

*3=.

9.瑞士的一位中學教師巴爾末從光譜數據

5

9

，

12

16

，

21

25

，

32

36

，…中，成功地發現了其規律，

從而得到了巴爾末公式，繼而打開了光譜奧妙的大門.請你根據這個規律寫出第9個

數：.

10.計算：

(1）(-3）2.(2）-(-2）5.(3）-22×(-3）2.(4）?

?

?

?

?

?

?

5

3

×?

?

?

?

?

?

?

3

2

14.

11.計算：

（1）871-87.21+53

21

19

-12.79+43

21

2

.（2）4×（-3）2+6.

（3）-0.52+14-|-32-9|-

3

2

1

1

?

?

?

?

?

?

?×

27

16

.

（4）?

?

?

?

?

?

??

12

7

2

1

5

3

×?

?

?

?

?

?

?????

7

5

60

7

3

60

7

1

60.

12.一次數學興趣小組活動中，同學們做了一個找朋友的游戲：有六個同學A，B，C，D，E，

F分別藏在六張大紙牌的后面，如圖，A，B，C，D，E，F所持的紙牌的前面分別寫有六個算

式：66；63+63；（63）3；（2×62）×（3×63）；（22×32）3；（64）3÷62.游戲規定：所持算式的

值相等的兩個人是朋友.如果現在由同學A來找他的朋友，他可以找誰呢？說說你的看法．

（第12題）

B組

13.計算（-2）101+（-2）100的結果是（）.

A.2100B.-2C.-2100D.-1

14.為求1+2+22+23+…+22000的值，可令S=1+2+22+23+…+22000，則2S=2+2

2+23+…+22001，因此2S-S=22001-1.仿照以上推理，計算出1+5+52+53+…+52020的值為

（）.

A.52020-1B.52021-1C.

4

152020?

D.

4

152021?

15.某公園劃船項目收費標準如下：

某班18名同學一起去該公園劃船，若每人劃船的時間均為1小時，則租船的總費用最低為

元.

17.有3個有理數x，y，z，若，且x與y互為相反數，y是z的倒數.

（1）當n為奇數時，你能求出x，y，z這三個數嗎？當n為偶數時，你能求出x，y，z這

三個數嗎？若能，請計算并寫出結果；若不能，請說明理由.

（2）根據（1）的結果，計算：xy-yn-（y-z）2020.

18.你能比較20202021與20212020的大小嗎？

為了解決這個問題，我們先寫出它的一般形式，即比較nn+1與(n+1）n(n是自然數）的大

小.然后我們分析當n=1，n=2，n=3，…時從中發現的規律，經歸納、猜想得出結論：

(1）通過計算，比較下列各組中兩個數的大小，在空格中填上“>”“<”或“=”.

①1221.②2332.③3443.④4554.⑤5665.

(2）將題(1）的結果經過歸納，可以猜想出當n≥3時，nn+1和(n+1）n的大小關系是.

(3）經過上面的歸納猜想，試比較20202021與20212020的大小.

19.材料：

一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對數，記為logab（即

logab＝n）.例如：3b（即logab＝n）.例如：3b＝n）.例如：34＝81，則4叫做以3為底

81的對數，記為log381（即log381＝4）.

問題：

（1）計算以下各對數的值：log24＝，log216＝，log264＝.

（2）仔細觀察，（1）中4，16，64三數之間滿足的關系式為，log24，log216，log264之間

滿足的關系式為.

（3）由（2）的結果，你能歸納出一個一般性的結論嗎？直接寫出結論，無須證明.

logaM+logaN＝（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）.

走進重高

1.【河北】等于（）.

2.【南京】計算12+（-18）÷（-6）-（-3）×2的結果是（）.

A.7B.8C.21D.36

3.【宜昌】2017年5月18日，新華社電訊：我國利用世界唯一的“藍鯨1號”，在南海實

現了可燃冰（即天然氣水合物）的安全可控開采.據介紹，“藍鯨1號”擁有27354臺設備，

約40000根管路，約50000個MCC報驗點，電纜拉放長度估計1200km.其中準確數是（）.

A.27354B.40000C.50000D.1200

4.【牡丹江】請你只在“加、減、乘、除和括號”中選擇使用，可以重復，將四個數-2，4，

-6，8組成算式（四個數都用且每個數只能用一次），使運算結果為24，你列出的算式是

（只寫一種）.

6.定義：如果10b＝n，那么稱b為n的勞格數，記為b＝d（n）.

（1）根據勞格數的定義，可知d（10）＝1，d（102）＝2，那么d（103）＝.

（2）勞格數有如下運算性質：

若m，n為正數，則d（mn）＝d（m）+d（n），d?

?

?

?

?

?

n

m

＝d（m）-d（n）.

根據運算性質填空：

①

??

???

?

?

?

?

?

?

?

2

25

d

d

=.

②若d（3）＝0.48，則d（9）＝，d（0.3）＝.

高分奪冠

(第2題）

1.如果n是正整數，那么

8

1

［1-(-1）n］(n2-1）的值(）.

A.一定是零B.一定是偶數

C.是整數但不一定是偶數D.不一定是整數

2.將正整數從1開始依次按如圖所示的規律排成一個數陣，其中，2在第1個拐角處，3在

第2個拐角處，5在第3個拐角處，7在第4個拐角處……那么在第2021個拐角處的數是.

3.計算：

4.閱讀理解題：

試判斷20001999+19992000的末位數字.

∵20001999的末位數字是0，而19992的末位數字是1，

∴19992000=(19992）1000的末位數字是1.

∴20001999+19992000的末位數字是1.

同學們，根據閱讀材料，你能否判斷20002的末位數字是多少？寫出你的理由.

5.黑板上有三個正整數a，b，c（不計順序），允許進行如下的操作：擦去其中的任意一個

數，寫上剩下的兩個數的平方和.例如：擦去a，寫上b2+c2，這次操作完成后，黑板上的三

個數為b，c，b2+c2.

（1）當黑板上的三個數分別為1，2，3時，能否經過有限次操作使得這三個數變為56，57，

58（不計順序）?若能，請給出操作方法；若不能，請說明理由.

（2）是否存在三個小于2000的正整數a，b，c，使得它們經過有限次操作后，其中的一個

數為2007?若能，寫出正整數a，b，c，并給出操作方法；若不能，請說明理由.

（3）是否存在三個小于2000的正整數a，b，c，使得它們經過有限次操作后，其中的一個

數為2008?若能，寫出正整數a，b，c，并給出操作方法；若不能，請說明理由.

第六講平方根和立方根

重點分析：

1.平方根、算術平方根、立方根的概念.平方根：如果x2=a，那么x叫做a的平方根.算術平

方根：正數的正的平方根和0的平方根統稱算術平方根，一個數a(a≥0）的算術平方根記

作“a”.立方根：如果x3=a，那么x叫做a的立方根，記作“3a”.

2.算術平方根的雙重非負性：被開方數是非負數，結果是非負數.

3.一個正數有兩個平方根且互為相反數，零的平方根是零，負數沒有平方根.

4.任何數都有立方根，且立方根和被開方數具有同號性.

難點分析：

1.平方根的概念是通過逆運算來建立的，而且有多種不同情況，這是學生從未經歷過的.

2.算術平方根的雙重非負性的應用.

求下列各式的值:

(1）±

81

.(2）-

16

.(3）

25

9

.(4）??24?.

(1)±

81

表示81的平方根，故其結果是一對相反數.(2)-

16

表示16

的負平方根，故其結果是負數.(3)

25

9

表示925的算術平方根，故其結果是正數.(4)

??24?表示(-4）2的算術平方根，故其結果是正數.

(1）∵92=81，∴±

81

=±9.

(2）∵42=16，∴-16=-4.

(3）∵

2

5

3

?

?

?

?

?

?

=925，∴

25

9

=

5

3

.

(4）∵42=(-4）2，∴??24?=4.

弄清與平方根有關的三種符號±a，a，-a的意義是解決這類問題的關

鍵.±a表示非負數a的平方根.a表示非負數a的算術平方根，-a表示非負數a的負平方根.

注意a≠±a.在具體解題時，符號“”的前面是什么符號，其計算結

果也就是什么符號.

請根據如圖的對話內容回答下列問題.

（1）求該魔方的棱長.

（2）求該長方體紙盒的表面積.

（1）直接利用正方體體積求法進而得出答案.（2）利用已知表示出長方體

的體積，進而得出答案.

（1）設魔方的棱長為x（cm），則x3＝216，解得x＝6.

∴該魔方的棱長為6cm.

（2）設該長方體紙盒的長為y（cm），則6y2＝600，解得y＝±10.

∵y是正數，∴y＝10.

10×10×2+10×6×4=440(cm2).

∴該長方體紙盒的表面積為440cm2.

本題主要考查了立方根以及算術平方根，正確把握相關定義是解題關

鍵.

根據y2＝100，解得y＝±10，而不是y=10，其中y=-10不合題意舍去，

要注意規范解答.

x取何值時，下列各式在實數范圍內有意義？

使代數式在實數范圍內有意義，若有被開平方數，則被開平方數大于等于0；

若式子中含有分母，則分母不能為0.

(1）∵2-x≥0，x-1≥0，∴1≤x≤2.∴當1≤x≤2時，(1）式有意義.

(2）∵2x-1＞0(分母2x-1≠0），∴x>12.∴當x>12時，(2）式有意義.

(3）∵x-1≥0，x-2≠0，∴x≥1且x≠2.∴當x≥1且x≠2時，(3）式有意義.

(4）∵(x-3）2≥0，∴x取任何實數時，(4）式都有意義.

有被開平方數的代數式要有意義，被開平方數必須大于等于0；有分母

的代數式要有意義，分母必須不等于0.

當被開平方數在分母中出現時，被開平方數必須大于0.

已知實數x，y滿足y=4x-1+1-4x+13，求3yx的值.

根據被開平方數均為非負，而4x-1與1-4x又互為相反數，可以先求出x，

y的值，再根據立方根定義，即可解答.

∵4x-1≥0，1-4x≥0,∴x≥14，x≤14.

本題考查了平方根的意義以及非負數的性質，而最后求立方根的關鍵是

熟悉立方根的定義.

根據非負數的性質確定x的值是本題的突破口，還需要注意立方根的結

果只有一個，與平方根要區別開來.

觀察下列各式，并用所得出的規律解決問題：

（1）2=1.414，

200

=14.14，

20000

=141.4,…；

03.0=0.1732，3=1.732，300=17.32,….

由此可見，被開方數的小數點每向右移動位，其算術平方根的小數點向移動位.

(2）已知5=2.236，50=7.071，則0.5=，500=.

(3）31=1，31000=10，31000000=100,…，

小數點的變化規律是.

(4）已知310=2.154，3100=4.642，則310000=，-30.1=．

（1）觀察已知等式，得到一般性規律，寫出即可.(2）利用得出的規律計

算即可得到結果.(3）歸納總結得到規律，寫出即可.(4）利用得出的規律計算即可得到結果．

（1）被開方數的小數點每向右移動兩位，其算術平方根的小數點向右移

動一位．故答案為：兩，右，一.

（2）

5.0

=0.7071，

500

=22.36．

（3）小數點的變化規律是：被開方數的小數點每向右（或向左）移動三位，其立方根的小

數點向右（或向左）移動一位．

（4）

10000

=21.54，-1.03

=-0.4642．

本題考查了立方根以及算術平方根，弄清題中的規律是解本題的關鍵．

注意平方根與立方根小數點移動位數的規律不同，不要混淆．

請你認真觀察下面各個式子，然后根據你發現的規律寫出第④、⑤個式子.

①

16

=

161?

=241?

=1×24

=1×4=4；

②

32

=

162?

=242?

=2×24

=2×4=24；

③

48

=

163?

=243?=3×24

=3×4=34.

要寫出第④、⑤個式子，就要知道它們的被開方數分別是什么，為此應認

真觀察所給式子的特點.通過觀察，發現前面三個式子的被開方數分別是用序數乘16得到

的，故第④、⑤個式子的被開方數應該分別是64和80.

④

64

=

164?

=244?

=

4

×24

=2×4=8；

⑤

80

=

165?

=245?=

5

×24

=

5

×4=54.

解這類題需注意觀察題目所給的每個式子的特點，然后從特殊的例子推

廣得到一般的結論.

按規律找出被開方數后，要利用算術平方根的性質進行化簡.

數學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道

智力題：求59319的立方根.華羅庚脫口而出：39.眾人十分驚奇，忙問計算的奧妙.你知道

怎樣迅速準確地計算出結果嗎？請你按下面的問題試一試.

（1）103＝1000，1003＝1000000，你能確定59319的立方根是幾位數嗎？位數.

（2）由59319的個位數是9，你能確定59319的立方根的個位數是幾嗎？.

（3）如果劃去59319后面的三位319得到數59，而33＝27，43＝64，由此你能確定59319

的立方根的十位數是幾嗎？.因此59319的立方根是.

（4）現在換一個數185193，你能按這種方法說出它的立方根嗎？

①它的立方根是位數.②它的立方根的個位數是.③它的立方根的十位數是.④185193的立

方根是.

（1）根據59319大于1000而小于1000000，即可確定59319的立方根是兩

位數.（2）根據一個數的立方的個位數就是這個數的個位數的立方的個位數，據此即可確定.

（3）根據數的立方的計算方法即可確定.（4）首先根據一個數的立方的個位數就是這個數

的個位數的立方的個位數確定個位數，然后確定十位數.

（1）兩

（2）9

（3）339

（4）∵103＝1000，1003＝1000000，1000＜185193＜1000000，

∴185193的立方根是一個兩位數.

∵185193的最后一位是3，∴它的立方根的個位數是7.

185193去掉后3位，得到185，

∵53＜185＜63，∴立方根的十位數是5.

∴185193的立方根是57.

故答案為：兩；7；5；57.

本題主要考查了數的立方，理解一個數的立方的個位數就是這個數的個

位數的立方的個位數是解題的關鍵.

估值是解決本題的主要方法，要準確估計立方根的范圍必須清楚一個數

每擴大十倍，它的立方擴大1000倍，反之亦然.

拓展訓練

A組

1.4的平方根是±2，那么

81

的平方根是(）.

A.±9B.9C.3D.±3

2.下列各組數中互為相反數的是(）.

A.-2與??22?B.-2與38?C.-2與

2

1

?D.|-2|與2

3.已知3≈1.732，下列各式正確的是（）.

A.

3.0

≈1.732B.

30

≈17.32C.

300

≈17.32D.

3000

≈173.2

4.若2m-4與3m-1是同一個數的平方根，則m的值為(）.

A.-3B.1C.-3或1D.-1

5.若x，y滿足|x-3|+12??y?=0，則y??的值是（）.

A.1B.2C.3D.5

6.下列說法中，正確的是（）.

①-2是2的一個平方根;②-4的算術平方根是2;③

16

的平方根是±2;④0沒有平方根.

A.①②③B.①④C.①③D.②③④

7.如果y=8??+??8+2，那么xy的算術平方根是(）.

A.2B.8C.4D.6

8.(1）寫一個比-

3

小的整數：.

（2）已知a，b為兩個連續的整數，且a<

28

9.若a的一個平方根是b，則它的另一個平方根是；若a的一個平方根是b，則

a的平方根是.

10.若33670.0=0.716，3670.3=1.542，則3367=，33670?=．

11.計算：

（1）

81

+327?+

2

3

2

?

?

?

?

?

?

?.（2）??22?-|1-3|+22

-53.

12.求下列式子中x的值：

（1）（3x+1）2=16.（2）（x-2）3-1=-28．

13.如圖，用兩個邊長為152cm的小正方形拼成一個大的正方形.

（第13題）

（1）求大正方形的邊長.

（2）若沿此大正方形邊的方向剪出一個長方形，能否使剪出的長方形紙片的長、寬之比為

4∶3且面積為720cm?∶3且面積為720cm且面積為720cm2？若能，試求出剪出的長方形紙

片的長與寬；若不能，請說明理由.

B組

14.若x-1+x+y=0，則x2019+y2020的值為(）.

A.0B.1C.-1D.2

15.對a，b定義運算“*”如下：a*b=已知3*m＝36，則實數m等于

（）.

A.

32

B.4C.±

32

D.4或±

32

16.下列語句中正確的是(）.

A.如果一個數的立方根是這個數本身，那么這個數一定是0

B.一個數的立方根不是正數就是負數

C.負數沒有立方根

D.一個不為0的數的立方根和這個數同號，0的立方根是0

17.在0~20的自然數中，立方根是有理數的共有(）.

A.1個B.2個C.3個D.4個

18.已知

32?a

-3+337a?=0，則5?a=．

19.你能找出規律嗎？

（1）計算：4×

9

=，

94?

=，

16

×

25

=，

2516?

=.

（2）請按找到的規律計算：①

5

×

20

.②

3

2

1

×

5

3

9

.

（3）已知a=2，b=

10

，則

40

=（用含a，b的式子表示）．

20.請同學們運用所學的方法，完成下表：

(1）觀察下表并說明當已知數a的小數點向右(或向左）移動時，它的立方根3a的小數點的

移動規律是怎樣的？寫出你發現的規律.

(2）運用你所發現的規律，解下列各小題：

已知3250.5=1.738，求：①300525.0.②35250000.

走進重高

1.【杭州】下列計算中，正確的是（）.

A.22

=2B.22=±2C.24

=2D.24

=±2

2.【南京】若方程（x-5）2＝19的兩根為a和b，且a＞b，則下列結論中正確的是（）.

A.a是19的算術平方根B.b是19的平方根

C.a-5是19的算術平方根D.b+5是19的平方根

3.有一個數值轉換機，原理如圖：

（第3題）

當輸入的x＝81時，輸出的y＝.

4.若（x-5）2+164?y=0，則（y-x）2019＝.

5.全球氣候變暖導致一些冰川融化并消失.在冰川消失12年后，一種低等植物苔蘚就開始在

巖石上生長.每一個苔蘚都會長成近似圓形，苔蘚的直徑和其生長年限，近似地滿足如下的

關系式：d＝7×

12?t

（t≥12），其中d代表苔蘚的直徑，單位是厘米；t代表冰川消失

的時間，單位是年.

（1）計算冰川消失16年后苔蘚的直徑.

（2）如果測得一些苔蘚的直徑是35厘米，問：冰川約是在多少年前消失的？

6.已知一個正數的兩個平方根分別為a和3a-8.

（1）求a的值，并求這個正數.

（2）求1-7a2的立方根.

高分奪冠

1.若

a200

是一個整數，則滿足條件的最小正整數a=；若3128x是一個正整數，

則滿足條件的最小正整數x=.

2.

4?a

-

a29?

+

a31?

+2a?的值是.

3.①ab=0;②a+b=0;③a2+b=0;④a-b=0;⑤a+2b2=0.以上5個等式中一定要滿足實數a,b的值

同時為0的是(填序號）.

4.如圖，有三個正方體.

（1）三個正方體的棱長之間有怎樣的大小關系？(用“<”連接)

（2）棱長a的整數部分是幾？十分位是幾？百分位是幾？（可以用計算器進行探索）

（3）根據下表所列棱長a的范圍，分別計算出對應正方體體積V的范圍，并填入下表中.

（4）這個過程繼續下去，a可能是有限小數嗎？

5.已知x=abaa???23是a+3的算術平方根，y=233???abb是b-3的立方根，求y-x的立方

根．

第七講實數及其運算

重點分析：

1.實數可分成兩類：有理數和無理數，也可分成三類：正實數、負實數和零.

2.實數與數軸上點的一一對應關系.

3.實數的運算：運算順序：先算乘方或開方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里

的；運算律：加法交換律、結合律，乘法交換律、結合律、分配律.

難點分析：

無理數的概念比較抽象，它是一個確定的數，卻不能把它完全直觀地表示出來.

計算：

(1）

25

×

36

-21.(2）

3

-(2-

3

）×(-1）.

(3）

9

1

+

0

-327

.(4）????2325???

-3×(2+1）.

將算術平方根及立方根分別化為最簡，然后合并即可得出答案.

(1）原式=5×6-21=9.

(2）原式=

3

+2-

3

=2.

(3）原式=

3

1

+0+3=

3

10

.

(4）原式=5-2

3

+4-32-3=6-2

3

-32.

本題考查了實數的混合運算，解題的關鍵是把算術平方根和立方根化成

最簡.

一個數的算術平方根和立方根都只有一個，且和被開方數具有同號性，

去括號時要注意符號.

(1）比較

5

13?

與

5

1

的大小.

(2）比較1-2與1-

3

的大小.

差值比較法的基本思路是先求出a與b的差，若a-b＞0，則a＞b；若a-b

＜0，則a＜b；若a-b＝0，則a=b.

(1）中解法一叫差值比較法，解法二叫商值比較法，解法三叫估算法.

對于不同的問題要靈活應用簡便合理的方法來解題.

如圖，在4×4方格中每個小正方形的邊長都為1.

（1）直接寫出圖1中正方形ABCD的面積及邊長.

（2）在圖2的4×4方格中，畫一個面積為8的格點正方形（四個頂點都在方格的頂點上），

并把圖2中的數軸補充完整，然后用圓規在數軸上表示實數8.

（1）可以用3×3的正方形面積減去四個三角形面積得到正方形ABCD的面

積，再求算術平方根可得邊長.（2）根據(1)中格點正方形的面積計算方法畫出面積為8的

正方形，其邊長就是8，然后在數軸上以原點為圓心、正方形的邊長為半徑畫弧可得實數8

的位置.

（1）正方形ABCD的面積是：

3×3－

2

1

×1×2×4=5，

∴正方形ABCD的邊長為

5

.

（2）如圖.

本題考查了格點正方形的面積、實數與數軸，利用格點我們可以畫出面

積不為平方數的正方形，然后得到長度為無理數的正方形邊長，這種利用割補法確定圖形面

積是一種重要的數學方法.

作面積為8的正方形是難點與易錯點，要注意利用好格點，多嘗試并確

定面積符合題目要求.

已知x，y為實數，y=，試求3x+4y的值.

根據根號內是非負數，分母不為0來綜合考慮，可以得到相應的未知字母

的值.

依題意得x2-4≥4且4-x2≥0,∴x2=4.∴x=±2.

又∵x-2是原式的分母，∴x-2≠0.∴x≠2.∴x=-2，此時，y=-

4

1

.

∴3x+4y=3×(-2）+4×-?

?

?

?

?

?

4

1

=-7.

本題用到的知識點有：互為相反數的兩個數都在根號里，那么這兩個數

都為0.

本題除了考慮被開方數必須大于等于零外，還要注意分母不能等于零.

(1）本題是一道規律題，很容易發現相鄰兩個實數的算數平方根的和的倒

數就是這兩個相鄰實數的算數平方根的差，從而求出其值.(2）利用(1）的結論進行化簡.

在解答中注意觀察題目中所給式子的變化規律，運用規律解答能使運算

簡便，并且得心應手.

要證明(1）中的結論可以利用分式的基本性質，分子、分母同時乘一個

使分母有理化的因式，分式的值不變.

大家知道2是無理數，而無理數是無限不循環小數，因此2的小數部分我們不可

能全部寫出來，但是由于1＜2＜2，所以2的整數部分為1，將2減去其整數部分1，所得

的差2-1就是其小數部分.根據以上內容，解答下面的問題：

(1）

5

的整數部分是，小數部分是.

(2）1+2的整數部分是，小數部分是.

(3）若設2+

3

的整數部分是x，小數部分是y，求x-y3的值.

(1）求出

5

的范圍是2＜

5

＜3，即可求出答案.(2）由2的范圍是1＜

2＜2即可求出1+2的范圍，從而求得答案.(3）先求出3的范圍，從而得出2+

3

的

范圍，于是可求得x，y的值，代入即可.

(1）∵2＜

5

＜3，∴

5

的整數部分是2，小數部分是5-2.

故答案為：2，

5

-2.

(2）∵1＜2＜2，∴2＜1+2＜3.

∴1+2的整數部分是2，小數部分是1+2-2=2-1.

故答案為：2，2-1.

(3）∵1＜

3

＜2，∴3＜2+2＜4.∴x=3，y=2+2-3=2-1.

∴x-y3=3-

3

(

3

-1）=

3

.

求無理數的整數部分和小數部分，通常先估計其整數部分，然后用原數

減去其整數部分就是小數部分.

一個無理數的小數部分是用原數減去其整數部分得到的一個準確值，不

能通過估計得到.

化簡：

（1）根據算術平方根的計算方法即可解答.（2）根據立方根的計算方法即

可解答.（3）根據數軸可以判斷a，b的大小與正負，從而可化簡題中的式子.

（1）22|a|

（2）3-3a

（3）由圖可得，a＜0＜b，|a|＜|b|，

∴2a+??2ba?-??2ba?＝|a|+|a－b|－（a+b）＝-a+b-a-a-b＝-3a.

本題考查立方根、算術平方根、絕對值，解答本題的關鍵是明確題意，

利用數形結合的思想解答.

注意??2ba?和??3

3ba?去掉根號后要添絕對值符號或括號，計算時

要特別注意符號的處理，不要犯錯.

拓展訓練

A組

1.下列說法中：①無限小數是無理數；②無理數是無限小數；③無理數的平方一定是無理數；

④實數與數軸上的點是一一對應的.正確的個數是(）.

A.1B.2C.3D.4

2.在算式

?

?

?

?

?

?

?

?

?

3

3

□

?

?

?

?

?

?

?

?

?

3

3

的□中填上運算符號，使結果最大，這個運算符號是（）.

A.加號B.減號C.乘號D.除號

3.若2＜

2?a

＜3，則a的值可以是（）.

A.-7B.

3

16

C.

2

13

D.12

A.2個B.3個C.4個D.5個

5.當a為實數時，2a=-a在數軸上對應的點在(）.

A.原點右側B.原點左側C.原點或原點右側D.原點或原

點左側

6.把下列各數分別填入相應的集合內.

-6.5，0，-

15

，3.14，

3

2

，4，327，2.112…，

3

?

.

整數集合：{…};

有理數集合：{…};

無理數集合：{…};

正實數集合：{…};

負實數集合：{…}.

9.如圖，一只螞蟻從點A沿數軸向右爬行3個單位長度到達點B，若點A表示-3，設點B所

表示的數為m.

（1）求m的值.

（2）求|m-1|+

3

（m+6）+1的值.

（第9題）

10.閱讀理解：

求

103

的近似值.

解：設

103

=10+x，其中0＜x＜1，則103=（10+x）2，即103＝100+20x+x2.

∵0＜x＜1，∴0＜x2＜1.

∴103≈100+20x，解得x≈0.15，即

103

的近似值為10.15.

理解應用：

利用上面的方法求95的近似值（結果精確到0.01）.

11.(1）若??2-2??-y=6，求yx的立方根.

（2）已知有理數a滿足2020-a+

2021?a

=a，求a-20202的值.

B組

12.對實數a，b定義“★”運算規則如下：a★b=，則7★（2★3）等

于（）.

A.1B.2C.-1D.-2

13.若3+5的小數部分是a，3-

5

的小數部分是b，則a+b的值為(）.

A.0B.1C.-1D.2

14.我們知道，方程x2=-1沒有實數根，即不存在一個實數的平方等于-1.若我們規定一

個新數“i”，使其滿足i2=-1（即方程x2=-1有一個根為i）.并且進一步規定：一

切實數可以與新數進行四則運算，且原有運算律和運算法則仍然成立，于是有i1=i，i

2=-1，i3=i2i=（-1）i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1，從而對于

任意正整數n，我們可以得到i4n+1=i4ni=（i4）ni=i，同理可得i4n+2=-1，i4n+3=-i，

i4n=1.那么i+i2+i3+i4+…+i2019+i2020的值為(）.

A.0B.1C.-1D.i

15.請在如圖的兩個圓圈中各選兩個數，再用+，-，×，÷中的3種運算符號，使得結果為

正整數，寫出你的運算式子：.

16.如圖，將1,2,

3

三個數按圖中方式排列，若規定（a，b）表示第a行第b列的數，

則（8，2）與（2020，2020）表示的兩個數的積是．

（第16題）

17.閱讀下列材料：

為什么2不是有理數?

假設2是有理數，那么存在兩個互質的正整數m，n，使得2=

m

n

，于是有2m2=n2．

∵2m2是偶數，∴n2也是偶數.∴n是偶數．

設n=2t（t是正整數），則n2=4t2=2m2，∴m2=2t2.∴m也是偶數．

∴m，n都是偶數，不是互質數，與假設矛盾．

∴假設錯誤.∴2不是有理數．

用類似的方法，請證明

3

不是有理數．

18.我們規定：用［x］表示實數x的整數部分，如［3.14］=3,［8］=2,在此規定下解決下

列問題：

（1）填空：［1］+［2］+［

3

］+…+［

6

］=.

（2）求［1］+［2］+［

3

］+［4］+…+［

49

］的值．

19.如圖是一塊正方形紙片.

（1）如圖1，若正方形紙片的面積為1dm2，則此正方形的對角線AC的長為dm.

（2）若一圓的面積與這個正方形的面積都是2πcm2，設圓的周長為C圓，正方形的周長為C

正，則C圓C正（填“>”“<”或“＝”）.

（3）如圖2，若正方形的面積為16cm2，李明同學想沿這塊正方形邊的方向裁出一塊面積為

12cm2的長方形紙片，使它的長和寬之比為3∶2，他能裁出嗎？請說明理由.

走進重高

1.【南通】如圖，數軸上的點A，B，O，C，D分別表示數-2，-1，0，1，2，則表示數2-5

的點P應落在（）.

（第1題）

A.線段AB上B.線段BO上C.線段OC上D.線段CD上

2.【福建】已知m=4+3，則以下對m的估算正確的（）.

A.2＜m＜3B.3＜m＜4C.4＜m＜5D.5＜m＜6

A.1B.2C.3D.4

4.【湘西州】用科學計算器按如圖的步驟操作，若輸入的數值是3，則輸出的值為（結果精

確到0.1）.

（第4題）

5.對于任意不相等的兩個數a，b定義一種運算“*”如下：a*b=，例如：3*2=

=5.那么12*（3*1）＝.

6.請按要求解答下列問題：

（1）實數a，b滿足=0.若a，b都是非零整數，請寫出一對符合條件的a，b的值.

（2）實數a，b滿足=-3.若a，b都是分數，請寫出一對符合條件的a，b的值.

7.如圖1是由5個邊長為1的小正方形組成的紙片.可以用下面的方法把它剪拼成一個正方

形．

（1）拼成的正方形的面積是，邊長是.

（2）你能在3×3的正方形方格(如圖2）中，連結四個點組成面積為5的正方形嗎？

（3）如圖3是由10個小正方形組成的紙片，你能把它剪開并拼成一個大正方形嗎？若能，

請畫出示意圖，并寫出邊長為多少．

圖1圖2圖3

（第7題）

高分奪冠

1.若a＜b＜0，化簡??3

3ba?-??2ba?+

3

3a-

2b的結果為(）.

A.3a-bB.3（b-a）C.a-bD.b-a

2.已知a和b都是無理數，且a≠b，下面提供的6個數：a+b，a-b，ab，

b

a

，ab+a-b，ab+a+b

可能成為有理數的有個.

3.已知9，16和a三個數，使這三個數中的一個數是另外兩個數乘積的一個平方根，寫出所

有符合條件的數a的值：.

4.已知

21217

1

?

的整數部分為a，小數部分為b，則b=，b-

b

4

=.

5.如圖，a，b，c分別是數軸上點A，B，C所對應的實數.化簡：c2+|a-b|+3(a+b)3+|b-c|.

（第5題）

6.10414?的整數部分為a，小數部分為b，求

ba?

1

+

ba?

1

的值.

第八講代數式

重點分析：

1.代數式：代數式是由運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方）把數或表示數的字母連接

而成的式子.單獨的一個數或者一個字母也是代數式.

2.代數式的值：用數值代替代數式里的字母，計算后所得的結果p叫做代數式的值.求代數

式的值可以直接代入計算.

難點分析：

代數式書寫格式：

(1）代數式中出現的乘號，通常簡記作“·”或省略不寫.數字和數字相乘，乘號不能省略；

數字和字母相乘，可以省略乘號，但數字必須寫在字母前面，如：a×2可記作2a，不能寫

成a2；字母和字母相乘時，除可省略乘號外，一般按英文字母表的順序來書寫，如：y×x×2，

可簡記為2xy.

(2）帶分數和字母相乘時，若要省略乘號，須把帶分數化成假分數，如：，記作

3

2

x，

不能寫成

2

1

1x.另外，當數字因數是1或-1時，通常省略不寫，如1×a，不能寫成1a，而

應記作a.

(3）代數式中出現除法運算時，一般按照分數的寫法來寫，如：s÷t記作st，ah÷2記作

2

ah

.

(4）寫代數式的答案時，若是乘、除關系的，單位名稱直接寫在式子的后面，如：正方形面

積是12a平方厘米，無需加括號；若是加減關系時，必須把式子用括號括起來，再寫單位，

如：三角形的周長是(a+b+c）米.

說出下列代數式的意義：(1）2(a+3）.(2）a2+b2.(3）.

說出代數式的意義，實際上就是把代數式用語言敘述出來.敘述時，既要表

明運算的順序，又要說出運算的最終結果.

(1）2(a+3）的意義是2與(a+3）的積.

(2）a2+b2的意義是a，b的平方的和.

(3）的意義是(n+1）除以(n-1）的商.

用語言表達代數式的意義，一定要理清代數式中含有的各種運算及運算

順序，具體說法沒有統一規定，以簡明而無歧義為出發點.

a2+b2的意義是a，b的平方的和，注意與a，b和的平方的區別.

如圖是一個長方形的鋁合金窗框，其長為a（m），高為b（m），裝有同樣大的塑鋼

玻璃，當第②塊向右拉到與第③塊重疊

2

1

，再把第①塊向右拉到與第②塊重疊

3

1

時，用含a

與b的式子表示這時窗子的通風面積是m2．

第②塊向右拉到與第③塊重疊

2

1

，再把第①塊向右拉到與第②塊重疊

3

1

時，第①塊和第②塊玻璃之間的距離是?

?

?

?

?

?

?

3

1

2

1

×

3

a

.窗子的通風面積為①中剩下的部分．

如圖，窗子的通風面積即圖中陰影部分的面積.

根據圖示找到窗子通風的部位在哪里，是哪個長方形，其長和寬分別是

多少，都需要求出來，然后再利用面積公式進行計算．

本題有一定的難度，主要是要準確地找到窗子的通風部位.

如圖是一個數值轉換機的示意圖，請你用x，y表示輸出結果，并求輸入x的值為

3，y的值為-2時的輸出結果.

本題只需將x=3，y=-2代入數值轉換機的示意圖，一步一步計算即可得出

結果.

解答本題的關鍵就是弄清楚示意圖給出的計算程序，按程序一步一步計

算.

注意運算順序，同時正確理解題意也比較重要.

甲、乙兩家商店出售同樣牌子和規格的羽毛球拍和羽毛球，每副球拍定價300元，

每盒羽毛球定價40元，為慶祝五一節，兩家商店開展促銷活動如下：

甲商店：所有商品9折優惠.

乙商店：每買1副球拍贈送1盒羽毛球.

某校羽毛球隊需要購買a副球拍和b盒羽毛球（b＞a）.

（1）按上述的促銷方式，該校羽毛球隊在甲、乙兩家商店各應花費多少元？試用含a，b

的代數式表示.

（2）當a＝10，b＝20時，試判斷分別到甲、乙兩家商店購買球拍和羽毛球，哪家便宜？

（1）根據題意可以用代數式分別表示出該校羽毛球隊在甲、乙兩家商店各

應花費的錢數.（2）根據（1）中代數式，將a＝10，b＝20代入即可解答本題.

（1）在甲商店購買的費用為（300a+40b）×0.9＝（270a+36b）元，

在乙商店購買的費用為300a+40（b-a）＝（260a+40b）元.

（2）當a＝10，b＝20時，

在甲商店購買的費用為270×10+36×20＝3420（元），

在乙商店購買的費用為260×10+40×20＝3400（元）.

∵3420＞3400，

∴當a＝10，b＝20時，到乙商店購買球拍和羽毛球便宜.

本題考查列代數式、代數式求值，解答本題的關鍵是明確題意，正確理

解題中的數量關系，并能用字母表示數量關系.

計算（300a+40b）×0.9時根據乘法分配律去括號，要注意0.9跟兩個

項都要相乘.

當x=1時，代數式px3+qx+1的值為2020，求x=－1時，代數式px3+qx+1的值.

把x=1代入代數式可得到p+q的值，再把p+q作為一個整體代入到x=-1時

的代數式中就可求得代數式的值.

當x=1時，px3+qx+1=p+q+1=2020，∴p+q=2019.

∴當x=－1時，px3+qx+1=－p-q+1=－(p+q）+1=-2019+1=-2018.

求代數式的值可以把未知數的值直接代入求值，也可以把某個代數式作

為一個整體代入求值.

p和q的值不能求出來，要把p+q作為一個整體代入求值.

(1)在下列橫線上用含a，b的代數式表示相應圖形的面積.

（2）通過拼圖，你發現前三個圖形的面積與第四個圖形的面積之間有什么關系？請用數學

式子表示：.

(3）利用（2）的結論計算992+2×99×1+1的值．

（1）根據圖形可以求得各個圖形的面積.(2）通過觀察可以得到前三個圖

形的面積與第四個圖形的面積之間的關系，從而可以用式子進行表示.(3）根據問題（2）發

現的結論可以得到992+2×99×1+1=(99+1）2．

（1）①a2②2ab③b2④（a+b）2

（2）通過拼圖，前三個圖形的面積與第四個圖形的面積之間的關系是：前三個圖形的面積

之和等于第四個圖形的面積，用數學式子表示是：a2+2ab+b2=（a+b）2.

（3）992+2×99×1+1=（99+1）2=1002=10000．

本題考查列代數式和代數式求值，解題的關鍵是明確題意，列出正確的

代數式并求出代數式的值．

注意兩種面積表示方法得到的大正方形面積相等，由此等量關系可得到

公式，各個圖形的面積和差關系一定要清楚．

探索n×n的正方形釘子板上(n是釘子板每條邊上的釘子數），連結任意兩個釘子

所得到的不同長度值的線段種數：如圖，當n=2時，釘子板上所連不同線段的長度值只有1

與2，所以不同長度值的線段只有2種，若用S表示不同長度值的線段種數，則S=2；

當n=3時，釘子板上所連不同線段的長度值有1，2，2，

5

，22,共5種，比n=2時

增加了3種，即S=2+3=5.

(1）觀察圖形，填寫下表：

(2）寫出(n-1）×(n-1）和n×n的兩個釘子板上不同長度值的線段種數之間的關系(用式

子或語言表述均可）.

(3）對n×n的釘子板，寫出用n表示S的代數式.

(1）釘子數為2×2時，共有不同長度的線段2種；釘子數為3×3時，共

有不同長度的線段（2+3）種；釘子數為4×4時，共有不同長度的線段（2+3+4）種；那么

釘子數為5×5時，共有不同長度的線段（2+3+4+5）種.(2）釘子數為(n-1）×(n-1）時，

共有不同長度的線段［2+3+4+5+…+(n-1）］種；釘子數為n×n時，共有不同長度的線段

［2+3+4+5+…+(n-1）+n］種，相減后發現不同長度的線段種數增加了n種.(3）釘子數為n×n

時，共有不同長度的線段(2+3+4+…+n）種.

(1）4，2+3+4+5(或14）.

(2）與(n-1）×(n-1）的釘子板相比，n×n的釘子板中不同長度的線段種數增加了n種.

(3）S=2+3+4+…+n=n+22×

2

2?n

=

????

2

12??nn

.

解決此類探究性問題，關鍵在于認真觀察，分析已知數據，尋找它們之

間的相互聯系，探尋其規律.

對于第(3）題寫出用n表示S的代數式時注意共有不同長度的線段種數

應從2開始加，加到n，而不是S=1+2+3+4+…+n.

拓展訓練

A組

1.用字母表示數，下列書寫規范的是(）.

÷4B.-3xyC.a2bD.

2

1

1ab

2.關于代數式x+1的結果，下列說法中一定正確的是（）.

A.比1大B.比1小C.比x大D.比x小

3.某商店舉辦促銷活動，促銷的方法是將原價x元的衣服以?

?

?

?

?

?

?15

10

9

x元出售，則下列說

法中能正確表達該商店促銷方法的是（）.

A.原價減去15元后再打9折

B.原價打9折后再減去15元

C.原價減去15元后再打1折

D.原價打1折后再減去15元

4.當x分別取1和-1時，代數式x4-7x2+1的值(）.

A.相等B.互為相反數C.互為倒數D.以上都不對

5.根據如圖所示的程序計算函數值，若輸出的函數值為425，則輸入x的值為(）.

A.

25

29

B.±

5

2

C.

5

2

D.

4

25

(第5題）（第6題）

6.如圖，在長為a、寬為b的長方形（其中a＞b＞a2＞0）中放置兩個相同的正方形，恰好

構成三個形狀、大小完全一樣的小長方形（陰影部分），則放置的正方形的邊長為（）.

A.a

3

4

B.

3

ba?

C.b

4

3

D.

2

ba?

7.若x，y為實數，且｜x+2｜+y-2=0，則

?

?

?

?

?

?

?

?

y

x2021的值為(）.

A.2021B.-2021C.1D.-1

8.按照如圖所示的操作步驟，若輸入x的值為5，則輸出y的值為.

(第8題）

9.如圖，把R1，R2，R3三個電阻串聯起來，線路AB上的電流為I，電壓為U，則U＝IR1+IR2+IR3.

當R1＝19.7Ω，R2＝32.4Ω，R3＝35.9Ω，I＝2.5A時，U的值為V.

（第9題）

10.農民張大伯因病住院，手術費為a元，其他費用為b元.由于參加農村合作醫療保險，手

術費報銷85%，其他費用報銷60%，則張大伯此次住院可報銷元(用含a,b

的代數式表示）.

11.用代數式表示：

(1）比x的平方的5倍少2的數.

（2）x的相反數與y的倒數的和.

（3）x與y兩數的差的平方.

（4）一個三位數，個位數字為a，十位數字為b，百位數字為c，表示這個三位數.

12.在某住房小區建設中，為了提高居住環境質量，該小區因地制宜規劃修建一個廣場（圖

中陰影部分）.

（1）用含m，n的代數式表示該廣場的周長C.

（2）用含m，n的代數式表示該廣場的面積S.

（3）若m，n滿足（m-6）2+|n-8|＝0，求出該廣場的周長和面積.

（第12題）

B組

13.將長、寬、高分別為x，y，z的長方形箱子按如圖方式打包（粗黑線），則打包帶的長至

少為（）.

A.x+2y+3zB.2x+4y+6zC.4x+4y+8zD.6x+8y+6z

14.在數學活動課上，同學們利用如圖所示的程序進行計算，發現無論x取任何正整數，結

果都會進入循環，下面選項一定不是該循環的是(）.

A.4，2，1B.2，1，4C.1，4，2D.2，4，1

15.若將代數式中的任意兩個字母交換，代數式不變，則稱這個代數式為完全對稱式，如

a+b+c就是完全對稱式.下列四個代數式：①a-b-c；②-a-b-c+2；③ab+bc+ca；④a2b+b2c+c2a.

其中是完全對稱式的有(填序號).

16.有三個有理數x，y，z，其中x=??11

2

??n

（n為正整數）且x與y互為相反數，y與z

互為倒數．

（1）當n為奇數時，求出x，y，z這三個數，并計算xy-yn-（y-2z）2019的值．

（2）當n為偶數時，你能求出x，y，z這三個數嗎？為什么？

17.已知當x=1時，代數式3ax3+bx2-2cx+4的值為8，代數式ax3+2bx2-cx-15的值為-14，那

么當x=-1時，代數式5ax3-5bx2-4cx+6的值為多少？

18.某超市在春節期間實行打折促銷活動，規定如下：

一次性購物低于200元不打折，低于500元但不低于200元打九折，500元或超過500元的，

其中500元部分打九折，超過500元部分打八折.

（1）王老師一次性購物600元，求他實際付款多少元.

（2）若顧客在該超市一次性購物x元，當x小于500但不小于200時，他實際付款多少元；

當x大于或等于500時，他實際付款多少元（用含x的代數式表示）？

（3）如果王老師兩次購物貨款合計880元，第一次購物的貨款為a元（200＜a＜300），用

含a的代數式表示兩次購物王老師實際一共付款多少元？

走進重高

1.我們知道，用字母表示的代數式是具有一般意義的，下列賦予4a實際意義的例子中不正

確的是（）.

A.若4和a分別表示一個兩位數中的十位數字和個位數字，則4a表示這個兩位數

B.若正方形的邊長為a，則4a表示正方形的周長

C.若葡萄的價格是4元/千克，則4a表示買a千克葡萄的金額

D.若三角形的底邊長為3，面積為6a，則4a表示這邊上的高

2.下列說法中，正確的是（）.

A.2a是代數式，1不是代數式B.代數式

a

b?3

表示3-b除a

C.當x＝4時，代數式

10

4?x

的值為0D.零是最小的整數

3.當x＝3時，代數式ax2-3x-4的值為5，則字母a的值為.

4.【金華】對于兩個非零實數x，y，定義一種新的運算：x*y=ax+by.若1*（-1）＝2，則（-2）

*2的值是.

5.光明中學組織學生到距離學校9km的博物館參觀，學生小華因有事未能趕上校車，于是準

備在學校門口直接乘出租車去博物館，出租車的收費標準如下：

（1）若小華乘出租車的里程數為x（km）（x≥3），則所付車費為多少元（用含x的代數式

表示）？

（2）如果小華身上僅有25元錢，由學校乘出租車到博物館錢夠不夠？請說明理由.

6.如圖，正方形硬紙板的邊長為a，其4個角上剪去的小正方形的邊長為b（b＜

2

a

），這樣

可制作一個無蓋的長方體紙盒.

（1）這個紙盒的容積為（用含a，b的代數式表示）.

（2）當a＝10cm時，無蓋長方體盒子的容積因b值的變化而變化，請填寫下表：

（3）在（2）的條件下，選一個你喜歡的值，使所得到的無蓋長方體容積大于表格中四個容

積值.我的選擇：b＝.

（第6題）

高分奪冠

1.已知a，b，c，m都是有理數，且a+2b+3c＝m，a+b+2c＝m，那么b與c的關系是（）.

A.互為相反數B.互為倒數C.相等D.無法確定

2.把三張大小相同的正方形卡片A，B，C疊放在一個底面為正方形的盒底上，底面未被卡片

覆蓋的部分用陰影表示.若按圖1、圖2擺放，陰影部分的面積分別為S1和S2，則S1和S2的

大小關系是(）.

圖1圖2

（第2題）

A.S1=S2B.S1＜S2C.S1＞S2D.無法確定

3.如果（2x-1）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，那么a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=，a0+a2+a4+a6=．

5.歷史上的數學巨人歐拉最先把關于x的多項式用記號f(x）(f可用其他字母，但不同的字

母表示不同的多項式）的形式來表示，例如f(x）=x2+3x-5，把x等于某數時多項式的值用

f(某數）來表示.例如x=-1時多項式x2+3x-5的值記為f(-1）=(-1）2+3×(-1）-5=-7.已知

g(x）=-2x2-3x+1，h(x）=ax3+2x2-x-12.

(1）求g(-2）的值.

（2）若h?

?

?

?

?

?

2

1

=-11，求g(a）的值.

第九講整式

重點分析：

1.單項式：由數與字母或字母相乘組成的代數式叫做單項式，單獨的一個數或一個字母也是

單項式.單項式的系數：單項式中的數字因數叫做單項式的系數.單項式的次數：一個單項式

中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數.

2.多項式：由幾個單項式相加組成的代數式叫做多項式，其中每個單項式叫做多項式的項.

多項式的次數：多項式里，次數最高的項的次數就叫做這個多項式的次數，其中不含字母的

項叫做常數項.

3.整式：單項式、多項式統稱為整式.

難點分析：

多項式的降(升）冪排列就是根據加法交換律按某一字母的降(升）冪將各項交換位置，這種

排列只是使式子變形而不改變多項式的值.重新排列時要注意三點：一是變更項的位置時，

一定要連同符號一起移動；二是確定按照哪個字母的指數排列，一旦選定，中途不能更改；

三是確定按字母的降冪排列還是升冪排列.

把下列代數式的代號填在相應的橫線上：

(1）單項式：.(2）多項式：.

(3）整式：.(4）二項式：.

(5）三次多項式：.(6）非整式：.

要根據整式、單項式、多項式的概念和系數或次數的確定方法進行分類.

(1）單項式:(D），(E）.

(2）多項式:(A），(B），(C），(F），(G）.

(3）整式:(A），(B），(C），(D），(E），(F），(G）.

(4）二項式:(A），(C），(F）.

(5）三次多項式:(A），(G）.

(6）非整式:(H），(I）.

本題主要考查了整式、單項式、多項式等有關概念以及多項式次數的確

定.

代數式

a

ba?

=

2

a

+

2

b

，所以它是多項式；像

a

xy2

，3x2+

y

2

這種分母中

含有字母的代數式稱為分式.

已知多項式2x2+

5

2

x3+x-5x4-

3

1

.

（1）請指出該多項式是幾次幾項式，并寫出它的二次項、一次項和常數項.

（2）按要求把這個多項式重新排列：①按x的降冪排列.②按x的升冪排列.

（1）利用多項式的次數以及各項名稱和多項式的項數定義寫出即可.（2）

根據多項式的升冪、降冪排列，即可解答.

（1）該多項式是四次五項式，它的二次項是2x2，一次項是x，常數項是

-

3

1

.

（2）①按x的降冪排列為-5x4+

5

2

x3+2x2+x-

3

1

.

②按x的升冪排列為-

3

1

+x+2x2+

5

2

x3-5x4.

本題主要考查了多項式的定義，正確掌握多項式的系數與次數判定方法

及多項式的升冪、降冪排列方法是解題關鍵.

將一個多項式按其中一個字母降冪或升冪排列是易錯點，要注意是按哪

一個字母排列，升冪和降冪不要混淆.

觀察下列一串單項式的特點：xy，-2x2y，4x3y，-8x4y，16x5y，….

（1）按此規律寫出第9個單項式.

(2）試猜想第n個單項式為多少？它的系數和次數分別是多少？

（1）通過觀察可得：x的指數為n，y的指數為1，2的指數為n-1，當n

為偶數時，單項式系數為負數，當n為奇數時，單項式系數為正數.由此可解出本題.（2）根

據單項式的系數是單項式的數字因數，次數是所有字母指數的和解答即可．

（1）∵當n=1時，單項式為xy;

當n=2時，單項式為-2x2y;

當n=3時，單項式為4x3y;

當n=4時，單項式為-8x4y;

當n=5時，單項式為16x5y，

∴第9個單項式是29-1x9y，即256x9y．

（2）∵第n個單項式中，x的指數為n，y的指數為1，2的指數為n-1，當n為奇數時，單

項式的系數為正，當n為偶數時，單項式的系數為負，

∴當n為奇數時的單項式為2n-1xny，當n為偶數時的單項式為-2n-1xny．

∴第n個單項式為（-1）n+12n-1xny．

它的系數是（-1）n+12n-1，次數是n+1．

本題考查的是單項式，根據題意找出這串式子的規律是解答本題的關

鍵．

題中單項式的系數是按一正一負的規律排列的，所以系數的符號可以用

-1的奇偶次冪來表示．

寫出一個三次四項式，滿足條件：①含有兩個字母；②每個字母的指數都不大于

2；③含有常數項.然后選出你所喜歡的一正一負兩個有理數作為字母的值代入求這個多項式

的值.

多項式中每個單項式叫做多項式的項，這些單項式中的最高次數就是這個

多項式的次數，而滿足這個條件的多項式有許多，因此本題答案不唯一.

本題答案不唯一，滿足條件的可為：a2b-a2+b-1.

令a=1，b=-1，則a2b-a2+b-1=12×(-1）-12-1-1=-1-1-1-1=-4.

即該多項式的值是-4.

本題考查多項式的性質，屬于開放題，答案不唯一，可以根據條件自由

發揮.

要注意寫出的這個三次四項式不要含有同類項.

已知代數式：①a2-2ab+b2；②（a-b）2.

（1）當a，b滿足（a-5）2+|ab-15|＝0時，分別求代數式①和②的值.

（2）觀察（1）中所求的兩個代數式的值，探索代數式a2-2ab+b2和（a-b）2有何數量關系，

并把探索的結果寫出來.

（3）利用你探索出的規律，求128.52-2×128.5×28.5+28.52的值.

（1）由非負數的性質知a＝5，ab＝15，可得b＝3，再分別代入計算可得

代數式的值.（2）根據（1）中所得兩式的結果可得答案.（3）利用所得規律a2-2ab+b2＝（a-b）

2計算可得答案.

（1）∵（a-5）2+|ab-15|＝0，∴a＝5，ab＝15.∴b＝3.

∴①a2-2ab+b2＝52-2×5×3+32＝4；

②（a-b）2＝（5-3）2＝4.

（2）由（1）知a2-2ab+b2＝（a-b）2.

（3）128.52-2×128.5×28.5+28.52＝（128.5-28.5）2＝1002＝10000.

本題主要考查代數式求值，解題的關鍵是根據非負數的性質求得a，b

的值及代數式求值.

題（3）實際上是利用公式進行簡便計算，要注意區分a，b分別代表的

數.

已知代數式ax5+bx3+3x+c，當x=0時，該式的值為-1．

（1）求c的值.

(2）已知當x=1時，該式的值為-1，試求a+b+c的值.

(3）已知當x=3時，該式的值為-10，試求當x=-3時該式的值.

(4）在第（3）題的已知條件下，若有3a=5b成立，試比較a+b與c的大小．

（1）將x=0代入代數式求出c的值即可.(2）將x=1代入代數式即可求出

a+b+c的值.(3）將x=3代入代數式求出35a+33b的值，再將x=-3代入代數式，變形后將35a+33b

的值代入計算即可求出該代數式的值.(4）由35a+33b的值，變形得到27a+3b=-2，將3a=5b

代入求出a的值，進而求出b的值，確定出a+b的值，與c的值比較大歇オ

（1）把x=0代入代數式ax5+bx3+3x+c，得到c=-1．

（2）把x=1代入代數式ax5+bx3+3x+c，得到a+b+3+c=-1，∴a+b+c=-4．

（3）把x=3代入代數式ax5+bx3+3x+c，得到35a+33b+9+c=-10，

即35a+33b=-10+1-9=-18.

當x=-3時，原式=-35a-33b-9-1=-（35a+33b）-10=18-10=8．

（4）由（3）得35a+33b=-18，即27a+3b=-2.

又∵3a=5b，即b=

5

3

a,∴27a+3×

5

3

a=-2．∴a=-

72

5

.∴b=

5

3

a=-

24

1

．

∴a+b=-

72

5

-

24

1

=-

9

1

＞-1．∴a+b＞c．

本題考查了代數式求值，利用了整體代入的思想，熟練掌握運算法則是

解題的關鍵．

注意多項式各項的系數都包含前面的符號，求值計算時要關注符號，不

要遺漏或錯用符號．

觀察下列等式：

第1個等式：a

1

=

31

1

?

=

2

1

×?

?

?

?

?

?

?

3

1

1；

第2個等式：a

2

=

53

1

?

=

2

1

×?

?

?

?

?

?

?

5

1

3

1

；

第3個等式：a

3

=

75

1

?

=

2

1

×?

?

?

?

?

?

?

7

1

5

1

；

第4個等式：a

4

=

97

1

?

=

2

1

×?

?

?

?

?

?

?

9

1

7

1

；

…

請解答下列問題：

(1）按以上規律列出第5個等式：a

5

==.

(2）用含有n的代數式表示第n個等式：a

n

==(n為正整數）.

(3）求a1+a2+a3+a4+…+a

100

的值.

(1）(2）通過觀察可知，第一個等號后面的式子的規律是：分子不變，為1；分母是兩個連

續奇數的乘積，它們與式子序號之間的關系為序號的2倍減1和序號的2倍加1.(3）運用變

化規律計算即可.

本題考查尋找式子的變化規律并運用規律進行計算.

正確找出式子的變化規律是關鍵，注意兩點：找出各等式中變化的和不

變的部分；找出變化的部分與等式序號之間的對應關系.

拓展訓練

A組

1.關于單項式ab2c的系數和次數，下列說法中正確的是(）.

A.系數為0，次數為2B.系數為0，次數為4

C.系數為1，次數為2D.系數為1，次數為4

2.在-3,π-2,

2

2

x

,-

2

1

xn

,-

2

1?a

這五個代數式中，單項式的個數為(）.

A.2B.3C.4D.5

3.下列說法中，正確的是（）.

A.-

5

2xy

的系數是-2B.x2+x-1的常數項是1

C.22ab3的次數是6次D.2x-5x2+7是二次三項式

4.(1）單項式-

2

22yx?

的系數是，次數是；多項式3xy3-xy+4x+6是

次項式，其中二次項系數是.

(2）單項式-2ab2的系數是，次數是；x+

x

1

+3(填“是”或“不是”）

多項式.

(3）單項式-22x3y2的系數為，次數為；-

5

22xa?

的系數為，次數

為；mn的系數為，次數為.

5.寫出一個關于字母a，b的單項式，且該單項式的次數為5，系數的絕對值小于4，該單項

式可以為．

6.5x3-4x2y+2y3-3xy2+5y4按y的升冪排列應是.

7.把下列代數式分別填入下表適當的位置：

3a，

a

3

，

2

ba?

，

a

，5，-xy，a2-2ab+1.

8.已知（3m-4）x3-（2n-3）x2+（2m+5n）x-6是關于x的多項式.

（1）當m，n滿足什么條件時，該多項式是關于x的二次多項式.

（2）當m，n滿足什么條件時，該多項式是關于x的三次二項式.

9.設f(x）=ax7+bx3+cx-5，其中a，b，c為常數，已知f(-7）=7，求f(7）的值.

10.如圖，一個長方形運動場被分隔成A，B，A，B，C共5個區，A區是邊長為a（m）的

正方形，C區是邊長為b（m）的正方形.

（第10題）

（1）列式表示每個B區長方形場地的周長，并將式子化簡.

（2）列式表示整個長方形運動場的周長，并將式子化簡.

（3）如果a＝20，b＝10，求整個長方形運動場的面積.

(第11題）

11.如圖，將連續奇數1，3，5，7，…排成數表，觀察十字框內5個數，探索這五個數之間

的規律，解答下面的問題：

(1）設十字框中間的數為a，則用含a的式子表示十字框內5個數的和為.

(2）十字框內5個數的和能等于2020嗎？若能，請求出框內5個數；若不能，請說明理由.

(3）十字框內5個數的和能等于2025嗎？若能，請求出框內5個數；若不能，請說明理由.

B組

12.若關于x，y的多項式2x2+mx+5y-2nx2-y+5x+7的值與x的取值無關，則m+n等于（）.

A.-4B.-5C.-6D.6

13.同時含有字母a，b，c且系數為1的五次單項式有(）.

A.1個B.3個C.6個D.9個

14.有一個多項式為a8-a7b+a6b2-a5b3+…，如果按照規律寫下去，那么這個多項式的第八項

是.

15.觀察下列各式：x+1，x2+4，x3+9，x4+16，x5+25，…，按此規律寫下去，則第n個式子

是．

16.請你做評委：在一堂數學活動課上，在同一合作學習小組的小明、小亮、小丁、小彭對

剛學過的知識發表了自己的一些感受：

小明說：“絕對值不大于4的整數有7個.”

小亮說：“當m=3時，代數式3x-y-mx+2中不含x的項.”

小丁說：“若｜a｜=3，｜b｜=2，則a+b的值為5或1.”

小彭說：“多項式-2x+x2y+y3是三次三項式.”

你覺得他們的說法正確嗎？若不正確，請幫他們修正，寫出正確的說法.

17.已知有理數a，b，c在數軸上的位置如圖，試化簡｜b｜+b+2-｜c｜+｜a-1｜+｜c-a｜.

(第17題）

18.下表中的字母都是按一定規律排列的.

我們把某格中的字母的和所得多項式稱為“特征多項式”，例如第1格的“特征多項式”為

6x+2y，第2格的“特征多項式”為9x+4y，根據規律回答下列問題：

（1）第3格的“特征多項式”為，第4格的“特征多項式”為，第n格的“特征多項式”

為（n為正整數）.

（2）求第6格的“特征多項式”與第5格的“特征多項式”的差．

走進重高

1.多項式3x2+xy-

5

1

xy2的次數是（）.

A.2B.1C.3D.4

2.下列結論中，正確的是（）.

A.單項式32ab2c的次數是4

B.單項式-

5

22nm?

的系數是-

5

2

C.多項式x2-y的次數是3

D.多項式5x3-2x2+1中，第二項是2x2

3.當m＝1時，代數式am3+bm+6的值是2019，那么當m＝-1時，代數式am3+bm+6的值是.

4.觀察下面的一列單項式：-2x，4x3，-8x5，16x7，…，根據你發現的規律，第n個單項式

為.

5.如圖是有關x的代數式的方陣，若第10行第2項的值為1034，則此時x的值為．

…

（第5題）

6.如圖，某種窗戶由上下兩部分組成，其上部是用木條圍成的半圓形，且半圓內部用了三根

等長的木條分隔，下部是用木條圍成的邊長相同的四個小正方形，木條寬厚不計，已知下部

的小正方形的邊長為a（m）.

（1）用含a的代數式分別表示窗戶的面積和木條用料（實線部分）的總長.

（2）若a＝1，窗戶上安裝的是玻璃，玻璃每平方米25元，木條每米20元，求制作這扇窗

戶需要多少元？（π取3，結果精確到個位）

（第6題）

高分奪冠

1.有一列數a1，a2，a3，a4，a5，…，an，其中a1=5×2+1，a2=5×3+2，a3=5×4+3，a4=5×5+4，

a5=5×6+5，…，當an=2021時，n的值等于(）.

A.2020B.2021C.402D.336

2.已知(a-1）x2ya+1是關于x，y的五次單項式，試求整式的值：

①a2+2a+1;②(a+1）2.

由①②的計算結果你發現了什么結論？任意

3.已知多項式mx4+（m-2）x3+（2n+1）x2-3x+n不含x2和x3的項，請寫出這個多項式，再求

當x=-1時該多項式的值．

4.已知整式P=x2+x-1，Q=x2-x+1，R=-x2+x+1，若一個次數不高于二次的整式可以表示為

aP+bQ+cR（其中a，b，c為常數），則可以進行如下分類：

①若a≠0，b=c=0，則稱該整式為“P類整式”；

②若a≠0，b≠0，c=0，則稱該整式為“PQ類整式”；

③若a≠0，b≠0，c≠0，則稱該整式為“PQR類整式”．

（1）模仿上面的分類方式，請給出“R類整式”和“QR類整式”的定義：

若，則稱該整式為“R類整式”；

若，則稱該整式為“QR類整式”.

（2）例如x2-5x+5為“PQ類整式”：

∵-2P+3Q=-2（x2+x-1）+3（x2-x+1）=-2x2-2x+2+3x2-3x+3

=x2-5x+5,

即x2-5x+5=-2P+3Q，

∴x2-5x+5是“PQ類整式”．

根據上面的例子，解答下面問題：

x2+x+1是哪一類整式？請通過列式計算說明.

（3）試說明4x2+11x+2020是“PQR類整式”，并求出相應的a，b，c的值．

第十講整式的加減

重點分析：

1.同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項.這兩個條件缺一不可，但同類

項與字母的順序無關，與系數無關.

2.合并同類項：把同類項的系數相加，所得的結果作為系數，字母及字母的指數不變.

3.去括號法則：括號前面是“+”號，去掉“+”號和括號，括號里各項不變號；括號前面是

“-”號，去掉“-”號和括號，括號里各項的符號都要變為相反的符號.

難點分析：

1.去括號的實質是乘法分配律.

2.代數式的值與某個字母無關是指含該字母的項的系數為0.

下列各組中的兩項哪些是同類項？

(1）-2m2n與-

3

2

m2n.(2）x2y3與-

2

1

x3y2.(3）5a2b與5a2bc.

(4）23a2與32a2.(5）3p2q與-qp2.(6）53與-33.

判斷同類項要抓住“兩同”：即字母相同，相同字母的指數相同.

(1）(4）(5）(6）是同類項.(2）(3）不是同類項.

判斷是否是同類項時先判斷字母是否相同，再判斷相同字母的指數是否

相同.

同類項與項的系數和字母的排列順序無關，常數項都是同類項.

先去括號，后合并同類項：

(1）x+［-x-2(x-2y）］.(2）

2

1

a-a+

3

2

b2+3-

2

1

a+

3

1

b2.

(3）2a-(5a-3b）+3(2a-b）.(4）-3{-3［-3(2x+x2）-3(x-x2）-3］}.

去括號時注意去括號后符號的變化，然后找出同類項，根據合并同類項的

法則，即系數相加作為系數，字母和字母的指數不變.

(1）原式=x-x-2x+4y=-2x+4y.

(2）原式=

2

1

-a-

3

2

b2-

2

3

a+b2=-2a+

3

1

b2.

(3）原式=2a-5a+3b+6a-3b=3a.

(4）原式=-3［9(2x+x2）+9(x-x2）+9］=-27［(2x+x2）+(x-x2）+1］=-27(3x+1）=-81x-27.

解本題的關鍵是注意去括號時符號的變化，并且不要漏乘.有多個括號

時一般按照先去小括號、再去中括號、最后去大括號的順序.

具體解題時要注意觀察算式的特點，選擇合理的去括號順序，可使計算

簡便.

已知a，b為常數，且4xy2,axyb,-5xy三個單項式相加得到的和仍然是單項式.那

么a和b的值可能是多少？說明你的理由.

因為4xy2,axyb,-5xy相加得到的和仍然是單項式，它們y的指數不盡相同，

所以這幾個單項式中有兩個為同類項.故可分情況討論從而求出a和b可能的值.

若axyb與-5xy為同類項，則b=1.這兩個式子相加后再加4xy2仍是單項式，

說明這兩個式子相加得0，所以a=5；

若4xy2與axyb為同類項，則b=2.這兩個式子相加后再加-5xy仍是單項式，說明這兩個

式子相加得0，所以a=-4.

綜上可知a，b的值可能為a=5,b=1或a=-4,b=2.

本題考查的知識點是同類項及整式的加減.本題中三個單項式相加得到

的和仍然是單項式，而y的指數不盡相同，所以這幾個單項式中有兩個為同類項，并且相加

得0.

在整式的加減中，只有同類項才可以合并，當兩個單項式相加的和仍是

單項式時，說明這兩個單項式是同類項.

化簡或化簡求值：

(1）3(x2-2xy）-［3x2-2y-2(3xy+y）］.

(2）已知A=3a2+b2-5ab，B=2ab-3b2+4a2，先求-B+2A，并求當a=-

2

1

，b=2時，-B+2A的值.

(3）有這樣一道計算題：“計算(2x3-3x2y-2xy2）-(x3-2xy2+y3）+(-x3+3x2y-y3）的值，其中

x=

2

1

,y=-1”，甲同學把x=

2

1

錯看成x=-

2

1

，但計算結果仍正確，你能說明是什么原因嗎？

(1）先去括號，然后合并同類項得出最簡整式.(2）先將-B+2A所表示的整

式化為最簡，然后代入a和b的值即可得出答案.(3）將整式化簡可得出最簡整式不含x的

項，由此可得為什么計算結果仍正確.

(1）原式=3x2-6xy-(3x2-2y-6xy-2y)

=3x2-6xy-3x2+2y+6xy+2y=4y.

(2）-B+2A=-(2ab-3b2+4a2）+2(3a2+b2-5ab）

=-2ab+3b2-4a2+6a2+2b2-10ab=2a2-12ab+5b2，

當a=-

2

1

，b=2時，原式=2×

2

2

1

?

?

?

?

?

?

?-12×?

?

?

?

?

?

?

2

1

×2+5×22=32.5.

(3）原式=2x3-3x2y-2xy2-x3+2xy2-y3-x3+3x2y-y3=-2y3.

因為化簡結果中不含x的項，所以原式的值與x的取值無關.

本題考查整式的化簡求值.化簡求值對運算的理解以及對運算技能的掌

握兩個方面，是中考的常見考點.

第(3）題中，甲同學把x=

2