高中數學必修2

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人教版高中數學必修2

第一章：空間幾何體

柱、錐、臺、球的結構特征

一、教學目標

1．知識與技能：〔1〕通過實物操作,增強學生的直觀感知.

〔2〕能根據幾何結構特征對空間物體進行分類.

〔3〕會用語言概述棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、棱臺、圓臺、球的結構特征.

〔4〕會表示有關于幾何體以與柱、錐、臺的分類.

2．過程與方法：

〔1〕讓學生通過直觀感受空間物體,從實物中概括出柱、錐、臺、球的幾何結構特征.

〔2〕讓學生觀察、討論、歸納、概括所學的知識.

3．情感態度與價值觀：

〔1〕使學生感受空間幾何體存在于現實生活周圍,增強學生學習的積極性,同時提高學生

的觀察能力.

〔2〕培養學生的空間想象能力和抽象括能力.

二、教學重點：讓學生感受大量空間實物與模型、概括出柱、錐、臺、球的結構特

征.

難點：柱、錐、臺、球的結構特征的概括.

三、教學用具

〔1〕學法：觀察、思考、交流、討論、概括.

〔2〕實物模型、投影儀.

四、教學過程

〔一〕創設情景,揭示課題

1、由六根火柴最多可搭成幾個三角形？〔空間：4個〕

2在我們周圍中有不少有特色的建筑物,你能舉出一些例子

嗎？這些建筑的幾何結構特征如何？

3、展示具有柱、錐、臺、球結構特征的空間物體.

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問題：請根據某種標準對以上空間物體進行分類.

〔二〕、研探新知

空間幾何體：多面體〔面、棱、頂點〕：棱柱、棱錐、棱臺；

旋轉體〔軸〕：圓柱、圓錐、圓臺、球.

1、棱柱的結構特征：

〔1〕觀察棱柱的幾何物體以與投影出棱柱的圖片,

思考：它們各自的特點是什么？共同特點是什么？

〔學生討論〕

〔2〕棱柱的主要結構特征〔棱柱的概念〕：

①有兩個面互相平行；②其余各面都是平行四邊形；③每相鄰兩上四邊形的公共邊互相

平行.

〔3〕棱柱的表示法與分類：

〔4〕相關概念：底面〔底〕、側面、側棱、頂點.

2、棱錐、棱臺的結構特征：

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〔1〕實物模型演示,投影圖片；

〔2〕以類似的方法,根據出棱錐、棱臺的結構特征,并得出相關的概念、分類以與表示.

棱錐：有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形.

棱臺：且一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐,底面與截面之間的部分.

3、圓柱的結構特征：

〔1〕實物模型演示,投影圖片——如何得到圓柱？

〔2〕根據圓柱的概念、相關概念與圓柱的表示.

4、圓錐、圓臺、球的結構特征：

〔1〕實物模型演示,投影圖片

——如何得到圓錐、圓臺、球？

〔2〕以類似的方法,根據圓錐、圓臺、球的結構特征,以與相關概念和表示.

5、柱體、錐體、臺體的概念與關系：

探究：棱柱、棱錐、棱臺都是多面體,它們在結構上有哪些相同點和不同點？三者的關

系如何？當底面發生變化時,它們能否互相轉化？

圓柱、圓錐、圓臺呢？

6、簡單組合體的結構特征：

〔1〕簡單組合體的構成：由簡單幾何體拼接或截去或挖去一部分而成.

〔2〕實物模型演示,投影圖片——說出組成這些物體的幾何結構特征.

〔3〕列舉身邊物體,說出它們是由哪些基本幾何體組成的.

〔三〕排難解惑,發展思維

1、有兩個面互相平行,其余后面都是平行四邊形的幾何體是不是棱柱？〔反例說明〕

2、棱柱的何兩個平面都可以作為棱柱的底面嗎？

3、圓柱可以由矩形旋轉得到,圓錐可以由直角三角形旋轉得到,圓臺可以由什么圖形旋轉

得到？如何旋轉？

〔四〕鞏固深化

練習：課本P7練習1、2；課本P8習題1.1第1、2、3、4、5題

〔五〕歸納整理：由學生整理學習了哪些內容

〔六〕課后思考題：

課本P8習題1.1B組第1、2、3題

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教學反思：

空間幾何體的三視圖〔2課時〕

一、教學目標

1．知識與技能：掌握畫三視圖的基本技能,豐富學生的空間想象力.

2．過程與方法：通過學生自己的親身實踐,動手作圖,體會三視圖的作用.

3．情感態度與價值觀：提高學生空間想象力,體會三視圖的作用.

二、教學重點：畫出簡單幾何體、簡單組合體的三視圖；

難點：識別三視圖所表示的空間幾何體.

三、學法指導：觀察、動手實踐、討論、類比.

四、教學過程

第一課時：簡單幾何體的三視圖

〔一〕創設情景,揭開課題

展示廬山的風景圖——"橫看成嶺側看成峰,遠近高低各不同",這說明從不同的角度看同

一物體視覺的效果可能不同,要比較真實反映出物體,我們可從多角度觀看物體.

〔二〕講授新課

1、中心投影與平行投影：

中心投影：光由一點向外散射形成的投影；

平行投影：在一束平行光線照射下形成的投影.

正投影：在平行投影中,投影線正對著投影面.

2、三視圖：

正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影,得到的投影圖；

側視圖：光線從幾何體的左面向右面正投影,得到的投影圖；

俯視圖：光線從幾何體的上面向下面正投影,得到的投影圖.

三視圖：幾何體的正視圖、側視圖和俯視圖統稱為幾何體的三視圖.

三視圖的畫法規則：長對正,高平齊,寬相等.

長對正：正視圖與俯視圖的長相等,且相互對正；

高平齊：正視圖與側視圖的高度相等,且相互對齊；

寬相等：俯視圖與側視圖的寬度相等.

3、畫長方體的三視圖：

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正視圖、側視圖和俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方和正上方觀察到有幾何體的

正投影圖,它們都是平面圖形.

長方體的三視圖都是長方形,正視圖和側視圖、側視圖和俯視圖、俯視圖和正視圖都各

有一條邊長相等.

4、畫圓柱、圓錐的三視圖：

5、思考：如圖分別是兩個幾何體的三視圖,請說出它們對應幾何體的名稱.

〔1〕

〔2〕

6、探究：畫出底面是正方形,側面是全等的三角形的棱錐的三視圖.

〔三〕鞏固練習

課本P15練習1、2；P20習題1.2[A組]2.

〔四〕歸納整理

請學生回顧發表如何作好空間幾何體的三視圖

〔五〕布置作業

課本P20習題1.2[A組]1.

教學反思

第二課時：簡單組合體的三視圖：

1、復習三視圖的概念與畫法：

〔1〕三視圖是利用物體的三個正投影來表現空間幾何體的方法,包括：正視圖、側視圖

和俯視圖.

〔2〕畫三視圖時,幾何體的側視圖和正視圖高度一樣,俯視圖與正視圖長度一樣,側視圖

與俯視圖寬度一樣,即長對正、寬相等、高平齊；側視圖在正視圖的右邊,俯視圖在正視圖的

下邊.

2、典例剖析

〔1〕畫出上、下底面都是正三角形,側面是全等的等腰梯形的棱臺的三視圖.

〔2〕畫出如圖所示幾何體的三社圖.

三視圖如下：

3、課堂練習：

課本P15練習3、4.

4、作業：

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畫出下列幾何體的三視圖：

〔1〕

〔2〕

教學反思：

空間幾何體的直觀圖

授課類型：新授課授課時間：第周年月日〔星

期〕

一、教學目標

1．知識與技能：〔1〕掌握斜二測畫法畫水平設置的平面圖形的直觀圖.

〔2〕采用對比的方法了解在平行投影下畫空間圖形與在中心投影下畫空間圖形兩種方

法的各自特點.

2．過程與方法：通過觀察和類比,利用斜二測畫法畫出空間幾何體的直觀圖.

3．情感態度與價值觀：提高空間想象力與直觀感受,體會對比在學習中的作用,感受幾何

作圖在生產活動中的應用.

二、教學重點、難點：用斜二測畫法畫空間幾何值的直觀圖.

三、學法指導：通過作圖感受圖形直觀感,并自然采用斜二測畫法畫空間幾何體的直

觀圖.

四、教學過程

〔一〕創設情景,揭示課題

投影展示幾何體〔長方體〕的圖片,設疑：怎樣畫物體的直觀圖？

〔二〕研探新知

例1、用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖.

〔1〕畫軸：??

???

????45,90YOXXOY；

〔2〕畫平行線：平行于x軸的線段長度不變,平行于y軸的線段為原來的一半；

〔3〕成圖：連結對應線段,擦去輔助線.

練習反饋：畫正方形的水平放置的直觀圖.

拓展：畫空間正方體的直觀圖.

例2、用斜二測畫法畫長、寬、高分別是4cm、3cm、2cm的長方體ABCD-A’B’C’D’

的直觀圖.

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〔1〕畫軸；〔2〕畫底面；〔3〕畫側棱；〔4〕成圖.

例3、如圖,已知幾何體的三視圖,用斜二測畫法畫出它的直觀圖.

探究：〔1〕如圖是一個獎杯的三視圖,想象出它的幾何結構特征,并畫出它的直觀圖.

〔2〕空間幾何體的三視圖和直觀圖能夠幫助我們從不同側面、不同角度認識幾何體的

結構,它們知有哪些特點？二者有何關系？

5．鞏固練習：課本P19練習1,2,3,4,5.

補充：根據斜二測畫法,畫出水平放置的正五邊形的直觀圖.

〔三〕歸納整理：學生回顧斜二測畫法的關鍵與步驟.

〔四〕作業：課本P20練習第4題；習題1.2[A組]第4題.

教學反思：

柱體、錐體、臺體的表面積

授課類型：新授課授課時間：第周年月日〔星期〕

一、教學目標

1、知識與技能

〔1〕通過對柱、錐、臺體的研究,掌握柱、錐、臺的表面積的求法.

〔2〕能運用公式求解柱體、錐體和臺體的表面積,并且熟悉臺體與柱體和錐體之間的轉

換關系.

2、過程與方法

〔1〕經歷幾何體的側面展開過程,感知幾何體的形狀.

〔2〕通過對照比較,理順柱體、錐體、臺體三者之間的面積的關系.

3、情感態度與價值觀：感受到幾何體面積的求解過程,對自己空間思維能力的影響,從而

增強學習的積極性.

二、教學重點：柱體、錐體、臺體的表面積的計算；

難點：錐體、臺體表面積公式的推導.

三、學法指導：通過閱讀教材,自主學習、思考、交流、討論和概括,通過剖析實物幾

何體感受幾何體的特征,從而更好地完成本節課的教學目標.

四、教學過程

〔一〕創設情境

正方體與長方體的表面積,以與它們的展開圖

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有什么關系？

結論：多面體的表面積就是各個面的面積之和,也就是展開圖的面積.

〔二〕探究新知

1、棱柱、棱錐、棱臺的表面積：

探究：棱柱、棱錐、棱臺的展開圖是什么？如何計算它們的表面積？

把多面體展成平面圖形,利用平面圖形求面積的方法,求其表面積.

例1、已知棱長為a,各面均為等邊三角形的四面體S—ABC,求

它的表面積.

分析：邊長為a的正三角形的面積2

4

3

2

3

2

1

aaaS???

?

,

所給幾何體為正四面體,其四個面為全等的等邊三角形,故其表

面積為234aSS??

?

.

2、圓柱、圓錐、圓臺的表面積：

探究：圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖是什么？如何計算它們的表面積？

圓柱的側面展開圖是一個矩形,如果圓柱的底面半徑為r,母線長為l,那么圓柱的底面面

積為2r?,側面面積為2rl?,因此,其表面積為2222()Srrlrrl???????.

圓錐的側面展開圖是一個扇形,如果圓錐的底面半徑為r,母線長為l,那么它的表面積為

2()Srrlrrl???????.

圓臺的側面展開圖是一個扇環,如果圓臺的上、下底面半徑分別為r

?

,r,母線長為l,那么

它的表面積為22()Srrrlrl???

????.

例2、如圖,一個圓臺形花盆盆口直徑為20,盆底直徑為15,

底部滲水圓孔直徑為15,盆壁長15.為了美化花盆的外觀,需要涂

油漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100個這樣的花盆需要多

少油漆？

分析：只需求出每一個花盆外壁的表面積,就可求出油漆的

用量,而花盆外壁的表面積等于花盆的側面面積加上底面面積,再減去底面圓孔的面積.

3、質疑答辯、排難解惑、發展思維

組織學生思考圓臺的表面積公式與圓柱與圓錐表面積公式之間的變化關系.

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〔三〕鞏固深化,反饋矯正

補充練習：1、已知圓錐的表面積為am2,且它的側面展開圖是一個半圓,則這個圓錐的

底面直徑為.

2、若長方體的三條棱長的比是1:2:3,全面積為88,則這三條棱的長分別是,對角線的

長為.

3、等邊圓柱的軸截面面積是S,則它的側面積是.

4、圓錐軸截面的頂角為120°,過頂點的截面三角形中,面積的最大值為2,則此圓錐的

側面積是.

5、圓錐母線長為4,過頂點的截面三角形面積最大值為43,則截面三角形頂角最大為.

6、把一個半圓卷成圓錐的側面,則圓錐母線間的最大夾角是.

7、將半徑為72的扇形OAB剪去小扇形OCD,余下的扇環面積為648π,將扇環圍成一

圓臺,兩底面半徑之差為6,則圓臺的上、下底面半徑分別為.

8、長方體AC

1

,若在A點有一只蜘蛛,C

1

處有一只蒼蠅,蜘蛛要盡快地到達C

1

捕獲蒼蠅,

問蜘蛛的最短路程是多少？

9、圓錐PO的底面半徑是1,母線長為3,M是底面圓周上任一點,從點M拉緊一條繩子,

環繞圓錐側面一周再回到M處,若使繩子最短,則它的長度應該是多少？

〔四〕課堂小結

本節課學習了柱體、錐體與臺體的表面積的結構和求解方法與公式.用聯系的關點看待

三者之間的關系,更加方便于我們對空間幾何體的了解和掌握.

〔五〕課后作業：P28,習題1.3,A組1、2.〔以上補充練習〕

教學反思：

柱體、錐體、臺體的體積

授課類型：新授課授課時間：第周年月日〔星期〕

一、教學目標

1、知識與技能

〔1〕通過對柱、錐、臺體的研究,掌握柱、錐、臺的體積的求法.

〔2〕能運用公式求解柱體、錐體和臺體的體積,并且熟悉臺體與柱體和錐體之間的轉換

關系.

2、過程與方法

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通過對照比較,理順柱體、錐體、臺體三者之間的體積的關系.

3、情感態度與價值觀：感受到幾何體體積的求解過程,對自己空間思維能力的影響,從而

增強學習的積極性.

二、教學重點：柱體、錐體、臺體的體積的計算；

難點：臺體體積公式的推導.

三、學法指導：通過閱讀教材,自主學習、思考、交流、討論和概括,通過剖析實物幾

何體感受幾何體的特征,從而更好地完成本節課的教學目標.

四、教學過程

〔一〕復習引入

問題：正方體、長方體、圓柱的體積公式是什么？它們之間有什么共同的特點？

3Va?

正方體

,

Vabc?

長方體

,2Vrh??

圓柱

；

它們的體積公式可以統一為V=Sh〔S為底面面積,h為高〕.

〔二〕講授新課

1、柱體的體積

一般柱體的體積也是V=Sh,其中S為底面面積,h為棱柱的高.

棱柱〔圓柱〕的高是指兩底面之間的距離,即從一底面上任意一點向另一個底面作垂線,

這點與垂足〔垂線與底面的交點〕之間的距離.

2、錐體的體積

圓錐的體積公式是

1

3

VSh?〔S為底面面積,h為高〕,它是同底等高的圓柱的體積的

1

3

.

棱錐的體積也是同底等高的棱柱體積的

1

3

,即棱錐的體積

1

3

VSh?〔S為底面面積,h為

高〕.

棱錐與圓錐的體積公式類似,都是底面面積乘高的

1

3

.

棱錐〔圓錐〕的高是指從頂點向底面作垂線,頂點與垂足〔垂線與底面的交點〕之間的

距離.

3、臺體的體積

由于圓臺〔棱臺〕是由圓錐〔棱錐〕截成的,因此可以利用兩個錐體的體積差,得到員臺

〔棱臺〕的體積公式：

1

()

3

VSSSSh

??

???,其中S

?

,S分別為上、下底面面積,h為圓臺

〔棱臺〕的高.

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圓臺〔棱臺〕的高是指兩個底面之間的距離.

4、比較柱體、錐體、臺體的體積公式之間存在的關系：

〔三〕例題分析

例：有一堆規格相同的鐵制〔鐵的密度是7.8g/cm3〕六角螺帽共重5.8g,已知底面是正

六邊形,邊長為12mm,內孔直徑為10mm,高為10mm,問這堆螺帽大約有多少個〔π取3.14,可

用計算器〕？

分析：六角螺帽表示的幾何體是一個組合體,在一個六棱柱中間挖去一個圓柱,因此它的

體積等于六棱柱的體積減去圓柱的體積.

注：求組合體的表面積和體積時,要注意組合體的結構特征,避免重疊和交叉等.

〔四〕鞏固深化、反饋矯正

補充練習：

1、圓柱的側面展開圖是邊長為2和4的矩形,則圓柱的體積是.

2、如果軸截面為正方形的圓柱的側面積為S,那么圓柱的體積等于〔〕

〔A〕

2

S

S〔B〕

2

SS

?

〔C〕

4

S

S〔D〕

4

SS

?

3、三棱錐的三條側棱兩兩垂直,三個側面的面積分別為6,4,3,則三棱錐的體積為.

4、棱臺的兩個底面面積分別是245cm2和80cm2,截得這個棱臺的棱錐的高為35cm,求這

個棱臺的體積.

5、一個圓柱形貯油桶,當它水平放置時,桶里油所在的軸弧恰好占桶的底面周長的

1

4

,那

么當油桶豎直放置時,油的高度和桶的高度的比值是.

6、將長為2πdm,寬為πdm的長方形紙片圍成一個容器〔不考慮底面,也不考慮粘接處〕,

立放于桌面上,下面四種方案中,容積最大的是〔〕

〔A〕直三棱柱〔B〕直四棱柱〔C〕高為πdm的圓柱〔D〕高為2πdm的圓柱

7、用一塊長2米寬1米的矩形木板,在底面兩直線的夾角為60的墻角處圍出一個直棱

柱形的谷倉,試問怎樣圍才能使谷倉的容積最大？求出谷倉容積的最大值.

〔五〕課堂小結

本節課學習了柱體、錐體與臺體的體積的結構和求解方法與公式.用聯系的關點看待三

者之間的關系,更加方便于我們對空間幾何體的了解和掌握.

〔六〕課后作業：

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P28,習題1.3,A組3、4,補充練習.

教學反思

球的體積和表面積

授課類型：新授課授課時間：第周年月日〔星期〕

一、教學目標

1、知識與技能：了解球的表面積和體積的計算公式,能利用所學公式解決一些簡單的與

球有關的面積與體積的問題.

2、過程與方法：通過對公式的應用,了解球體與正方體之間的內接與外切關系中邊長與

半徑的關系,并能利用它們的關系進行解題.

3、情感、態度與價值觀：通過球的有關公式的應用,提高空間思維能力和空間想象能力,

增強探索問題和解決問題的信心.

二、教學重點：了解球體的體積和表面積公式.

難點：應用球的體積和表面積公式解決有關問題.

三、教學過程

〔一〕介紹新知

1、球的體積：

設球的半徑為R,那么它的體積為3

4

3

VR??

球

,是以R為自變量的函數.

練習1：一個鋼球的直徑是5,則它的體積是.

練習2：一種空心鋼球的質量是142g,外徑是5cm,求它的內徑.〔鋼的密度是7.9g/cm2〕

2、球的表面積：

設球的半徑為R,那么它的表面積為24SR??,也是以R為自變量的函數.

練習3：〔1〕若球的表面積變為原來的2倍,則半徑變為原來的倍.

〔2〕若球半徑變為原來的2倍,則表面積變為原來的倍,體積變為原來的倍.

〔3〕若兩球表面積之比為1:2,則其體積之比是.

〔4〕若兩球體積之比是1:2,則其表面積之比是.

〔二〕典例分析

例1：已知圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,求證：

〔1〕球的體積等于圓柱體積的

2

3

；

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〔2〕球的表面積等于圓柱的側面積.

例2：長方體的一個頂點上三條棱長分別為3、4、5,且它的八個頂點都在同一球面上,

則這個球的表面積是.

結論：球的內接長方體的對角線長等于球的直徑.

〔三〕鞏固深化、反饋矯正

1、如果球的大圓周長是20πcm,那么它的表面積是.

2、若離球心距離為3cm的球截面的面積是4πcm2,那么這個球面的面積是.

3、半徑為R的球的內接正方體的體積為.

4、已知球內接正方體的表面積為S,那么球的體積等于.

5、正方形的內切球和外接球的體積的比為,表面積比為.

6、在球心同側有相距9cm的兩個平行截面,它們的面積分別為49πcm2和400πcm2,求球

的表面積.

7、已知過球面上A、B、C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半,且AB=BC=CA

=2,則球的表面積為.

8、一根細金屬絲下端掛著一個半徑為1的金屬球,將它沉入半徑為2的圓柱形容器內的

水中,現將金屬絲向上提升,當金屬球被提出水面時,客器內的水面下降了_______.

9、64個半徑為1的鐵球熔化后鑄成一個大球,則該大球的半徑為.

〔四〕課堂小結

本節課主要學習了球的體積和球的表面積公式,以與利用公式解決相關的球的問題.

〔五〕課后作業：補充練習

教學反思

第二章點、直線、平面之間的位置關系

平面

授課類型：新授課授課時間：第周年月日〔星期〕

一、教學目標：

1、知識與技能：利用生活中的實物對平面進行描述；掌握平面的表示法與水平放置的

直觀圖；掌握平面的基本性質與作用；培養學生的空間想象能力.

2、過程與方法：通過討論,對平面有了感性認識；歸納整理本節所學知識.

3、情感態度與價值觀：認識到我們所處的世界是一個三維空間,增強學習的興趣.

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二、教學重點：1、平面的概念與表示；

2、平面的基本性質：注意他們的條件、結論、作用、圖形語言與符號語言.

難點：平面基本性質的掌握與運用.

三、學法指導：通過閱讀教材,聯系身邊的實物思考、交流,師生共同討論等,從而較好

地完成本節課的教學目標.

四、教學過程

〔一〕實物引入、揭示課題

生活中常見的如黑板、平整的操場、桌面、平靜的湖面等等,都給我們以平面的印象,請

舉出更多例子.

問題：平面的含義是什么？

〔二〕研探新知

1、平面的含義

幾何里所說的"平面"是從一些物體中抽象出來的〔原始概念〕,平面是無限延展的.

2、平面的畫法與表示

問題：在平面幾何中,怎樣畫直線？

類比、遷移：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形,銳角

畫成450,橫邊長等于鄰邊的2倍長.

表示法：平面通常用希臘字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,

也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對的兩個頂點的大寫

字母來表示,如平面AC、平面ABCD等.

如果幾個平面畫在一起,當一個平面的一部分被另一個平面遮住時,應

畫成虛線或不畫.

平面內有無數個點,平面可以看成點的集合.

點A在平面α內,記作：A∈α；點B在平面α外,記作：B?α.

3、平面的基本性質：

〔1〕思考：如果直線l與平面α有一個公共點P,直線l是否在平面α內？

如果直線l與平面α有兩個公共點呢？

演示：把一把直尺邊緣上的任意兩點放在桌邊,可以看到,直尺的整個邊緣就落在了桌面

上.

歸納〔公理1〕：如果一條直線上的兩點在一個平面內,那么這條直線在此平面內.

DC

BA

α

·B

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符號語言：?????????lBAlBlA,,,.

公理1作用：判斷直線是否在平面內.

直線l在平面α內〔平面α經過直線l〕,記作：??l；

直線l在平面α外,記作：??l.

〔2〕實物演示：三腳架可以牢固地支撐照相機或測量用的平板儀.

自行車要放穩需幾個點？

歸納〔公理2〕：過不在一條直線上的三點,有且只有一個平面.

符號表示：A、B、C三點不共線?有且只有一個平面α,使A∈α、B∈α、C∈α.

公理2作用：確定一個平面的依據.

推論1：過一條直線和直線外一點確定一個平面.

推論2：兩條相交直線確定一個平面.

推論3：兩條平行直線確定一個平面.

〔3〕演示：長方體模型中,兩個平面的交線的含義.

思考：把一個三角板的一個角立在課桌上,三角板所在的平面與桌面所在的平面是否只

相交于一點B,為什么？

歸納〔公理3〕：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的

公共直線.

符號表示：P∈α∩β?α∩β=l,且P∈l.

公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據.

4、例題：用符號表示下列圖形中點、直線、平面

之間的位置關系：

分析〔1〕BaAal??????????,,；

〔2〕PlbPlabal????????,,,,????.

通過例子,讓學生掌握圖形中點、線、面的位置關系與符號的正確使用.

5、課堂練習：課本P43練習1、2、3、4；P51習題2.1A組1、2.

〔三〕課時小結：〔師生互動,共同歸納〕

〔1〕本節課我們學習了哪些知識內容？

〔2〕三個公理的內容與作用是什么？

〔3〕公理化方法：從一些原始概念〔基本概念〕和一些不加證明的原始命題〔公理〕

16/95

出發,運用邏輯推理,推導出其他命題和定理的方法.

〔四〕作業布置

〔1〕復習本節課內容；

〔2〕預習：同一平面內的兩條直線有幾種位置關系？

教學反思：

空間中直線與直線之間的位置關系

授課類型：新授課授課時間：第周年月日〔星期〕

一、教學目標：

1、知識與技能：了解空間中兩條直線的位置關系；理解異面直線的概念、畫法,培養學

生的空間想象能力；理解并掌握公理4、等角定理.

2、過程與方法：師生的共同討論與講授法相結合,讓學生在學習過程不斷歸納整理所學

知識.

3、情感態度與價值觀：感受掌握空間兩直線關系的必要性,提高學習興趣.

二、教學重點：異面直線的概念；公理4與等角定理.

難點：異面直線定義的理解.

三、學法指導：閱讀教材、思考、交流、概括,較好地完成本節課的教學目標.

四、教學過程

〔一〕創設情景、導入課題

問題1：同一平面內的兩條直線有幾種位置關系？空間中的兩條直線呢？

問題2：沒有公共點的兩條直線一定平行嗎？

問題3：沒有公共點的兩條直線一定在同一個平面內嗎？

觀察：如圖,長方體ABCD-A'B'C'D'中,線段A'B所在的直線與線

段C'C所在直線的位置關系如何？

舉例：舉出生活中類似的例子.

〔二〕講授新課

1、異面直線的定義：不同在任何一個平面內的兩條直線.

2、空間兩條直線的位置關系：

相交直線：同一平面內,有且只有一個公共點；

平行直線：同一平面內,沒有公共點；

共面直線

17/95

異面直線：不同在任何一個平面內,沒有公共點.

課堂練習1：正方體的棱所在的直線中,與直線A

1

B異面的有哪些？

答案：D

1

C

1

,CC

1

,B

1

C

1

,DD

1

,AD,CD.

課堂練習2：判斷下列命題是否正確,若正確,請簡述理由；若不正確,請舉出反例.

〔1〕沒有公共點的兩條直線是異面直線；

〔2〕互不平行的兩條直線是異面直線；

〔3〕分別在兩個平面內的兩條直線一定異面；

〔4〕一個平面內的直線與這個平面外的直線一定異面；

〔5〕分別與兩條異面直線都相交的兩條直線共面.

〔6〕分別與兩條異面直線都相交的兩條直線異面.

答案：〔1〕~〔6〕都錯,反例略.

異面直線直觀圖的畫法：

異面直線的判定：〔1〕既不相交也不平行的兩

條直線是異面直線.

〔2〕過平面外一點與平面內一點的直線,和平面內不經過該點的

直線是異面直線.

數學語言：,,,ABlBl????????直線AB與直線l是異面

直線.

探究：如圖是一個正方體的展開圖,如果將它還原為正方體,那么AB、CD、EF、GH這

四條線段所在的直線是異面直線的有對.

分析：AB與CD,AB與GH,EF與GH共3對.

3、平行公理：

引入：在同一平面內,如果兩條直線都與第三條直線平行,

那么這兩條直線互相平行.在空間中,是否有類似的規律？

觀察：如圖,長方體ABCD-A'B'C'D'中,BB'∥AA',DD'∥AA',

那么BB'與DD'平行嗎？

舉出現實中相應的例子〔如教室里的燈管〕.

歸納〔公理4〕：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

符號表示為：設a、b、c是三條直線,cacbba////,//?.

18/95

強調：公理4實質上是說平行具有傳遞性,在平面、空間這個性質都適用.

公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據.

4、等角定理：

引入：在同一平面內,如果一個角的兩邊與另一個的兩邊分別平行,那么這兩個角相等或

互補,能否推廣到空間？

觀察：如圖,長方體ABCD-A'B'C'D'中,∠ADC與A'D'C'、∠ADC與∠A'B'C'的兩邊分別

對應平行,這兩組角的大小關系如何？

∠ADC=∠A'D'C',∠ADC+∠A'B'C'=1800.

歸納〔等角定理〕：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行,

那么這兩個角相等或互補.

拓展：有關平面圖形的結論都可以推廣到空間中來嗎？試分別找出一個可以推廣和一

個不可以推廣的例子.〔如對邊相等的四邊形為平行四邊形,在平面圖形中成立,但在空間卻不

成立.〕

5、例題鞏固：

如圖,空間四邊形ABCD中,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的

中點,求證：四邊形EFGH是平行四邊形.

證明：連接BD,因為EH是三角形ABD的中位線,

所以EH//BD,且BDEH

2

1

?；同理FG//BD,且BDFG

2

1

?；

所以EH//FG,且EH=FG,所以四邊形EFGH為平行四邊形.

探究：如果再加上條件AC=BD,那么四邊形EFGH是什么圖形？〔菱形〕

拓展：若AC⊥BD,則四邊形EFGH又是什么圖形？〔矩形〕

〔三〕課堂練習：課本P48,練習1；P56習題2.1[A組]3,6.

〔四〕本節課學習了哪些內容？

1、異面直線的概念：不同在任何一個平面內的兩條直線,既不相交,也不平行,沒有公共

點.

2、空間兩條直線的位置關系：相交、平行、異面.

3、平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行〔平行線的傳遞性〕.

4、等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補.

〔五〕布置作業：導與練P34,基礎應用.

19/95

教學反思：

異面直線所成的角

授課類型：新授課授課時間：第周年月日〔星期〕

一、教學目標

1、知識與技能：理解并掌握異面直線所成的角的定義,熟記異面直線所成角的范圍,會

用平移轉換法求異面直線所成的角.

2、過程與方法：借助正方體、長方體這一主要載體,以師為主導,引導學生主動參與,探

究異面直線所成角的概念形成過程,以與角的求解與其所蘊含的轉化思想與化歸方法.

3、情感態度與價值觀：

〔1〕通過本節學習,培養學生不斷探索發現新知識的精神,滲透事物相互轉化和理論聯

系實際的辯證唯物主義觀點.

〔2〕培養學生的空間想象能力、分析問題、解決問題的能力以與邏輯推理能力,使學生

初步掌握將空間問題轉化為平面問題的數學思想.

二、教學重點：異面直線所成的角的定義、范圍與計算.

難點：空間平移點的選取與解題規范.

三、教學過程

〔一〕創設情景,引入新課

復習：1、異面直線的概念：不同在任何一個平面內的兩條直線,既不相交,也不平行,沒

有公共點.

2、空間兩條直線的位置關系：相交、平行、異面.

3、平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行〔平行線的傳遞性〕.

4、等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行,那么這兩個角

相等或互補.

問題1：正方體ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中,E為BC的中點,判斷直線A

1

C

1

、

B

1

C

1

、C

1

E、C

1

C與直線AB的位置關系.

說明：從位置關系一看,同為異面直線,但它們的相對位置卻是不同的,

說明僅用"異面"與考慮異面直線間的相對位置是不夠的.

問題2：用什么來刻畫兩條異面直線的相對位置呢？

提示：在平面幾何中,用"距離"來刻畫兩平行直線間的相對位置,用"角"來刻畫兩相交直

A

B

A

1B

11

D

1C

11

C

D

E

20/95

線間的相對位置.

問題3：一張紙中畫有兩條能相交的直線、〔但交點在紙外〕,現給你一副三角板和量角

器,限定不許拼接紙片,不許延長紙上的線段.問如何量出、所

成角的大小？其理論依據是什么？

學生動手操作.

問題4：能否將上述結論推廣到空間兩直線？

〔二〕新授課

1、異面直線所成角的定義〔學生類比問題3給出定義〕：

已知異面直線a、b,經過空間中任一點O作直線a'∥a、b'∥b,把a'與b'所成的銳角〔或

直角〕叫異面直線a與b所成的角〔夾角〕.

范圍：]

2

,0(

?

??.

思考：兩條異面直線所成角的大小是否隨空間任

意點O位置的不同而改變？

點O可任選,一般取特殊位置,如線段的中點或端

點.

2、探究：〔1〕如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直,那么,另一條直線是否也與

這條直線垂直？即a∥b,若a⊥c,則b⊥c？

〔成立,因為b、c所成的角與a、c所成的角相等,都是90°.〕

〔2〕垂直于同一條直線的兩條直線是否平行？

〔否,兩條直線可能相交、平行或異面.〕

2、例、習題剖析：

例1、在正方體ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中,求：

〔1〕A

1

B

1

與CC

1

所成的角；

〔2〕A

1

B與CC

1

所成的角；

〔3〕A

1

C

1

與BC所成的角；

〔4〕A

1

C

1

與D

1

C所成的角；

分析：〔1〕∵A

1

B//CC

1

--------找

∴

11

BBA?為A

1

B與CC

1

所成的角--------證

在△A

1

BB

1

中,???45

11

BBA；--------算

A

B

A

1B

1

D

1C

1

C

D

a

b

21/95

∴A

1

B與CC

1

所成的角為45o--------答

〔2〕???45

11

BBA；〔3〕???45

111

BCA；〔4〕???60

11

CBA.

這種求法就是利用平移將兩條異面直線轉化到同一個三角形中,通過解三角形來求解.

把這種方法叫做——平移法,其基本解題思路是"異面化共面,認定再計算",簡記為"找——證

——算——答".

變式一：〔07##卷〕如圖,在正方體ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中,E、F、G、H分別為AA

1

、AB、

BB

1

、BC

1

的中點,則異面直線EF與GH所成的角等于〔〕

〔A〕45°〔B〕60°〔C〕90°〔D〕120°

解：連接A

1

B,BC

1

,A

1

C

1

---------------------作

∵A

1

B//EF,BC

1

//GH

∴∠A

1

BC

1

為EF

1

與GH所成的角〔或其補角〕-----------證

在三角形A

1

BC

1

中,A

1

B=BC

1

=A

1

C

1

∴∠A

1

BC

1

=60°-----------算

∴異面直線EF與GH所成的角等于60°---------答

小結：求異面直線所成的角一般要有四個步驟：

〔1〕作圖：作出所求的角與題中涉與的有關圖形等；

〔2〕證明：證明所給圖形是符合題設要求的；

〔3〕計算：一般是利用解三角形計算得出結果.

〔4〕結論.

簡記為"作〔或找〕——證——算——答".

例2、長方體ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中,AA

1

=AB=2,AD=1,求異面直線A

1

C

1

與BD

1

所成角

的余弦值.

解：設A

1

C

1

與B

1

D

1

交于O,取B

1

B中點E,連接OE,

因為OE//D

1

B,所以∠C

1

OE或其補角,就是異面直線A

1

C

1

與BD

1

所

成的角或其補角.

在△C

1

OE中,

111

15

22

OCAC??,

22

1

113

221

222

OEBD?????,

2222

1111

112CEBCBE?????,

22/95

所以

222

222

11

1

1

53

()()(2)

5

22

cos

25

53

2

22

OCOECE

COE

OCOE

??

??

????

?

??

,

所以異面直線A

1

C

1

與BD

1

所成的角的余弦值為

5

5

.

變式2：〔05##卷〕如圖,長方體ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

中,AA

1

=AB=2,AD

=1,E、F、G分別是DD

1

、AB、CC

1

的中點,則異面直線A

1

E與GF所成的

角是__________.

變式3：在正四面體S—ABC中,SA⊥BC,E、F分別為SC、AB的中

點,那么異面直線EF與SA所成的角等于〔〕

〔A〕30°〔B〕45°〔C〕60°〔D〕90°

〔三〕課堂小結

1、異面直線所成角的定義、范圍與其求解.

2、求角的大小,常用"平移法"："作〔或找〕——證——算——答".

3、數學思想——化異面為共面,化空間為平面.這是我們學習空間幾何最常用到的數學

思想——轉化化歸思想.

〔四〕課后作業：

1、空間四邊形ABCD中,P、R分別是AB、CD的中點,且PR=

3

,AC

=BD=2,求AC與BD所成的角.

2、正方體ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中,M為AB的中點,N為BB

1

的中點,

求A

1

M與C

1

N所成角的余弦值.

3、課本P48第2題.

4、變式3題.

教學反思：

直線與平面平行的判定

授課類型：新授課授課時間：第周年月日〔星期〕

一、教學目標：

1、知識與技能：了解空間中直線與平面的位置關系,理解并掌握直線與平面平行的判定

A

C

B

S

E

F

A

C

B

D

R

P

AB

A

1

B

1

1C

1

C

D

M

N

D

E

G

F

D

1

D

C

1

B

1

A

1

C

B

A

23/95

定理,進一步培養學生觀察、發現的能力和空間想象能力.

2、過程與方法：學生通過觀察圖形,借助已有知識,得出空間中直線與平面的位置關系,

直線與平面平行的判定定理.

3、情感態度與價值觀：讓學生在發現中學習,培養空間問題平面化〔降維〕的思想,增強

學習的積極性.

二、教學重點：空間中直線與平面的位置關系,直線與平面平行的判定定理與應用.

難點：判定定理的應用,例題的證明.

三、學法指導：學生借助實例,通過觀察、類比、思考、探討,教師予以啟發,得出直線

與平面的位置關系,直線與平面平行的判定.

四、教學過程

〔一〕創設情景、導入課題

思考〔1〕一支筆所在的直線與一個作業本所在的平面,可能有幾種位置關系？

〔2〕如圖,線段A

1

B所在的直線與長方體的六個面所在平面有幾

種位置關系？

〔二〕直線與平面的位置關系

歸納：直線與平面有三種位置關系：

〔1〕直線在平面內——有無數個公共點,記作：

??a

；

〔2〕直線與平面相交——有且只有一個公共點,記作：Aa???；

〔3〕直線在平面平行——沒有公共點,記作：?//a.

直線與平面相交或平行的情況統稱為直線在平面外,可用??a來表示.

例1：下列命題中正確的個數是〔〕

〔1〕若直線l上有無數個點不在平面α內,則l//α；

〔2〕若直線l與平面α平行,則l與平面α內的任意一條直線都平行；

〔3〕如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行,那么另一條也與這個平面平行；

〔4〕若直線l與平面α平行,則l與平面α內的任意一條直線都沒有公共點；

〔5〕平行于同一平面的兩條直線互相平行.

〔A〕0〔B〕1〔C〕2〔D〕3

答案：B

課堂練習1：若直線a不平行于平面α,且??a,則下列結論成立的是〔〕

〔A〕α內的所有直線與a異面〔B〕α內不存在與a平行的直線

24/95

〔C〕α內存在唯一的直線與a平行〔D〕α內的直線與a都相交

答案：B

〔三〕直線與平面平行的判定

1、揭示問題：根據定義,判定直線與平面是否平行,只需判定直線與平面有沒有公共點.

但是,直線無限伸長,平面無限延展,如何保證直線與平面沒有公共點呢？

2、直觀感知,操作確認：

〔1〕轉動門扇：門扇轉動的一邊與門框所在的平面是否平行？

〔2〕觀察：將一本書平放在桌面上,翻動書的封面,封面邊緣所在的直線與桌面所在平面

具有什么樣的位置關系？

3、探究：〔1〕如右圖,直線a與平面α平行嗎？

〔2〕平面α外的直線a平行于平面α內的直線

b,直線a與平面α的位置關系如何？

4、歸納〔直線與平面平行的判定定理〕平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,

則該直線與此平面平行.

符號語言：???////,,ababa???.

作用：線線平行,則線面平行.

將直線與平面平行關系〔空間問題〕轉化為直線間平行關系〔平面問題〕.

5、感受生活中線面平行的例子：教室里日光燈與天花板,足球門的頂部與地面等.

6、直線與平面平行的判定方法：

〔1〕利用定義,說明直線與平面沒有公共點；

〔2〕利用判定定理,應用時的關鍵是在平面內找到與已知直線平行的直線.

7、思考：平行線有傳遞性,線面平行有傳遞性嗎？即以下命題是否成立？

〔1〕//,////abba???；〔2〕//,////aa?????.

說明：以上兩個命題都是假命題,線面平行沒有傳遞性.

課堂練習2：若,//aba??,則b與

?

的位置關系是.

答案：//b?或b??.

〔四〕定理的應用

例1、求證：空間四邊形相鄰兩邊中點的連線平行于經過另外兩邊所在的平面.

已知：如圖,空間四邊形ABCD中,E、F分別是AB、AD的中點.

25/95

求證：EF//平面BCD.

證明：連接BD,因為AE=EB,AF=FD,

所以EF//BD〔三角形中位線的性質〕,

因為EF?平面BCD,BD?平面BCD,

由直線與平面平行的判定定理得EF//平面BCD.

小結：要證明一條已知直線與一個平面平行,只要在這個平面內找出

一條直線與已知直線平行,就可斷定已知直線與這個平面平行.

變式1：如圖,空間四邊形ABCD中,E、F分別是AB、AD上的點,若

AEAF

EBFD

?,則EF與平面BCD的位置關系是.

答案：EF//平面BCD.

變式2：如圖,四棱錐A—DBCE中,底面DBCE為平行四邊形,F

為AE的中點,求證：AB//平面DCF.

分析：連接BE交CD于點O,則OF//AB〔中位線〕.

例2：如圖在正方體ABCD–A

1

B

1

C

1

D

1

中,E、F分別是棱BC、

C

1

D

1

的中點,求證：EF//平面BDD

1

B

1

.

分析：要證明線面平行,根據線面平行的判定定理,只需證明EF與平面BDD

1

B

1

內的一條

直線平行即可.

小結：1、證明線面平行可先證線線平行,但要注意"三條件"的說明,關鍵是找到面內的直

線.

2、證明線面平行的一般步驟是：〔1〕證線線平行；〔2〕說明

兩直線一條在面內,另一條在面外；〔3〕由判定定理得到結論.

變式3：如圖,正方體ABCD–A

1

B

1

C

1

D

1

中,E、F分別是對角

線A

1

D、B

1

D

1

的中點,證判直線EF分別與正方體六個面中的哪些

平面平行？并證明你的結論.

課堂練習3：1、如圖,長方體ABCD–A

1

B

1

C

1

D

1

中,

〔1〕與AB平行的平面是；

〔2〕與AA

1

平行的平面是；

〔3〕與AD平行的平面是.

2、如圖,正方體ABCD–A

1

B

1

C

1

D

1

中,E為DD

1

的中點,試判斷

26/95

BD

1

與平面AEC的位置關系,并說明理由.

〔五〕課堂總結

1、直線與平面的位置關系：相交,平行,直線在平面內.

2、直線與平面平行的判定：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,則該直線與此

平面平行.

3、證明線面平行的一般步驟是：〔1〕證線線平行；〔2〕說明兩直線一條在面內,另一條

在面外；〔3〕由判定定理得到結論.要注意"三條件"的說明,關鍵是找到面內的直線.

〔六〕布置作業：

課本P62習題2.2[A組]第3題,[B組]第1題；變式3題.導與練P40,1~11.

教學反思：

2.2.2平面與平面平行的判定

授課類型：新授課授課時間：第周年月日〔星期〕

一、教學目標：

1、知識與技能：了解空間中平面與平面的位置關系,理解并掌握平面與平面平行的判定

定理,進一步培養學生觀察、發現的能力和空間想象能力.

2、過程與方法：學生通過觀察圖形,借助已有知識,得出空間中平面與平面的位置關系,

平面與平面平行的判定定理.

3、情感態度與價值觀：讓學生在發現中學習,培養空間問題平面化〔降維〕的思想,增強

學習的積極性.

二、教學重點：空間中平面與平面的位置關系,平面與平面平行的判定定理與應用.

難點：判定定理的應用,例題的證明.

三、學法指導：學生借助實例,通過觀察、類比、思考、探討,教師予以啟發,得出平面

與平面的位置關系,平面與平面平行的判定.

四、教學過程

〔一〕平面與平面的位置關系

思考：〔1〕拿出兩本書,看作兩個平面,上下、左右移動和翻轉,它們之間的位置關系有幾

種？

〔2〕如圖,圍成長方體的六個面,兩兩之間的位置關系有幾種？

兩個平面的位置關系：

27/95

〔1〕兩個平面平行——沒有公共點,記作：??//；

〔2〕兩個平面相交——有且只有一條公共直線,記作：l????.

用圖形表示為：

畫兩個相互平行的平面時,要注意使表示平面的兩個平行四邊形的對應

邊平行.

探究：已知平面α、β,直線a、b,且??????ba,,//,則直線a與直線b具有怎樣的

位置關系？

拓展：若l????呢？

課堂練習1：如果三個平面兩兩相交,那么它們的交線有多少條？畫出圖形表示你的結

論.

〔二〕平面與平面平行的判定

1、觀察：三角板的一條邊所在直線與桌面平行,這個三角板所在平

面與桌面平行嗎？三角板的兩條邊所在直線分別與桌面平行,情況又如

何呢？

2、若一個平面內的所有直線都與另一個平面平行,那么這兩個平面

一定平行.

3、探究：〔1〕平面β內有一條直線與平面α平行,α、β平行嗎？

〔2〕平面β內有兩條直線與平面α平行,α、β平行嗎？

〔3〕平面β內有兩條相交直線與平面α平行,α、β平行嗎？

通過長方體模型,引導學生觀察、思考、交流,得出結論.

4、歸納〔兩個平面平行的判定定理〕：一個平面內的兩條交直線與

另一個平面平行,則這兩個平面平行.〖線不在多,相交就行.〗

符號語言：??????////,//,,,????baPbaba?.

作用：線面平行,則面面平行.

5、平面平行的傳遞性：如果平面α//平面β,平面β//平面γ,則平面α//平面γ.

課堂練習2：

1、判斷下列命題是否正確,正確的說明理由,錯誤的舉例說明：

〔1〕已知平面α,β和直線m,n,若,,//,//mnmn??????,則α//β；

28/95

〔2〕一個平面α內兩條不平行的直線都平行于另一個平面β,則α//β.

2、平面α與平面β平行的條件可以是〔〕

〔A〕α內有無窮多條直線都與β平行

〔B〕直線a//α,a//β,且直線a不在α內,也不在β內

〔C〕直線

a??

,直線b??,且//,//ab??

〔D〕α內的任何直線都與β平行

〔三〕定理的應用：

例1、已知正方體ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

,求證：平面AB

1

D

1

//平面C

1

BD.

分析：由AB

1

//DC

1

,得AB

1

//平面C

1

BD；AD

1

//BC

1

,得AD

1

//平面

C

1

BD,

證明：因為ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

為正方體,

所以D

1

C

1

//A

1

B

1

,D

1

C

1

=A

1

B

1

,

又AB//A

1

B

1

,AB=A

1

B

1

,所以DC//D

1

C

1

,DC=D

1

C

1

,所以D

1

C

1

BA為平行四邊形,

所以AD

1

//BC

1

,又

1

AD?平面C

1

BD,

1

BC?平面C

1

BD,

由直線與平面平行的判定定理得AD

1

//平面C

1

BD.

同理AB

1

//平面C

1

BD,又

11

ABADA?,所以平面AB

1

D

1

//平面

C

1

BD.

變式1：已知在正方體ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中,M、E、F、N分別是

A

1

B

1

、B

1

C

1

、C

1

D

1

、D

1

A

1

的中點.

求證〔1〕E、F、B、D四點共面；

〔2〕平面AMN//平面EFBD.

例2：求證：如果一個平面內的兩條相交直線分別與另一個平面

內的兩條相交直線平行,那么這兩個平面平行.

已知：

1212121122

,,,,,//,//aabbaaAabab?????????,

求證：α//β.

分析：由線線平行得線面平行,再得面面平行.

小結：面面平行的判定定理的實質就是一個平面內的兩條相

交直線分別與另一個平面內的兩條相交直線平行,本例可作為定理

29/95

使用.

變式2：已知四棱錐V—ABCD,四邊形ABCD為平行四邊形,E、F、G分別是AD、BC、

VB的中點,求證：平面EFG//平面VDC.

例3：如圖,α//β,A、C??

,B、D??,且A、B、C、D不共面,E、

F分別是AB、CD的中點,求證：EF//α,EF//β.

分析：欲證線面平行,可先證面面平行,再結合面面平行的定義

從而得證.

證明：連結AD,取AD的中點為G,連結EG,

因為E為AB的中點,所以EG為△ABD的中位線,所以EG//

BD,

因為EG?平面β,BD?平面β,所以EG//β.

連結GF,同理證得GF//β,又EG∩GF=G,

所以平面EGF//平面β,又EF?平面EGF,所以EF//β,同理

EF//α.

變式3：如圖,在正方體ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中,M、N分別是A

1

D

1

、

A

1

B

1

的中點,在該正方體中作出與平面AMN平行的平面,并證明你的

結論.

〔四〕歸納整理、整體認識

1、平面與平面的位置關系：相交,平行；

2、平面與平面平行的判定：一個平面內的兩條交直線與另一個

平面平行,則這兩個平面平行.

3、面面平行的判定定理的實質就是一個平面內的兩條相交直線分別與另一個平面內的

兩條相交直線平行.

〔五〕布置作業：

課本第61頁習題2.2[A組]第7、8題；變式3題；導與練P44,1~11.

教學反思：

直線與平面平行的性質

授課類型：新授課授課時間：第周年月日〔星期〕

一、教學目標：

30/95

1、知識與技能：掌握直線與平面平行的性質定理與其應用.

2、過程與方法：學生通過觀察與類比,借助實物模型理解性質與應用.

3、情感態度與價值觀：進一步提高學生空間想象能力、思維能力；體會類比的作用；

滲透等價轉化的思想.

二、教學重點：直線與平面平行的性質定理的理解.

難點：直線與平面平行的性質定理的證明與正確運用.

三、學法指導：學生借助實物,通過類比、交流等,得出性質與基本應用.

四、教學過程

〔一〕創設情景、引入新課

復習：直線與平面平行的判定定理：???////,,ababa???.

思考：〔1〕如果一條直線與一個平面平行,那么這條直線與這個平面內的直線有哪些位

置關系？

〔2〕教室內日光燈管所在的直線與地面平行,如何在地面上作一條直線與燈管所在的直

線平行？

〔二〕研探新知

問題1：命題"若直線a平行于平面α,則直線a平行于平面α內的一切直線"對嗎？

直線會與平面內哪些直線平行呢？

問題2：在上面的論述中平面α的直線b滿足什么條件時可以與直線a平行？

沒有公共點——共面〔平行〕.

歸納〔直線與平面平行的性質定理〕：一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平

面與此平面的交線與該直線平行.

符號語言：babaa//,,//????????.

證明：因為b????,所以??b,

因為?//a,所以a與b沒有公共點,又因為????ba,,所以a//b.

簡記為：線面平行則線線平行.作用：利用該定理可解決直線間的平行問題.

〔三〕例題剖析

例1、如圖所示的一塊木料中,棱BC平竽于面CA

??

.

〔1〕要經過面CA

??

內的一點P和棱BC將木料鋸開,應怎樣畫線？

31/95

〔2〕所畫的線與平面AC是什么位置關系？

分析：〔1〕經過木料表面CA

??

內的一點P和棱BC將木料鋸開,實際上是經過BC與BC

外一點P作截面,也就是找出平面與平面的交線.可以由直線與平面平行的性質定理和公理4、

公理2作出.

〔2〕由于所作的直線EF平行于BC,所以所畫的線EF與平面AC平行,

而BE、CF則與平面AC相交.

例2、已知平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個平面,求證：另

一條也平行于這個平面.

已知：???//,//,,ababa??,求證：?//b.

證明：過直線a作平面β交平面α于直線c,因為caa???????,,//,

所以a//c,因為a//b,所以b//c,又因為????bc,,所以?//b.

說明：線線平行?線面平行,轉化是立體幾何的一種重要的思想方法.

變式：求證：如果一條直線和兩個相交平面都平行,那么這條直線和它們的交線平行.

已知：,//,//laa?????,

求證：a//l.

分析：利用線面平行的性質定理.

證明：過a作平面?交

?

于b,因為//a?,所以a//b,

過a作平面?交平面?于c,因為//a?,所以a//c,所以b//c.

又因為b??且c??,所以//b?,

由于平面

?

過b交?于l,所以b//l,又a//b,所以a//l.

〔四〕課堂練習

1、判斷下列命題的真假：

〔1〕??//,//abba??；〔〕〔2〕baba////,//???；〔〕

〔3〕??////,//abba?；〔〕〔4〕baba//,//????；〔〕

〔5〕過平面外一點和這個平面平行的直線只有一條.〔〕

2、填空：

32/95

〔1〕若兩直線a、b異面,且a//α,則b與α的位置關系可能是.

〔2〕若兩直線a、b相交,且a//α,則b與α的位置關系可能是.

3、長方體ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中,點

1

PBB?〔異于B、B

1

〕,

1

PABAM?,

1

PCBCN?,

求證：MN//平面ABCD.

〔五〕歸納小結

證明線面平行的轉化思想：

要證a//α,通過構造過直線a的平面β與平面α相交于直線

b,只要證明a//b即可.

線線平行?線面平行?面面平行〔〔1〕平行公理；〔2〕

三角形中位線；〔3〕平行線分線段成比例；〔4〕相似三角形對應

邊成比例；〔5〕平行四邊形對邊平行.〕

〔六〕布置作業：

課本P61,習題2.2[A組]第5,6題；[B組]第2題；導與練P47,1~11.

教學反思：

2.2.4平面與平面平行的性質

授課類型：新授課授課時間：第周年月日〔星期〕

一、教學目標

1、知識與技能：掌握兩個平面平行的性質定理與其應用.

2、過程與方法：學生通過觀察與類比,借助實物模型理解性質與應用.

3、情感態度與價值觀：進一步提高學生空間想象能力、思維能力,體會類比的作用,滲

透等價轉化的思想.

二、教學重點：平面與平面平行的性質定理的理解.

難點：面面平行性質定理的證明與正確應用.

三、學法指導：學生借助實物,通過類比、交流等,得出性質與基本應用.

四、教學過程

〔一〕創設情景,揭示課題

復習：兩個平面平行的判定定理：??????////,//,,,????baPbaba?.

相關性質：1、若兩個平面平行,那么一個平面內的任意一條直線都和另一個平面平行.

2、平行于同一個平面的兩個平面平行.

33/95

問題1：若兩個平面平行,則一個平面內的直線與另一個平面內的直線具有什么位置關

系？

學生借助長方體模型思考、交流得出結論：異面或平行.

問題2：分別在兩個平行平面內的兩條直線滿足什么條件時平行？〔共面〕

問題3：長方體中,平面ABCD內哪些直線會與直線DB

??

平

行？怎么樣找到這些直線？

〔平面ABCD內的直線只要與DB

??

共面即可〕

〔二〕研探新知

例1、如圖,已知平面α、β、γ滿足ba??????????,,//,

求證：a//b.

證明：因為ba????????,,所以????ba,,又因為??//,

所以a,b沒有公共點,又因為a,b同在平面γ內,所以a//b.

歸納〔兩個平面平行的性質定理〕如果兩個平面同時與第三個平面

相交,那么它們的交線平行.

符號語言：baba//,,//???????????.

可以由平面與平面平行得出直線與直線平行.

課堂練習1：判斷下列命題是否正確.

〔1〕如果a,b是兩條直線,且a//b,那么a平行于經過b的任何平面.

〔2〕如果直線a和平面α滿足a//α,那么a與α內的任何直線平行.

〔3〕如果直線a,b和平面α滿足a//α,b//α,那么a//b.

〔4〕如果直線a,b和平面α滿足a//b,a//α,b??,那么b//α.

例2、求證：夾在兩個平行平面間的平行線段相等.

已知：??????????DBCACDAB,,,,//,//,求證：

AB=CD.

證明：因為AB//CD,所以過AB、CD可作平面γ,且平面γ與

平面α和β分別相交于AC和BD,因為α//β,所以BD//AC,因此,四邊形

ABDC是平行四邊形,所以AB=CD.

變式1：如圖,α//β//γ,直線a與b分別交α,β,γ于點A、B、C和點D、

34/95

E、F,求證：

EF

DE

BC

AB

?.

例3：如圖,ABCD與BAFE是兩個全等的正方形,點M在AC上,點N在FB上,AM=FN,

求證：MN//平面BCE.

變式2：如圖,P為平行四邊形ABCD所在平面外一點,M、N分

別是AB、PC的中點,平面PAD平面PBC=l.

〔1〕求證：BC//l；

〔2〕MN與平面PAD是否平行？試證明你的結論.

〔三〕歸納小結

1、平面與平面平行的幾條性質：

〔1〕性質定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交,那么

它們的交線平行.

符號語言：baba//,,//???????????.

〔2〕兩個平面平行,其中一個平面內的直線必平行于另一個平面.

〔3〕夾在兩個平行平面間的平行線段相等.

〔4〕經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.

2、通過對性質定理的學習,大家應注意些什么？

3、本節課涉與到哪些主要的數學思想方法？

〔五〕布置作業：

課本第63頁習題2.2[B組]第3題；變式2題；導與練P50,1~11.

教學反思：

直線與平面垂直的判定與性質

授課類型：新授課授課時間：第周年月日〔星期〕

一、教學目標

1、知識與技能〔1〕掌握直線和平面垂直的定義與判定定理、性質定理；

〔2〕掌握判定直線和平面垂直的方法；掌握直線和平面垂直的性質.

〔3〕培養學生的幾何直觀能力,使他們在直觀感知,操作確認的基礎上學會歸納、概括結

論.

2、過程與方法〔1〕感受直線和平面垂直的定義的形成過程；

〔2〕探究判定直線與平面垂直的方法.

35/95

3、情感態度與價值觀：培養學生學會從"感性認識"到"理性認識"過程中獲取新知.

二、教學重點、難點：直線與平面垂直的定義和判定定理的探究.

三、教學設計

〔一〕創設情景,揭示課題

舉例：旗桿與地面,大橋的橋柱和水面等的位置關系.

模型演示：直棱柱的側棱與底面的位置關系.

〔二〕研探新知

1、直線與平面垂直的定義：直線l與平面內α的任意一條直線都垂直.記作：l⊥α.

直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面,垂線與平面的交點P

叫做垂足.

2、直線與平面垂直的判定：

〔1〕探究：準備一塊三角形紙片.

過△ABC的頂點A翻折紙片,得到折痕AD,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上〔BD、DC

與桌面接觸〕.

①折痕AD與桌面所在平面α垂直嗎？

②如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面α垂直？〔AD是BC邊上的高〕

〔2〕思考：

①有人說,折痕AD所在直線已桌面所在平面α上的一條直線垂直,就可以判斷AD垂直

平面α,你同意他的說法嗎？

②如圖,由折痕AD⊥BC,翻折之后垂直關系不變,即AD⊥CD,AD⊥BD,由此你能得到什

么結論？

〔3〕歸納結論：〔直線與平面垂直的判定定理〕

一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,則該直線與此

平面垂直.

符號語言：??????????lblalAbaba,,,,?.

作用：由線線垂直得到線面垂直.〔線不在多,相交就行.〕

強調：①定理中的"兩條相交直線"這一條件不可忽視；

②定理體現了"直線與平面垂直"與"直線與直線垂直"互相轉化的數學思想.

3、實際應用,鞏固深化

例1：有一根旗桿AB高8米,它的頂端A掛有一條長10

36/95

米的繩子,拉緊繩子并把它的下端放在地面上的兩點〔和旗桿腳不在同一條直線上〕C、D,

如果這兩點都和旗桿腳B的距離是6米,那么旗桿就和地面升起垂直,為什么？

分析：AB⊥BC,AB⊥BD,且B、C、D三點不共線.

課堂練習：已知三角形ABC,直線l⊥AB,l⊥AC,求證l⊥BC.

例2：直線a、b和平面α有以下三種關系：〔1〕a//b,〔2〕a??,〔3〕??b,如果

任意取其中兩個作為前提,另一個作為結論構造命題,能構成幾個命題？并判斷其真假.如果

是真命題,請予以證明；如果是假命題,請舉一個反例.

命題1：如圖,已知??aba,//,求證：??b.

證明：在平面α內作兩條相交直線m,n,因為直線a??,根據直線

與平面垂直的定義知,aman??,又因為a//b,所以,bmbn??,又

因為,mn????,m,n是兩條相交直線,所以??b.

歸納：兩條互相平行的直線,如果有一條與一個平面垂直,則另一條也與這個平面垂直.

命題2：如圖,已知直線a⊥α,b⊥α,那么a//b.

證明〔反證法〕假設a、b不平行,且Ob???,b

?

是經過點O與直線

b平行的直線.直線b與b

?

確定平面β,設c????,則cO?.因為a⊥α、

b⊥α,所以a⊥c、b⊥c,又因為ab//

?

,所以cb?

?

.這樣在平面β內,經過直線

c上同一點O就有兩條直線b,b

?

與c垂直,顯然不可能,因此a//b.

歸納〔直線與平面垂直的性質〕：垂直于同一平面的兩條直線平行.

說明：可以由兩條直線與一個平面垂直判定兩條直線平行,性質定理揭示了"平行"與"垂

直"之間的內在聯系.

〔三〕課堂練習：課本P67,練習1、2.

1、如圖,在三棱錐V—ABC中,VA=VC,AB=BC,求證：VB⊥AC.

2、過三角形ABC所在平面α外一點P,作PO⊥α,垂足為O,連接

PA,PB,PC.

〔1〕若PA=PB=PC,∠C=90°,則點O是AB邊的點.

〔2〕若PA=PB=PC,則點O是三角形ABC的心.

〔3〕若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,則點O是三角形ABC的心.

〔四〕歸納小結：

37/95

〔1〕獲得直線與平面垂直的判定定理的基本過程.

〔2〕直線與平面垂直的判定定理,體現的數學思想方法是什么？

〔五〕課后作業：

1、正方體ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中,求證：AC⊥BDD

1

B

1

.

2、如圖,已知PA⊥平面ABC,AC⊥BC,O、D分別為AB、AC的中點,

求證：OD⊥平面PAC.

3、如圖,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,M、N分別是AB、PC的

中點,求證：MN⊥CD.

教學反思：

三垂線定理

授課類型：新授課授課時間：第周年月日〔星期〕

一、教學目標

1、知識與技能：理解三垂線定理與其逆定理的證明,準確把握"空間三線"垂直關系的實

質；掌握三垂線定理與其逆定理解題的一般步驟.

2、過程與方法：通過三垂線定理的證明與應用,體會空間線線、線面垂直關系的轉化.

3、情感態度與價值觀：培養學生的觀察、猜想和論證能力；培養學生對待知識的科學

態度和辯證唯物主義觀點.

二、教學重點：三垂線定理與其逆定理的證明和初步應用.

難點：三垂線定理中的垂直關系與證明過程.

關鍵：把握住斜線和它在平面上的射影必定同時垂直于平面內的某條直線.

三、教材分析：

1、"三垂線定理"是高中立體幾何中的重要內容之一,它是在研究了空間直線和平面垂直

的基礎上研究兩條直線垂直關系的一個重要定理,它既是線面垂直關系的一個應用,又為以后

學習面面垂直,研究空間距離、空間角奠定了基礎,同時這節課也是培養學生空間想象能力和

邏輯思維能力的重要內容,對培養學生的探索精神和創新能力都有重要意義.

2、本節課的教學過程為：猜、證、比、用,即猜想平面內的直線與平面的斜線垂直的特

征；證明三垂線定理與其逆定理；比較兩個定理；應用定理證題.

由于本節課安排在立體幾何學習的初始階段,是學生空間觀念形成的關鍵時期,因此要

重視讓學生動手做模型,教師演示指導,讓學生直觀地感受到空間線面、線線關系的變化,再在

38/95

教師的引導下思考線面、線線垂直關系存在的因果關系,逐步推理、猜想命題,論證命題,從而

發現定理,揭示定理的實質,在定理論證中進一步發展定理,引出逆定理,再進行比較,從而更進

一步地把握定理的關鍵.對定理的應用,只要求學生在理解定理的基礎上,理清應用定理證題

的一般步驟,學會證明一些簡單問題.

3、本節課采用啟發、引導、探索式相結合的教學方法,啟發、引導學生積極思考,勇于

探索,使學生的心理達到一種"欲罷不能"的興奮狀態,從而產生濃厚的學習興趣,發揮學生的

主觀能動性,體現學生的主體作用.

四、教學過程

〔一〕復習和引入新課

提問：〔1〕直線和平面垂直的定義是什么？〔直線垂直于平面內的任意一條直線.〕

〔2〕直線和平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直,則該

直線與此平面垂直.

〔3〕如圖,如果PO⊥平面α,PA與平面α交于點A,則PO為平面α

的垂線,PA為平面α的斜線,連接垂足O與斜足A的直線OA叫做斜線PA

在平面α內的射影.

〔二〕猜想和發現

1、揭示問題,引導探究

根據直線和平面垂直的定義知平面內的任意一條直線都和平面的垂線垂直.

進一步,平面內的任意一條直線是否都和平面的一條斜線垂

直？〔否〕

是否平面內的所有直線都不和平面的一條斜線垂直？

2、模型演示

引導學生用三角板和鉛筆在桌面上搭建模型〔如圖〕.

如圖表示平面的斜線〔PO〕在平面內有垂線〔a〕,且有無數

條.這些直線應具備什么條件,即怎樣判定平面內的直線與平面的

一條斜線垂直呢？

指導學生用三角板和鉛筆在桌面上搭成模型〔如圖〕,使鉛筆

與三角板的斜邊垂直,引導學生觀察猜想發現規律,經過實驗,發現

39/95

鉛筆和三角板在平面α內的直角邊垂直時,便與斜邊垂直.

3、結論：在平面內的一條直線,如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直,那么它也和這

條斜線垂直.

〔三〕證明定理

實驗得出的結果是否正確還得進行證明.

已知：PA、PO分別是平面α的垂線、斜線,AO是PO在平

面α上的射影,,aaOA???〔如圖〕.

求證：a⊥PA.

分析：證明兩直線垂直,可轉化為證明一條直線垂直于另一

條直線所在的平面,從本題條件看,PO在平面PAO內,只要證明a⊥平面PAO即可.

證明：因為PO??,所以PO⊥a,又a⊥OA,PO∩OA=O,所以a⊥平面POA,所以a

⊥PA.

〔四〕揭示定理

上面命題反映了平面內一條直線、平面的斜線和斜線在這個平面內的射影這三者之間的

垂直關系,這就是著名的三垂線定理,下面請大家根據已知條件和結論,把三垂線定理完整地

表達出來.

三垂線定理：在平面內的一條直線,如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直,那么它也

和這條斜線垂直.

三垂線定理的實質是平面內的直線與平面的斜線垂直的判定定理.這個定理之所以著名,

不僅在于它給了我們一個證明線線垂直的重要方法,為研究計算空間角、空間距離奠定了基

礎,而且這個定理的證明方法——"線面垂直法",也是一種非常重要的方法.

剛才我們由a與PA、AO垂直得到了a與平面PAO垂直,現在我們再看,由于PA與a總

垂直,那么當a與PO垂直時還會有a⊥平面PAO嗎？進一步可得到什么結論？〔a⊥AO〕這

樣我們又得到了一個重要定理：

三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線,如果它和這個平面的一條斜線垂直,那么它

也和這條斜線在平面內的射影垂直.

請同學們寫出證明過程,并與原定理進行對比.

40/95

〔五〕原、逆定理的比較

相同點：〔1〕結構相同：都是由線線垂直推證線線垂直；

〔2〕證明方法相同：都采用了線面垂直法.

不同點：〔1〕用途不同：原定理是用來證空間兩直線垂直；逆定理是用來證平面上兩直

線垂直.

〔2〕條件與結論不同：原定理："與射影垂直"?"與斜線垂直"；逆定理："與斜線垂直

"?"與射影垂直".

〔六〕定理的應用

例1：如圖,O是△ABC的垂心,PO⊥平面ABC,連結PA,求證：

BC⊥PA.

分析：PO是平面的垂線,PA是平面的斜線,BC在平面ABC上,

所以,欲證BC⊥PA,只需證明BC垂直PA在平面ABC上的射影即可.

證明：連結AO并延長交BC于D,則AO是PA在平面ABC上

的射影.

又O是△ABC的垂心,所以AD⊥BC,由三垂線定理可得BC⊥PA.

小結：使用三垂線定理證題的一般步驟是：

一定——定平面與平面內的一條直線；二找——找平面的垂線、斜線與射影；三證——

證明平面內一直線與射影垂直.

由于逆定理與原定理的實質相同,結構相似,因而使用時也可以按以上步驟進行,這對我

們在復雜圖形中使用定理很有好處.

例2：正方體ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中,求證：

〔1〕A

1

C⊥BD；〔2〕A

1

C⊥BC

1

；〔3〕A

1

C⊥平面BDC

1

.

4、探究：如圖,直四棱柱ABCDDCBA?

????

〔側面與底面垂直

的棱柱稱為直棱柱〕中,底面四邊形ABCD滿足什么條件

時,DBCA

??

?

?

？

解：連結AC

??

,因為AA

?

?平面ABCD

????

,所以AC

??

為AC

?

在平面

ABCD

????

內的射影,由三垂線定理知,當ACBD

????

?時,有ACBD

???

?,

即四邊形ABCD的對角線互相垂直時,ACBD

???

?.

41/95

〔七〕歸納總結

1、本節課重點學習了三垂線定理與其逆定理,它們是空間兩線垂直的判定與性質定理,

要牢固掌握,并注意原、逆定理的區別與聯系.

2、學會按"一定、二找、三證"的步驟應用兩個定理證明線線垂直.

〔八〕布置作業

1、已知點O是△ABC的BC邊上的高上的任意一點,且OP⊥平面ABC,

求證PA⊥BC.

2、如圖,PD⊥平面ABC,AC=BC,D為AB的中點,求證：AB⊥PC.

3、如圖,ABCD是矩形,PA⊥平面AC,連結PB、PC、PD,指出圖中有哪

些三角形是直角三角形,并說明理由.

教學反思：

直線與平面所成的角

授課類型：新授課授課時間：第周年月日〔星期〕

一、教學目標

1、知識與技能：理解并掌握直線與平面所成的角的定義,熟記直線與平面所成角的范圍,

會求直線與平面所成的角.

2、過程與方法：借助正方體、長方體這一主要載體,以師為主導,引導學生主動參與,探

究異面直線所成角的概念形成過程,以與角的求解與其所蘊含的轉化思想與化歸方法.

3、情感態度與價值觀：

〔1〕培養學生不斷探索發現新知識的精神,滲透事物相互轉化和理論聯系實際的辯證唯

物主義觀點.

〔2〕培養學生的空間想象能力、分析問題、解決問題的能力以與邏輯推理能力,使學生

初步掌握將空間問題轉化為平面問題的數學思想.

二、教學重點：直線與平面所成的角的定義、范圍與計算.

難點：角的尋找〔垂線〕.

三、教學過程

〔一〕創設情景,引入新課

復習：平面的垂線：垂直于平面的直線.

平面的斜線：與平面相交但不垂直的直線.

42/95

射影：過垂足和斜足的直線叫做斜線在平面上的射影.

三垂線定理：在平面內的一條直線,如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直,那么它也

和這條斜線垂直.

逆定理：在平面內的一條直線,如果它和這個平面的一條斜線垂直,那么它也和這條斜線

在平面內的射影垂直.

三垂線定理與其逆定理的證明：線面垂直法.

問題：如圖,E為長方體ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

的邊AB上任意一

點,直線AA

1

,A

1

E,A

1

B中哪些與底面ABCD垂直？

從位置關系來看,同為直線,但它們的相對位置是不同的,如

何刻畫直線與平面的位置關系？

模型演示：筆與桌面的位置關系.

〔二〕研探新知

1、直線與平面所成角的定義：

平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直線和這

個平面所成的角.

注：l⊥α時,所成角為90°；l//α時,所成角為0°.

范圍：]

2

,0[

?

??.

課堂練習：兩條直線和一個平面所成的角相等,這兩條直線一定平行嗎？

2、應用舉例：

例1：在正方體ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中,求：

〔1〕直線A

1

B和平面A

1

B

1

CD所成的角；

〔2〕直線DB

1

與平面ABCD所成角的正弦值.

解〔1〕連結BC

1

交B

1

C于點O,連結OA

1

,

因為A

1

B

1

⊥平面BCC

1

B

1

,所以A

1

B

1

⊥BC

1

,

因為BCC

1

B

1

為正方形,所以B

1

C⊥BC

1

,

又

1111

BCBBA??,所以BO⊥平面A

1

B

1

CD,

所以∠BA

1

O為直線A

1

B和平面A

1

B

1

CD所成的角,且∠BOA=90°,

設正方體的棱長為a,則

aOBaOA

2

2

,2

1

??,

α

A

P

O

DC

A

B

A

1B

1

D

1C

1

E

DC

A

B

A

1B

1

D

1C

1

43/95

所以

2

1

sin

1

1

???

BA

OB

OBA,得∠BA

1

O=30°,

所以直線A

1

B和平面A

1

B

1

CD所成的角為30°.

〔2〕學生練習.

小結：求直線與平面所成的角一般要有三個步驟：

〔1〕作圖：作出所求的角與題中涉與的有關圖形等；

〔2〕證明：證明所給圖形是符合題設要求的；

〔3〕計算：在證明的基礎上計算得出結果.

例2：如圖,在直三棱柱ABC—A

1

B

1

C

1

中,∠ABC=90°,AB=BC=1.

〔1〕求異面直線B

1

C

1

與AC所成角的大小；

〔2〕若直線A

1

C與平面ABC所成角為45°,求三棱錐A

1

—ABC的體積.

〔三〕課堂練習

1、已知平面α外兩點A、B到平面α的距離分別為1和2,A、B兩點

在平面α內的射影之間的距離為

3

,求直線AB和平面α所成的角.

2、求正四面體的側棱與底面所成角的正弦值.

3、如圖,PD⊥平面ABCD,AD⊥PC,AD//BC,PD:DC:

BC=1:1:2,求直線PB與平面PDC所成角的大小.

〔四〕作業：

例2,課堂練習2題.導與練P55,1~11.

教學反思：

二面角與其平面角

授課類型：新授課授課時間：第周年月日〔星期〕

一、教學目標

1、知識與技能：〔1〕正確理解和掌握"二面角"、"二面角的平面角"與"直二面角"、"兩

個平面互相垂直"的概念；

〔2〕掌握兩個平面垂直的判定定理與其簡單的應用；

〔3〕學會"類比歸納"思想在數學問題解決上的作用.

A

B

C

D

P

A

B

C

D

44/95

2、過程與方法：〔1〕通過實例讓學生直觀感知"二面角"概念的形成過程；

〔2〕類比已學知識,歸納"二面角"的度量方法與兩個平面垂直的判定定理.

3、情感態度與價值觀：通過揭示概念的形成、發展和應用過程,使學生理會教學存在于

觀實生活周圍,從中激發學生積極思維,培養學生的觀察、分析、解決問題能力.

二、教學重點：平面與平面垂直的判定；

難點：如何度量二面角的大小.

三、學法指導：實物觀察,類比歸納,語言表達.

四、教學過程

〔一〕創設情景,揭示課題

實例：〔1〕修筑水壩時,為了使壩堅固耐用,必須使水壩面與水平面成適當的角度.

〔2〕發射人造地球衛星時,根據需要,使衛星軌道平面與地球赤道平面成一定的角度.

問題1：平面幾何中"角"是怎樣定義的？

問題2：在立體幾何中,"異面直線所成的角"、"直線和平面所成的角"又是怎樣定義的？

它們有什么共同的特征？

〔二〕研探新知

1、二面角的有關概念

演示：把紙對折,觀察其形狀,并進行歸納：

角二面角

圖形

A

邊

頂點O邊B

A

梭lβ

B

α

定義

從平面內一點出發的兩條射線〔半

直線〕所組成的圖形

從空間一直線出發的兩個半平面所組

成的圖形

構成射線—點〔頂點〕一射線半平面一線〔棱〕一半平面

表示∠AOB二面角α–l–β或α–AB–β

2、二面角的度量

問題：我們常說"把門開大一些",是指哪個角大一些？

應該怎樣刻畫二兩角的大小呢？〔模型演示〕

歸納〔二面角的平面角〕：在二面角α—l—β的棱上任取一點O,以

45/95

點O為垂足,在半平面α和β內分別作垂直于棱l的射線OA和OB,則射線OA和OB構成的

∠AOB叫做二面角的平面角.

說明：〔1〕在表示二面角的平面角時,要求"OA⊥l,OB⊥l"；

〔2〕∠AOB的大小與點O在l上位置無關；

〔3〕二面角的大小可以用它的平面角來度量,范圍：],0[???；

〔4〕直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.

3、兩個平面互相垂直的概念

觀察：教室相鄰的兩個墻角與地面可以構成幾個二面

角？分別指出構成這些二面角的面、棱、平面角與其度數.

兩個平面互相垂直：兩個平面所成的角為直二面角,記作：???.

演示：課本與桌面垂直.

〔三〕求二面角的大小

例1：如圖,在三棱錐V—ABC中,VA=VB=AC=BC=2,AB

=32,VC=1,試畫出二面角V—AB—C的平面角,并求它的度數.

課堂練習1：〔1〕在一個二面角的一個面內有一點,它到棱的距

離等于到另一個面的距離的2倍,求二面角的度數.

〔2〕如圖,四棱錐V—ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,

其他四個側面都是側棱長為

5

的等腰三角形,試畫出二面角V—AB

—C的平面角,并求它的度數.

例2：正方體ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中,求

〔1〕二面角A

1

—CD—B的大小；

〔2〕二面角C

1

—BD—C的平面角的余弦值；

〔3〕二面角A—BD

1

—C的的平面角的余弦值.

課堂練習2：〔1〕如圖,正方體ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中,M是棱

A

1

B

1

的中點,求二面角M—BD—A的平面角的正切值.

〔2〕如圖,已知平面α,β,且α∩β=AB,PC⊥α,PD⊥β,C,D是

垂足,

46/95

①判斷直線AB與CD的位置關系,并證明你的結論；

②若PC=5,PD=8,PC=7,求二面角α—AB—β的大小.

〔四〕課堂總結

1、二面角的平面角必須具備三個條件：

〔1〕角的頂點在二面角的棱上；

〔2〕角的兩邊分別在二面角的兩個半平面內；

〔3〕角的兩條邊分別與二面角的棱垂直.

準確、恰當地作出二面角的平面角,是解答有關二面角問題的關鍵.

2、確定二面角的平面角的方法：

〔1〕定義法：在二面角的棱上找一特殊點,在兩個半平面內分別作垂直于棱的射線.

〔2〕垂面法：過棱上一點作棱的垂直的平面,該平面與二面角的兩個半平面產生交線,

這兩條射線〔交線〕所成的角,即為二面角的平面角.

〔3〕垂線法〔三垂線定理〕：過二面角的一個面內一點作另一個平面的垂線,過垂足作

棱的垂線,利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補角,此種方法通用于求二面角的所有題

目,具體步驟為：

一找——找平面與平面的垂線；

二證——證明斜線或射影與棱垂直；

三求——求出所得二面角的平面角的大小.

〔五〕布置作業：

課堂練習1、2.〔共4題〕

教學反思：

平面與平面垂直的判定與性質

授課類型：新授課授課時間：第周年月日〔星期〕

一、教學目標

1、知識與技能：〔1〕掌握平面與平面垂直的判定定理與性質定理；

〔2〕能運用判定定理、性質定理解決一些簡單問題；

〔3〕了解直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質定理間的相互聯系.

2、過程與方法：從開放性的角度設計問題,引導學生建立新的認知結構,挖掘學生的創造

47/95

潛能.

3、情感態度與價值觀：通過"直觀感知、操作確認,推理證明",培養學生空間概念、空間

想象能力以與邏輯推理能力.

二、教學重點、難點：判定定理、性質定理的證明與其應用.

三、學法指導：直觀感知、操作確認,猜想與證明.

四、教學過程

〔一〕由開放題設計知識的產生過程

問題導入：直線a和平面α,β有以下三種關系：①a⊥β,②a?α,③α⊥β,如果任意取其中

兩個作為前提,另一個作為結論構造命題,能構成幾個命題？如果是真命題,請給予證明；如果

是假命題,請舉出一個反例,并補充條件使其成為真命題并加以證明.

學生畫圖形,搭模型——用課本、桌面作平面,鉛筆作直線,能構成三個不同的命題：

?

?

??

?

?

??

??

?

?

??

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

?

??

?

?

?

?

?

a

a

a

aa

a

)3(;)2(;)1(.

其中〔1〕是真命題,〔2〕,〔3〕均是假命題.

〔二〕用開放的思維探索命題的真假

1、證明命題〔1〕為真

分析：設α∩β=CD,欲證α⊥β,只須判斷二面角α–CD–β為直二面角.為此,作OB⊥CD,得

其二面角∠AOB〔如圖〕.??????

?

?

?

?

?

90AOBOBAO

OB

AO

?

?

,從而證明了α⊥β.

歸納〔兩個平面垂直的判定定理〕：一個平面經過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.

符號語言：????????ll,.

作用：由線面垂直得到面面垂直.

2、考察命題〔2〕的真假

由α⊥β,α內的直線a不一定能與β垂直〔反例如圖〕.

問題：對于命題〔2〕,能否在α⊥β,a?α的條件下,再增加某些條件,

使a⊥β的結論成立呢？

引導學生分析,發現增加"a垂直于α與β的交線"的限制條件后,就能

判定a⊥β.

證明：在β內引直線BE⊥CD,垂足為B,則∠ABE是二面角α—CD—β

A

aD

OB

C

圖1

a

圖2

48/95

的平面角.

由???知AB⊥BE,又AB⊥CD,BE與CD是β內的兩條相交直線,所以AB⊥β.

歸納〔兩個平面垂直的性質定理〕：

兩個平面垂直,則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直.

符號語言：設CDABABCD????,,,??????,則有AB⊥β.

作用：由面面垂直得到線面垂直.

3、考察命題〔3〕的真假

途徑1：結論開放.α⊥β且a⊥β不一定能得到a?α,但可以判斷a與α的位置關系是什

么？〔平行或在平面內〕

途徑2：條件開放.為了得到a?α這個結論,需要增加什么條件？〔由途徑1可知：為使

a∥α不成立,a須經過α內的一點P.〕

思考：〔1〕設平面α⊥平面β,點P在平面α內,過點P作平面β的垂線a,直線

a與平面α具有什么位置關系？

分析：過一點只能作一條直線與已知平面垂直.〔答：直線a必在平面α內〕

歸納：,,aPaa??????????.

〔2〕已知平面α、β和直線a,若α⊥β,a⊥β,??a,則直線a與平面α具有什么位置關

系？〔答：直線a與平面α平行〕

歸納：,,//aaa?????????.

探究：已知平面α、β和直線a,若α⊥β,ABaaAB??,//,????,則直線

a與平面β具有什么位置關系？〔a⊥β〕

4、應用舉例

例：如圖,AB是圓O的直徑,PA垂直于圓O所在的平面,C是圓周上不同于A、B的任意

一點,求證：平面PAC⊥平面PBC.

證明：設圓O所在平面為α,由已知條件,

PA⊥α,BC在α內,所以PA⊥BC,

因為點C是圓周上不同于A、B的任意一點,AB是圓O的直徑,

所以∠BCA是直角,即BC⊥AC.

49/95

又因為PA與AC是△PAC所在平面內的兩條相交直線,

所以BC⊥平面PAC,又因為BC在平面PBC內,所以平面PAC⊥平面PBC.

5、探究：如圖,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,你能發現哪些平面互相

垂直,為什么？

拓展：哪些直線互相垂直？線面垂直呢？

〔三〕通過開放性練習的研究深化對知識的認識

課堂練習：直線a和平面α,β有以下三種關系：①a⊥α,②a∥β,③α⊥β,

以其中兩個作為條件,另一個作為結論,構成三個命題,試探討其真假.

〔四〕課堂總結

1、直線與平面垂直的判定：????????ll,.

2、直線與平面垂直的性質：〔1〕設CDABABCD????,,,??????,則有AB⊥β.

〔2〕,,aPaa??????????；,,//aaa?????????.

〔五〕作業：課堂練習.

教學反思：

立體幾何復習

授課類型：復習課授課時間：第周年月日〔星期〕

一、教學目標：

1、知識與技能：〔1〕掌握知識結構與聯系,進一步鞏固、深化所學知識；

〔2〕通過對知識的梳理,提高學生的歸納知識和綜合運用知識的能力.

2、過程與方法：利用框圖對本章知識進行系統的小結,直觀、簡明再現所學知識,化抽象

為直觀,易于識記,同時凸現數學知識的發展和聯系.

3、情感態度與價值觀：通過知識的整合、梳理,理會空間點、線、面間的位置關系與其

互相聯系,進一步培養學生的空間想象能力和解決問題的能力.

二、教學重點：各知識點間的網絡關系.

難點：在空間如何實現平行關系、垂直關系、垂直與平行關系之間的轉化.

三、教學過程

〔一〕整合知識,發展思維

1、刻畫平面的三個公理是立體幾何公理體系的基石,是研究空間圖形問題,進行邏輯推理

50/95

的基礎.

公理1：???????ABBA,——判定直線是否在平面內.

公理2：不共線的三點確定一個平面——確定平面的依據.

推論1：直線與直線外一點確定一個平面.

推論2：兩條相交或平行直線確定一個平面.

公理3：lPlPP?????且,,?????.——判定兩個平面交線的位置.

公理4：cacbba////,//?.——判定空間直線之間平行.

2、位置關系：

〔1〕直線與直線：相交、平行、異面.

〔2〕直線與平面：直線在平面內、相交、平行.

〔3〕平面與平面：相交、平行.

3、空間平行、垂直之間的轉化與__

判定定理性質定理

直線與平面平行

???////,,ababa???babaa//,,//????????

平面與平面平行

????

??

////,//

,

?

?

?

?

?

?

?

??

Aba

ba

ba

?

ba

b

a//

//

?

?

?

?

?

?

?

?

??

??

??

?

?

直線與平面垂直

?????

?

?

?

?

?

?

??

??

l

Anm

nm

nlml

?

,

,

baba//,?????

平面與平面垂直

????????aa,?

??

???

??

?

?

?

??

??

a

CDaCD

a

,

,

?

轉化思想：直線與直線平行?直線與平面平行?平面與平面平行

直線與直線垂直?直線與平面垂直?平面與平面垂直

4、空間問題解決的重要思想方法：化空間問題為平面問題.

5、觀察和推是認識世界的兩種重要手段,兩者相輔相成,缺一不可.

〔二〕應用舉例,深化鞏固

例1、〔1〕已知平面α、β和直線m,給出條件：

①m//α,②m⊥α,③m

?

α,④α⊥β,⑤α//β.

51/95

①當滿足條件時,有m//β；

②當滿足條件時,有m⊥β.

〔2〕已知m、n是不同的直線,α、β是不重合的平面,給出下列命題：

①若m//α,則m平行于平面α內任意一條直線；

②若α//β,m?α,n?β,則m//n；

③若m⊥α,n⊥β,m//n,則α//β；

④若α//β,m?α,則m//β.

上面命題中,真命題的序號是.

例2、如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是矩形,側棱PA垂直于底面,E、F分別是

AB、PC的中點.

〔1〕求證：CD⊥PD；

〔2〕求證：EF//平面PAD；

〔3〕當平面PCD與平面ABCD成多大角時,直線EF⊥平面PCD.

例3：如圖,在直三棱柱ABC—A

1

B

1

C

1

中,底面△ABC是直角三角

形,∠ABC=90°,BC=BB

1

,且A

1

C∩AC

1

=D,BC

1

∩B

1

C=E,連結

DE.

〔1〕求證：A

1

B

1

⊥平面BB

1

C

1

C；

〔2〕求證：A

1

C⊥BC

1

；

〔3〕求證：DE⊥平面BB

1

C

1

C.

課堂練習〔作業〕

1、如圖,四面體ABCD中,O、E分別是BD、BC的中點,CA=CB

=CD=BD=2,AB=AD=2.

〔1〕求證：AO⊥平面BCD；

〔2〕求異面直線AB與CD所成角的大小；

〔3〕求點E到平面ACD的距離.

2、如圖,已知

1111

ABCDABCD?是棱長為3的正方體,

點E在

1

AA上,點F在

1

CC上,且

1

1AEFC??,

〔1〕求證：

1

,,,EBFD四點共面；

P

A

B

C

D

E

F

A

B

C

A

1

B

1

C

1

D

E

A

B

C

D

O

E1

D

1

A

A

B

C

D

1

C

1

B

M

E

F

H

G

52/95

〔2〕若點G在BC上,

2

3

BG?,點M在

1

BB上,

GMBF?,垂足為H,求證：EM?面

11

BCCB；

〔3〕用?表示截面

1

EBFD和面

11

BCCB所成銳二面角大小,求tan?.

第三章直線與方程

直線的傾斜角和斜率

授課類型：新授課授課時間：第周年月日〔星期〕

一、教學目標：

1、知識與技能：理解直線的傾斜角和斜率的概念,掌握過兩點的直線的斜率公式.

2、過程與方法：

〔1〕在平面直角坐標系中,結合具體圖形,探索確定直線位置的幾何要素.

〔2〕經歷用代數方法刻畫直線斜率公式的推導過程.

3、情感態度與價值觀：〔1〕通過直線的傾斜角概念的引入學習和直線傾斜角與斜率關

系的揭示,培養學生觀察、探索能力,運用數學語言表達能力,數學交流與評價能力.

〔2〕通過斜率概念的建立和斜率公式的推導,幫助學生進一步理解數形結合思想,培養學

生樹立辯證統一的觀點,培養學生形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精神.

二、教學重點、難點

重點：斜率的概念,用代數方法刻畫直線斜率的過程,過兩點的直線斜率的計算公式.

難點：直線的斜率與它的傾斜角之間的關系.

三、學法指導：啟發、引導、討論.

四、教學過程：

〔一〕直線的傾斜角的概念

思考：對于平面直角坐標系內的一條直線l,它的位置由哪些條件確定？

問題1：已知直線l經過點P,直線l的位置能夠確定嗎？

問題2：過一點P可以作無數條直線l

1

,l

2

,l

3

,…,它們都經過點P〔組成一個直線束〕,這

些直線區別在哪里呢？

定義：當直線l與x

軸相交時,取x軸作為基準,x軸正

向與直線l向上方向之間所成的角

53/95

α叫做直線l的傾斜角

．．．

.

特別地,當直線l與x軸平行或重合時,規定α=0°.范圍：0°≤α＜180°.

當直線l與x軸垂直時,α=90°.

當直線a∥b∥c,它們的傾斜角α相等,所以一個傾斜角α不能確定一條直線.

確定平面直角坐標系內的一條直線位置的幾何要素：一個點

．．．

P

．

和一個傾斜角

．．．．．．

α

．

..

〔二〕直線的斜率

思考：日常生活中,還有沒有表示傾斜程度的量？〔

前進量

升高量

比坡度?)(〕

定義：一條直線的傾斜角α〔α≠90°〕的正切值叫做這條直線的斜率.k=tanα

〔1〕當直線l與x軸平行或重合時,α=0°,k=tan0°=0；

〔2〕當直線l與x軸垂直時,α=90°,k不存在.

如：α=45°時,k=tan45°=1；α=135°時,k=tan135°=–tan45°=–1.

〔三〕直線的斜率公式

問題：給定兩點P

1

1

,y

1

>,P

2

2

,y

2

>,x

1

≠x

2

,求直線P

1

P

2

的斜率.

〔1〕當α為銳角時,),(

12

yxQ,

12

12

1

2

12||

||

tantan

xx

yy

QP

QP

QPPk

?

?

??????.

〔2〕當α為鈍角時,),(

12

yxQ,

12

12

21

12

1

2

12||

||

tantantan

xx

yy

xx

yy

QP

QP

QPPk

?

?

?

?

?

????????????.

結論〔直線的斜率公式〕：

)(tan

21

12

12xx

xx

yy

k?

?

?

???.

思考：〔1〕當直線與x軸平行或重合時,上述式子還成立嗎？為什么？

〔2〕已知直線上兩點),(),,(

2121

bbBaaA,運用上述公式計算直線AB的斜率時,與A、B

兩點坐標的順序有關嗎？

〔3〕當直線與y軸平行或重合時,上述式子還成立嗎？為什么？

〔四〕例題鞏固

例1：已知A<3,2>,B<–4,1>,C<0,–1>,求直線AB,BC,CA的斜率,并判斷它們的傾斜角

是鈍角還是銳角.

54/95

分析：

7

1

?

AB

k,其傾斜角為銳角；

2

1

??

BC

k,其傾斜角為鈍角；1?

AC

k,其傾斜角為

銳角.

一般結論：

當k=tanα<0時,傾斜角α是鈍角；當k=tanα>0時,傾斜角α是銳角；當k=tanα=0時,

傾斜角α是0°.

例2：在平面直角坐標系中,畫出經過原點且斜率分別為1,–1,2,與–3的直線l

1

,l

2

,l

3

與l

4

.

分析：要畫出經過原點的直線,只要再找出l

1

上的另外一點

M,而M的坐標可以根據直線l

1

的斜率確定.

〔五〕課堂練習：課本P86,練習1,2,3,4.

〔六〕歸納小結：

〔1〕直線的傾斜角和斜率的概念；

〔2〕直線的斜率公式：

)(tan

21

12

12xx

xx

yy

k?

?

?

???.

〔七〕作業：課本P89,習題3.1[A組]第2,3,4題.

教學反思：

兩條直線的平行與垂直

授課類型：新授課授課時間：第周年月日〔星期〕

一、教學目標

1、知識與技能：理解并掌握兩條直線平行與垂直的條件,會運用條件判定兩直線是否平

行或垂直.

2、過程與方法：通過探究兩直線平行或垂直的條件,培養學生運用已有知識解決新問題

的能力,以與數形結合能力.

3、情感態度與價值觀：通過對兩直線平行與垂直的位置關系的研究,培養學生的成功意

識,合作交流的學習方式,激發學生的學習興趣.

二、教學重點、難點：

重點：兩條直線平行和垂直的條件是重點,要求學生能熟練掌握,并靈活運用.

難點：啟發學生,把研究兩條直線的平行或垂直問題,轉化為研究兩條直線的斜率的關系

問題.

關鍵：對于兩條直線中有一條直線斜率不存在的情況,在課堂上老師應提醒學生注意解

55/95

決好這個問題.

三、教學過程

〔一〕兩條直線平行的條件

思考：設兩條直線l

1

,l

2

的斜率分別為k

1

,k

2

,當l

1

//l

2

時,k

1

與k

2

滿足什么關系？

探究：

21212121

tantan//kkll??????????.

結論：兩條不重合的直線

2121

//kkll??〔斜率存在〕.

應用舉例：

例1、已知A<2,3>,B<–4,0>,P<–3,1>,Q<–1,2>,試

判斷直線BA與PQ的位置關系,并證明你的結論.

分析：作出圖像如右,猜想BA//PQ：

由斜率公式可得：

2

1

??

PQBA

kk,

所以直線BA//PQ.

例2、已知四邊形ABCD的四個頂點分別為

A<0,0>,B<2,–1>,C<4,2>,D<2,3>,試判斷四邊形ABCD的形

狀,并給出證明.

分析：在直角坐標系作出圖形如右,猜想四邊形ABCD

為平行四邊形：

2

1

???

CDBA

kk,所以AB//CD；

2

3

??

ADBC

kk,所以BC//AD；所以四邊形ABCD為平行四邊形.

追問：四邊形ABCD是否為矩形？如何判斷直線AB與BC垂直？〔向量的數量積〕

由此,欲判斷ABCD為平行四邊形,可以由

DCAB?

得到.

〔二〕兩條直線垂直的條件

問題：設兩條直線l

1

,l

2

的斜率分別為k

1

,k

2

,當l

1

⊥l

2

時,k

1

與k

2

滿足什么關系？

分析一：設兩條直線l

1

與l

2

的傾斜角分別為α

1

與α

2

〔??90,

21

??〕,

如圖,如果l

1

⊥l

1

,這時

21

???,由三角形任一外角等于其不相

56/95

鄰兩內角之和,得???90

12

??,

因為l

1

,l的斜率分別為k

1

,k

2

且??90

2

?,由

1

12tan

1

)90tan(tan

?

???????得1

21

??kk.

分析二〔向量法〕：設l

1

與l

2

的交為為P

0

,y

0

>,

在l

1

與l

2

上分別取不同于點P的點),(),,(

222111

yxPyxP,則

),(),,(,,

02

02

2

01

01

1

yyxxPPyyxxPP

xx

yy

k

xx

yy

k??????

?

?

?

?

?

?,

因為l

1

⊥l

2

,所以,

兩邊同除以

0))((

0201

???xxxx,得1

21

??kk.

探究：當時1

21

??kk,l

1

與l

2

的位置關系如何？

結論：1

2121

????kkll.

應用舉例：

例3、已知A<–6,0>,B<3,6>,P<0,3>,Q<–2,6>,試判斷直線AB與PQ的位置關系.

分析：PQABkkkk

PQABPQAB

????????1,

2

3

,

3

2

.

例4、已知A<5,1–1>,B<1,1>,C<2,3>,試判斷三角形ABC的形狀.

分析：作出圖形如右,猜想三角形ABC為直角三角形：

BCABkkkk

BCABBCAB

????????1,2,

2

1

,

所以三角形ABC為直角三角形.

〔三〕探究：

如果有一條直線的斜率不存在,兩條直線平行或垂直的條件又是

什么？

結論：〔1〕兩條直線的斜率都不存在時,它們互相平行；

〔2〕一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為0時,它們互相垂直.

〔四〕課堂練習：課本P89,練習第1,2題.

〔五〕歸納小結：

〔1〕兩條直線平行或垂直的條件：

2121

//kkll??,1

2121

????kkll；

57/95

〔2〕應用條件,判定兩條直線平行或垂直；

〔3〕應用直線平行的條件,判定三點共線.

〔六〕作業：課本P89,習題3.1[A組]第5,6,7,8題；或[B組]第2,4,5,6題.

教學反思：

3.2.1直線的點斜式方程

授課類型：新授課授課時間：第周年月日〔星期〕

一、教學目標

1、知識與技能〔1〕理解直線方程的點斜式、斜截式的形式特點和適用范圍；

〔2〕能正確利用直線的點斜式、斜截式公式求直線方程.

〔3〕體會直線的斜截式方程與一次函數的關系.

2、過程與方法：在已知直角坐標系內確定一條直線的幾何要素——直線上的一點和直

線的傾斜角的基礎上,通過師生探討,得出直線的點斜式方程；學生通過對比理解"截距"與"距

離"的區別.

3、情感態度與價值觀：體會直線的斜截式方程與一次函數的關系,培養學生數形結合的

思想,滲透數學中普遍存在相互聯系、相互轉化等觀點,使學生能用聯系的觀點看問題.

二、教學重點、難點：

1、重點：直線的點斜式方程和斜截式方程.

2、難點：直線的點斜式方程和斜截式方程的應用.

三、教學過程

〔一〕創設情景,導入新課

問題1：在直角坐標內,確定一條直線應知道哪些條件？

〔1〕已知直線上的一點和直線的傾斜角〔斜率〕可以確定一

條直線.

〔2〕已知兩點可以確定一條直線.

問題2：直線l經過點

),(

000

yxP,且斜率為k.設點),(yxP是直線l上的任意一點,請建

立yx,與

00

,,yxk之間的關系.

〔二〕研探新知

1、根據斜率公式,當

0

xx?時,

0

0

xx

yy

k

?

?

?,即)(

00

xxkyy???〔1〕

y

x

O

P

P

0

58/95

問題〔1〕過點),(

000

yxP,斜率是k的直線l上的點,其坐標都滿足方程〔1〕嗎？

是,由以上的推導過程可得.

〔2〕坐標滿足方程〔1〕的點都在經過),(

000

yxP,斜率為k的直線l上嗎？

若點

111

(,)Pxy的坐標

1

x,

1

y滿足方程〔1〕,即

1010

()yykxx???,若

10

xx?,則

10

yy?,

說明點P

1

與P

0

重合,于是可得點P

1

在直線l上；若

10

xx?,則10

10

yy

k

xx

?

?

?

,這說明過點P

1

和

P

0

的直線的斜率為k,于是可得點P

1

在過點),(

000

yxP,斜率為k的直線上.

2、直線的點斜式方程：方程〔1〕由直線上一定點與其斜率確定,所以叫做直線的點斜

式方程,簡稱點斜式.

問題3：直線的點斜式方程能否表示坐標平面上的所有直線呢？

〔1〕x軸所在直線的方程是什么？y軸所在直線的方程是什么？

〔y=0,x=0〕

〔2〕經過點

),(

000

yxP且平行于x軸〔即垂直于y軸〕的直線方程是什么？

〔y=y

0

,k=0〕

〔3〕經過點

),(

000

yxP且平行于y軸〔即垂直于x軸〕的直線方程是什么？

〔x=x

0

,k不存在〕

3、直線的斜截式方程：

問題4：已知直線l的斜率為k,且與y軸的交點為〔0,b〕,求直線l的方程.

結論：直線的斜截式方程：y=kx+b.

其中,直線l與y軸交點〔0,b〕的縱坐標b叫做直線l在y軸上的截距.

思考：截距是距離嗎？

4、直線的斜截式方程與一次函數的關系：

〔1〕觀察方程bkxy??,它的形式具有什么特點？

左邊的系數恒為1,右邊x的系數k和常數b項均有明顯的幾何意義：k是直線的斜率,b

是直線在x軸上的截距.

〔2〕如何從直線方程的角度認識一次函數bkxy??？一次函數

中k和b的幾何意義是什么？請說出一次函數

y

x

O

P

0

59/95

3,3,12??????xyxyxy圖象的特點.

〔三〕例、習題剖析

例1、直線l經過點P

0

<–2,3>,且傾斜角??45?,求直線l的點斜式方程,并畫出直線

l.

分析：直線l的點斜式方程為y–3=x+2,圖象如右.

例2、已知直線

111

:bxkyl??,

222

:bxkyl??,試討論：

〔1〕

21

//ll的條件是什么？〔2〕

21

ll?的條件是什么？

結論：,//

2121

kkll??且

21

bb?；1

2121

????kkll.

〔四〕課堂練習：

課本P95,練習1,2,3,4.

〔五〕歸納小結：

〔1〕本節課我們學過那些知識點；

〔2〕直線方程的點斜式、斜截式的形式特點和適用范圍是什么？

〔3〕求一條直線的方程,要知道多少個條件？

〔六〕作業：

課本P100,習題3.2[A組]第1〔1〕〔2〕〔3〕,3,5.

教學反思：

3.2.2直線的兩點式方程

授課類型：新授課授課時間：第周年月日〔星期〕

一、教學目標

1、知識與技能：掌握直線方程的兩點式和截距式的形式特點與適用范圍.

2、過程與方法：在應用舊知識的探究過程中獲得到新的結論,并通過新舊知識的比較、

分析、應用獲得新知識的特點.

3、情感態度與價值觀：認識事物之間的普遍聯系與相互轉化,培養學生用聯系的觀點看

問題.

二、教學重點、難點：

重點：直線方程的兩點式.

難點：直線兩點式推導過程的理解.

60/95

三、教學過程

〔一〕創設情景,引入新課

思考：利用直線的點斜式方程解答下列問題：

〔1〕已知直線l經過兩點)5,3(),2,1(

21

PP,求直線l的方程.[)1(

2

3

2???xy]

〔2〕已知兩點),(),,(

222211

yxPxxP其中),(

2121

yyxx??,求通過這兩點的直線方程.

〔二〕講授新課

1、直線的兩點式方程：

問題解答：因為

21

xx?,所以

12

12

xx

yy

k

?

?

?,由直線的點斜式方程,得：

)(

1

12

12

1

xx

xx

yy

yy?

?

?

??,因為

21

yy?,所以),(

2121

12

1

12

1yyxx

xx

xx

yy

yy

??

?

?

?

?

?

為直

線的兩點式方程.

說明〔1〕這個方程由直線上兩點確定；

〔2〕當直線沒有斜率或斜率為0時,不能用兩點式求出它們的方程.〔此時方程如何

得到？〕

思考：若點),(),,(

222211

yxPxxP中有

21

xx?,或

21

yy?,此時這兩點的直線方程是什

么？

〔1〕當

21

xx?時,直線與x軸垂直,所以直線方程為：

1

xx?；

〔2〕當

21

yy?時,直線與y軸垂直,直線方程為：

1

yy?.

2、直線的截距式方程：

例1、如圖,已知直線l與x軸的交點為A)0,(a,與y軸的交點為B),0(b,其中0,0??ba,

求直線l的方程.

分析：由直線的兩點式方程得：?

?

?

?

?

?

a

ax

b

y

00

0

1??

b

y

a

x

,為

直線的截距式方程.

其中,直線與x軸交點的橫坐標a叫做直線在x軸的截距.

截距式適用于橫、縱截距都存在且都不為0的直線.

3、例題鞏固：

61/95

例2、已知三角形的三個頂點A〔–5,0〕,B〔3,–3〕,C〔0,2〕,求BC邊所在直線的方程,

以與該邊上中線所在直線的方程.

分析：BC邊所在直線的方程：由兩點式方程即得：5x+

3y–6=0；BC的中點為M)

2

1

,

2

3

(?〔中點坐標公式〕,所以

AM所在直線的方程為：x+13y+5=0.

拓展：〔1〕求BC邊上的高線AH所在直線的方程；

〔2〕求線段BC的垂直平分線的方程.

〔三〕課堂練習：課本P97,練習1,2,3.

補充練習：1、下列四個命題中的真命題是〔〕

〔A〕經過定點

000

(,)Pxy的直線都可以用方程

00

()yykxx???表示；

〔B〕經過任意兩個不同的點

111222

(,),(,)PxyPxy的直線都可以用方程

121121

()()()()yyxxxxyy?????表示；

〔C〕不經過原點的直線都可以用方程1

xy

ab

??表示；

〔D〕經過定點的直線都可以用ykxb??表示.

2、求過點P<1,2>且滿足下列條件的直線方程：

〔1〕傾斜角的正弦值是

5

4

；

〔2〕傾斜角是直線

033???yx

的傾斜角的一半；

〔3〕傾斜角是直線x–3y+4=0的傾斜角的兩倍；

〔4〕與直線3x–y+5=0平行；

〔5〕與直線x–2y–3=0垂直.

3、〔1〕已知點A<7,–4>,B<–5,6>,求線段AB的垂直平分線的方程.

〔2〕求過點P<1,2>且到兩坐標軸的截距相等的直線方程.

〔3〕求過點P<1,2>且與兩坐標軸正半軸圍成的三角形面積最小的直線方程.

〔四〕歸納小結：

〔1〕到目前為止,我們所學過的直線方程的表達形式有多少種？它們之間有什么關系？

〔2〕要求一條直線的方程,必須知道多少個條件？

〔五〕作業：

62/95

課本P100,習題3.2[A組]1〔4〕〔5〕〔6〕,4,8,9.

教學反思：

3.2.3直線的一般式方程

授課類型：新授課授課時間：第周年月日〔星期〕

一、教學目標

1、知識與技能

〔1〕探索并掌握直線方程一般式的形式特征；

〔2〕掌握直線方程的一般式和點斜式、斜截式、兩點式、截距式之間的互化的方法；

〔3〕了解在直角坐標系中,平面上的直線與x、y的一次方程是一一對應的.

2、過程與方法

通過直角坐標系中直線與二元一次方程對應關系的探究,體會直線的一般式與平面上直線的

關系,學會用分類討論的思想方法解決問題.

3、情感態度與價值觀

〔1〕認識事物之間的普遍聯系與相互轉化；

〔2〕用聯系的觀點看問題.

二、教學重點、難點：

重點：直線方程的一般式和點斜式、斜截式、兩點式、截距式之間互化的方法；

難點：平面上的直線與x、y的一次方程的一一對應關系.

三、教材分析：

1、提示概念內涵,反映客觀事物的本質屬性

〔1〕聯系舊知識,引入新概念；——回顧直線方程的特殊形式,說明它們都具有局限性,

通過擴大概念的外延,引出新概念：一般式.

〔2〕充分用課本,剖析新概念；——"講授新課"一段,分兩個方面,每方面又分兩種不同

情況進行討論；教學過程中又適當借助圖形,最后得出"平面上的直線與二元一次方程一一對

應"的結論.

〔3〕設計小例題,強化新概念；——例1具體地說明了直線方程的點斜式轉化為一般式,

把握直線方程一般式的特點；例2除了說明一般式化斜截式,由已知直線方程的一般式求直

線的斜率和截距的方法,強化這堂課的新概念外,也重溫了前面所學過的知識——由方程如何

畫直線.

63/95

O

y

x

l

2、進行概念教學,注意運用數學方法,培養學生能力

〔1〕抓住課題是字母系數方程的機會,進行"兩分法"教學,培養全面、系統、周密地討論

問題的能力；

〔2〕抓住"特殊式"與"一般式"在一定條件下可以互化,在解題中可以培養多向思維的能

力.

四、教學過程

〔一〕復習引入：

1、直線方程的點斜式、斜截式、兩點式、截距式的互相轉化：

練習1：由下列條件,寫出直線的方程：

〔1〕經過點A〔8,–2〕,斜率是

2

1

?；〔)8(

2

1

2????xy〕

〔2〕經過點B〔4,2〕,平行于x軸；〔y–2=0〕

〔3〕經過點P

1

〔3,–2〕,P

2

〔5,–4〕；〔

35

3

)2(4

)2(

?

?

?

???

??xy

〕

〔4〕在x軸,y軸上的截距分別為

2

3

,–3.〔1

3

2

3

?

?

?

yx

〕

2、直線方程的幾種形式：

形式條件方程應用范圍

點斜式

過點),(

111

yxP,斜率為k)(

11

xxkyy???

k存在

斜截式斜率為k,在y軸的截距為b

bkxy??

k存在

兩點式

過不同兩點),(

111

yxP、),(

222

yxP

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy

?

?

?

?

?

k存在

截距式在x軸、y軸上的截距分別為a、b

1??

b

y

a

x

k存在且0?k

且不過原點

思考：以上方程有什么共同的特點？

〔二〕講授新課：

1、直線與二元一次方程的關系：

問題1：平面直角坐標系中的每一條直線都可以用一個關于x、y的二元一次方程表示

嗎？

64/95

x

1

O

y

x

對直線的傾斜角α進行討論：

①當??90?時,

直線斜率為?tan?k,其方程可寫成：bkxy??,可變形為：

0???CByAx,其中：A=k,B=–1,C=b；A、B不同時為零.〔如圖〕

②當??90?時,直線斜率不存在,其方程可寫成

1

xx?的形式,

也可以變形為：0???CByAx,其中：A=1,B=0,

1

xC?.

〔如圖〕

結論1：平面直角坐標系中任何一條直線都可以用關于x、y的二元一次方程

0???CByAx〔A、B不同時為零〕來表示.

問題2：每一個關于x、y的二元一次方程都表示一條直線嗎？

對B分兩種情況進行討論：

①當0?B時,0???CByAx可化為：

B

C

x

B

A

y???,它表示斜率為

B

A

k??,在y

軸上的截距為

B

C

b??的直線；

②當B=0時,則0?A,0???CByAx可化為

A

C

x??,表示與y軸平行〔0?C〕

或重合〔C=0〕的直線.

結論2：任何關于x、y的二元一次方程0???CByAx〔A、B不同時為零〕都可以

表示平面直角坐標系中的一條直線.

2、直線的一般式方程：

把關于x、y的二元一次方程0???CByAx〔A、B不同時為零〕叫做直線的一般式

方程,簡稱一般式.

注：〔ⅰ〕在平面直角坐標系中,表示任何一條直線的方程都是關于x、y的一次方程；

反之,每一個關于x、y的一次方程都表示直角坐標系中的一條直線.

〔ⅱ〕直線方程的特殊形式與一般形式可以互相轉化.

3、探究：

在方程0???CByAx中,A,B,C為何值時,方程表示的直線：

〔1〕平行于x軸；〔2〕平行于y軸；

65/95

〔3〕與x軸重合；〔4〕與y軸重合.

說明：引導學生從直線與方程的一一對應關系去探究.

4、練習2：把練習1中的直線方程化成一般式方程.

〔三〕例題剖析：

例1、已知直線經過點)4,6(?A,且斜率為

3

4

?,求直線點斜式和一般式的方程：

解：點斜式方程：)6(

3

4

4????xy；〔2〕一般式方程：01234???yx；

例2、把直線l的一般式方程x–2y+6=0化成斜截式,求出直線l的斜率以與它在x軸

與y軸上的截距,并畫出圖形.

解：將直線l的一般式方程化成斜截式3

2

1

??xy,因此,直線的斜率

2

1

?k,它在y軸上

的截距是3.

在直線l的方程x–2y+6=0中,令y=0,得x=–6,即直線在x軸上的截距是–6.

由上面可得直線l與x軸、y軸的交點分別為A〔–6,0〕,B〔0,3〕,過點A、B作直線,

就得直線l的圖形〔如圖〕.

注：求截距可以引導學生把一般式化為截距式,再由截距式觀察而得.

〔四〕課堂練習：課本P99,練習第2、3題.

〔五〕歸納總結

1、我們學到了什么？

〔1〕通過對直線方程的各種特殊形式的復習和變形,概括出直線方程的一般形式：

0???CByAx〔A、B不同時為零〕

〔2〕通過直線方程的一般式與特殊式的互化與解題,進一步理解直線方程解集和直線上

點集的一一對應關系,從而概括出互推關系：

點

),(

00

yx在直線0???CByAx上0

00

????CByAx

2、數學思想方法：分類討論思想、數形結合思想.

補充練習：1、已知直線l

1

,l

2

的方程分別是l

1

：A

1

x+B

1

y+C

1

=0〔A

1

,B

1

不同時為0〕,l

2

：

A

2

x+B

2

y+C

2

=0〔A

2

,B

2

不同時為0〕,且A

1

A

2

+B

1

B

2

=0,求證：l

1

⊥l

2

.

拓展：若l

1

//l

2

,則A

1

、B

1

、C

1

、A

2

、B

2

、C

2

應滿足什么條件？

〔六〕布置作業：課本P100,習題3.2[A組]第10、11題；[B組]第4,5題.

〔七〕教學反思：

66/95

3.3.1兩直線的交點坐標

3.3.2兩點間的距離

授課類型：新授課授課時間：第周年月日〔星期〕

一、教學目標

1、知識與技能：〔1〕能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標；

〔2〕掌握直角坐標系兩點間的距離公式,會用坐標法證明簡單的幾何問題.

2、過程和方法：〔1〕學習兩直線交點坐標的求法,判斷兩直線位置的方法,歸納過定點的

直線系方程；

〔2〕推導兩點間距離公式,充分體會數形結合的優越性.

3、情感態度與價值觀：通過兩直線交點和二元一次方程組的聯系,從而認識事物之間的

內的聯系,能用代數方法解決幾何問題.

二、教學重點、難點

重點：判斷兩直線是否相交,求交點坐標；兩點間距離公式的推導.

難點：兩直線相交與二元一次方程的關系,應用兩點間距離公式解決幾何問題.

三、教學方法：啟發引導式

在學生認識直線方程的基礎上,啟發學生理解兩直線交點與二元一次方程組的的相互關

系.引導學生將兩直線交點的求解問題轉化為相應的直線方程構成的二元一次方程組解的問

題.由此體會"形"的問題由"數"的運算來解決.

四、教學過程：

〔一〕兩條直線的交點坐標

1、設置情境,導入新課

問題1：已知兩條直線l

1

：3x+4y–12=0,l

2

：2x+y+2=0相交,求這兩條直線的交點

坐標.

問題2：已知兩條直線l

1

：A

1

x+B

1

y+C

1

=0,l

2

：A

2

x+B

2

y+C

2

=0相交,如何求這兩條直線的

交點的坐標？

2、講授新課

幾何元素中,點A可用坐標A表示,直線l可用方程Ax+By+C=0表示,因此,

求兩條直線的交點坐標,可聯立方程組求解〔代數方法〕.

結論：〔1〕若方程組有唯一解,則兩條直線相交,此解就是交點的坐標；

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〔2〕若方程組無解,則兩條直線無公共點,此時兩條直線平行；

〔3〕若方程組有無數解,則兩條直線重合.

練習：課本P104,練習1.

3、探究：當λ變化時,方程3x+4y–2+λ<2x+y+2>=0表示什么圖形？圖形有何特點？

演示：借助幾何畫板作出方程所表示的圖形,改變的值.

猜想：方程表示一條直線,其共同特點是經過同一點,該點的坐標可由l

1

：3x+4y–2=0,l

2

：

2x+y=0的交點求得.

4、例題：判斷下列各對直線的位置關系,如果相交,求出交點的坐標：

〔1〕l

1

：x–y=0,l

2

：3x+3y–10=0；

〔2〕l

1

：3x–y+4=0,l

2

：6x–2y–1=0；

〔3〕l

1

：3x+4y–5=0,l

2

：6x+8y–10=0.

5、練習：P104,練習2.

〔二〕兩點間的距離

1、情境設置,導入新課

復習：數軸上兩點間的距離公式：|AB|=|x

2

–x

1

|.

思考：已知平面上兩點),(),,(

222111

yxPyxP,如何求P

1

,P

2

的距離？

2、講授新課

解決問題：分別向x軸和y軸作垂線相交于點Q