1
1.3.1極限的四則運算
一、極限運算法則
定理1
lim(),lim(),fxAgxB??設
則
(1)lim[()()];fxgxAB???(2)lim[()()];fxgxAB???
()
(3)lim,0
()
fxA
B
gxB
??其中
推論1
).(lim)](lim[,,)(limxfcxcfcxf?則為常數而存在如果
即：常數因子可以提到極限記號外面.
推論2
.)]([lim)](lim[,,)(limnnxfxfnxf?則是正整數而存在如果
定理2（復合函數的極限）
.)(lim))((lim,)(lim,)(),(U
?
,)(lim,)()())((
000
0
00
0
aufxfaufuxx
uxxuufyxfy
uuxxuu
xx
????
????
???
?
???
???
則又有內
去心鄰域且在若復合而成及是由設
二、求極限方法舉例
常見方法：a.多項式與分式函數代入法求極限;b.消去零因子法求極限;
c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質求極限;e.利用左右極限求分段函數極限.
（一）多項式與分式函數代入法求極限
則有設,)(.11
10n
nnaxaxaxf??????
n
n
xx
n
xxxx
axaxaxf?????
???
?1
10
)lim()lim()(lim
000
).(
0
xf?
則有且設,0)(,
)(
)(
)(.2
0
??xQ
xQ
xP
xf
)(lim
)(lim
)(lim
0
0
0xQ
xP
xf
xx
xx
xx
?
?
?
?
)(
)(
0
0
xQ
xP
?
).(
0
xf?
.,0)(
0
則商的法則不能應用若?xQ
例1).53(lim2
2
??
?
xx
x
求
解：)53(lim2
2
??
?
xx
x
5lim3limlim
22
2
2???
???
xxx
xx5limlim3)lim(
22
2
2???
???
xxx
xx
52322????
.3?
例2求.
35
123
lim
2
23
2??
???
?xx
xxx
x
解：
35
123
lim
2
23
2??
???
?xx
xxx
x3
1
6
3252
122223
2
23
??
???
?????
?
例3求)
14
1
35
1
15
1
3
1
(lim
2?
????
??nn
?解：?
??
?
?)12)(12(
1
14
1
2nnn
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?12
1
12
1
2
1
nn
)12)(12(
1
75
1
53
1
31
1
14
1
35
1
15
1
3
1
2??
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
nnn
??
n
nnaxaxa??????1
0100
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
12
1
12
1
7
1
5
1
5
1
3
1
3
1
1
2
1
nn
?
?
?
?
?
?
?
?
??
12
1
1
2
1
n
.
2
1
12
1
1
2
1
lim)
14
1
35
1
15
1
3
1
(lim
2
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
????
????nnnn
?
例4).
21
(lim
222n
n
nnn
???
??
?求解：當
．是無限多個無窮小之和時,??n
先變形再求極限.
2222
21
lim)
21
(lim
n
n
n
n
nnnn
???
????
????
?
?
2
)1(
2
1
lim
n
nn
n
?
?
??
)
1
1(
2
1
lim
nn
??
??
.
2
1
?
(二))
0
0
(型消去零因子法求極限
消去零因子法：（1）因式分解；（2）有理化法；（3）變量替換法
（1）因式分解
例1.
32
1
lim
2
2
1??
?
?xx
x
x
求)
0
0
(型
解：.,,1分母的極限都是零分子時?x.)1(后再求極限因子先約去不為零的無窮小?x
)1)(3(
)1)(1(
lim
32
1
lim
1
2
2
1??
??
?
??
?
??xx
xx
xx
x
xx3
1
lim
1?
?
?
?x
x
x
.
2
1
?
練習：求
h
xhx
h
33
0
)(
lim
??
?
解：原式=
h
xxhxhxxhx
h
])())[((
lim
22
0
??????
?
])()[(lim22
0
xxhxhx
h
?????
?
23x?
（2）有理化法，將分子或分母有理化，約去極限為零的因式。
例2.
22
325
lim
2?
??
?x
x
x
求解：.,0)22(lim
2
故不能直接用公式計算由于??
?
x
x
)22)(22)(325(
)22)(325)(325(
lim
22
325
lim
22????
?????
?
?
??
??xxx
xxx
x
x
xx
)42)(325(
)22)(42(
lim
2???
??
?
?xx
xx
x
.
3
2
)325(lim
)22(lim
325
22
lim
2
2
2
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?x
x
x
x
x
x
x
練習：求
xx
x
x????11
lim
0
?
?
?
?
?
?
0
0
解：原式=
)1()1(
)11(
lim
0xx
xxx
x???
???
?x
xxx
x2
)11(
lim
0
???
?
?2
)11(
lim
0
xx
x
???
?
?
=1
3
（3）變量替換法
例5.
1
1
lim
3
1?
?
?x
x
x
?
?
?
?
?
?
0
0
解：令
11,6
6????txxttx，時且則
原式=
1
1
lim
2
3
1?
?
?t
t
t)1)(1(
)1)(1(
lim
2
1??
???
?
?tt
ttt
t)1(
)1(
lim
2
1?
??
?
?t
tt
t2
3
?
(三))(型
?
?無窮小因子分出法
為非負整數時有和當nmba,0,0
00
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
???
???
?
?
??
,,
,,0
,,
lim
0
0
1
10
1
10
mn
mn
mn
b
a
bxbxb
axaxa
n
nn
m
mm
x
當
當
當
?
?
無窮小因子分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.
例1.
147
532
lim
23
23
??
??
??xx
xx
x
求解：
.,,分母的極限都是無窮大分子時??x
.,,3再求極限分出無窮小去除分子分母先用x
3
3
23
23
14
7
53
2
lim
147
532
lim
x
x
x
x
xx
xx
xx
??
??
?
??
??
????
.
7
2
?
練習：求下列極限
12
423
lim1
3
3
?
??
??x
xx
x
、
2
3
?
12
42
lim2
5
4
?
??
??x
xx
x
、=0
12
13
lim3
3
4
?
??
??x
xx
x
、
??
（四）利用無窮小運算性質求極限
1、利用有界函數與無窮小乘積是無窮小
例1求
x
x
x
sin
lim
??
.
解：,
1
,為無窮小時當
x
x??.sin是有界函數而x.0
sin
lim??
??x
x
x
2、利用無窮小與無窮大的關系（倒數關系）
例2.
32
14
lim
2
1??
?
?xx
x
x
求
解)32(lim2
1
??
?
xx
x
?
,0?商的法則不能用)14(lim
1
?
?
x
x
?又
,03??
14
32
lim
2
1?
??
?
?x
xx
x
.0
3
0
??
由無窮小與無窮大的關系,得.
32
14
lim
2
1
??
??
?
?xx
x
x
（五）)(型???
兩個無窮大量相減的問題，我們首先進行通分運算，設法去掉不定因素，然后運用四則運算法則求其極限。
x
x
y
sin
?
4
也就是說，要將型型或轉化為型
?
?
???
0
0
)(。具體有通分法、分子有理化。
例1求)
1
3
1
1
(lim
3
1?
?
??xxx
解：原式=
1
31
lim
3
2
1?
???
?x
xx
x)1)(1(
)2)(1(
lim
2
1???
??
?
?xxx
xx
x
1
)1(
)2(
lim
2
1
?
??
?
?
?xx
x
x
例2))3((limxxx
x
??
??
解：原式=
??
xxx
xxx
x??
??
??)3(
)3(
lim
2
xxx
x
x??
?
??)3(
3
lim
1)
3
1(
3
lim
??
?
??
x
x2
3
?
練習：.)2(1limxxx
x
???
???
求
解：)2(1limxxx
x
???
???xx
xxxxx
x??
?????
?
???2
)2)(2(1
lim
xx
x
x??
?
?
???2
12
lim.1
1
1
1
1
1
1
2
lim?
?
??
?
?
?
???
xx
x
（六）利用左右極限與極限的關系
例1設,
0,
0,1
)(
?
?
?
??
??
?
xbx
xe
xf
x
問b取何值時,)(lim
0
xf
x?
存在,并求其值。.
解?
??
)(lim
0
xf
x
?
2)1(lim
0
??
??
x
x
e
?
??
)(lim
0
xf
x
bbx
x
??
??
)(lim
0
?由函數的極限與其左、右極限的關系,得b=2,.2)(lim
0
?
?
xf
x
練習：).(lim,
0,1
0,1
)(
0
2
xf
xx
xx
xf
x??
?
?
??
??
?求設
解：兩個單側極限為是函數的分段點,0?x)1(lim)(lim
00
xxf
xx
??
????
,1?
)1(lim)(lim2
00
??
????
xxf
xx
,1?左右極限存在且相等，.1)(lim
0
?
?
xf
x
故
（七）復合函數求極限方法
例
0
x
x
e
?
求
解：0sin,0???xux時因為所以，由復合函數求極限法則,1lim
0
?
?
u
u
e.1limsin
0
?
?
x
x
e
注：這類復合函數的極限通常可寫成.1lim0
sinlim
sin
0
0????
?
eee
x
x
x
x
例x
x
x
??
求解：xx
x
x
x
exlncoscoslimlim
????
?
.
1
ln
lncoslim
?
?
?????
?ee
xx
x
5
1.3.2兩個重要的極限
一、1
sin
lim
0
?
?x
x
x
:1
sin
lim
0
使用時須注意對?
?x
x
x
型；類型是
0
0
)1(推廣形式)2(1
)(
)(sin
lim
)x(
0
?
??
?x
x
xx?
?
或
0)(lim
)x(
0
?
??
?
x
xx
?
或
其中單位是弧度。x)3(
例1
x
x
x
4sin
lim
0?
求解：原式=4.
4
4sin
lim
0x
x
x?
=4
例2求
x
x
x
x
xx
tan
lim2
2sin
3sin
lim1
00??
、、
解：
x
x
x2sin
3sin
lim1
0?
、
x
x
x
x
x
x
x
2
2
2sin
3
3
3sin
lim
0
?
?
?
?
x
x
x
x
x
x
2
2sin
lim2
3
3sin
lim3
0
0
?
?
?
?
?
2
3
12
13
?
?
?
?
x
x
x
x
x
xx
cos
sin
lim
tan
lim2
00??
?、
xx
x
xcos
sin
lim
0?
?
xx
x
xxcos
1
lim
sin
lim
00??
??
111???
例3求極限
x
x
x
3
sinlim
??
解：
x
x
x
3
sinlim
??
)
3
3
3
sin
(lim
x
x
x
x
x
???
??
x
x
x3
3
sin
lim3
??
?
313???
練習：求
3
0
sintan
lim
x
xx
x
?
?
解：原式=
3
0
sin
cos
sin
lim
x
x
x
x
x
?
?x
x
xx
x
x
sin
.
cos
cos1
lim
2
0
?
?
?
x
x
x
x
x
x
sin
.
cos
1
.
2
sin2
lim
2
2
0?
?
2
1
cos
1sin
2
2
sin
lim
2
0xx
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?2
1
?
二、e
x
x
x
??
??
)
1
1(limexx
x
??
?
1
0
)1(lim
)1(?
:)
1
1(lim)1(lim
1
0
使用須注意對e
x
xx
x
x
x
????
???
型；類型是?1)1(推廣形式)2(
0)(lim,)](1[lim
00
)(
1
???
??
xex
xx
x
xx
???；????
??
)(lim,]
)(
1
1[lim
00
)(xe
xxx
x
xx
?
?
?
例4.)
1
1(limx
xx
?
??
求解：1])
1
1[(lim??
???
??x
xx
原式
x
x
x
?
??
?
?
?
)
1
1(
1
lim.
1
e
?
例5x
xx
)
3
1(lim)1(?
??
xx
x
1
)31(lim)2(
0
?
?
解：x
xx
)
3
1(lim)1(?
??
3
3])
3
1[(lim
x
xx
??
??
3e?
.
6
xx
x
1
)31(lim)2(
0
?
?
)3(
3
1
)]3(1[lim
0
??
????
?
xx
x
3})]3(1{[lim3
1
?
??
????xx
x
3??e
例634)
2
1
1(lim?
??
?x
xx
求
解：34)
2
1
1(lim?
??
?x
xx
34)
2
1
1()
2
1
1(lim
xx
x
x
???
??
322)
2
1
1(lim])
2
1
1[(lim
xxx
x
x
???
????
12??e2e?
例7x
xx
x
2)
1
2
(lim
?
?
??
求
解：x
xx
x
2)
1
2
(lim
?
?
??
2)1(2)
1
1
1(lim??
???
??x
xx
2)1(2)
1
1
1()
1
1
1(lim??
???
??
?
??
xx
x
x
221)
1
1
1(lim])
1
1
1[(lim?
??
?
???
??
?
??
xxx
x
x
2e?
練習.)
2
3
(lim2x
xx
x
?
?
??
求解14)2(2)
2
1
1(lim??
???
??x
xx
原式422)
2
1
1(])
2
1
1[(lim??
???
?
?
??
xx
x
x
.2e?
解2x
xx
2)
2
1
1(lim
?
??
??
原式0,x,2
1
x,
2
1
??????
?
t
t
t
x
且則令
4
2
0
)1(lim
?
?
??t
t
t原式4
0
2
1
0
)1(lim)1(lim?
??
?
?
?
?
?
?
?
??tt
t
t
t
=e2
【補充】等價無窮小代換
定理(等價無窮小代換定理)
.limlim,lim~,~
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
??
則存在且設
常用等價無窮小:,0時當?x
2
1
~sin~tan~arcsin~arctan~ln(1)~1,1cos~
2
xxxxxxxexx???
例1.
cos1
2tan
lim
2
0x
x
x??
求解：.2~2tan,
2
1
~cos1,02xxxxx??時當
2
2
0
2
1
)2(
lim
x
x
x?
?原式
.8?
若未定式的分子或分母為若干個因子的乘積，則可對其中的任意一個或幾個無窮小因子作等價無窮小
代換，而不會改變原式的極限．
例2.
arcsin
sin)1(
lim
0x
xx
x
?
?
求
解.~arcsin,~sin,0xxxxx時當?
x
xx
x
)1(
lim
0
?
?
?
原式)1(lim
0
??
?
x
x
.1?
注意不能濫用等價無窮小代換。切記，只可對函數的因子作等價無窮小代換，對于代數和中各無窮
小不能分別代換.
例3.
2sin
sintan
lim
3
0x
xx
x
?
?
求錯解.~sin,~tan,0xxxxx時當?
3
0)2(
lim
x
xx
x
?
?
?
原式
.0?（?）
解：,0時當?x
,2~2sinxx)cos1(tansintanxxxx???
,
2
1
~3x
3
3
0)2(
2
1
lim
x
x
x?
?原式.
16
1
?
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