數學集合知識點

高一數學集合知識點匯總

高一數學要透徹理解書本上和課堂上老師補充的內容，有時要反

復思考、再三研究，要能在理解的基礎上舉一反三，并在勤學的基礎

上好問。接下來小編為大家整理了高一數學學習的內容，一起來看看

吧!

高一數學集合知識點匯總

一.知識歸納：

1.集合的有關概念。

1)集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個集合(集).其中每

一個對象叫元素

注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過

描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。

②集合中的元素具有確定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互異性

(若a?A，b?A，則a≠b)和無序性({a,b}與{b,a}表示同一個集合)。

③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元

素;只要是它的元素就必須符號條件

2)集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法

3)集合的分類：有限集，無限集，空集。

4)常用數集：N，Z，Q，R，N*

2.子集、交集、并集、補集、空集、全集等概念。

1)子集：若對x∈A都有x∈B，則AB(或AB);

2)真子集：AB且存在x0∈B但x0A;記為AB(或，且)

3)交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}

4)并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}

5)補集：CUA={x|xA但x∈U}

注意：①?A，若A≠?，則?A;

②若，，則;

③若且，則A=B(等集)

3.弄清集合與元素、集合與集合的關系，掌握有關的術語和符號，

特別要注意以下的符號：(1)與、?的區別;(2)與的區別;(3)與的區別。

4.有關子集的幾個等價關系

①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;

④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。

5.交、并集運算的性質

①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪?=A，

A∪B=B∪A;

③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB;

6.有限子集的個數：設集合A的元素個數是n，則A有2n個子

集，2n-1個非空子集，2n-2個非空真子集。

二.例題講解：

【例1】已知集合

M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=,p∈Z}，則M,N,P滿足

關系

A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM

分析一：從判斷元素的共性與區別入手。

解答一：對于集合M：{x|x=,m∈Z};對于集合N：{x|x=,n∈Z}

對于集合P：{x|x=,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3

除余1的數，而6m+1表示被6除余1的數，所以MN=P，故選B。

分析二：簡單列舉集合中的元素。

解答二：M={…，，…}，N={…，,,，…}，P={…，,，…}，這時

不要急于判斷三個集合間的關系，應分析各集合中不同的元素。

=∈N，∈N，∴MN，又=M，∴MN，

=P，∴NP又∈N，∴PN，故P=N，所以選B。

點評：由于思路二只是停留在最初的歸納假設，沒有從理論上解

決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。

變式：設集合，，則(B)

A.M=.

解：

當時，2k+1是奇數，k+2是整數，選B

【例2】定義集合A*B={x|x∈A且xB}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，

則A*B的子集個數為

A)1B)2C)3D)4

分析：確定集合A*B子集的個數，首先要確定元素的個數，然后

再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n個來求解。

解答：∵A*B={x|x∈A且xB}，∴A*B={1,7}，有兩個元素，故A*B

的子集共有22個。選D。

變式1：已知非空集合M{1,2,3,4,5}，且若a∈M，則6?a∈M，

那么集合M的個數為

A)5個B)6個C)7個D)8個

變式2：已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A.

解：由已知，集合中必須含有元素a,b.

集合A可能是

{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.

評析本題集合A的個數實為集合{c,d,e}的真子集的個數，所以共

有個.

【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且

A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求實數p,q,r的值。

解答：∵A∩B={1}∴1∈B∴12?4×1+r=0,r=3.

∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3},∵A∪B={?2,1,3},?2B,∴?2∈A

∵A∩B={1}∴1∈A∴方程x2+px+q=0的兩根為-2和1，

∴∴

變式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且

A∩B={2},A∪B=B，求實數b,c,m的值.

解：∵A∩B={2}∴1∈B∴22+m?2+6=0,m=-5

∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3}∵A∪B=B∴

又∵A∩B={2}∴A={2}∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4

∴b=-4,c=4,m=-5

【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B滿足：

A∪B={x|x>-2}，且A∩B={x|1

分析：先化簡集合A，然后由A∪B和A∩B分別確定數軸上哪些

元素屬于B，哪些元素不屬于B。

解答：A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1]B，而(-∞,-

2)∩B=ф。

綜合以上各式有B={x|-1≤x≤5}

變式1：若A={x|x3+2x2-8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0},已知

A∪B={x|x>-4}，A∩B=Φ,求a,b。(答案：a=-2，b=0)

點評：在解有關不等式解集一類集合問題，應注意用數形結合的

方法，作出數軸來解之。

變式2：設M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，求

所有滿足條件的a的集合。

解答：M={-1,3},∵M∩N=N,∴NM

①當時，ax-1=0無解，∴a=0②

綜①②得：所求集合為{-1，0，}

【例5】已知集合，函數y=log2(ax2-2x+2)的定義域為Q，若

P∩Q≠Φ，求實數a的取值范圍。

分析：先將原問題轉化為不等式ax2-2x+2>0在有解，再利用參

數分離求解。

解答：(1)若，在內有有解

令當時，

所以a>-4,所以a的取值范圍是

變式：若關于x的方程有實根,求實數a的取值范圍。

解答：

點評：解決含參數問題的題目，一般要進行分類討論，但并不是

所有的問題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關鍵。

三.隨堂演練

選擇題

1.下列八個關系式①{0}=②=0③{}④{}⑤{0}

⑥0⑦{0}⑧{}其中正確的個數

(A)4(B)5(C)6(D)7

2.集合{1，2，3}的真子集共有

(A)5個(B)6個(C)7個(D)8個

3.集合A={x}B={}C={}又則有

(A)(a+b)A(B)(a+b)B(C)(a+b)C(D)(a+b)A、B、C任一個

4.設A、B是全集U的兩個子集，且AB，則下列式子成立的是

(A)CUACUB(B)CUACUB=U

(C)ACUB=(D)CUAB=

5.已知集合A={}，B={}則A=

(A)R(B){}

(C){}(D){}

6.下列語句：(1)0與{0}表示同一個集合;(2)由1，2，3組成的集

合可表示為

{1，2，3}或{3，2，1};(3)方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可

表示為{1，1，2};(4)集合{}是有限集，正確的是

(A)只有(1)和(4)(B)只有(2)和(3)

(C)只有(2)(D)以上語句都不對

7.設S、T是兩個非空集合，且ST，TS，令X=S那么S∪X=

(A)X(B)T(C)Φ(D)S

8設一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)的根的判別式，則不等式

ax2+bx+c0的解集為

(A)R(B)(C){}(D){}

填空題

9.在直角坐標系中，坐標軸上的點的集合可表示為

10.若A={1,4,x},B={1,x2}且AB=B，則x=

11.若A={x}B={x},全集U=R，則A=

12.若方程8x2+(k+1)x+k-7=0有兩個負根，則k的取值范圍是

13設集合A={},B={x},且AB，則實數k的取值范圍是。

14.設全集U={x為小于20的非負奇數}，若A(CUB)={3，7，15}，

(CUA)B={13，17，19}，又(CUA)(CUB)=，則AB=

解答題

15(8分)已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1},若AB={-

3}，求實數a。

16(12分)設A=，B=，

其中xR,如果AB=B，求實數a的取值范圍。

四.習題答案

選擇題

12345678

CCBCBCDD

填空題

9.{(x,y)}10.0,11.{x,或x3}12.{}13.{}14.{1,5,9,11}

解答題

15.a=-1

16.提示：A={0，-4}，又AB=B，所以BA

(Ⅰ)B=時，4(a+1)2-4(a2-1)<0，得a<-1

(Ⅱ)B={0}或B={-4}時，0得a=-1

(Ⅲ)B={0，-4}，解得a=1

綜上所述實數a=1或a-1