冪函數教案

1

【新教材】3.3冪函數（人教A版）

冪函數是在繼一次函數、反比例函數、二次函數之后，又學習了單調性、最值、奇偶性的基礎上，

借助實例，總結出冪函數的概念，再借助圖像研究冪函數的性質.

課程目標

1、理解冪函數的概念，會畫冪函數y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x的圖象；

2、結合這幾個冪函數的圖象，理解冪函數圖象的變化情況和性質；

3、通過觀察、總結冪函數的性質，培養學生概括抽象和識圖能力．

數學學科素養

1.數學抽象：用數學語言表示函數冪函數；

2.邏輯推理：常見冪函數的性質；

3.數學運算：利用冪函數的概念求參數；

4.數據分析：比較冪函數大小；

5.數學建模：在具體問題情境中，運用數形結合思想，利用冪函數性質、圖像特點解決實際問題。

重點：常見冪函數的概念、圖象和性質；

難點：冪函數的單調性及比較兩個冪值的大小．

教學方法：以學生為主體，采用誘思探究式教學，精講多練。

教學工具：多媒體。

一、情景導入

學生閱讀課本89頁五個實例，求解析式？觀察五個解析式有什么共同特征？

問題1：如果張紅購買了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的錢數p=w元，這里p是w的函數.

問題2：如果正方形的邊長為a，那么正方形的面積S=a2，這里S是a的函數.

2

1

2

問題3：如果正方體的邊長為a，那么正方體的體積V=a3，這里V是a的函數.

問題4：如果正方形場地的面積為S，那么正方形的邊長a=S，這里a是S的函數.

問題5：如果某人ts內騎車行進了1km，那么他騎車的平均速度v=t－1km/s，這里v是t的函數.

要求：讓學生自由發言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.

二、預習課本，引入新課

閱讀課本89-90頁，思考并完成以下問題

1.冪函數是如何定義的？

2.冪函數的解析式具有什么特點？

3.常見冪函數的圖象是什么？它具有哪些性質？

要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。

三、新知探究

1．冪函數

一般地,函數y=xα叫做冪函數,其中x是自變量,α是常數.

2、冪函數的性質

冪函數y=xy=x2y=x3y=x

1

2

y=x-

1

定義域RRR[0,+∞)

(-∞,0)∪

(0,+∞)

值域R[0,+∞)R[0,+∞)

(-∞,0)∪

(0,+∞)

奇偶性奇函數偶函數奇函數

非奇非

偶函數

奇函數

單調性

在R上是

增函數

在[0,+∞)上是增函

數,在(-∞,0]上是減

函數

在R上是

增函數

在[0,+∞)上是增

函數

在(0,+∞)上是減函數,在

(-∞,0)上是減函數

公共點(1,1)

四、典例分析、舉一反三

題型一冪函數的概念

例1函數f(x)=(m2-m-5)xm-1是冪函數,且當x∈(0,+∞)時,f(x)是增函數,試確定m的值.

【答案】m=3

【解析】根據冪函數的定義,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.

當m=3時,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函數;

當m=-2時,f(x)=x-3在(0,+∞)上是減函數,不符合要求.故m=3.

2

1

3

解題技巧：（判斷一個函數是否為冪函數）

判斷一個函數是否為冪函數的依據是該函數是否為y=xα(α為常數)的形式,即:(1)系數為1;(2)指數為

常數;(3)后面不加任何項.反之,若一個函數為冪函數,則該函數必具有這種形式.

跟蹤訓練一

1.如果冪函數y=(m2-3m+3)x

m2?m?2

的圖象不過原點,求實數m的取值.

【答案】m=1或m=2.

【解析】由冪函數的定義得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;

當m=1時,m2-m-2=-2,函數為y=x-2,其圖象不過原點,滿足條件;

當m=2時,m2-m-2=0,函數為y=x0,其圖象不過原點,滿足條件.

綜上所述,m=1或m=2.

題型二冪函數的圖象與性質

例2已知函數y=xa,y=xb,y=xc的圖象如圖所示,

則a,b,c的大小關系為()

A.c

C.b

【答案】A

【解析】由冪函數的圖象特征,知c<0,a>1,0

解題技巧：(冪函數圖像與性質)

1.本題也可采用特殊值法,如取x=2,結合圖象可知2a>2b>2c,又函數y=2x在R上是增函數,于是a>b>c.

2.對于函數y=xα(α為常數)而言,其圖象有以下特點:

(1)恒過點(1,1),且不過第四象限.

(2)當x∈(0,1)時,指數越大,冪函數圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”);當x∈(1,+∞)時,指數越大,冪

函數的圖象越遠離x軸(簡記為“指大圖高”).

(3)由冪函數的圖象確定冪指數α與0,1的大小關系,即根據冪函數在第一象限內的圖象(類似于y=x-1或y=

y=x,y=x3)來判斷.2

1

4

(4)當α>0時,冪函數的圖象在區間(0,+∞)上都是增函數;當α<0時,冪函數的圖象在區間(0,+∞)上都是

減函數.

跟蹤訓練二

1.如圖所示,曲線C1與C2分別是函數y=xm和y=xn在第一象限內的圖象,則下列結論正確的是()

A.n

B.m

C.n>m>0

D.m>n>0

【答案】A

【解析】畫出直線y=x0的圖象,作出直線x=2,與三個函數圖象交于點(2,20),(2,2m),(2,2n).由三個點的位置

關系可知,n

題型三利用冪函數的單調性比較大小

例3比較下列各組中兩個數的大小:

(1)

(

2

5

)

1

2與

(

1

3

)

1

2;

(2)

(

-

2

3

)

-1

與

(

-

3

5

)

-1

;

(3)

(

1

2

)

3

4與

(

3

4

)

1

2.

【答案】見解析

【解析】(1)∵冪函數y=x

1

2在[0,+∞)上是增函數,

5

又

2

5

>1

3

,∴

(

2

5

)

1

2>

(

1

3

)

1

2.

(2)∵冪函數y=x-1在(-∞,0)上是減函數,

又-

2

3

<-

3

5

,∴

(

-

2

3

)

-1

>

(

-3

5

)

-1

.

(3)∵函數y1=

(

1

2

)

x

在定義域內為減函數,且

3

4

>1

2

,∴

(

1

2

)

1

2>

(1

2

)

3

4.

又函數y2=x

1

2在[0,+∞)上是增函數,且

3

4

>1

2

,

∴

(

3

4

)

1

2>

(1

2

)

1

2.∴

(

3

4

)

1

2>

(1

2

)

3

4.

解題技巧：（比較冪函數大小）

1.比較冪大小的三種常用方法

2.利用冪函數單調性比較大小時要注意的問題

比較大小的兩個實數必須在同一函數的同一個單調區間內,否則無法比較大小.

跟蹤訓練三

1.已知a=2

4

3,b=4

2

5,c=25

1

3,則()

A.b

C.b

【答案】A

【解析】∵a=2

4

3=16

1

3,b=4

2

5=16

1

5,c=25

1

3,∴a>b,a

五、課堂小結

讓學生總結本節課所學主要知識及解題技巧

六、板書設計

6

七、作業

課本91頁習題3.3

本節主要學習了一類新的函數：冪函數。主要就冪函數的形式定義、圖像性質、比較大小三方面學習

冪函數.尤其比較大小與前面函數單調性密切相關，因此本節課需要學生熟記定義及圖像特征.

3.3冪函數

1.冪函數概念例1例2例3

2.冪函數的圖像性質