勾股定理公式

常見的勾股數及公式

武安市黃岡實驗學校翟升華搜集整理

我們知道，如果∠C=90°，a、b、c是直角三角形的三邊，則由勾股定理，得a2+b2=c2；反之，若三角形的三

邊a、b、c滿足a2+b2=c2，則該三角形是直角三角形，c為斜邊．與此相類似，如果三個正整數a、b、c滿足

a2+b2=c2，則稱a、b、c為勾股數，記為（a，b，c）．勾股數有無數多組，下面向同學們介紹幾種：

一、三數為連續整數的勾股數

（3，4，5）是我們所熟悉的一組三數為連續整數的勾股數，除此之外是否還有第二組或更多組呢？

設三數為連續整數的勾股數組為（x－１，x，x＋１），則由勾股數的定義，得（x+1）2+x2=（x+1）2，解得x

＝４或x＝０（舍去），故三數為連續整數的勾股數只有一組（３，４，５）；類似有3n,4n,5n(n是正整數)都

是勾股數。

二、后兩數為連續整數的勾股數

易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股數，

如此許許多多的后兩數為連續整數的勾股數，它的一般形式究竟是什么呢？

a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1（其特點是斜邊與其中一股的差為1）.

分別取n＝１，２，３，…就得勾股數組（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），…

三、前兩數為連續整數的勾股數

你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，這

些都是前兩數為連續整數的勾股數組。其公式為：（x，x＋１，1222??xx）（x為正整數）。

設前兩數為連續整數的勾股數組為（x，x＋１，y），y=1222??xx則??2

2

21yxx???（＊）

整理，得1222??xx＝2y，化為??12122

2????yx，即??yx212????yx212??＝－１，

又????2121??＝－１，∴??1221??n??1221??n

＝－１（ｎ?Ｎ），

故取??yx212??＝??1221??n

，??yx212??＝??1221??n

，

解之，得x＝

4

1

〔??1221??n

＋??1221??n

－２〕，y＝

4

2

〔??1221??n

－??1221??n

〕，

故前兩數為連續整數的勾股數組是（

4

1

〔??1221??n

＋??1221??n

－２〕，

4

1

〔??1221??n

＋??1221??n

－２〕＋１，

4

2

〔??1221??n

－??1221??n

〕）．

四、后兩數為連續奇數的勾股數

如(8，15，17),(12，35，37)…其公式為：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n是正整數).

五、其它的勾股數組公式：

1.a=2m,b=m2－1,c=m2+1（m大于1的整數）.2.a=

2

1

（m2－n2）,b=mn,c=

2

1

（m2+n2）（其中m>n且是互質的奇

數）.

3.a=2m,b=m2－n2,c=m2+n2（m>n,互質且一奇一偶的任意正整數）.

下面我們把100以內的勾股數組列出來，供同學們參考：

345；51213；6810；72425；81517；91215；94041；102426；116061；1216

20；

123537；138485；144850；152025；153639；15112113；1630

34；166365

17144145；182430；188082；19180181；202129；204852；2099

101；212835

217275；21220221；22120122；23264265；243240；2445

51；247074；24143145

256065；25312313；26168170；273645；27120123；27364

365；284553；2896100

28195197；29420421；304050；307278；30224226；31480

481；326068；32126130

32255257；334455；335665；33180183；33544545；34288

290；358491；35120125

35612613；364860；367785；36105111；36160164；36323

325；37684685；38360362

395265；398089；39252255；39760761；404258；4075

85；4096104；40198202

40399401；41840841；425670；42144150；42440442；43

924925；44117125；44240244

44483485；456075；45108117；45200205；45336339；46

528530；485573；486480

4890102；48140148；48189195；48286290；48575

577；49168175；50120130；50624626

516885；51140149；51432435；52165173；52336340；52

675677；547290；54240246

54728730；55132143；55300305；5690106；56105

119；56192200；56390394；56783785

577695；57176185；57540543；58840842；606387；6080

100；6091109；60144156

60175185；60221229；60297303；60448452；60899

901；62960962；6384105；63216225

63280287；63660663；64120136；64252260；64510

514；657297；65156169；65420425

6688110；66112130；66360366；68285293；68576

580；6992115；69260269；69792795

70168182；70240250；7296120；72135153；72154

170；72210222；72320328；72429435

72646650；75100125；75180195；75308317；75560

565；75936939；76357365；76720724

77264275；77420427；78104130；78160178；78504

510；8084116；80150170；80192208

80315325；80396404；80798802；81108135；81360

369；84112140；84135159；84187205

84245259；84288300；84437445；84585591；84880

884；85132157；85204221；85720725

87116145；87416425；88105137；88165187；88234

250；88480488；88966970；90120150

90216234；90400410；90672678；91312325；91588

595；92525533；93124155；93476485

95168193；95228247；95900905；96110146；96128

160；96180204；96247265；96280296

96378390；96572580；96765771；98336350；99132

165；99168195；99440451；99540549

100105145；100240260；100495505；100621629.

以下是大于100的勾股數：

第223組：102136170

第224組：102280298

第225組：102864870

第226組：104153185

第227組：104195221

第228組：104330346

第229組：104672680

第230組：105140175

第231組：105208233

第232組：105252273

第233組：105360375

第234組：105608617

第235組：105784791

第236組：108144180

第237組：108231255

第238組：108315333

第239組：108480492

第240組：108725733

第241組：108969975

第242組：110264286

第243組：110600610

第244組：111148185

第245組：111680689

第246組：112180212

第247組：112210238

第248組：112384400

第249組：112441455

第250組：112780788

第251組：114152190

第252組：114352370

第253組：115252277

第254組：115276299

第255組：116837845

第256組：117156195

第257組：117240267

第258組：117520533

第259組：117756765

第260組：119120169

第261組：119408425

第262組：120126174

第263組：120160200

第264組：120182218

第265組：120209241

第266組：120225255

第267組：120288312

第268組：120350370

第269組：120391409

第270組：120442458

第271組：120594606

第272組：120715725

第273組：120896904

第274組：121660671

第275組：123164205

第276組：123836845

第277組：124957965

第278組：125300325

第279組：126168210

第280組：126432450

第281組：126560574

第282組：128240272

第283組：128504520

第284組：129172215

第285組：129920929

第286組：130144194

第287組：130312338

第288組：130840850

第289組：132176220

第290組：132224260

第291組：132351375

第292組：132385407

第293組：132475493

第294組：132720732

第295組：133156205

第296組：133456475

第297組：135180225

第298組：135324351

第299組：135352377

第300組：135600615

第301組：136255289

第302組：136273305

第303組：136570586

第304組：138184230

第305組：138520538

第306組：140147203

第307組：140171221

第308組：140225265

第309組：140336364

第310組：140480500

第311組：140693707

第312組：140975985

第313組：141188235

第314組：143780793

第315組：143924935

第316組：144165219

第317組：144192240

第318組：144270306

第319組：144308340

第320組：144420444

第321組：144567585

第322組：144640656

第323組：144858870

第324組：145348377

第325組：145408433

第326組：147196245

第327組：147504525

第328組：150200250

第329組：150360390

第330組：150616634

第331組：152285323

第332組：152345377

第333組：152714730

第334組：153204255

第335組：153420447

第336組：153680697

第337組：154528550

第338組：154840854

第339組：155372403

第340組：155468493

第341組：156208260

第342組：156320356

第343組：156455481

第344組：156495519

第345組：156667685

第346組：159212265

第347組：160168232

第348組：160231281

第349組：160300340

第350組：160384416

第351組：160630650

第352組：160792808

第353組：161240289

第354組：161552575

第355組：162216270

第356組：162720738

第357組：165220275

第358組：165280325

第359組：165396429

第360組：165532557

第361組：165900915

第362組：168224280

第363組：168270318

第364組：168315357

第365組：168374410

第366組：168425457

第367組：168490518

第368組：168576600

第369組：168775793

第370組：168874890

第371組：170264314

第372組：170408442

第373組：171228285

第374組：171528555

第375組：171760779

第376組：174232290

第377組：174832850

第378組：175288337

第379組：175420455

第380組：175600625

第381組：176210274

第382組：176330374

第383組：176468500

第384組：176693715

第385組：176960976

第386組：177236295

第387組：180189261

第388組：180240300

第389組：180273327

第390組：180299349

第391組：180385425

第392組：180432468

第393組：180525555

第394組：180663687

第395組：180800820

第396組：180891909

第397組：182624650

第398組：183244305

第399組：184345391

第400組：184513545

第401組：185444481

第402組：185672697

第403組：186248310

第404組：186952970

第405組：189252315

第406組：189340389

第407組：189648675

第408組：189840861

第409組：190336386

第410組：190456494

第411組：192220292

第412組：192256320

第413組：192360408

第414組：192494530

第415組：192560592

第416組：192756780

第417組：195216291

第418組：195260325

第419組：195400445

第420組：195468507

第421組：195748773

第422組：196315371

第423組：196672700

第424組：198264330

第425組：198336390

第426組：198880902

第427組：200210290

第428組：200375425

第429組：200480520

第430組：200609641

第431組：201268335

第432組：203396445

第433組：203696725

第434組：204253325

第435組：204272340

第436組：204560596

第437組：204595629

第438組：204855879

第439組：205492533

第440組：205828853

第441組：207224305

第442組：207276345

第443組：207780807

第444組：207920943

第445組：208306370

第446組：208390442

第447組：208660692

第448組：208819845

第449組：210280350

第450組：210416466

第451組：210504546

第452組：210720750

第453組：213284355

第454組：215516559

第455組：215912937

第456組：216288360

第457組：216405459

第458組：216462510

第459組：216630666

第460組：216713745

第461組：216960984

第462組：217456505

第463組：217744775

第464組：219292365

第465組：220231319

第466組：220459509

第467組：220528572

第468組：220585625

第469組：222296370

第470組：224360424

第471組：224420476

第472組：224768800

第473組：224882910

第474組：225272353

第475組：225300375

第476組：225540585

第477組：225924951

第478組：228304380

第479組：228325397

第480組：228665703

第481組：228704740

第482組：230504554

第483組：230552598

第484組：231308385

第485組：231392455

第486組：231520569

第487組：231792825

第488組：232435493

第489組：232825857

第490組：234312390

第491組：234480534

第492組：235564611

第493組：237316395

第494組：238240338

第495組：238816850

第496組：240252348

第497組：240275365

第498組：240320400

第499組：240364436

第500組：240418482

第501組：240450510

第502組：240551601

第503組：240576624

第504組：240700740

第505組：240782818

第506組：240884916

第507組：240945975

第508組：243324405

第509組：245588637

第510組：245840875

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