因式分解題目

..

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第一講：因式分解一提公因式法

【知識要點(diǎn)】2016.11.21

1、分解因式的概念

把一個(gè)多項(xiàng)式公成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式。

2、分解因式與整式乘法的關(guān)系

分解因式與整式乘法是的恒等變形。

3．分解因式的一些注意點(diǎn)

（1）結(jié)果應(yīng)該是的形式；（2）必須分解到每個(gè)因式都不能為止；

（3）如果結(jié)果有相同的因式，必須寫成的形式。

4．公因式

多項(xiàng)式中各項(xiàng)都含有的公共的因式，我們把這個(gè)因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式的.

5.提公因式法

如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,可以把這個(gè)公因式提到括號外面,將多項(xiàng)式寫成因式乘積的形式,這種分解因式的

方示叫做提公因式法.

6.確定公因式的方法

(1)系數(shù)公因式:應(yīng)取多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)為;

(2)字母公因式:應(yīng)取多項(xiàng)式中各項(xiàng)字母為.

【學(xué)堂練習(xí)】

1.下列各式從左邊到右邊的變形,哪些是分解因式,哪些不是?

(1)

)

1

1(22

x

xxx???

;(2)1)5)(5(22?????aaba

(3)22))((nmnmnm????(4)22)2(44????xxx

(5))23(232yxxxxyx????(6)32)1)(3(2?????xxxx

2．把下列各式分解因式

（1）aaba3692??（2）4324264xyyxyx???

例1、把下列各式分解因式

（1）)2(3)2(2yxbyxa???（2）)2(4)2(3)2(2yxcxybyxa?????

（3）32)2()2(2xybyxa???（4）32)3(25)3(15abbab???

..

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（5）432)(2)(3)(xyxyyx?????（6）nmnmxbxaxbxa)()()()(11???????

例2．利用分解因式計(jì)算

（1）

5.12346.45.12347.115.12349.2?????

（2）

99100

9899

22

22

?

?

例3．已知

2,

3

2

???abba

，求代數(shù)式22222abbaba??的值。

例4、利用因式分解說明：127636?能被140整除。

【隨堂練習(xí)】

1．下列各式從左到右的變形中是因式分解的是（）

A、2))(1(2?????aabaaB、)

1

)(

1

(

2

2

y

x

y

x

y

x???

?

?

C、))((yxyxyx????D、2)2(4)4(????mmm

2．已知二次三項(xiàng)式cbxx??22分解因式

)1)(3(2??xx

，則

cb,

的值為（）

A、

1,3???cb

B、

2,6???cb

C、

4,6????cb

D、

6,4????cb

3．下列各式的公因式是a的是（）

A、5??ayaxB、264mama?C、aba1052?D、maaa??42

4．將

)()(3yxbyxa???

用提公因式法分解因式，應(yīng)提出的公因式是（）

A、

ba?3

B、

)(3yx?

C、yx?D、

ba?3

5．把多項(xiàng)式)2()2(2amam???分解因式的結(jié)果為（）

A、))(2(2mma??B、))(2(2mma??C、)1)(2(??mamD、)1)(2(??mam

6．多項(xiàng)式xyyx?22的公因式是；多項(xiàng)式是323296cabba?的公因式是。

7．分解因式：2xyxy?=。333)()()(nmmnbnma?????（）。

8．已知：1000,133???abba。22abba?的值為。

9．把下列各式分解因式

..

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（1）2222262abbaba??（2）32223229123bcacbabca???

（3）

)()(yxbyxa???

（4）)()(22yxxxy???

【課后強(qiáng)化】

1．432??mxx分解因式為

)1)(43(??xx

，則m的值為。

2．

xynxymxyxy3963?????

（）

??????)()()(axcxabaxa

。

3．把下列各式分解因式

（1）xyzxyyx126322??（2）)(6)(32xyxyxx???

（3）23)(4)(2xyyx???（4）2)())((baababaa????

第二講：因式分解—公式法、分組分解法

1．乘法公式逆變形

（1）平方差公式：))((22bababa????

（2）完全平方公式：222222)(2,)(2babababababa????????

2.常見的兩個(gè)二項(xiàng)式冪的變號規(guī)律：

①22()()nnabba???；②2121()()nnabba??????．（

n

為正整數(shù)）

3．把一個(gè)多項(xiàng)式分解因式，一般可按下列步驟進(jìn)行：

（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；

（2）如果多項(xiàng)式?jīng)]有公因式，那么可以嘗試運(yùn)用公式來分解；

（3）如果上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組分解方法。

【學(xué)堂練習(xí)】

1、如果2592??kxx是一個(gè)完全平方式，那么k的值是（）

A15B15?C30D30?

2、下列多項(xiàng)式，不能運(yùn)用平方差公式分解的是（）

A、42??mB、22yx??C、122?yxD、????22amam???

3、把下列各式分解因式：

（1）224ba?（2）2916a?（3）11622?yx

（4）36122??mm（5）22

4

1

yxyx??（6）222yxyx???

（7）22xyaxay???（8）42469xaa???

..

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【經(jīng)典例題】

例1．用公式法分解因式：

（1）222224)(baba??（2）22)3()2(???yx

（3）4422??abba（4）16824??xx

(5)22)2(25)1(16???xx(6)9)(6)(222????xxxx

分組分解法

掌握分組分解法中使用“二二”、“一三”分組的不同題型的解題方法

分組后能運(yùn)用公式（一三分組）

yxyx???221222???yxyxa2－b2－c2＋2bc

分組后能提公因式（二二分組）ax＋ay＋bx＋byab－c＋b－ac

練習(xí)：把下列多項(xiàng)式分解因式：

1.（1）1abab???（2）a2－ab＋ac－bc

2.（1）27321xyxyx???

（2）

263acadbcbd???

3.（1）22926abab???

（2）2242xxyy???

4.（1）a2－2ab＋b2－c2（2）2229124cbcba???

課外延伸

1．用分組分解法把a(bǔ)b－c＋b－ac分解因式分組的方法有（）

A．1種B.2種C.3種D.4種

2.用分組分解a2－b2－c2＋2bc的因式，分組正確的是（）

3．填空：

（1）ax＋ay－bx－by=(ax＋ay)－()=()()

（2）x2－2y－4y2＋x=()＋()=()()

（3）4a2－b2－4c2＋4bc=()－()=()()

4．用分組分解法分解因式

（1）44axayxy???（2）229816aabb???

)2().(

)2().(

222

222

bccbaC

bcbcaA

???

???

)2(.

2).(

222

222

bccbaD

bccbaB

???

???

..

;.

（3）baba4422???（4）222222abcdadbc?????

5．用合適的方法分解因式：

（1）424255bmam?（2）222231212mnmnm??

（3）)()(422mnbnma???（4）)(12)(9422nmmnmm????

6．利用分解因式計(jì)算：

（1）433.1922.122???（2）2298196202202???

7．若3223,2,3babbaaabba???????求值。

【隨堂練習(xí)】

1．對于多項(xiàng)式5321xxx???有如下四種分組方法：其中分組合理的是（）

①532()(1)xxx???②523()(1)xxx???③532()1xxx???④532(1)xxx???

A．①②B．①③C．②④D．③④

2.△ABC的三邊滿足a4+b2c2-a2c2-b4=0，則△ABC的形狀是__________.

3.已知2??ba，利用分解因式，求代數(shù)式22

2

1

2

1

baba??。

4、分解下列因式：

（1）－3x3－12x2＋36x（2）2224)1(xx??

（3）mmnnm222???（4）a2＋2ab＋b2－a－b

5、計(jì)算：（1）2??（2）

119899

4555

2

22

??

?

【課后強(qiáng)化】

（1）282?x（2）22916ba?（3）baabba232??

（4）2224)1(xx??（5）222yxyxyx????

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第三講因式分解——十字相乘法

十字相乘法

一、qpxx??2型的二次三項(xiàng)式因式分解：

（其中pab??，qab?）

一、利用十字相乘法將下列各式因式分解

（1）、x2＋7x＋6（2）、x2－5x－6（3）、x2－5x＋6

（4）、a2－4a－21（5）、t2－2t－8（6）、m2＋4m－12

（7）、

342??xx

（8）、

762??xx

（9）

13122??xx

（10）、

11102??aa

（11）、

1582??xx

（12）、x2－7x＋6

（13）、x4＋5x2－6（14）、m4－6m2＋8（15）、x4＋10x2＋9

（16）、

4)(3)(2????baba

（17）、

12)2(8)2(2????yxyx

（18）、

24)5(10)5(222????xxxx

（19）、????2421122

2

2????xxxx

二、二次三項(xiàng)式cbxax??2的分解：

如果二次項(xiàng)系數(shù)a分解成

1

a

、

2

a

，常數(shù)項(xiàng)c分解成

1

c

、

2

c

；并且

1221

caca?

等于一次項(xiàng)系數(shù)

b

，

那么二次三項(xiàng)式：

))(()(

2211211221

2

21

2cxacxaccxcacaxaacbxax?????????

借助于畫十字交叉線排列如下：

二、利用十字相乘法將下列各式因式分解

2522??xx3522??xx20322??xx7522??xx

3722??xx3722??xx6722??xx6722??xx

6732??xx3832??xx2532??xx2352??xx

8652??xx25562??xx3762??xx

abxbax???)(2))((bxax??

..

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1．把下列各式分解因式

（4）9m2－6m＋2n－n2（5）4x2－4xy－a2＋y2（6）1―m2―n2＋2mn

（7）

432??mm

（8）

302??xx

（9）

1522??xx

（10）

24102??xx

（11）

24142??xx

（12）x2＋xy－12y2

（13）x2－13xy－36y2（14）a2－ab－12b2（15）362132??xx

（16）12724??xx（17）2282yxyx??

（18）2234baba??

◆因式分解的一般步驟：一提二代三分組

①、如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式；

②、提取公因式以后或沒有公因式，再考慮公式法或十字相乘法；

③、對二次三項(xiàng)式先考慮能否用完全平方公式，再考慮能否用十字相乘法；

④、用以上方法不能分解的三項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，考慮用分組分解法。

◆因式分解幾點(diǎn)注意與說明：

①、因式分解要進(jìn)行到不能再分解為止；

②、結(jié)果中相同因式應(yīng)寫成冪的形式；

③、根據(jù)不同多項(xiàng)式的特點(diǎn)，靈活的綜合應(yīng)用各種方法分解因式是本章的重點(diǎn)和難點(diǎn)，

因此掌握好因式分解的概念、方法、步驟是學(xué)好本章的關(guān)鍵。

因式分解綜合復(fù)習(xí)

【考點(diǎn)分析】

考點(diǎn)1：分解因式的意義

1、下列從左到右的變形,屬于分解因式的是()

A.(x+3)(x－2)=x2+x－－ay+1=a(x－y)+1

C.x2－

2

1

y

=(x+

y

1

)(x－

y

1

)D.3x2+3x=3x(x+1)

2、若多項(xiàng)式x2+ax+b可分解為(x+1)(x－2),試求a、b的值。

xyxyx21565)1(2???1243)3(22???axaxbaaba3217)2(2???

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考點(diǎn)2：提公因式法分解因式

1．多項(xiàng)式6a3b2－3a2b2－21a2b3分解因式時(shí)，應(yīng)提取的公因式是()

A.3a2bB.3ab2C.3a3b2D.3a2b2

2．把多項(xiàng)式2(x－2)2－(2－x)3分解因式的結(jié)果是（）

A.(x－2)2(4－x)B.x(x－2)2C.－x(x－2)2D.(x－2)2(2－x)

3．下列各組代數(shù)式?jīng)]有公因式的是（）

A．5a－5b和b－aB．a(chǎn)x+1和1+ay

C．(a－b)2和－a+bD．a(chǎn)2－b2和(a+b)(a+1)

4、分解下列因式

（1）－8x2n+2yn+2+12xn+1y2n+3（2）x2y(x－y)+2xy(y－x)

（3）16（x－y）2－24xy（y－x）（4）????xyyyxx393272

2????

考點(diǎn)3：運(yùn)用公式法分解因式

1．如果2592??kx

x

是一個(gè)完全平方式，那么k的值是（）

A、15B、±5C、30D±30

2.⑴（2009年北京）分解因式：224914baba???=。

⑵（2005年上海市）分解因式：4416nm?=。

3、分解下列因式：

（1）223

3

1

nm?

（2）491422??abba

（3）????22169baba???（4）????162492????baba

考點(diǎn)4：分組分解法分解因式

(1)yyxx???2224(2)

149422???mnm

（3）22(1)(1)4abab???（4）2244caa???

考點(diǎn)5：綜合運(yùn)用提公因式法、公式法分解因式

1、（1）分解因式：4m3-m=；

..

;.

（2）分解因式：8x2y-8xy+2y=。

2、分解下列因式：

（1）8a4－2a2（2）????mnynmx???229

（3）222()4()abmba???（4）22(161)(116)axybyx?????

考點(diǎn)6：分解因式的應(yīng)用

1、利用因式分解方法計(jì)算：

（1）

4.4513.74450.88944.50.26?????

(2)228???

2、已知6,7baab???，求22abab?的值。

3、△ABC的三邊滿足a2-2bc=c2-2ab，則△ABC是（）

A、等腰三角形B、直角三角形C、等邊三角形D、銳角三角形

4、若a為整數(shù)，證明1)12(2??a能被8整除。

【隨堂小測】

1、下列各式中從左到右的變形，是因式分解的是（）

(A)(a+3)(a-3)=a2-9(B)x2+x-5=(x-2)(x+3)+1

(C)a2b+ab2=ab(a+b)(D)x2+1=x(x+

x

1

)

2、把多項(xiàng)式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于（）

(A)(a-2)(m2+m)(B)(a-2)(m2-m)(C)m(a-2)(m-1)(D)m(a-2)(m+1)

3、下列多項(xiàng)式中不能用平方差公式分解的是（）

(A)-a2+b2(B)-x2-y2(C)49x2y2-z2(D)16m4-25n2p2

4、下列多項(xiàng)式中，不能用完全平方公式分解因式的是（）

(A)

4

1

2m

m??

(B)222yxyx???(C)224914baba???(D)

1

3

2

9

2

??n

n

5、把多項(xiàng)式????apap???112分解因式的結(jié)果是（）

A、????ppa??21B、????ppa??21C、????11??papD、????11??pap

6、已知???????yxyxyx則,0106222（）

..

;.

A、2B、－2C、4D、－4

7、若三角形的三邊長分別為a、

b

、c，滿足03222????bcbcaba，則這個(gè)三角形是（）

A、等腰三角形B、直角三角形C、等邊三角形D、三角形的形狀不確定

6、已知x+y=6，xy=4，則x2y+xy2的值為。

7、分解因式：m3-4m=。

8、若ax2+24x+b=(mx-3)2，則a=，b=，m=。

9、16（x－y）2－24xy（y－x）=8（x－y）（）

10、分解下列因式：

（1）3234241228xyxyxy???（2）2224)1(aa??

11、若3223,2,3babbaaabba???????求值。

◆◆◆快樂體驗(yàn)

一、選擇題、填空題：

1、652??xx可以分解因式為

2、已知1999)1998)(2000(???aa，那么????22)1998()2000(aa；

3、把代數(shù)式aaxax442??分解因式，

二、分解因式：

①、4542??xx②、1200102??nn

③、22242bcaba???④、4422???xyxxyyx?3

三、（能力提升）把下列多項(xiàng)式分解因式：

①、2222)(22)(bababa?????②、12)52)(32(22?????xxxx

③、

63223???xxx

④、1137522?????nnnaaa

（

n

為正整數(shù)）

2、已知：21

20

1

,19

20

1

,20

20

1

??????xcxbxa，求：acbcabcba?????222的值；